Mathematik I für Chemiker
7. Serie vom 22.11.01

25.

Schreiben Sie die folgenden Funktionen $f:\ \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ die gegeben sind durch

a)

$f(x) = (1-\sin{(\pi - x)})^{1/3}$,

b)

$f(x) = (\cos{(3x-1)^2})^2$,

c)

$f(x) = \arctan{\sqrt{x^2 + 1}}$

als zusammengesetzte Funktionen in der Gestalt $f = g\circ g,\, f=g\circ h \circ k$ usw.
Lösung:

a)

$g(x)=x^{1/3}$, $h(x)=1-x$, $k(x)=\sin{x}$, $l(x)=\pi -x$

$$\to f(x)=g\circ h\circ k\circ l(x)$$

b)

$g(x)=x^2$, $h(x)=\cos{x}$, $k(x)=3x-1$

$$\to f(x)=g\circ h\circ g\circ k(x)$$

c)

$g(x)=\arctan(x)$, $h(x)=\sqrt{x}$, $k(x)=x^2-1$

$$\to f(x)=g\circ h\circ k(x)$$

26.

Bestimmen Sie die Umkehrfunktionen von

a)

$f:\, \mathbb {R}\setminus \{ 2\} \to \mathbb {R}$ mit $f(x) = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2-x}$,

b)

$f:\, [-1,1) \to \mathbb {R}$ mit $f(x) = \arctan{\frac{\displaystyle (1+x)^{1/3}}{\displaystyle (1-x)^{1/3}}}$

Lösung:

a)

$$2-x=\frac{1}{y}$$

$$x=2-\frac{1}{y}$$

$$\to f^{-1}(x)=\frac{2x-1}{x}$$

b)

$$\tan{y}=\sqrt[\displaystyle 3]{\frac{1+x}{1-x}},\quad\tan{^3y} =\frac{1+x}{1-x}$$

$$(\tan{^3y}-1)=x(1+\tan{^3y}),\quad x=\frac{\tan{^3y}-1}{tan{^3y}+1}$$

$$\to f^{-1}(x)=\frac{\tan{^3x}-1}{\tan{^3x}+1}$$

27.

Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung
a) des Graphen von $f:\, [-2,2] \to \mathbb {R},\ f(x) = x^2$,
b) des Streckenzuges von $O$ über $A= (5,0),\, B= (5,2),\, C = (0,2)$ nach $O$.
Lösung:
a)

$$\vec{x}(t)=\left\{\begin{array}{c} t\\ t^2 \end{array}\right\}$$

b)
$\vec{x}(t)= % \displaystyle {0\choose 0}+t \displaystyle {5\choose 0}$    für $0\le t\le 1,$
$${5\choose 0}+(t-1)\displaystyle {0\choose 2}$$    für $1\le t\le 2,$
$${5\choose 2}+(2-t)\displaystyle {5\choose 0}$$    für $2\le t\le 3,$
$${0\choose 2}+(3-t)\displaystyle {0\choose 2}$$    für $3\le t\le 4.$

28.

Die Funktion $F:\, D\to \mathbb {R},\ D = \{ (x,y)\, \vert\, x>0,\, y>0\}\subset \mathbb {R}^2$ mit $F(x,y)= x\sqrt y$ sei gegeben. Die Niveaumenge $N_c = \{ (x,y)\in D\, \vert \, F(x,y) = c\}$ ist Graph einer Funktion $f_c :\, (0,\infty )\to \mathbb {R}$. Wie lautet diese Funktion? Skizzieren Sie zu den Werten $c_1 = 1,\, c_2 = 2,\, c_3 = 3$ die zugehörigen Kurven. Wie lautet eine Parameterdarstellung von $N_c$?

Lösung:
Sei $f(x,y)=x*\sqrt{y}=constant=c,\qquad x>0,\,y>0$ also

$$\sqrt{y}=\frac{c}{x} \qquad\Rightarrow\quad \underline{\underline{y=\frac{c^2}{x^2}}}$$

Parameterdarstellung:

$$\vec{c}(t)=\left(\begin{array}{c} t\\ c^2/t^2\\ \end{array}\right)$$

bei $c=1 \to y=1/x^2$
bei $c=2 \to y=4/x^2$
bei $c=3 \to y=9/x^2$

Diese Lösungsblatt wurde von Martin Zschache erstellt.

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