13.

a)

$U$ ist Untervektorraum.
Begründung: Wähle Darstellung der Elemente von $U$ mit Parametern $t,s$: $\vec{x}=t (1,1,...,1)$, $\vec{y}=s (1,1,...,1)$, $t,s \in R$. Dann ist $\vec{x}+\vec{y}=(t+s) (1,1,...,1) \in U$, und mit $\lambda \in R$ ist auch $\lambda \vec{x}=(\lambda t) (1,1,...,1) \in U$, u.s.w.. Alle Untervektorraumaxiome sind erfüllt.

b)

$U$ ist kein Untervektorraum.
Begründung: Eine Linearkombination gewisser Elemente führt heraus.
Wähle Darstellung der Elemente von $U$ mit Parametern $t,s$:
$\vec{x}= (0,0,x_3,...,x_n)+ t (1,1,0,...,0)$,
$\vec{y}= (0,0,x_3,...,x_n)+ s (1,-1,0,...,0)$, $t,s \in R$ als auch $x_3,...,x_n \in R$, beliebige Zahlen. Für beliebige $t$ liegen alle $\vec{x}$ in $U$, und für beliebige $s$ liegen alle $\vec{y}$ in $U$.
Aber $\vec{x}+\vec{y}=(0,0,x_3,...,x_n)+ (t+s,t-s,0,...,0)$ sind für $t\ne 0, s \ne 0$ nicht in $U$.

c)

$U$ ist kein Untervektorraum, weil kein Nullvektor vorhanden ist.