31.

Sei $T \, \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ und $T \, \left( \begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ \end{array} \right)$. Ist $T= \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right)$, so ist dies ein Gleichungssystem mit 4 Variablen, den Elementen in $T$, und 4 Gleichungen. Man erhält als Lösung: $T= \displaystyle\frac{1}{3} \left( \begin{array}{cc} 1/2 & 2 \\ 2 & -1 \\ \end{array} \right)$.
Eine neue Basis kann man als Matrix darstellen, indem man die Vektoren als Spalten der Matrix schreibt: $B= \left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 4 & -1 \\ \end{array} \right)$. Dann ist $B^{-1}= \left( \begin{array}{cc} -1/2 & 1/2 \\ -2 & 1 \\ \end{array}\right)$.

Eine lineare Abbildung $T\, x = w$ in der Originalbasis transformiert sich nun zu

$$B B^{-1} T\, B B^{-1} x = B B^{-1} w = B ( B^{-1} T B ) ( B^{-1} x ) = B ( B^{-1} w ) .$$

Setzt man in Symbolen: $B^{-1} x = x_B$, $B^{-1} w = w_B$ für die Koordinaten in der neuen Basis, und $B^{-1} T B = T_B$, dann ist

$$T_B = \left( \begin{array}{cc} -1/2 & 1/2 \\ -2 & 1 \\ \end{arr... ...= \left( \begin{array}{cc} -3/2 & 1/4 \\ -6 & 4/3 \\ \end{array} \right) \ ,$$

und es ist $B\, w_B =B\, T_B x_B$ , also $w_B = T_B x_B$ .