Mathematik I für Chemiker
10. Serie vom 13.12.01

37.

Man diskutiere den Verlauf des sogenannten Morse-Potentials

$$V(r) = D [1 - e^{-a(r-r_0)}]^2\ \ (a>0,\, D>0),$$

dass häufig zur Beschreibung der Wechselwirkungsenergie in einem diatomaren Molekül herangezogen wird. Welche physikalische Bedeutung haben die beiden Konstanten $r_0,\, D$? (Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, $r\to \infty$, $r\to 0+0$, Konvexität, Monotonie, Skizze)

Lösung: $V(r)=d*[1-e^{-a(r-r_0}]^2\qquad\qquad (a>0,D>0)$ D ist die Dissoziationsenergie, $r_0$ der Kernabstand mit der geringsten potentiellen Energie

$V'(r)=D*2*[1-e^{-a(r-r_0)}]^2*(-1)*e^{-a(r-r_0)}*(-a)$
$V'(r)=2aD*(1-e^{-a(r-r_0)})*e^{-a(r-r_0)}$

$V''(r)=2aD[(1-e^{-a(r-r_0)})*e^{-a(r-r_0)}*(-a)+e^{-a(r-r_0)}*(-e^{-a(r-r_0)})*(-a)]$
$V''(r)=-2a^2D*(1-2e^{-a(r-r_0)})*e^{-a(r-r_0)}$

$V'''(r)=-2a^2D*[(1-2e^{-a(r-r_0)})*e^{-a(r-r_0)}*(-a)+e^{-a(r-r_0)}*(-2e^{-a(r-r_0)})*(-a)]$
$V'''(r)=2a^3D*(1-4e^{-a(r-r_0)})*e^{-a(r-r_0)}$

$D=R^{\succ 0}$
$W=[0;D]$

Nullstellen $V(r)=0$
$V(r)=D*[1-e^{-a(r-r_0)}]^2=0$
$1-e^{-a(r-r_0)}=0$
$e^{-a(r-r_0)}=1=e^0$
$-a(r-r_0)=0$
$r=r_0$
$N(r_0/0)$ Die Funktion hat eine Nullstelle bei $r=r_0.$

Extremwerte
Notwendige Bedingung $V'(r)=0$
$V'(r)=2aD*(1-e^{-a(r-r_0)})*e^{-a(r-r_0)}=0$
$1-e^{-a(r-r_0)}=0$
$e^{-a(r-r_0)}=1=e^0$
$-a(r-r_0)=0$
$r=r_0$ (mögliche Extremstelle)

Hinreichende Bedingung $V'(r)=0\wedge V''(r)\not=0$
$V''(r_o)=-2a^2D*(1-2e^{-a(r-r_0)})*e^{-a(r-r_0)}$
$V''(r_0)=-2a^2D*(1-2e^0)*e^0$
$V''(r_0)=-2a^2D*(1-2)*1$
$V''(r_0)=2a^2D\succ 0$    Minimum
Die Funktion hat an der Stelle $r=r_0$ ein lokales Minimum $T(r_0/0)=N(r_0/0)$

Wendepunkte
Notwendige Bedingung $V''(r)=0$
$V''(r)=-2a^2D*(1-2e^{-a(r-r_0)})*e^{-a(r-r_0)}=0$
$1-2e^{-a(r-r_0)}=0$
$e^{-a(r-r_0)}=\frac{1}{2}$
$-a(r-r_0)=\ln{\frac{1}{2}}$
$a(r-r_0)=\ln{2}$
$r=\frac{\ln{2}}{a}+r_0$    (mögliche Wendestelle)

Hinreichende Bedingung $V''(r)=0 \wedge V'''(r)\not=0$
$V'''(\frac{\ln{2}}{a}+r_0)=2a^3D*(1-4e^{-a(\frac{\ln{2}}{a}r-r_0)}*e^{-a(\frac{\ln{2}}{a}r-r_0)}$
$V'''(\frac{\ln{2}}{a}+r_0)=2a^3D*(1-4e^{\ln{\frac{1}{2}}})*e^{-\ln{2}}$
$V'''(\frac{\ln{2}}{a}+r_0)=2a^3D*(-1)*(-2)$
$V''(\frac{\ln{2}}{a}+r_0)4a^3D \succ 0$
$V(\frac{\ln{2}}{a}+r_0)=D*[1-e^{-a(\frac{\ln{2}}{a}+r-r_0)}]^2=D(1-0,5)^2=\frac{1}{4}D$
Die Funktion V hat an der Stelle $r=\frac{\ln{2}}{a}+r_0$ eine Wendestelle $W(\frac{\ln{2}}{a}+r_0/)\frac{D}{4})$

Grenzwerte
$lim_{r\to\infty}V(r)=\lim_{r\to\infty}[d*(1-e^{-a(r-r_0)})^2]=D$

$\lim_{r\to\infty}[-a(r-r_0)]=-\infty$
$\lim_{b\to -\infty}e^b=0$
$\lim_{r\to\infty}(1-e^{-a(r-r_0)})^2=1$

$\lim_{r\to 0}V(r)=\lim_{r\to 0}[D*(1-e^{-a(r-r_0)})^2]=D*(1-e^{ar_0})^2$

Konvexität
(nach oben) Konkav: $V''(r)>0$
$V''(r)=-2a^2D(1-2e^{-a(r-r_0)})*e^{-a(r-r_0)}>0$
$(1-2e^{-a(r-r_0)})<0$
$\frac{1}{2}<e^{-a(r-r_0)}$
$-\ln{2}<-a(r-r_0)$
$\frac{\ln{2}}{a}+r_0>r$

(nach oben) Konvex: $V''(r)<0$
$V''(r)=-a^2D*(1-2e^{-a(r-r_0)})*e^{-a(r-r_0)}<0$
$(1-2e^{-a(r-r_0)})>0$
$\frac{1}{2}>e^{-a(r-r_0)}$
$-\ln{2}>-a(r-r_0$
$\frac{\ln{2}}{a}+r_0<r$

Für $r<\frac{\ln{2}}{a}+r_0$ ist der Graph der Funktion nach oben konkav bzw. nach unten konvex,
für $r>\frac{\ln{2}}{a}+r_0$ ist der Graph der Funktion nach unten konkav bzw. nach oben konvex.

Monotonie
streng monoton steigend: $V'(r)>0$
$V'(r)=2aD*(1-e^{-a(r-r_0)})*e^{-a(r-r_0)}>0$
$(1-e^{-a(r-r_0)})>0$
$e^{-a(r-r_0)}<1=e^0$
$-a(r-r_0)<0$
$r>r_0$

streng monoton fallend: $V'(r)<0$
$V'(r)=2aD*(1-e^{-a(r-r_0)})*e^{-a(r-r_0)}<0$
$(1-e^{-a(r-r_0)})<0$
$e^{-a(r-r_0)}>1=e^0$
$-a(r-r_0)>0$
$r<r_0$

Die Funktion V ist für $r<r_0$ streng monoton fallend und für $r>r_0$ streng monoton steigend. An der Stelle $r=r_0$ hat sie ein absolutes Minimum.

38.

Unter welchem spitzen Winkel schneiden sich die Kurven $y_1 = \sin x$ und $y_2 = \cos x$?

Lösung:
$f_1(x)=\sin{x}$ $f_1'(x)=\cos{x}$
$f_2(x)=\cos{x}$ $f_2'(x)=-\sin{x}$

Schnittpunkt: $f_1(x)=f_2(x)$
$\sin{x}=\cos{x}$
$\frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\tan{x}=1$
$x=\arctan{1}$
Steigung der Tangenten: $m_1=\cos{\arctan{1}}=\frac{1}{\sqrt{1+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$m_2=-\sin{arctan{1}}=-\frac{1}{\sqrt{1+1}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

Spitzer Winkel zwischen den beiden Funktionen
$\tan{\alpha}=\left\vert\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right\vert=\left\vert\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{2}}\right\vert=\sqrt{8}$
$\alpha=\arctan{\sqrt{8}}=\underline{\underline{70,53^\circ}}$

39.

Man führe für folgende Funktionen eine Kurvendiskussion durch:

a)

$f(x) = \sin x + \cos x$,

b)

$f(x) = \frac{\displaystyle x^2 - x + 1}{\displaystyle x^2 - x}$

Lösung:

a)

$f(x)=\sin{x}+\cos{x}$        Periode:$2\pi$
$f'(x)=\cos{x}-\sin{x}$
$f''(x)=-\sin{x}-\cos{x}$
$f'''(x)=-\cos{x}+\sin{x}$

$D=\mathbb {R}$
$W=[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$

Nullstellen $f(x)=0$
$f(x)=\sin{x}+\cos{x}=0$
$\sin{x}=-\cos{x}$
$\frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\tan{x}=-1$
$x=\arctan{-1}=-\arctan{1}\approx -0,7854$
Tangensfunktionen haben die Periode $\pi$, daher gibt es Nullstellen bei $x=-0,7854 + g\pi$.
Die Funktion f hat periodisch Nullstellen: $N(-0,7854 +g\pi/0)$.

Extremwerte
Notwendige Bedingung $f'(x)=0$
$f'(x)=\cos{x}-\sin{x}=0$
$\frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\tan{x}=1$
$x=\arctan{1}=\frac{\pi}{4}$
mögliche Extremstellen bei $x=\frac{\pi}{4}+g\pi=\left(\frac{1}{4}+g\right)\pi$

Hinreichende Bedingung $f'(x)=0 \wedge f''(x)\not= 0$
Da die Funktion f die Periode $2\pi$ hat, müssen zwei Möglichkeiten unterschieden werden: $x=\frac{\pi}{4}+2¸pi g$ und $x=\frac{\pi}{4}+2\pi g+\pi=\frac{5\pi}{4}+2\pi g$
$f''(\frac{\pi}{4})=-\sin{\frac{\pi}{4}}-\cos{\frac{\pi}{4}}$
$f''(\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}<0$    (Maximum)
$f(\frac{\pi}{4})=\sin{\frac{\pi}{4}}+\cos{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
$f''(\frac{5\pi}{4})=-\sin{\frac{5\pi}{4}}-\cos{\frac{5\pi}{4}}$
$f''(\frac{5\pi}{4})=-\frac{-1}{\sqrt{2}}-\frac{-1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}>0$    (Minimum)
$f(\frac{5\pi}{4})=sin{\frac{5\pi}{4}}+\cos{\frac{5\pi}{4}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}+\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}$

Die Funktion f hat periodisch an den Stellen $x=\frac{\pi}{4}+2\pi g$ lokale Maxima $H(\frac{\pi}{4}+2\pi g/\sqrt{2})$
und an den Stellen $x=\frac{5\pi}{4}+2\pi g$ lokale Minima $T(\frac{5\pi}{4}+2\pi g/-\sqrt{2})$

Wendepunkte
Notwendige Bedingung $f''(x)=0$
$f''(x)=-\sin{x}-\cos{x}=0$
$\frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\tan{x}=-1$    Periode$\pi$
$x=\arctan{-1}=-\arctan{1}=-\frac{\pi}{4}\approx-0,7854$

Hinreichende Bedingung $f''(x)=0\wedge f'''(x)\not= 0$
Es muss zwischen zwei Möglichkeiten unterschieden werden:
$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi g\;und\; x=\frac{3\pi}{4}+2\pi g$
$f'''(-\frac{\pi}{4})=-\cos{-\frac{\pi}{4}}+\sin{-\frac{\pi}{4}}$
$f'''(-\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}<0$
$f'''(\frac{3\pi}{4})=-\cos{\frac{3\pi}{4}}+\sin{\frac{3\pi}{4}}$
$f'''(\frac{3\pi}{4})=-\frac{-1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}>0$
$f(-\frac{\pi}{4})=\sin{-\frac{\pi}{4}}+\cos{-\frac{\pi}{4}}$
$f(-\frac{\pi}{4})=\frac{-1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}$
$f(\frac{3\pi}{4})=\sin{\frac{3\pi}{4}}+\cos{\frac{3\pi}{4}}$
$f(\frac{3\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{-1}{\sqrt{2}}=0$

Die Funktion hat periodisch Wendestellen $W(-\frac{\pi}{4}+\pi g/0)$

Grenzwerte
$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}[\sin{x}+\cos{x}] \to$ unbestimmbar, es existiert kein Grenzwert.

Konvexität
Konkave Seite nach oben bzw. konvexe nach unten:    $f''(x)>0$
$f''(x)=-\sin{x}-\cos{x}>0$
$-\sin{x}>\cos{x}$
$[-\frac{\sin{x}}{\cos{x}}>1\wedge \cos{x}>0]\vee [-\frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\ta... ...-1\wedge \cos{x}<0]\vee[\sin{x}<0 \wedge (x=\frac{\pi}{2}\vee x=\frac{3\pi}{2}]$
Da die Funktion f die Periode $2\pi$ hat, braucht man nur ein Intervall der Größe $2\pi$ betrachten: z.B.: $x\in[-\frac{\pi}{4};\frac{7\pi}{4}]$
$[(\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{4} \vee \frac{3\pi}{2}<x<\frac{7\pi}{4}) \wedge ... ...frac{3\pi}{2}) \wedge (\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2})] \vee [x=\frac{3\pi}{2}]$
$\frac{3\pi}{2}<x<\frac{7\pi}{4} \vee \frac{3\pi}{4}<x<\frac{3\pi}{2} \vee x=\frac{3\pi}{2}$
$\frac{3\pi}{2}<x<\frac{7\pi}{4}$

Konkave Seite nach unten bzw. konvexe nach oben:    $f''(x)<0$
$f''(x)=-\sin{x}-\cos{x}<0$
$-\sin{x}<\cos{x}$
$[-\frac{\sin{x}}{\cos{x}}>1 \wedge \cos{x}<0] \vee [-\frac{\sin{x}}{\cos{x}}<1 \wedge \cos{x}>0] \vee [\sin{x}>0\wedge \cos{x}=0]$
$[\frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\tan{x}<1 \wedge \cos{x}<0]\vee [\frac{\sin{x}}{\cos{... ...\wedge \cos{x}>0] \vee [\sin{x}>0 \wedge (x=\frac{\pi}{2}\vee x=\frac{3\pi}{2})$
Da die Funktion f die Periode $2\pi$ hat, braucht man nur ein Intervall der Größe $2\pi$ betrachten: z.B.: $x\in[-\frac{\pi}{4};\frac{7\pi}{4}]$
$[(\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{4} \vee \frac{3\pi}{2}<x<\frac{7\pi}{4}) \wedge ... ...<\frac{\pi}{2} \vee \frac{3\pi}{2}<x\le \frac{7\pi}{4})] \vee [x=\frac{\pi}{2}]$
$\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{4} \vee -\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2} \vee x=\frac{\pi}{2}$
$-\frac{\pi}{4}<x<\frac{3\pi}{4}$

Für $\frac{3\pi}{4}+2\pi g<x<\frac{7\pi}{4}+2\pi g$ ist der Graph nach oben konkav,
für $-\frac{\pi}{4}+2\pi g<x< \frac{3\pi}{4}+2\pi g$ ist der Graph nach unten konkav bzw. nach oben konvex, an den Stellen $x=-\frac{\pi}{4} +\pi g$ hat die Funktion Wendestellen.

Monotonie
Streng monoton wachsend:    $f'(x)>0$
$f'(x)=\cos{x}-\sin{x}>0$
$[\frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\tan{x}<1 \wedge \cos{x}>0] \vee [\frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\tan{x}>1 \wedge \cos{x}<0] \vee [\sin{x}<0 \wedge \cos{x}=0]$
Da die Funktion f die Periode $2\pi$ hat, braucht man nur ein Intervall der Größe $2\pi$ zu betrachten: z.B.: $x\in [\frac{\pi}{4};\frac{9\pi}{4}]$
$[(\frac{\pi}{2}<x<\frac{5\pi}{4} \vee \frac{3\pi}{2}<x<\frac{9\pi}{4}) \wedge ... ...} \vee \frac{5\pi}{4}<x<\frac{3\pi}{2})\wedge (\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2})]$
$[\frac{3\pi}{2}<x<\frac{9\pi}{4}]\vee[\frac{5\pi}{4}<x<\frac{3\pi}{2}]\vee[x=\frac{3\pi}{2}]$
$\frac{5\pi}{4}<x<\frac{9\pi}{4}$

Streng monoton fallend: $f'(x)<0$
$f'(x)=\cos{x}-\sin{x}<0$
$[\frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\tan{x}<1 \wedge \cos{x}<0]\vee[\frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\tan{x}>1\wedge\cos{x}<0]\vee[\sin{x}>0\wedge\cos{x}=0]$
Da die Funktion f die Periode $2\pi$ hat, braucht man nur ein Intervall der Größe $2\pi$ zu betrachten: z.B.; $x\in [\frac{\pi}{4};\frac{9\pi}{4}]$
$[(\frac{\pi}{2}<x<\frac{5\pi}{4} \vee \frac{3\pi}{2}<x<\frac{9\pi}{4})\wedge(\... ...\le x<\frac{\pi}{2}\vee\frac{3\pi}{2}<x\le\frac{9\pi}{4}=]\vee[x=\frac{\pi}{2}]$
$[\frac{\pi}{2}x\frac{5\pi}{4}]\vee[\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}]\vee[x=\frac{\pi}{2}]$
$\frac{\pi}{4}<x<\frac{5\pi}{4}$
Die Funktion f ist für $\frac{5\pi}{4}+2\pi g<x<\frac{9\pi}{4}+2\i g$ streng monoton steigend und für $\frac{\pi}{4}+2\pi g<x<\frac{5\pi}{4}+2\pi g$ streng monoton fallend.

b)

40.

a)

Wo sind die folgenden Funktionen stetig? (Begründung!)

$$f_1(x,y) = \sin{\frac{2x^2(x+y)}{(x-4y)(x^2 + y^2)}},\ f_2(x,y) = e^{y/(x^2 -1)}$$

b)

Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die partiellen Ableitungen 1. Ordnung und den Gradienten:

i)

$f(x,y) = \sin{x^2 + y^2}$,

ii)

$f(x,y) = x^2e^y + \sin^2{2xy} + \cosh{(x + xy)}$

iii)

$p(T,V) = \frac{\displaystyle RT}{\displaystyle V - b} - \frac{\displaystyle a}{\displaystyle V^2}$ (van der Waalsche Zustandsgleichung für Gase).

Diese Lösungsblatt wurde von Martin Zschache erstellt.

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