19.

Damit vier Vektoren als linear unabhängig gelten können, dürfen sie in folgender Vektorgleichung nur die Null-Lösung zulassen:

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{c}
1\\
2\\
3\\
4\\
\end{array}\right)
\alpha \end{displaymath} + \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{c}
2\\
0\\
1\\
-1\\
\end{array}\right)
\beta \end{displaymath} + \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{c}
-1\\
0\\
0\\
1\\
\end{array}\right)
\gamma \end{displaymath} + \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{c}
0\\
2\\
3\\
0\\
\end{array}\right)
\delta \end{displaymath} = \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{c}
0\\
0\\
0\\
0\\
\end{array}\right)
\end{displaymath}

Dies ist ein homogenes Gleichungssystem:

I: $ \alpha$ 1 + $ \beta$ 2 + $ \gamma$ (-1) + $ \delta$ 0 = 0
II: $ \alpha$ 2 + $ \beta$ 0 + $ \gamma$ 0 + $ \delta$ 2 = 0
III: $ \alpha$ 3 + $ \beta$ 1 + $ \gamma$ 0 + $ \delta$ 3 = 0
IV: $ \alpha$ 4 + $ \beta$ (-1) + $ \gamma$ 1 + $ \delta$ 0 = 0

aus II folgt: $ \alpha = -\delta$,
in III folgt: -3 $ \delta + \beta +3\delta =0$ , also $ \beta =0$ .
Damit folgt aus I: $ \alpha = \gamma$ . Und noch aus IV: $ 5 \gamma =0$, also auch $ \alpha =0$ und $ \delta = 0$. Folglich sind die vier Vektoren linear unabhängig.


Dr.Wolfgang Quapp 2002-11-26