Dr.Quapp: Statistik für Mathematiker mit SPSS

Hinweise zur Theorie der Stichproben

1.] Es wird eine Stichprobe vom Umfang $n$ gezogen für eine $N(\mu,\sigma)$-verteilte Stichprobenvariable $X$ mit Erwartungswert $\mu$ und Varianz $\sigma ^2$. Geben Sie die Verteilung der folgenden Zufallsvariablen an:

a)

$$\displaystyle^{^{^{\ -}}}\!\!\!\!\!{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$

ist der erwartungstreue Schätzer von $\mu$ mit der Varianz $\frac{1}{n} \sigma ^2$, d.h. die Verteilung ist $\sim N(\mu, \frac{\sigma }{\sqrt{n}})$. Mit wachsendem $n$ wird die Verteilung somit immer "schärfer".

b)

$$\displaystyle\frac{ ( X - \mu)} { \sigma } \sim N(0,1) .$$

c)

$$\sqrt{n} \displaystyle\frac{( \displaystyle^{^{^{\ -}}}\!\!\!\!\!{X} - \mu)}{\sigma } \sim N(0,1) \ ,$$

wegen der Aussagen in a).

d)

$$\sqrt{n} \displaystyle\frac{ ( \displaystyle^{^{^{\ -}}}\!\!\!\!\!{X} - \mu)}{ s } \sim t_{n-1}$$

ist die T- oder Students Verteilung, ohne "Verwendung" von $\sigma$. Die Verteilung ist angebracht, wenn $\sigma$ aus der Stichprobe als $s$ geschätzt werden muß.

e)

$$\displaystyle\frac{1} { \sigma^2 } \sum_{i=1}^n ( X_i - \mu )^2 \sim \chi ^2_n \ .$$

Die $\chi ^2_n$ Verteilung entsteht durch Setzen von $\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)^2 = Y_i^2$, wobei $Y\sim N(0,1)$ ist.

f)

$$\displaystyle\frac{1} { \sigma^2} \sum_{i=1}^n ( X_i - \displaystyle^{^{^{\ -}}}\!\!\!\!\!{X})^2 \sim \chi ^2_{n-1}$$

Die $\chi ^2_{n-1}$ Verteilung ergibt sich, weil in der $$^{^{^{\ -}}}\!\!\!\!\!{X}$$ -Berechnung noch ein Freiheitsgrad "verlorengeht". Der Ausdruck entspricht mit $(n-1) s^2 / \sigma ^2$ der Stichprobenverteilung der Varianz.