Prof. M. Schwarz  Differentialgeometrie 1  WS 2003/04

Serie 11

1. Es sei E → M ein Vektorbündel vom Rank r mit einem Zusammenhang ∇. Betrachte den zugehörigen Krümmungsoperator K = ˆ∇∘∇: Γ(E) → Ω^{2}(M)⊗Γ(E) und den Riemannschen Krümmungsoperator

R(X, Y)s = ∇_{X}∇_{Y} s − ∇_{Y} ∇_{X}s − ∇_{[X,Y]}s,

für X, Y ∈ X (M) und s ∈ Γ(E).

a) (2 Punkte) Zeige: K = R.

b) (2 Punkte) Zeige: (∇_{Z}R)(X, Y)s+(∇_{X}R)(Y, Z)s+(∇_{Y})(Z, X)s = 0 f.a. X, Y, Z ∈ X (M), s ∈ Γ(E).

2. (4 Punkte) Sei (M, g) eine Riemansche Mannigfaltigkeit mit der Eigenschaft, daß der Paralleltransport bzgl. des Levi-Civita-Zusammenhangs entlang einer Kurve von p nach q nur von den Endpunkten p, q ∈ M abhängt. Zeige: (M, g) ist flach.

3. a) (4 Punkte) Betrachte den 2-dimensionalen Torus T_{r,R} ⊂ ℝ^{3} gegeben durch

f(ϑ, φ) = ((R + r cos ϑ) cos φ, (R + r cos ϑ) sin φ, r sin ϑ)

und berechne den Shape-Operator S_{η}, die Hauptkrümmungen λ_{1}, λ_{2}, die Gauß-(Kronecker)-Krümmung und die mittlere Krümmung. Erkläre jeweils die Vorzeichen.

b) (4 Punkte) Betrachte die Immersion f: ℝ^{2} → ℝ^{4} mit

f(ϑ, φ) = \frac{1}{\sqrt{2}}( cos ϑ, sin ϑ, cos φ, sin φ)

Zeige, daß T := f(ℝ^{2}) ⊂ S^{3} in der Einheitssphäre liegt, einen eingebetteten Torus beschreibt und berechne die Schnittkrümmung von T in der induzierten Metrik.

Rückgabe: Mittwoch, 28.1.04, in der Übung.