chem_03L

Mathematik I für Chemiker
3. Serie vom 25.10.01

9.

Gegeben sind die folgenden komplexen Zahlen:

$\displaystyle z_1 = 4(\cos{\pi /6} - i \sin{\pi /6}),\ z_2 = \sqrt 5 (\cos{8\pi /6} - i\sin{8\pi /6}),$

$\displaystyle z_3 = \cos{14\pi /3} + i\sin{14\pi /3}$

a): Schreiben Sie diese Zahlen in der Gestalt ,
b): Stellen Sie diese Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene dar,
c): Stellen Sie diese Zahlen in der Exponentialdarstellung dar,
d): Berechnen Sie $z_2 z_3,\, z_3 / z_1$ .

Lösung:

a)

$\displaystyle z_1=a+bi=\left(4\cos{\pi/6}\right)-\left(4\sin{\pi/6}\right)\,i$

$\displaystyle z_2=a+bi=\left(\sqrt{5}\cos{8\pi/6}\right)-\left(\sqrt{5}\sin{8\pi/6}\right)\,i$

$\displaystyle z_3 = \left(\cos{14\pi /3}\right) + \left(\sin{14\pi /3}\right)\,i$

c)

$\displaystyle z_1=4*e^{-i\frac{\pi}{6}}$

$\displaystyle z_2=\sqrt{5}*e^{-8i\frac{\pi}{6}}$

$\displaystyle z_3=e^{14i\frac{\pi}{3}}$

d)

$\displaystyle z_2z_3=\sqrt{5}*e^{-\frac{8\pi}{6}i}*e^{\frac{14\pi}{3}i}=\underline{\underline{\sqrt{5}*e^{\frac{10}{3}\pi i}}}$

$\displaystyle z_3/z_1= \frac{1}{\sqrt{5}}\frac{e^{\frac{14}{3}\pi i}} {e^{-\fra... ...pi i} =\frac{\sqrt{5}}{5}e^{6\pi i} =\underline{\underline{\frac{\sqrt{5}}{5}}}$

10.

Gegeben sind die folgenden komplexen Zahlen:

$\displaystyle z_1 = 4 - 3i,\ z_2 = 3 + 5i,\ z_3 = \frac{1}{3}\sqrt 3- i$

a): Schreiben Sie diese Zahlen in ihrer trigonometrischen Form,
b): Stellen Sie diese Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene dar,
c): Stellen Sie diese Zahlen in der Exponentialdarstellung dar,
d): Berechnen Sie $z_1 z_3,\, z_1 / z_2$ .

Lösung:

d)

$\displaystyle z_1z_3=(4-3i)(\frac{1}{3}\sqrt 3- i)=\underline{\underline{(\frac{4}{3}\sqrt{3}-3)-(\sqrt{3}+4)\,i}}$

$\displaystyle z_1/z_2=\frac{(4-3i)*(3-5i)}{(3+5i)*(3-5i)}=\frac{(12-15)-(9+20)\,i}{9+25}=\underline{\underline{\frac{1}{36}(-3-29i)}}$

11.

Gegeben sind die folgenden komplexen Zahlen:

$\displaystyle z_1 = 3e^{4\pi i},\ z_2 = \sqrt 2 e^{\frac{\pi i}{2}},\ z_3 = 5e^{\frac{5\pi i}{2}}$

a): Schreiben Sie diese Zahlen in der Gestalt ,
b): Stellen Sie diese Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene dar,
c): Stellen Sie diese Zahlen in ihrer trigonometrischen Gestalt dar,
d): Berechnen Sie $z_1 z_2,\, z_1 / z_3$ .

Lösung:

d)

$\displaystyle z_1z_2=\sqrt{2}*3e^{(4+\frac{1}{2})\pi i} =\underline{\underline{\sqrt{2}*3*e^{\frac{\pi}{2}i}}}$

$\displaystyle z_1/z_3=\frac{3}{5}*e^{4\pi i-\frac{5}{2}\pi i}=\underline{\underline{\frac{3}{5}*e^{\frac{3}{2}\pi i}}}$

12.

a): Berechen Sie die Nullstellen des Polynoms , geben Sie ihre Vielfachheiten an und stellen Sie das Polynom als Produkt von Linearfaktoren dar.
b): Berechen Sie die Nullstellen des Polynoms $p(x) = x^2 -(3 + i)x + \frac{\displaystyle (3+i)^2}{\displaystyle 4}$ , geben Sie ihre Vielfachheiten an und stellen Sie das Polynom als Produkt von zwei Linearfaktoren dar.
c): Berechen Sie die Nullstellen des Polynoms $p(x) = x^2 -5x + \frac{\displaystyle 25}{\displaystyle 4}$ , geben Sie ihre Vielfachheiten an und stellen Sie das Polynom als Produkt von Linearfaktoren dar..

Lösung:

a)

0	$\displaystyle =$	$\displaystyle x^2-3x+5$	(1)
	$\displaystyle =$	$\displaystyle x^2-2(\frac{3}{2}x)+\frac{9}{4}+\frac{11}{4}$	(2)
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (x-\frac{3}{2})^2+\frac{11}{4}\not =0 \to keine\ reelle\ Nullstelle$	(3)
$\displaystyle x_{1,2}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{20}{4}}=\underline{\underline{\frac{3}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{11}i}}$	(4)
$\displaystyle \to p(x)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left(x-\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{11}i\right)\right)\left(x-\frac{1}{2}\left(3-\sqrt{11}i\right)\right)$	(5)

b)