Prof. M. Schwarz  Maß- und Integrationstheorie  WS 2009/10

Serie 7

1. Finde ω ∈ Ω^{3}(ℝ^{4} \ {0}) mit dω = 0, so daß es kein α ∈ Ω^{2}(ℝ^{4} \ {0}) gibt, mit dα = ω. 4 Pkte.

2. a) Berechne ∫_{F} ω für

F = \{ (x, y, z) | (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − R)^{2} + z^{2} = r^{2} \}

und ω = xdy ∧ dz − z^{2}dx ∧ dz. 2 Pkte.

b) Gibt es einen C^{∞}-Diffeomorphismus φ: ℝ^{3} → ℝ^{3} so dass für ω_{o} = dx_{1} ∧ dx_{2} + dx_{3} ∧ dx_{4} ∈ Ω^{2}(ℝ^{4}) und Σ = φ(F) × {0} mit F aus a) gilt: ∫_{Σ} ω_{o} > 0? 2 Pkte. Hinweis: Zeige

∫_{Σ} ω_{o} = ∫_{F} φ^{∗}(dx_{1} ∧ dx_{2}) .

3. a) Es sei E^{n} ⊂ ℝ^{n} der abgeschlossene Einheitsball und ∂E^{n} = S^{n−1}. Es sei h: E^{n} → S^{n−1} eine C^{∞}-Abbildung. Zeige: Dann kann nicht h_{|S^{n−1}} = id gelten. Hinweis: Berechne ∫_{∂E^{n}} h^{∗}ω für die (n − 1)-Form ω = x_{1}dx_{2} ∧ … ∧ dx_{n} + … + (−1)^{n−1}x_{n}dx_{1} ∧ … ∧ dx_{n−1}. 2 PKte.

b) Zeige: Es gibt keine glatte Abbildung f: E^{n} → E^{n} ohne einen Fixpunkt x ∈ E^{n} mit f(x) = x. Hinweis: Zeige, falls doch, so könnte man ein h wie in a) konstruieren mit h_{|S^{n−1}} = id. 2 Pkte.

4. Es seien 0 < r < R. Betrachte die Kurven

γ_{1}(t) = (R + r cos 2πt, 0, r sin 2πt),
γ_{2}(t) = ((R − r) cos 2πt, (R − r) sin 2πt, 0) .

a) Es sei U ⊂ ℝ^{3} die offene Teilmenge

U = \{ (x, y, z) | (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − R)^{2} + z^{2} ∈ ((r − ε)^{2}, (r + ε)^{2}) \}

für 0 < ε < \frac{r}{2}. Finde 1-Formen α_{1}, α_{2} ∈ Ω^{1}(U) mit dα_{1} = dα_{2} = 0 und

∫_{γ_{i}} α_{i} = δ_{ij}, i, j = 1, 2 .

2 Pkte.

b) Berechne für α_{1}, α_{2} aus Aufgabe 1.a)

∫_{F} α_{1} ∧ α_{2}

für F = \{ (x, y, z) | (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − R)^{2} + z^{2} = r^{2} \}. 2 Pkte.

c) optional Warum hängt das Integral ∫_{F} α_{1} ∧ α_{2} nicht von der konkreten Wahl von α_{1} und α_{2} ab? 2 Pkte.

Rückgabe: In den Kasten am 01.12.