Prof. M. Schwarz  Differentialgeometrie 1  WS 2009/08

Serie 7

1. Betrachte den durch Rotation des Kreises

(x − a)^{2} + z^{2} = r^{2}, y = 0 (0 < r < a)

um die z-Achse erzeugten Torus und auf diesem Torus die durch die Punkte (a + r, 0), (a − r, 0) und (a, r) erzeugten Kurven.

a) Berechne die geodätischen Krümmungen dieser Kurven.

b) Welche dieser Kurven sind geodätisch ?

c) Kannst Du noch weitere geodätische Kurven auf dem Torus angeben?

2. Es sei U ⊂ ℍ eine Teilmenge der hyperbolischen Halbebene und f: U → ℝ^{3} ein parametrisiertes Flächenstück, so daß f eine lokale Isometrie ist (Abwicklung). Verwende die Koordinaten v = x und u = ln y. Es sei dann

g: U → ℝ^{3}, g(u, v) = f(u, v) + f_{u}(u, v) .

Zeige:

a) Für jedes v ist u ↦ f(u, v) eine nach Bogenlänge parametrisierte Geodätische.

b) f_{uu} steht überall senkrecht auf der Fläche f(U).

c) Die Fläche f hat konstante Gauß-Krümmung −1.

d) f_{uv} = −f_{v} + Mn, M = h_{12} Koeffizient des 2. Fund.tensors.

3. In Fortsetzung von Aufgabe 2 berechne für

g: U → ℝ^{3}, g(u, v) = f(u, v) + f_{u}(u, v) .

a) Die Koeffizienten des 1. Fundamentaltensors von g.

b) Das Normalenfeld der Fläche g.

c) Die Gaußkrümmung von g.

4. Die Aufgaben 2 und 3 zusammengenommen beschreiben ein Verfahren, wie man aus einer parametrisierten Fläche mit konstanter Gaußkrümmung -1 wieder einer solche Fläche erhalten kann. Dieses Verfahren heißt Bianchi-Transformation.

a) Wende dieses Verfahren auf die Pseudosphäre an und beschreibe, was sich daraus ergibt.

b) Versuche, das Verfahren so zu verwenden, daß sich eine neuartige Fläche mit K = −1 finden lässt.

Rückgabe: Montag 26.11.07 in der Übung.