27.

(a) Sei $T_1$ : $P_n \rightarrow P_{n+1}$ eine Abbildung vermittels $T_1(p(x))= x\,p(x)$, wenn $p(x) \in P_n$.
Behauptung: $T_1$ ist lineare Abbildung.
Seien $p_1, p_2 \in P_n$ beliebige Polynome, dann ist $T_1(p_1(x) +p_2(x) )= x\,(p_1(x)+p_2(x)) = x\,p_1(x)+ x\,p_2(x) = T_1(p_1(x)) +T_1(p_2(x))$, und mit $\lambda \in I\!\!R$ ist
$T_1(\lambda p_1(x) )= x\,(\lambda p_1(x)) = x\, \lambda p_1(x) = \lambda T_1(p_1(x))$. Also ist $T_1$ linear.
$T_1$ ist keine surjektive Abbildung, weil im Bild keine Konstanten vorkommen.

(b) Sei $T_2$ : $P_n \rightarrow P_{n}$ eine Abbildung vermittels $T_2(p(x))= p(ax+b)$, wenn $p(x) \in P_n$ und $a, b \in I\!\!R$.
Behauptung: $T_2$ ist lineare Abbildung.
Seien $p_1, p_2 \in P_n$ beliebige Polynome mit $p(x)= \sum_{i=0}^n a_i x^i$, und $q(x)= \sum_{i=0}^n b_i x^i$. Dann ist $T_2(p(x)) = \sum_{i=0}^n (a_i) (ax+b)^i \in P_n$. Für die Addition gilt: Dann ist $T_2(p+q) = \sum_{i=0}^n (a_i+b_i) (ax+b)^i = T_2(p) +T_2(q)$ und für die Multiplikation mit einem Skalar: $T_2(\lambda p) = \sum_{i=0}^n (\lambda a_i) (ax+b)^i = \lambda T_2(p)$. Also ist $T_2$ linear.