Mathematik I für Chemiker
5. Serie vom 08.11.01

17.

a)

Begründen Sie, warum die Vektoren

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 2... ...ix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

keine Basis des $\mathbb {R}^3$ bilden können.
Lösung:
Die 4 Vektoren des $\mathbb {R}^3$ sind linear abhängig:

$$c_1\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}+c_2\ \begin{pmatrix... ...trix} 1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}+c_4\ \begin{pmatrix} 0\\ 2\\ 1\end{pmatrix}=0$$

wird erfüllt durch

$$0= c_1\, \begin{pmatrix} 1+1/4*2-3/2*1+0\\ 0+0-3/2*1+3/4*2\\ -1+1/4*1-0+3/4*1\end{pmatrix}=\ \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$$

Dabei ist $c_1$ beliebig, und $c_2=\frac{1}{4}c_1,\; c_3=-\frac{3}{2}c_1,\; c_4=\frac{3}{4}c_1$ .

b)

Wählen Sie aus den Vektoren in Teil a) eine Basis des $\mathbb {R}^3$ aus.
Lösung:

$$\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}=\vec{a},\ \begin{pmatr... ...1\\ 0\end{pmatrix}=\vec{b},\ \begin{pmatrix} 0\\ 2\\ 1\end{pmatrix}=\vec{c}$$

$$0= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}c_1+\ \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}c_2+\ \begin{pmatrix} 0\\ 2\\ 1\end{pmatrix}c_3$$

Gleichungen:

1

$c_1=-c_2$

2

$c_2=-1/2c_3, \to c_1=1/2c_3$

3

$c_1=c_3$

$$\to \underline{\underline{c_3=0}},\qquad \underline{\underline{c_1=0}},\qquad \underline{\underline{c_2=0}}$$

18.

Berechnen Sie $\vec{a}\times \vec{b}$ für die Vektoren $\vec{a} = \overrightarrow{OA},\ \vec{b} = \overrightarrow{OB}$, wobei die Punkte $A,B$ bezüglich eines rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems gegeben sind durch $A = (1,-1,2),\ B = (2 ,1,3)$. Stellen Sie die drei Vektoren auch graphisch dar.

Lösung:

$$\vec{a}= \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 2\end{pmatrix},\ \vec{b}= \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3\end{pmatrix}$$

$$\vec{a}\times\vec{b}= \begin{pmatrix} -3-2\\ 4-3\\ 1+2\end{pmatrix}=\ \underline{\underline{\begin{pmatrix} -5\\ 1\\ 3\end{pmatrix}}}$$

19.

Bestimmen Sie das Volumen des von den drei Vektoren

$$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

aufgespannten Spats.

Lösung:

$$V=\left[ \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\times\ \be... ...\\ 1 \end{pmatrix}\right] \cdot \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ -6\end{pmatrix} \cdot \ \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 2\end{pmatrix}=2+4-12=-6$$

$$\underline{\underline{V=6\,VE}}$$

20.

Prüfen Sie, ob die drei Vektoren

$$\vec{u}_1 = \frac{1}{\sqrt 6}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{... ...rix},\ \vec{u}_3 =\frac{1}{\sqrt 5}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

eine Orthonormalbasis des $\mathbb {R}^3$ bilden.

Lösung: nein, weil

a)

Betrag nicht immer 1

$$\vert\vec{u}_1\vert=\sqrt{\frac{1}{6}+\frac{4}{6}+\frac{1}{6}}=1$$

$$\vert\vec{u}_2\vert=\sqrt{\frac{9}{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{5}\not= 1$$

$$\vert\vec{u}_3\vert=\sqrt{\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{4}{5}}=\sqrt{\frac{6}{5}}\not= 1$$

b)

nicht $\perp$

$$\vec{u}_1\cdot \vec{u}_2=\frac{1}{2 \sqrt{3}}(-3+1)\not= 0$$

$$\vec{u}_1\cdot \vec{u}_3=\frac{1}{\sqrt{30}}(-1+2+2)\not= 0$$

$$\vec{u}_2\cdot \vec{u}_3=\frac{1}{\sqrt{10}}(3+2)\not= 0$$

Diese Lösungsblatt wurde von Martin Zschache erstellt.

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