Mathematik I für Chemiker
9. Serie vom 06.12.01

33.

Bestimmen Sie die Ableitungen folgender Funktionen:

a)

$(3x(x-1)^7)^{1/5},\ \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle (2x + 1)^4}$,

b)

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sin^2x},\ \sin(\cos^2x) \cos{(\sin^2x)}$.

Lösung:

a)

(i)

$$\left[(3x(x-1)^7)^{\frac{1}{5}}\right]'$$

$$=\frac{1}{5}[3x(x-1)^7]^{-\frac{4}{5}}*[3*(x-1)^7+3x*7(x-1)^6*1]$$

$$=\frac{1}{5}*\frac{(24x-1)(x-1)^6}{(3x)^\frac{4}{5}(x-1)^\frac{7*... ...ne{\underline{\frac{1}{5}*(24x-1)* \frac{(x-1)^\frac{2}{5}}{(3x)^\frac{4}{5}}}}$$

(ii)

$$\left[(2x+1)^{-4}\right]' =-4*(2x+1)^{-5}*2=\underline{\underline{-8(2x+1)^{-5}}}$$

b)

(i)

$$[(\sin{x})^{-2}]'=\underline{\underline{-2\frac{1}{\sin{^3x}}*\cos{x}}}$$

(ii)

$$[\sin{\cos{^2x}}*\cos{\sin{^2x}}]'=u'v*uv'$$

$$=\cos{\cos{^2x}}*2 \cos{x}*(-\sin{x})*\cos{\sin{^2x}}+\sin{\cos{^2x}}*(-\sin{\sin{^2x}}*2\sin{x}*\cos{x})$$

$$= -2\sin{x}\cos{x} [\cos{\cos{^2x}}*\cos{\sin{^2x}}+ \sin{\cos{^2x}}*\sin{\sin{^2x}}]$$

$$= \ \underline{\underline{ -2\sin{x}\cos{x}[\cos( \cos{^2x} - \sin{^2x})]}}$$

34.

Ermitteln Sie die Ableitungen folgender Funktionen:

a)

$\sqrt{x+\sqrt{x + \sqrt x}},\ \sqrt{x\sqrt{x\sqrt x}}$

b)

$x\arcsin x + \sqrt{1-x^2},\ x^x$

Lösung:

a)

(i)

$\left[\sqrt{x+\sqrt{x+{sqrt{x}}}}\right]' = \frac{1}{2}*\frac{1}{\sqrt{x+\sqrt... ...}* \left(1+\frac{1}{\sqrt{x+\sqrt{x}}} \left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)$

$$= \ \underline{\underline{\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}} \left(1+\frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{2x}\right)}}$$

(ii)

$$\left[\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}\right]'=\left[\sqrt{x\sqrt{x^{\fra... ...}}}}\right]'=\left[\sqrt{x^{\frac{7}{4}}}\right]'=\left[x^{\frac{7}{8}}\right]'$$

$$=\frac{7}{8}x^{-\frac{1}{8}} =\underline{\underline{\frac{7}{8}*\frac{1}{\sqrt[\displaystyle 8]{\displaystyle x}}}}$$

b)

(i)

$$\left[x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}\right]'=1* \arcsin x + x* \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{2}*\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}*(-2x)$$

$$= \underline{\underline{\arcsin x}}$$

(ii)

$$y=x^x,\quad betrachte\quad \left[\ln y =x*\ln x \right]$$

$$\to \frac{1}{y}*y'=1*\ln x + x*\frac{1}{x}=\ln x +1$$

$$\to y'=y*(\ln x +1)=\underline{\underline{x^x(\ln x +1)}}$$

35.

a)

Berechnen Sie die Ableitung von $f(x) = \ln x$ mittels des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion.

b)

Berechnen Sie die Ableitung der $\arctan$-Funktion mittels der Ableitung der Umkehrfunktion.

Lösung:

a)

$$f(x)=e^x,\qquad Umkehrfunktion:\quad g(x)=\ln{x}$$

$$f'(x)=e^x \to \quad g'(x)=\frac{1}{f'\left(g(x)\right)}$$

$$\to g'(x)=\frac{1}{e^{\ln{x}}}=\underline{\underline{\frac{1}{x}}}$$

b)

$$f(x)=\tan{x}=\frac{\sin{x}}{cos{x}}\qquad g(x)=\arctan{x}$$

$$f'(x)=1+(\tan{x})^2 \qquad \to g'(x)=\frac{1}{1+(tan{(\arctan{x}))^2}}=\underline{\underline{\frac{1}{1+x^2}}}$$

36.

Es sei die reellwertige Funktion $f(x) = \sqrt{3 + 4x -4x^2}$ gegeben. Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion und ermitteln Sie die absoluten Extremwerte der Funktion und die dazugehörigen Funktionswerte über diesem Definitionsbereich.
Lösung: Definitionsbereich: $3+4x-4x^2=0 \to x^2-x-\frac{3}{4}=0 \to x_1=1,5 \;,\quad x_2=-0,5$
Parabel nach unten offen: $\to$ Definitionsbereich: $Df=\{x\in \mathbb {R} \vert 1,5\ge x\ge -0,5\}$

$$f'(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{3+4x-4x^2}}*(-8x+4)=0$$

$$\to -2x+1=0 \to \underline{\underline{x=\frac{1}{2}}}$$

$f(\frac{1}{2})=\sqrt{3+2-1}=\underline{\underline{2}}$

$$x_{Extrem}=(\frac{1}{2};2)$$

Randpunkte des Intervalls:

$$f(-0,5)=0 \qquad f(1,5)=0 \quad \Rightarrow globale \quad Minima$$

$$\Rightarrow x_{Extrem} \to Maxima$$

Diese Lösungsblatt wurde von Martin Zschache erstellt.

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