33.

Wenn $p(x)= a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ ist, mit reellen Zahlen $a_i$, dann operiert die gegebene lineare Abbildung folgendermassen:
$T( p(x))= a_2 (3x-5)^2 + a_1 (3x-5) + a_0$. Das ist wieder ein Polynom in $P_2$. Setzt man die gegebenen Basisvektoren in T ein, erhält man: $T(1)=1, T(x) = (3x-5), T(x^2)= (3x-5)^2= 9 x^2 -30 x + 25$. Ordnet man $P_2$ isomorph folgende Basisvektoren im $I\!\!R^3$ zu,

$1 \rightarrow \left( \begin{array}{c} 1\\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right), \ ... ... x^2 \rightarrow \left( \begin{array}{c} 0\\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right),$ dann werden diese entsprechen abgebildet zu:
$T \left( \begin{array}{c} 1\\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) = \left( \begin... ...ay} \right) = \left( \begin{array}{r} 25\\ -30 \\ 9 \\ \end{array} \right).$

Also ist die Transformationsmatrix als Spalten-Matrix der Bilder der kanonischen Einheitsvektoren
$T = \left( \begin{array}{crr} 1 & -5 & 25 \\ 0 & 3 & -30 \\ 0 & 0 & 9 \end{array} \right) \ .$