Mathematik I für Chemiker
2. Serie vom 18.10.01

5.

Zeigen Sie für zwei Mengen $S$ und $T$ die Gültigkeit der 1. Regel von de Morgan $\overline{S\cup T} = \overline{S} \cap \overline{T}$ mittels Darstellung beider Seiten in einem Venn Diagramm.

6.

Ist die Aussage ``Wenn $2\cdot 2 = 3$ und $4$ eine Primzahl ist, so ist auch $5$ eine Primzahl oder $8^2 = 60\,$, wahr?

Hinweis: Stellen Sie die Wahrheitstabelle auf für $(p \wedge q) \rightarrow (r \vee s)$.

Lösung:
Wir haben die Wahrheitstabelle:

-	-	a	-	-	b
p	q	$(p \wedge q)$	r	s	$(r \vee s)$
w	w	w	w	w	w
w	f	f	w	f	w
f	f	f	f	w	w
f	w	f	f	f	f

Ist in der Implikation $a \rightarrow b$ der Wert von $a$ falsch, der Wert von $b$ wahr, so ist das Resultat wahr. (3.te Zeile der Tabelle.)

7.

a)

Geben Sie die folgenden Funktionen an:

(i)

$f$ ordnet jeder reellen Zahl ihre dritte Potenz zu,

(ii)

$g$ ordnet jeder reellen Zahl die Zahl $5$ zu,

(iii)

$h$ ordnet jeder nicht positiven reellen Zahl die Zahl $4$ zu und jeder positiven reellen Zahl ihr Quadrat.

(iv)

Bestimme $f(4),\, f(-2),\, f(0),\, g(4),\, g(-2),\, g(0),\, h(4),\, h(-2),\, h(0)$

b)

Welche der Funktionen aus a) ist (sind) injektiv?

c)

Geben Sie die Definitions- und Wertebereiche an.

Lösung:

(i)

$$f(x)=x^3\quad D=\{x\vert x\in\mathbb {R}\},\;W=\{y\vert y\in\mathbb {R}\}$$

$$f(x)\;ist\;injektiv\;\to aus\;f(x_1)=f(x_2)\;folgt\;x_1=x_2:\;gilt$$

(ii)

$$g(x)=5\quad D=\{x\vert x\in\mathbb {R}\},\;W=\{5\}$$

nicht injektiv

(iii)

$$h(x)\begin{cases} 4\;f''ur\;x\le 0\\ x^2\;f''ur\;x>0 \end{cases},\quad D=\{x\vert x\in\mathbb {R}\},\;W=\{y\vert\le x\le\infty\}$$

nicht injektiv

(iv)

$$\begin{array}{c\vert c\vert c} f(4)=64&g(4)=5&h(4)=16\\ f(-2)=-8&g(-2)=5&h(-2)=4\\ f(0)=0&g(0)=5&g(0)=4 \end{array}$$

8.

Berechnen Sie für $z_1 = 3 + 4i,\, z_2 = 1 - 2i$ die folgenden Terme: $z_1 \pm z_2,\, z_1z_2,\, \frac{\displaystyle z_1}{\displaystyle z_2}$.

Lösung:

$$z_1+z_2=4+2i\qquad\qquad z_1-z_2=2+6i$$

$$z_1*z_2=(3+8)-6i+4i=11-2i\qquad\qquad \vert z_1*z_2\vert=\sqrt{121+4}=\sqrt{125}=\sqrt{5}*5$$

$$z_1:z_2=\frac{3+4i}{1-2i}\frac{1+2i}{1+2i}=\frac{3-8+(6+4)i}{1+4}=-1+2i\qquad\qquad \vert z_1:z_2\vert=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$$

Diese Lösungsblatt wurde von Martin Zschache erstellt.

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