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Sei Matrix $A=( a_{ij} )$, dann ist $A^T = ( a_{ji} )$. Der erste Index zählt die Zeilen, der 2.Index die Spalten.
Setze $B = \left( b_{ij} \right) = \left( \frac{1}{2}(a_{ij} + a_{ji}) \right)$ und $D = \left( d_{ij} \right) = \left( \frac{1}{2}(a_{ij} - a_{ji}) \right)$

Behauptung: $B$ ist symmetrisch und $D$ ist schiefsymmetrisch.

Beweis:
$B^T = \left( b_{ji} \right) = \left( \frac{1}{2}(a_{ji} + a_{ij}) \right) = \left( \frac{1}{2}(a_{ij} + a_{ji}) \right) = B$ und
$D^T = \left( d_{ji} \right) = \left( \frac{1}{2}(a_{ji} - a_{ij}) \right) = \left( - \frac{1}{2}(a_{ij} - a_{ji}) \right) = -D$.
Also ist jede quadratische Metrix darstellbar:
$A = \frac{1}{2} ( A + A^T ) + \frac{1}{2} ( A - A^T ) \ .$