26.

Verwende: Eine lineare Abbildung $f$ ist genau dann injektiv, wenn $Kern f= \{ \vec{0} \}$ ist.
(i) Wären die Bildvektoren in $W$ linear abhängig, mit Zahlen $\lambda_i \ne 0$ wäre dann also

$$\lambda_1 f( \vec{v}_1 )+ f( \lambda_2 \vec{v}_2)+ ... + f(\lambda_n \vec{v}_n) = \vec{0}. \quad \quad \quad \quad (*)$$

Wegen der Linearität von $f$ wäre dann f( $\lambda_1 \vec{v}_1+\lambda_2 \vec{v}_2+ ...+\lambda_n \vec{v}_n ) = \vec{0}$. Da die $\vec{v}_i$ eine Basis von $V$ sind, ist das Argument in der Abbildung nicht der Nullvektor, folglich hätte $f$ einen Kern ungleich 0, was ein Widerspruch ist.
(ii) Sei $f$ injektiv, d.h. $Kern f= \{ \vec{0} \}$. Sei wieder (*) als Aufgabe gestellt. Da nur $f( \vec{0} )= \{ \vec{0} \}$ eindeutig gilt, und aus $\lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2+ ... + \lambda_n \vec{v}_n = \vec{0}$ folgt, dass alle $\lambda_i=0$ sind, überträgt sich diese Gleichung auch auf (*), also sind die $f( \vec{v}_i )$ auch linear unabhängig.