23. (Vertiefte Version)

Seien $\vec{u}_1, \vec{u}_2 \in U$ beliebige Vektoren.
Nach Behauptung gilt für alle $\vec{u}_1, \vec{u}_2 \in U$ die Eigenschaft: $\vec{u}_1 - \vec{u}_2 \in U$. Es ist somit, wenn man zweimal $\vec{u}_2$ einsetzt: $\vec{u}_2 - \vec{u}_2 = \vec{0} \in U$, und wenn man diesen Nullvektor einsetzt, ergibt sich: $\vec{0} - \vec{u}_2 = -\vec{u}_2 \in U$. Also gilt auch $\vec{u}_1 - (-\vec{u}_2) = \vec{u}_1 +\vec{u}_2\in U$. Das ist die bisher bekannte 2.Bedingung für die Untervektorraum-Eigenschaft. Diese ist somit gezeigt.
(Man braucht nicht vorauszusetzen, dass $-1 \in I\!\!K$ ist.)