Prof. M. Schwarz  Differentialgeometrie 1  WS 2003/04

Serie 1

1. a) (1 Punkt) Betrachte den topologischen Raum X = ℝ \ {0} mit der Äquivalenzrelation erzeugt durch x ∼ −x f.a. |x| > 1. Sei Y = X/ ∼ versehen mit der Quotienten-Topologie. Zeige: Y ist kein Hausdorffraum.

b) (1 Punkt) Ein topologischer Raum X heißt normal genau dann, wenn f.a. disjunkten, abgeschlossenen Teilmengen A, B ⊂ X disjunkte offene Umgebungen U, V ⊂ X existieren, also A ⊂ U, B ⊂ V und U ∩ V = ∅. Zeige: Jeder metrische Raum (X, d) ist normal.

c) (2 Punkte) Es seien X, Y normale topologische Räume, A ⊂ X abgeschlossen und f: A → Y eine stetige Abbildung. Definiere auf der disjunkten Vereinigung X ˙∪Y mit der induzierten Topologie die Äquivalenzrelation ∼ erzeugt durch x ∼ f(x) für alle x ∈ A. Zeige: Dann ist der Quotientenraum

X ∼_{f} Y := (X ˙∪Y)/ ∼

mit der Quotiententopologie wieder ein normaler topologischer Raum.

d) optionale Aufgabe (3 Punkte): Zeige, daß jeder parakompakte Hausdorffraum normal ist. (Auch wenn Sie diese Aufgabe nicht bearbeiten, sollte Sie sich diese Aussage dennoch merken. Insbesondere ist also jede Mannigfaltigkeit ein normaler, topologischer Raum!)

2. a) (2 Punkte) Seien X und Y differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimensionen dim X = n, dim Y = m. Das kartesische Produkt X × Y trage die Produkt-Topologie, das heißt die kleinste Topologie, so daß die Projektionsabbildungen π_{1} : X × Y → X und π_{2} : X × Y → Y stetig sind. Zeige: X×Y trägt eine kanonische induzierte Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit der Dimension m + n, so daß π_{1} und π_{2} differenzierbare Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten sind.

b) (2 Punkte) Es sei X eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und f: X → X ein Diffeomorphismus. Betrachte auf dem Produktraum [0, 1] × X die Äquivalenzrelation ∼ erzeugt durch (0, x) ∼ (1, f(x)). Zeige: Der Quotientenraum

X_{f} := [0, 1] × X/ ∼

trägt die Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit der Dimension dim X + 1 und die Abbildung π: X_{f} → S^{1}, π([t, x]) = [t] mit S^{1} = ℝ/ℤ = [0, 1]/(0 ∼ 1) ist eine differenzierbare Abbildung. Der topologische Raum X_{f} heißt der Abbildungstorus zu f.

3. a) Zeige (2 Punkte): Die Gruppe der speziellen, orthogonalen Transformationen

SO(n, ℝ) := { A ∈ GL(n, ℝ) | A^{t} = A^{−1}, det A = 1 }

trägt die Struktur einer glatten, kompakten Mannigfaltigkeit. Gib außerdem die Dimension an.

b) Zeige (2 Punkte): Die Mannigfaltigkeiten SO(3, ℝ) und ℝℙ^{3} sind diffeomorph.

Bitten wenden!

4. In dieser Aufgabe sollen die in der Differentialgeometrie und -topologie sehr wichtigen Grassmann-Mannigfaltigkeiten definiert werden: Wir definieren die Menge

G(n, k) := { U ⊂ ℝ^{n} | U ist ein Untervektorraum der Dimension k } .

a) (1 Punkt) Zunächst müssen wir auf G(n, k) eine Topologie eines Hausdorffraumes definieren: Sei U ∈ G(n, k) und (V_{r}) ⊂ G(n, k) eine Folge. Wähle eine Basis u_{1}, …, u_{k} von U und ergänze diese zu einer Basis u_{1}, …, u_{n} von ℝ^{n}. Sei U^{⊥} := span{u_{k+1}, …, u_{n}}. Wir sagen nun lim_{r→∞} V_{r} = U genau dann, wenn es ein r_{o} ∈ ℕ gibt, so daß alle V_{r} mit r ≥ r_{o} als Graph einer linearen Abbildung v_{r}: U → U^{⊥} geschrieben werden können, deren Matrix-Darstellung bzgl. {u_{1}, …, u_{n}} durch eine k × (n − k)-Matrix A_{r} ∈ M(k, n − k) gegeben ist und so daß gilt: lim_{r→∞} A_{r} = 0 im bekannten Sinne. Zeige: Dieser Konvergenzbegriff V_{r} → U ist wohldefiniert, unabhängig von der Wahl der u_{1}, …, u_{n} ∈ ℝ^{n}.

b) Wir definieren nun eine Teilmenge X ⊂ G(n, k) als Umgebung von U ∈ G(n, k) genau dann, wenn zu jeder Folge (V_{r}) ⊂ G(n, k) mit V_{r} → U ein r_{o} ∈ ℕ existiert mit V_{r} ∈ X f.a. r ≥ r_{o}. Eine Teilmenge Y ⊂ G(n, k) heißt nun offen genau dann, wenn für alle Punkte U ∈ Y eine Umgebung X existiert so daß U ∈ X ⊂ Y. Zeige (1 Punkt): Mit dieser Topologie ist G(n, k) ein Hausdorffraum.

c) optional (3 Punkte): Zeige, daß G(n, k) ein kompakter topologischer Raum ist.

d) Zeige (2 Punkte), daß G(n, k) eine glatte Mannigfaltigkeit ist und bestimme die Dimension. Hinweis: Als Kartenumgebungen können zum Beispiel folgende Mengen gewählt werden: Sei U ∈ G(n, k) ein beliebiger Punkt und wähle einen Unterraum U^{⊥} von ℝ^{n} mit der Eigenschaft U ⊕ U^{⊥} = ℝ^{n}. Dann ist { V ∈ G(n, k) | V ∩ U^{⊥} = {0} } ein Kandidat für eine Kartenumgebung von U. Bemerkung: G(n, k) heißt eine Grassmann-Mannigfaltigkeit. Die reell projektiven Räume ℝℙ^{n} sind nun genau die speziellen Grassmann-Mannigfaltigkeiten G(n, 1).

Rückgabe: Mittwoch, 22.10.03, in der Übung.