Mathematik I für Chemiker
8. Serie vom 29.11.01

29.

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:

a)

$$\lim_{x\to -1}\frac{1-x^2}{x+1},\ \ \ \lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x+4}$$

b)

Existiert $\lim_{x\to 0}2^{1/x}$? Begründen Sie!

c)

Existiert $\lim_{x\to 0}2^{-1/x^2}$? Begründen Sie!

Lösung:

a)

$$\lim_{x\to -1}\frac{1-x^2}{x+1}=\lim_{x\to -1} \frac{(1-x)(1+x)}{(1+x)}=\underline{\underline{2}}$$

$$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+4}=\lim_{x\to\infty} \frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x(1+\frac{a}{x})}=1$$

also bei $$\; x\to\infty, \;$$ Asymptode $$A(x)=1$$

b)

$$\lim_{x\to 0} 2^{1/x}= \lim_{y\to \pm \infty } 2^y = \left\{ \be... ...{\rm von \ rechts \ } \infty \\ {\rm von \ links \ } 0 \end{array} \right.$$

rechts $\not=$ links $\to$ kein Grenzwert

c)

$\lim_{x\to\infty}2^{-1/x^2}=\lim_{x\to 0} \frac{1}{2^{1/x^2}}=\lim_{y\to +\infty}\frac{1}{2^y}=0$

$\to$es existiert Grenzwert.

30.

Ist die folgende Funktion $f$ an der Stelle $x_0 = 1$ stetig oder unstetig? Falls $f$ dort nicht stetig ist, wie müßte man $f$ abändern, um eine stetige Funktion zu erhalten?

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{l l} \frac{\displaystyle x^3 -1}{\di... ...f''ur \ } x \neq 1 \\ 0 & \text{f''ur \ } x = 1 \ . \\ \end{array} \right.$$

Lösung:

$$\begin{array}{ccccccccc} (x^3&-1)&:&(x&-1)&=&x^2&+x&+1\\ ... ...& & & & & \\ \cline{2 - 3} & &x&-1& & & & & \\ \end{array}$$

$$f(x)= \left\{ \begin{array}{l} \frac{x^3-1}{x-1} \;\mbox{f''... ...=1 \\ 0\quad \mbox{ f''ur \ } x=1 \\ \end{array} \right.$$

$$\to f(1)=3\not=0$$

$\to$ unstetig an 1

Abänderung: $f(1)=3$

31.

Bestimmen Sie wenn möglich eine Konstante $a\in \mathbb {R}$, so daß die Funktion

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{l l l} 2\sin x & \text{\, f''ur } x\le \pi /2 \\ ax + 10 & \text{\, f''ur } x > \pi /2 \\ \end{array} \right.$$

für alle $x\in \mathbb {R}$ stetig wird.
Lösung:
$f(x)=2\sin{x}$ für $x\le \pi /2$, an Grenze also $f(\pi /2)=2$
folglich muß für Stetigkeit $f(x)=ax+10=2$ sein (bei $x=\pi /2$)

$$\to a\pi /2=-8,\quad \underline{\underline{a=-16/\pi}}$$

$$\to f(x)=\left\{ \begin{array}{l} 2\sin{x} \; {\rm f''ur \; } x\l... ...aystyle \frac{16}{\pi}\ x + 10 \; {\rm f''ur \; } x>\pi /2 \end{array} \right.$$

32.

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte, sofern sie existieren:

a)

$$\lim_{x\to -2}\biggl( \frac{x^2}{x+2} - \frac{x^3 - 4x}{x^2 + 4x + 4} \biggr)$$

b)

$$\lim \, \frac{3x - 12}{x\sqrt x - 2x}$$

für $x\to 4,\, x\to \infty,\, x\to -2$.

Lösung:

a)

$$-\frac{x^3-4x}{x^2+4x+4}=-\frac{x(x^2-4)}{x^2+4x+4}=-\frac{x(x+2)(x-2)}{(x+2)^2}$$

$$\to \lim_{x\to -2}\left(\frac{x^2}{x+2}-\frac{x(x-2)}{x+2}\right)=\lim_ {x\to -2}\frac{2x}{x+2}=\pm\infty$$

b)

$$\lim_{x\to 4} \frac{(3x-12)(\sqrt{x}+2)}{x(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2... ...\to 4} \frac{3(x-4)(\sqrt{x}+2)}{x(x-4)}=\frac{12}{4}=\underline{\underline{3}}$$

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x(3-12/x)}{x(\sqrt{x}-2)}=0$$

$$x\to -2 \;$$kein Grenzwert, wegen$$\; \sqrt{x}$$

Diese Lösungsblatt wurde von Martin Zschache erstellt.

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