7.

(1)

Wenn $X\cup Y$ eine endliche Menge ist, so müssen auch $X,Y$ endliche Mengen sein: $\{x\vert x\in X$ oder $x\in Y$} .
Wenn $X$ und/oder $Y$ unendlich wären, so wäre auch $X\cup Y$ unendlich, weil bei der Vereinigung höchstens noch etwas hinzu kommt.
Oder betrachte Anzahl der Elemente:
$X \subset X\cup Y$ und $Y \subset X\cup Y$, also ist $\vert X\vert \leq \vert X\cup Y\vert$ und $\vert Y\vert \leq \vert X\cup Y\vert$ .

(2)

$X\cap Y$ ist endlich, wenn $X$ und $Y$ endlich sind. $X\cap Y$ kann aber auch endlich sein, wenn eine oder beide Mengen unendlich ist:
$X\cap Y = \{x\vert x\in X$ und $x\in Y \}$ .
Bsp.: $X=\{-4,-2,2,4\}$, $Y={\mit I\!\!N}{ }$, und $X\cap Y=\{2,4\}$.
Für die Anzahl gilt nicht die Umkehrung obiger Relation, da $X\cap Y \subset X$ und $X\cap Y \subset Y$ ist, können wenn $\vert X\cap Y\vert$ endlich ist, doch $\vert X\vert$ oder $\vert Y\vert$ selbst unendlich sein.