Dr.Quapp: Statistik für Mathematiker mit SPSS, HS 2001
- Freitag, 15$^{00}$ Uhr, Computerkabinett 4-24 HG -

http://www.mathematik.uni-leipzig.de/MI/quapp/uebungSPSS.html

Hinweise zur 11. Übung - Stichproben u.s.w.-

1.] Für die Gewichte von Warenpackungen wird angenommen, dass sie $N(\mu,\sigma)$-verteilt sind mit unbekannten $\mu$ und $\sigma$. Es ergaben sich für eine Stichprobe vom Umfang $10$ folgende Gewichte (in kg):
20,40, 20,25 20,00, 19,80, 20,05,
19,90, 20,50, 20,15, 20,20, 20,10.
Man bestimme ein Schätzintervall der Form $[a,\infty)$ für $\mu$ zum Niveau $0,99$.

Die Teststatistik in diesem Fall ist der $T$-Test

$$Y_n = \frac{\sqrt{n}\,(\bar x_n - \mu)} { \sqrt{s_n^2}} \sim... ...\rm\ mit \ } s_n^2= \frac{1}{n-1}\, \sum (x_i - \bar x)^2 \ .$$

Es ist

$$1-\alpha = P(Y_n \le t_{n-1,\,1-\alpha}) = P(\bar x_n-t_{n-1,\,1-\alpha}\ \frac{s_n}{\sqrt{n}} \le \mu )$$

Es ist somit das Intervall $[\bar x_n-t_{n-1,\,1-\alpha}\ \frac{s_n}{\sqrt{n}} \le \mu , \ \infty)$ gesucht. Um das einseitige Intervall zu berechnen, kann man den Trick anwenden, ein doppelt so großes zweiseitiges Intervall von 2% zu betrachten, was ja 1% auf jeder Seite bedeutet. SPSS ergibt 98% CI für den Mittelwert (19.9434;20.3266). Eine Tabelle für die $T$-Verteilung ergibt mit $n=10$ den kritischen Wert $t_{9;\,0.01}=2.821$ . Der Mittelwert der Daten ist 20.135, die Standardabweichung ist 0.2148, der Standardfehler also 0.0679. Die gesuchte linke Intervallgrenze ist also 20.135 - 2.821 $\sqrt{\frac{1}{10}}$0.2148 = 19.943 .

2.] Geben Sie folgendes Programm in SPSS ein .
MATRIX.
COMPUTE a={2,10,3,5;1,15,2,4;3,12,5,3;2,20,4,5}.
PRINT a.
COMPUTE c={1180;1001;1507;1574}.
Print c.
COMPUTE x=INV(a)*c.
PRINT x.
compute y=a*x.
Print y .
END MATRIX.
Was bewirkt das Programm? Kann man die Eigenwerte einer Matrix berechnen?

Das Programm bewirkt die Lösung eines linearen Gleichungssystems.
Mit einer symmetrischen Matrix $b$ kann man auch Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen:
MATRIX.
COMPUTE b={2,10,3,5;10,15,12,4;3,12,5,4;5,4,4,5}.
PRINT b.
CALL EIGEN(b,evec,ewerte) .
PRINT evec.
PRINT ewerte.
END MATRIX.

3.] Die Restlebenszeit $X$ einer Person sei eine Zufallsgröße. Es sei bekannt, daß

$$P(X\ge t) =1-\left(\frac{t}{100}\right)^{a}, \quad 0<t<100.$$

a) Berechnen Sie die Dichte und den Erwartungswert von $X$.
b) Konstruieren Sie mit Hilfe der Momentenmethode eine Schätzung für $a$.
c) Unter Verwendung der Verteilungsfunktion von $X$ kann man mit der Inversionsmethode Zufallszahlen erzeugen, die die Verteilung von $X$ simulieren. Bestimmen Sie damit mit SPSS die Schätzung

$$\hat{a}:=\frac{1}{100/\bar{X}-1}$$

für $a$ auf Grund einer Stichprobe vom Umfang $n=2001$.

a) Es ist

$$P(X\ge t) =1-P(X < t) \ {\rm\ \ also \ \ ist \ \ } F(x) = \left(\frac{x}{100}\right)^{a} ,$$

also die Dichte

$$f(x) = a \left(\frac{x}{100}\right)^{a-1} \, \frac{1}{100} .$$

Der Erwartungswert ist dann

$$E\,X = \int_0^{100} ( 1- \left(\frac{t}{100}\right)^{a} )dt ... ...right)^{a+1}\,100 \right\vert _0^{100} = 100\, \frac{a}{a+1} .$$

b) Verwendet man diese Resultat, kann man als Schätzung für $a$ die Gleichung herumdrehen:

$$\hat{a}:=\frac{1}{100/\bar{X}-1} \ .$$

c) Wir konstruieren eine Verteilung für $F(x)$. Sei z.B. $a=1/2$ gewählt. Zur Anwendung der Inversionsmethode bestimmen wir noch die Umkehrfunktion von $F(x)= \sqrt{x}\,/10$ zu

$$F^{-1}(u) = 100 u^2$$

Berechnet man für die gefragten 2001 Zufallswerte vorerst $U_i \sim U(0,1)$, d.h. gemäß einer Gleichverteilung, dann sind die Zahlen

$$x_i=F^{-1}(u_i)$$

die gesuchten Zufallszahlen mit der Verteilung $F$. Im SPSS-Test ergab sich bei n=100: $E\,X$=32.54, und bei n=2001: $E\,X$=32.5524 (statt des theoretischen 100/3), somit ist die Schätzung $\hat{a}=0.483$. Mittels eines Histogrammes kann man sich diese Werte veranschaulichen. Es sollte sich ein analoges Bild ergeben, wenn man $f(x)=1/(20\sqrt{x})$ direkt über einer Achse von (0,100) zeichnet.