Dr.Quapp: Statistik für Mathematiker mit SPSS

1. Übung - Beschreibende Statistik & Verteilungsfunktion

1. Die folgende Tabelle enthält die Pulsfrequenz einer Versuchsgruppe von 39 Personen:


88 76 84 64 60 64 60 64 68 74 68 68 72
76 72 52 72 64 60 56 72 88 80 76 64 72
60 76 88 72 64 60 60 72 92 80 72 64 68

a) Geben Sie eine Tabelle mit den absoluten und relativen Häufigkeiten an und bestimmen Sie statistische Maßzahlen wie Mittelwert, Median, Modalwert, Spannweite, sowie Streuungsmaße wie Varianz, St.Abweichung, Schiefe, Wölbung.
b) Zeichnen Sie Histogramm, Linien-, Balken-, Kreis- und Fächendiagramme.
c) Gruppieren Sie die Daten in 5 Klassen und zeichnen Sie erneut Histogramm, Linien-, Balken-, Kreis- und Fächendiagramme.
d) Bestimmen Sie für die Ausgangsdaten die empirische Verteilung und zeichnen Sie diese in einem Koordinatensystem.

2. Die Zufallsvariable X sei die Augenzahl eines ausgespielten Würfels mit den möglichen Realisationen der Augen zu { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }. Der Würfel sei "ehrlich", d.h. es gelte $ P(X=k) = 1/6, \ \ k=0,...,5$.
Die Zufallsvariable Y sei das Resultat von fünf Münzwürfen, wobei jeweils die "Zahl" gezählt werde. Offenbar hat Y die gleichen Realisationen. Man gehe davon aus, daß Y binomialverteilt ist mit p=1/2, also

\begin{displaymath} P(Y=k)= {5 \choose k}\ \frac{1}{2^5}, \ \ k=0,...,5. \end{displaymath}

Vergleichen Sie die Dichten graphisch.
Berechnen Sie Mittelwert und Streuung für X und für Y. (Stimmt die 3$\sigma$-Regel?)
Hinweis: nimmt man für X je 6 Versuche an, und für Y je 32 Versuche, so kann man mittels SPSS mit Gewichten arbeiten. Vergleichen Sie so berechnete Mittelwerte und Streuungen.

3. Gegeben sei die Dichte $f(x)$ einer Zufallsvariablen X

\begin{displaymath}f(x)= \left\{ \begin{array}{cc} -0.006 \ x^2 + 0.06 \ x \ , ... ...e 10 \\ 0 \quad \quad & {\rm sonst } \ . \end{array} \right. \end{displaymath}

a) Stellen Sie $f(x)$ und die Verteilungsfunktion $F(x)$ mittels SPSS graphisch dar.
Hinweis: Die Achsenvariable $x \in $[0.1,9.9] sei durch z.B. 99 "Fälle" equidistant representiert: Setze x=$casenum/10 im Fenster Transformieren. ($casenum ist eine Systemvariable.)

b) Berechnen Sie Erwartungswert $E(x)$ und Varianz $Var(x)$ direkt, als auch mit SPSS.
Die Integrale sind durch Untersummen anzupassen.
(Hinweis: Multipliziert man künstlich $f(x)$ z.B. mit 1000, so kann man auch wieder mit Gewichten arbeiten.)

Dr.Wolfgang Quapp 2004-10-07