Prof. M. Schwarz  Maß- und Integrationstheorie  WS 2009/10

Serie 10

1. Es sei (X, A) ein Raum mit σ-Algebra, und B_{n} ⊂ P(ℝ^{n}) die Borel-σ-Algebra zur Dimension n ∈ ℕ.

a) Zeige: Eine Abbildung f = (f^{1}, …, f^{n}): X → ℝ^{n} ist A − B_{n}-messbar genau dann, wenn alle f^{i}: X → ℝ A − B_{1}-messbar sind, i = 1, …, n. 3 Punkte

b) Es sei f: X → ℝ^{n} messbar und ϕ: ℝ^{n} → ℝ stetig. Zeige: Dann ist ϕ ∘ f: X → ℝ messbar. Folgere daraus, daß für je zwei messbare Funktionen f, g: X → ℝ auch f ± g, f · g messbar sind. 1 Pkt.

c) Zeige, daß auch max(f, g): X → ℝ messbar ist. 1 Pkt.

2. Zeige, daß folgende Funktionen Lebesgue-integrabel sind und berechne ihr Lebesgue-Integral direkt aus der Definition ∫_{X} f dμ = ∫_{0}^{∞} μ({ x ∈ X | f(x) > t }) dt:

a) f(x) = \sqrt{1 − x^{2}} auf [−1, 1]. 2 Pkte.

b) f(x) = \frac{1}{1+x^{2}} auf ℝ. 2 Pkte.

c) f(x) = 1_{[0,1]\ℚ} auf ℝ. 1 Pkt.

3. Seien X = ℕ, A = P(ℕ) und μ sei das Zählmaß und f(n) = q^{−n} mit q > 1 fest. Zeige explizit gemäß der obigen Definition des Integrals ∫_{X} f dμ = ∫_{0}^{∞} μ({ x ∈ X | f(x) > t }) dt, daß

∫_{ℕ} f(n) dμ(n) = log q ∫_{0}^{∞}[s]q^{−s}ds = ∑_{n∈ℕ} q^{−n} .

3 Pkte.

4. Es sei C = \{ ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{3^{n}} | a_{n} ∈ \{0, 2\} f.a. n ∈ ℕ \} ⊂ [0, 1] die sogenannte Cantor-Menge.

a) Zeige: C ist kompakt, überabzählbar, hat keine innere Punkte, und ist eine Lebesgue-Nullmenge.3 Pkte.

b) optional: Welche Hausdorff-Dimension hat C? 4 Pkte.

Bitten wenden!

5. zusätzliche Übungsklausuraufgabe, hier insgesamt 2 Pkte.:

a) Berechnen Sie das 4-dimensionale Volumen des Balles B^{4}(r) = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ ℝ^{4} | x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} ≤ 1, } .

b) Es sei im Folgenden v_{n}(r) das n-dimensionale Volumen des n-dimensionalen Balles vom Radius r > 0, n ∈ ℕ. Begründen Sie, warum es eine Konstante c_{n} > 0 gibt, die nur von der Dimension n abhängt, so daß

v_{n}(r) = c_{n}r^{n} für alle r > 0, n ∈ ℕ .

c) Zeigen Sie

c_{n} = \frac{2π}{n} · c_{n−2} für alle n ≥ 2,

mit c_{0} := 1. (Hinweis: Man berechne zuerst f_{n} mit c_{n} = f_{n}c_{n−1} f.a. n.)

6. zusätzliche Übungsklausuraufgabe, hier insgesamt 2 Pkte.: Sei eine geschlossene Kurve γ: [0, a] →

ℝ^{2} ohne Selbstschnittpunkte in der oberen Halbebene in der Form

γ(u) = (f(u), g(u)), g(u) > 0, (f′)^{2} + (g′)^{2} = 1

für alle 0 ≤ u ≤ a gegeben.

a) Bestimmen Sie die Länge L der Kurve γ und eine Formel für den Schwerpunkt

S_{γ} = (x_{γ}, y_{γ}) = (1/L ∫_{γ} x ds, 1/L ∫_{γ} y ds)

von γ in den Ausdrücken f und g.

b) Es sei F ⊂ ℝ^{3} die Fläche, welche durch Rotation von γ um die x-Achse entsteht.

Zeigen Sie: Der Flächeninhalt von F ist gleich 2πy_{γ}L,

7. zusätzliche Übungsklausuraufgabe, hier insgesamt 2 Pkte.:

a) Welche Dimension hat Λ^{3}(ℝ^{5})? Begründen Sie!

b) Zeigen Sie, daß für ω ∈ Λ^{2}(ℝ^{4}) mit ω ∧ ω ≠ 0 kein α ∈ Λ^{1}(ℝ^{4}) existiert, so daß α ∧ ω = 0.

c) Berechnen Sie d(x^{2}e^{y}dz − y sin z dx + x^{2}dy).

Rückgabe: In den Kasten am 05.01.10