Dr.Quapp: Statistik für Mathematiker mit SPSS

Lösungs-Hinweise 1. Übung
- Beschreibende Statistik & Verteilungsfunktion -

1. Die folgende Tabelle enthält die Pulsfrequenz einer Versuchsgruppe von 39 Personen:

88	76	84	64	60	64	60	64	68	74	68	68	72
76	72	52	72	64	60	56	72	88	80	76	64	72
60	76	88	72	64	60	60	72	92	80	72	64	68

a) Geben Sie eine Tabelle mit den absoluten und relativen Häufigkeiten an und bestimmen Sie statistische Maßzahlen wie Mittelwert, Median, Modalwert, Spannweite, sowie Streuungsmaße wie Varianz, St.Abweichung, Schiefe, Wölbung.

- Eintippen der Daten in einer Spalte des SPSS Datenfensters
auf Var0001 öffnet Fenster, welches Änderung des Variablennamens z.B. in puls gestattet.
öffnet Fenster,
welches die deskriptive Statistik ermöglicht. Schiebe puls in rechtes Fenster, und klicke an: Mittelwert, Median, Modalwert, Spannweite, sowie Streuungsmaße wie Varianz, St.Abweichung, Schiefe, Wölbung sind nun nur noch anzuklicken und das Befehlsfenster auszuführen.
Es ist der Erwartungswert

$$E\,x = \frac{1}{n} \sum_1^n x_i$$

und die Varianz ist die durchschnittliche quadrierte Abweichung vom Erwartungswert:

$$Var\,x = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_1^n (x_i - E x)^2$$

wobei aber SPSS nicht diesen Wert als Varianz berechnet, sondern die sogenannte empirische Varianz

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_1^n (x_i - E x)^2$$

Also kann $\sigma^2$=(n-1)/n$s^2$ berechnet werden.
Die Schiefe und Wölbung werden dann aus den höheren Momenten

$$\mu_k = E ( x - E x )^k$$

berechnet: (Wobei leicht zu sehen ist, daß $\mu_1=0$ und $\mu_2=\sigma^2$ ist.)

$$Schiefe= \mu_3 / (\sqrt{\mu_2})^3$$

wobei Schiefe$<$0 bedeutet, daß die Dichte linksschief ist im Vergleich zur Gaussfunktion mit gleichen Ex und Varx .

$$Woelbung = Exzentr.= Kurtosis= \mu_4 / (\sqrt{\mu_2})^3 -3$$

wobei Wölbung$<$0 bedeutet, daß die Dichte stumpfer ist als die Gaussfunktion mit gleichen Ex und Varx, und $>$0 bedeutet dann spitzer.

b) Zeichnen Sie Linien-, Balken-, Kreis- und Fächendiagramme.

Unter stehen die entsprechenden Befehle bereit. Beachten Sie, daß entweder Kategorien oder Einzelwerte über der x-Achse dargestellt werden sollten!
.

Zeichnen Sie das Histogramm: Unter stehen der entsprechende Befehle bereit. Selbstständig wird von SPSS eine Klasseneinteilung vorgenommen.
Soll diese geändert werden, so , und es erscheint neues Fenster:

Es erscheint neues Fenster, in dem der Benutzer mit dem Punkt weitergeführt wird: Die gewünschte Achseneinteilung kann eingestellt werden.

Bei einem etwas "nicht-normalverteiltem" Histogramm sollte man mehrere Varianten der Klasseneinteilung probieren!

c) Gruppieren Sie die Daten in 5 Klassen und zeichnen Sie erneut Histogramm, Linien-, Balken-, Kreis- und Fächendiagramme.

Zuerst muß eine Klassifizierungsvariable erstellt werden; dazu gibt es zwei Möglichkeiten:

ermöglicht unter Benutzung der eine selektive Besetzung einer Klassifizierungsvariablen.

ermöglicht die selektive Besetzung einer Klassifizierungsvariablen in einem Fenster: Variable puls ist ins mittlere Fenster zu schieben, und ein Name für die Ausgangsvariable zu wählen. Der Button ermöglicht die selektive Zuweisung von Werten zur Klassifizierungsvariablen. Nach einer Zuweisung darf nicht der Ausführungs-Befehl vergessen werden!

( Bemerkung: -$>$ Klick auf Transformieren -$>$ Klick auf Variable kategorisieren
ermöglicht die automatische Besetzung einer Variablen, die Percentile ergibt, also Klassen etwa gleich vieler Werte. Dies ist hier nicht gemeint. )

Unter kann ein neues Datenfile erzeugt werden, das dann die gruppierten Daten beschreibt. Man schiebt dazu die Klassifizierungsvariable in die Zeile der Break-Variablen, sowie Variable puls ins Klassifizierungsfenster, und klickt an daß die Fallzahl je Break-Gruppe gespeichert werden soll, und daß eine neue Datei erzeugt werden soll. Voreingestellt heißt diese Datei AGGR.sav, der Name kann in einem Fenster geändert werden. (Eine Labelvariable kann extra zur Beschreibung der Klassifizierungsvariablen verwendet werden. Diese erscheint dann z.B. in Grafiken.)

d) Bestimmen Sie für die Ausgangsdaten die empirische Verteilung und zeichnen Sie diese in einem Koordinatensystem.

Die Tabelle mit den relativen Häufigkeiten $r_i$ ist zu verstehen als die diskrete Dichte der Wahrscheinlichkeiten des Auftretens entsprechender Ausprägungen der Puls-Variable X (der Kategorie).

$$P(X = x_i) = r_i$$

Die kumulative Summe dieser relativen Häufigkeiten ist dann die empirische Verteilungsfunktion:

$$empVert(x_j) = \sum_{i=1}^{j} r_i = P(X \le x_j)$$

Wir erzeugen nun diese $r_i$:

ermöglicht das Sortieren von puls z.B. aufsteigend (ist voreingestellt). Wir berechnen noch eine Hilfsvariable Hilfe=1/39. Mit

,
und Variable Hilfe in oberes rechtes Fenster schieben: Dies ergibt eine neue Variable, in der die 1/39-Werte nun kumulativ aufaddiert sind. Dies ist die empirische Verteilungsfunktion.
Mit kann die empirische Verteilungsfunktion dargestellt werden, wobei die x-Achse die Kategorie des Pulses sein sollte! Als Ordinate soll die berechnete empirische Verteilung dienen. Dies muß im Fenster als spezielle Funktion eingestellt werden.

2. Die Zufallsvariable X sei die Augenzahl eines ausgespielten Würfels mit den möglichen Realisationen der Augen zu { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }. Der Würfel sei "ehrlich", d.h. es gelte $P(X=k) = 1/6, \ \ k=0,...,5$.
Die Zufallsvariable Y sei das Resultat von fünf Münzwürfen, wobei jeweils die "Zahl" gezählt werde. Offenbar hat Y die gleichen Realisationen. Man gehe davon aus, daß Y binomialverteilt ist mit p=1/2, also

$$P(Y=k)= {5 \choose k}\ \frac{1}{2^5}, \ \ k=0,...,5.$$

Vergleichen Sie die Dichten graphisch.

- Eintippen der Daten: Realisierung, P(X=k), und P(Y=k) in je einer Spalte des SPSS Datenfensters
auf Var0001, Var0002 oder Var0003 öffnet je ein Fenster, welches Änderung des Variablennamens z.B. in real, px, py gestattet. Dabei kann beim Eintippen px=1, und py={1,5,10,10,5,1} gesetzt werden, und in
kann dann px/6 bzw. py/32 berechnet werden.
Unter und können beide Dichten gleichzeitig gezeigt werden.

Berechnen Sie Mittelwert und Streuung für X und für Y. (Stimmt die 3$\sigma$-Regel?)

Es ist der Erwartungswert von X

$$E\,x = \frac{1}{6} (0+1+2+3+4+5) = 2,5$$

und die Varianz

$$Var\,x = \sigma_x^2 = \sum_{i=1}^n p_{x_i} (x_i - E x)^2 =... ...{6} ( 2,5^2 + 1,5^2 + 0,5^2 + 0,5^2 + 1,5^2 + 2,5^2 ) = 2,92$$

und der Erwartungswert von Y

$$E\,y = \frac{1}{32}( 1 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 10 \cdot 2 + 10\cdot 3 + 5 \cdot 4 + 1 \cdot 5 ) = 2,5$$

und die Varianz

$$Var\,y = \sum_{i=1}^n p_{y_i} (y_i - E y)^2 = \frac{1}{32}... ...cdot 0,5^2 + 10 \cdot 0,5^2 + 5 \cdot 1,5^2 + 1 \cdot 2,5^2 )$$

also

$$Var\,y = \sigma_y^2 = 1,25$$

Dann ist $\sigma_x$= 1,71 und $\sigma_y$= 1,12 . Je 1$\sigma$ vom Erwartungswert entfernt liegen bei der Gleichverteilung des Würfels 2/3 der Werte, und bei der Binomialverteilung von fünf Münzwürfen 20/32 der Werte. Je 2$\sigma$ vom Erwartungswert entfernt liegen bei X schon alle Werte, bei Y dann 30/32 der Werte, und im Intervall 3$\sigma$ liegen auch bei Y alle Werte. Die 3$\sigma$-Regel stimmt also in guter Näherung.

Nimmt man für X je 6 Versuche an, und für Y je 32 Versuche, so kann man mittels SPSS mit Gewichten arbeiten. Vergleichen Sie so berechnete Mittelwerte und Streuungen.

Mit öffnet sich Fenster, welches die deskriptive Statistik ermöglicht. Schiebe Variable real in rechtes Fenster, und klicke an: jetzt nur Mittelwert und Varianz anklicken.
Das Resultat ist Ex = Mittelwert$_x$ =2,5 , aber unter Varianz erscheint der Wert 3,5. !??!
Da wir hier direkt mit 6 Werten der Realisierung arbeiten, ist n=6 die Zahl der bearbeiteten Fälle, und SPSS gibt $s_x^2$ aus, d.h. um $\sigma_x^2$ zu erhalten, müssen wir mit 5/6 multiplizieren: das ergibt das schon bekannte Resultat von 2,92 .
Für Y erzeugen wir eine neue Spalte mit "Gewichten", die größer als Eins sein sollen. Also kann die Spalte py mit 32 multipliziert werden. Unter und
kann nun diese Variable als Gewicht für weitere Berechnungen verwendet werden. Dabei wird so verfahren, als ob jeder Wert der Realisierung so oft auftritt, wie sein Gewicht angibt. (Man könnte also auch 32 Zeilen erzeugen, mit den entsprechenden Werten von real: einmal 0, fünfmal 1, usw.)
Mit den analogen Befehlen
schiebe wieder Variable real in rechtes Fenster, und klicke an: Mittelwert und Varianz anklicken. Dies gibt dann das Resultat Ey = Mittelwert$_y$ =2,5 , also gleich dem von X, aber unter Varianz erscheint nun der Wert 1,29 !
Da wir nun mit 32 Werten als Summe der Gewichte der Realisierung arbeiten, ist n=32 die Zahl der bearbeiteten Fälle, und SPSS gibt $s_y^2$ aus, d.h. um $\sigma_y^2$ zu erhalten, müssen wir mit 31/32 multiplizieren: dies gibt das schon bekannte Resultat von 1.25 .

Also

(Anhang:
Die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung ist in SPSS verfügbar:
und im Fenster Funktionen auswählen . Dabei ist hier q der Wert der Realisierung, n der Exponent der Binomialformel, also n=5, und p die Wahrscheinlichkeit des einzelnen Bernoulliversuches, also hier p=0.5. Im der Berechnungszeile muß dann letztlich stehen: CDF.BINOM(real,5,0.5) . (CDF bedeutet cumulative density function) )