Mathematik I für Chemiker
6. Serie vom 15.11.01

21.

Bestimmen Sie die Lage des Massenmittelpunktes von $CH_4$ unter Verwendung des Koordinatensystems aus der Vorlesung.
Lösung: Nullpunkt:

$$\vec{H_1}+\vec{H_2}+\vec{H_3}+\vec{H_4}= \begin{pmatrix} a-a+a-a\\ a-a-a+a\\ a+a-a-a\end{pmatrix}= \vec{0} \ .$$

22.

a)

Welchen Winkel bilden die folgenden Vektoren des $\mathbb {R}^3$ miteinander? Wie groß ist der Flächeninhalt des von ihnen aufgespannten Parallelogramms?

$$\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\ 4\\ 3 \end{pmatrix},\ \vec{b} = \begin{pmatrix}0\\ -4\\ -3 \end{pmatrix} \ .$$

Lösung:

$$\vert\vec{a}\vert=\sqrt{26},\qquad \vert\vec{b}\vert=\sqrt{25}$$

$$cos(\prec (\vec{a},\vec{b})) =\frac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}\c... ...\frac{\vec{b}}{\vert\vec{b}\vert}=\frac{-25}{\sqrt{26*25}}=-\frac{5}{\sqrt{26}}$$

$$\prec (\vec{a},\vec{b})=\underline{\underline{168,69^o}}$$

Der Komplementwinkel ist dann 11,31$^o$.

b)

Für welches $x\in \mathbb {R}$ sind die Vektoren

$$\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix},\ \vec{b} = \begin{pmatrix}0\\ 5\\ x \end{pmatrix}$$

orthogonal?
Lösung:

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=0+10-x \Rightarrow \underline{\underline{x=10}}$$

23.

Geben Sie den Definitions- und Wertebereich folgender Funktionen $F:\ D\to \mathbb {R},\, d\subset \mathbb {R}$ an.

a)

$f(x) = x^3$,

b)

$f(x) = 1/x$,

c)

$f(x) = -\sqrt{1-x^2}$,

d)

$f(x) = e^{-x}$,

e)

$f(x) = \ln \vert x\vert$,

f)

$f(x) = e^{\sin x}$,

g)

$f(x) = x^{2/3}$,

h)

$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{falls $x^2 > 1$},\\ 1/2 & \text{falls $x^2 = 1$},\\ 1 & \text{falls $x^2 < 1$}. \end{cases}$

Lösung:

a)

$f(x) = x^3 \qquad D=\{x\vert x\in\mathbb {R}\},\quad W=\{y\vert y\in\mathbb {R}\}$

b)

$f(x) = 1/x \qquad D=\{x\vert x\in\mathbb {R}\ und\ x\not= 0 \},\quad W=\{y\vert y\in\mathbb {R}\}$

c)

$f(x) = -\sqrt{1-x^2} \qquad D=\{x\vert x\in[-1;1]\},\quad W=\{y\vert y\in[-1;0]\}$

d)

$f(x) = e^{-x} \qquad D=\{x\vert x\in\mathbb {R}\},\quad W=\{y\vert y\in[0;\infty]\}$

e)

$f(x) = \ln \vert x\vert \qquad D=\{x\vert x\in\mathbb {R}\ und\ x\not= 0\},\quad W=\{y\vert y\in\mathbb {R}\}$

f)

$f(x) = e^{\sin x} \qquad D=\{x\vert x\in\mathbb {R}\},\quad W=\{y\vert y\in[\frac{1}{e};e]\}$

g)

$f(x) = x^{2/3} \qquad D=\{x\vert x\in\mathbb {R}\},\quad W=\{y\vert y\in[0;\infty]\}$

h)

$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{falls $x^2 > 1$},\\ 1/2 & \text{falls $x^2 = ... ...1$}. \end{cases}\qquad D=\{x\vert x\in\mathbb {R}\},\quad W=\{0;\frac{1}{2};1\}$

24.

a)

Bestimmen Sie die inverse Funktionen zu $f(x) = 1/x,\, g(x) = x^3$ und deren Definitions- und Wertebereich.

Lösung:

$$f(x)=y=\frac{1}{x} \to x=\frac{1}{y}$$

Vertauschen der Variablen

$$\underline{\underline{f^{-1}(x)=\frac{1}{x}}}$$

$$D=\{x\vert x\in \mathbb {R}\cap x\not= 0\},\quad W=\{y\vert y\in\mathbb {R}\}$$

$$g(x)=y=x^3 \to \sqrt[\displaystyle 3]{y}=x$$

Vertauschen der Variablen

$$\underline{\underline{g^{-1}(x)=\sqrt[\displaystyle 3]{x}}}$$

$$D=\{x\vert x\in \mathbb {R}\},\quad W=\{y\vert y\in \mathbb {R}\}$$

b)

Berechnen Sie $f\circ g,\, g\circ f$ mit Definitions- und Wertebereich.

Lösung:

$$f\circ g=f(g(x))=f(x^3)=\frac{1}{x^3}$$

$$g\circ f=f(g(x))=g(\frac{1}{x})=\left(\frac{1}{x}\right)^3=\frac{1}{x^3}$$

$$D=\{x\vert x\in \mathbb {R}\cap x\not= 0\},\quad W=\{y\vert y\in\mathbb {R}\}$$

Diese Lösungsblatt wurde von Martin Zschache erstellt.

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