21.b)

Es gelte $Dim(V)=n$, und $Dim(U_1)=p$, mit $p<n$.
Dann gibt es $p$ linear unabhängige Basisvektoren von U$_1$. Diese können auch als Teil der Basis von $V$ dienen. Dann fehlen aber noch $n-p$ Basis-Vektoren in $V$. Diese können nach dem Basisergänzungssatz so gefunden werden, dass sie nicht in U$_1$ sind:
Wähle Basis $\{ \vec{u}_1, \vec{u}_2, .. , \vec{u}_p\} \in U_1$ und $\{ \vec{v}_{p+1}, \vec{v}_{p+2}, .. , \vec{v}_n\} \in V$, aber $\vec{v}_{k} \notin U_1$. D.h., die $\vec{v}_k$ sind linear unabhängig von den $\vec{u}_i$.
Setze $U_2=L(\vec{v}_{p+1},\vec{v}_{p+2}, .. , \vec{v}_n )$ die lineare Hülle aller $\vec{v}_k$. Aus der Konstruktion folgt, dass $U_2$ Untervektorraum von V ist, und seine Dimension ist gleich der Anzahl der $\vec{v}_k$, nämlich $n-p$. Da galt $\vec{v}_k \notin U_1$, ist der Durchschnitt $U_1 \cap U_2=\{ \vec{0} \}$, und per Konstruktion ist die direkte Summe $U_1 + U_2$=V, weil eben $\{ \vec{u}_1, \vec{u}_2, .. , \vec{u}_p, \vec{v}_{p+1}, \vec{v}_{p+2}, .. , \vec{v}_n\}$ die Basis von V ist.