28.

(a) Es ist $$A^2= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2a & 1 \\ \end{ar... ...t( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 3a & 1 \\ \end{array}\right)$$, und es besteht die Vermutung: $A^n= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ na & 1 \\ \end{array} \right) .$ Der Beweis erfolgt über vollständige Induktion:
Ind.-Anfang: Die Vermutung ist richtig für $n=1$ (und $n=2$, und $n=3$).
Ind.-Voraussetzung: Die Vermutung ist richtig für $n=k$: $$A^k= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ ka & 1 \\ \end{array}\right) .$$
Ind.-Behauptung: Die Vermutung ist richtig für $n=k+1$: $$A^{k+1}= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ (k+1)a & 1 \\ \end{array}\right) .$$
Ind.-Beweis: Es ist $$A^{k+1}= A^k \, A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ ka ... ...gin{array}{cc} 1 & 0 \\ (k+1)a & 1 \\ \end{array}\right) .$$ - Fertig -

(b) Es ist $$A \, B = \left( \begin{array}{rcr} -3 & 1 & -2\\ -1 & 4 & -3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{array} \right)$$ und $$B \, A = \left( \begin{array}{rrc} 4 & 6 & 1\\ -2 & -4 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \\ \end{array} \right)$$. Also gilt $A \, B \ne B \, A$.