15.

$P_m$ sei die Menge der Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grad $\preceq m$. Elemente $p$, $q$ und $r$ aus $P_m$ sind $p=\sum_{i=0}^{k} a_i*x^i$, $q=\sum_{i=0}^{l} b_i*x^i$, und $r=\sum_{i=0}^{n} c_i*x^i$, mit $k,l,n \preceq m$. Dabei sind $k,l,n$ natürliche Zahlen, und $a_i, b_i, c_i \in R$. Auch $x$ kann man sich in $R$ vorstellen.
Die Addition + ist definiert durch:
+: $P_m \times P_m \rightarrow P_m$, $(p,q) \rightarrow p+q:=\sum_{i=0}^{m} (a_i+b_i)*x^i$, und die Multiplikation * eines Polynoms $p$ mit einer reellen Zahl $\lambda$ ist definiert durch:
*: $R \times P_m \rightarrow P_m$, $(\lambda , p) \rightarrow \lambda *p:=\sum_{i=0}^{m} (\lambda *a_i)*x^i$.
Zu zeigen ist, dass $(P_m,+,*)$ ein Vektorraum ist. Mit den genannten Definitionen ist klar, dass $p+q$ und $\lambda *p$ Elemente von $P_m$ sind, denn durch beide Operationen erhöht sich der Grad des Polynomes nicht. Dadurch ist die Erfüllung der Axiome begründet:

(1)

$(p+q)+r= \sum_{i=0}^{max(k,l)} (a_i +b_i)*x^i + \sum_{i=0}^{n} c_i*x^i$
$= \sum_{i=0}^{k} a_i*x^i + \sum_{i=0}^{max(l,n)} (b_i +c_i)*x^i = p+(q+r)$,
gilt für alle $p,q,r \in P_m$, da die Assoziativität für die reellen Koeffizienten gilt. (Dabei ist etwa $a_i=0$ zu setzen, wenn $i > k$ ist.)

(2)

$p+q= \sum_{i=0}^{max(k,l)} (a_i +b_i)*x^i$ $= \sum_{i=0}^{max(k,l)} (b_i +a_i)*x^i = q+p$ ,
gilt für alle $p,q \in P_m$, da die Kommutativität für die reellen Koeffizienten gilt.

(3)

O ist der Nullvektor in $P_m$, bei dem alle $a_i=0$ sind.
$p+{\bf O}= \sum_{i=0}^{k} (a_i + 0)*x^i = p$, gilt für alle $p \in P_m$.

(4)

Zu jedem $p=\sum_{i=0}^{k} a_i*x^i \in P_m$ gibt es ein $-p=\sum_{i=0}^{k} (-a_i)*x^i \in P_m$ mit $p+ -p= \sum_{i=0}^{k} (a_i + -a_i)*x^i ={\bf O}$.

(5)

Wenn $\lambda , \mu \in R$, dann ist
$\lambda (\mu p) = \lambda \sum_{i=0}^{k} (\mu a_i)*x^i = \lambda \mu \sum_{i=0}^{k} a_i*x^i = ( \lambda \mu ) p$, gilt für alle $p \in P_m$.

(6)

Die Eins $1\in R$ ergibt $1*p=1*\sum_{i=0}^{k} a_i*x^i=\sum_{i=0}^{k} (a_i*1)*x^i= \sum_{i=0}^{k} a_i*x^i=p$.

(7)

Wenn $\lambda \in R$ ist, gilt
$\lambda ( p + q) = \lambda \sum_{i=0}^{max(k,l)} ( a_i +b_i)*x^i = \sum_{i=0}^{max(k,l)} (\lambda a_i +\lambda b_i)*x^i$
$= \sum_{i=0}^{k} \lambda a_i*x^i + \sum_{i=0}^{l} \lambda b_i*x^i = \lambda p + \lambda q$, für alle $p,q \in P_m$.

(8)

Wenn $\lambda , \mu \in R$, dann ist
$(\lambda + \mu ) p = (\lambda +\mu ) \sum_{i=0}^{k} a_i*x^i = \sum_{i=0}^{k} \lambda a_i*x^i + \sum_{i=0}^{k} \mu a_i*x^i = \lambda p + \mu p$ für alle $p \in P_m$.

Damit ist gezeigt, dass $(P_m,+,*)$ ein Vektorraum ist.