Dr.Quapp: Statistik für Mathematiker mit SPSS

9. Übung - Kontingenztafel + Likelihood-Schätzer + Zufallszahlen erzeugen

1.

Die Verteilungsdichte eines 2-dimensionalen Zufallsvektor $(X,Y)$ ist folgendermaßen definiert:

$$\begin{array}{c\vert c\vert c\vert c}P(X=x, Y=y)&1&2&3\\ \hline 0&0,3&0,2&0,1\\ 1&0,2&0,1&0,1 \end{array}$$

a) Denken Sie sich eine Datentabelle in SPSS aus, die dieser Kontingenztafel entspricht. Bestimmen Sie die Randverteilungen von $X$ und $Y$.
b) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten von $X$ und $Y$.
c) Bestimmen Sie die Verteilung, die Erwartung und die Varianz von $2X+Y$.

2.

Erzeugen Sie in Form einer Tabelle zur hypergeometrischen Verteilung h(r,N,n,R) mit N=13 und n=6 die Wahrscheinlichkeitsdichten h(r$_i$,N,n,R$_j$) für r$_i$ aus dem Intervall [0,6] und R$_j$ aus dem Intervall [1,13]. Deuten Sie Zeilen und Spalten dieser Tabelle als Wahrscheinlichkeitsdichten bzw.als Likelihood-Funktion.

Überlegen Sie sich Konfidenzintervalle entsprechender Likelihood- Schätzer zum Niveau $\alpha$=0.1 .

3.

Zur Erzeugung gleichmäßig in $(0,1)-$verteilter Zufallszahlen benutzt man häufig lineare Kongruenzen: Zunächst werden Zufallszahlen über der Menge {0, 1, 2, ... ,m} gemäß $x_{n+1}= (a\,x_n)\: mod\: m$ erzeugt, wobei $a$ eine ganze Zahlen ist. Dann sind $u_n=x_n/m$ Zufallszahlen aus $(0,1)$. Erzeugen Sie mit dieser Vorschrift $200$ Zufallszahlen mit $a=2^{16}+3$ und $m=2^{31}$. Analysieren Sie die Daten durch Vergleich mit Zufallszahlen von SPSS. (Variieren Sie auch $a$ und $m$ ! )