Prof. M. Schwarz  Analysis für Physiker 3  WS 2006/07

Serie 9

1. Seien (X, A) ein Messraum (d.h. Menge mit σ-Algebra) und f, g: X → ℝ A-messbare Funktionen, sowie φ: ℝ → ℝ stetig. Zeige: Dann sind auch folgende Funktionen A-messbar:

a) f + g, f − g,

b) f · g,

c) max(f, g) mit

max(f, g)(x) = \begin{cases}f(x), & f(x) ≥ g(x), \\ g(x), & f(x) ≤ g(x), \end{cases}

und analog min(f, g),

d) φ ∘ f.

2. a) Berechne folgendes Lebesgue-Integral direkt aus der Definition ∫_{X} f dμ = ∫_{0}^{∞} μ({ x ∈ X | f(x) > t }) dt:

∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{1 + x^{2}} dλ^{1}(x) .

b) Seien X = ℕ, A = P(ℕ) und μ sei das Zählmaß und f(n) = q^{−n} mit q > 1 fest. Zeige explizit gemäß der obigen Definition des Lebesgue-Maßes, daß

∫_{ℕ} f(n) dμ(n) = log q ∫_{0}^{∞}[s]q^{−s}ds = ∑_{n∈ℕ} q^{−n} .

3. Es seien (X, A, μ) ein Maßraum und f, g ≥ 0 messbare und μ-integrierbare Funktionen mit jeweils endlichen Wertebereichen

f(X) = { a_{1}, …, a_{k}} ⊂ ℝ, g(X) = { b_{1}, …, b_{l}} ⊂ ℝ .

Zeige direkt und ohne Anwendung des Satzes IV.2.5 aus der Vorlesung: f + g ist ebenfalls μ-integrierbar mit endlichem Wertebereich, und es gilt

∫_{X}(f + g)dμ = ∫_{X} f dμ + ∫_{X} g dμ .

Verwende die Definition von ∫_{X} f dμ aus der Vorlesung !

Bitten wenden!

4. Es sei (X, A, μ) ein Maßraum.

a) Sei f: X → [0, +∞] messbar. Zeige: ∫_{X} f dμ = 0 ⇔ f = 0 μ-fast überall.

b) Sei f: X → ℂ messbar und ∫_{A} f dμ = 0 für alle A ∈ A. Zeige: f = 0 μ-fast überall.

Rückgabe: In den Übungsgruppen am 09.01.07 und 10.01.07