Prof. M. Schwarz  Analysis für Physiker 3  WS 2006/07

Serie 8

1. Es seien 0 < 2r < R. Betrachte die Kurven

γ_{1}(t) = (R + r cos 2πt, 0, r sin 2πt),
γ_{2}(t) = ((R − r) cos 2πt, (R − r) sin 2πt, 0) .

a) Es sei U ⊂ ℝ^{3} die offene Teilmenge

U = \{ (x, y, z) | (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − R)^{2} + z^{2} ∈ ((r − ε)^{2}, (r + ε)^{2}) \}

für 0 < ε < \frac{r}{2}. Finde 1-Formen α_{1}, α_{2} ∈ Ω^{1}(U) mit dα_{1} = dα_{2} = 0 und

∫_{γ_{i}} α_{i} = δ_{ij}, i, j = 1, 2 .

b) Kann man solche α_{1}, α_{2} auch für U = ℝ^{3} finden? Begründe.

Hinweis: Betrachte die problemangepassten Koordinaten (x, y, z) = ((R + ϱ cos ϑ) cos φ, (R + ϱ cos ϑ) sin φ, ϱ sin ϑ) und berechne (dϱ, dϑ, dφ) in der Basis (dx, dy, dz), vgl. Serie 6, Aufg. 3.a)

2. a) Berechne für α_{1}, α_{2} aus Aufgabe 1.a)

∫_{F} α_{1} ∧ α_{2}

für F = \{ (x, y, z) | (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − R)^{2} + z^{2} = r^{2} \}.

b) Die in Aufgabe 1.a) gesuchten Differentialformen α_{1} und α_{2} in Ω^{1}(U) sind nicht eindeutig bestimmt. Zeige, daß für jede andere Wahl für diese beiden Formen bezüglich der gestellten Bedingungen dasselbe Ergebnis ∫_{F} α_{1} ∧ α_{2} in 2. a) herauskommt.

3. Es sei ϱ: S_{R}^{2} → ℝ eine Massenverteilung auf der 2-dimensionalen Sphäre vom Radius R. Dann ist das Gravitationspotential Φ an dem Punkt x^{⇀} ∈ ℝ^{3} \ S_{R}^{2} gegeben durch

Φ(x^{⇀}) = ∫_{S_{R}^{2}} \frac{ϱ( y^{⇀})}{|x^{⇀} − y^{⇀}|} d^{2}S( y^{⇀}) .

Sei nun die Massendichte ϱ auf der Sphäre S_{R}^{2} konstant. Zeige: Φ ist auf ganz ℝ^{3} stetig definiert und es gilt:

Φ(x^{⇀}) = \begin{cases}4πRϱ, & für |x^{⇀}| ≤ R, \\ \frac{4πR^{2}ϱ}{| x^{⇀}|}, & für |x^{⇀}| ≥ R . \end{cases}

Hinweis: Betrachte zuerst x^{⇀} = (0, 0, a), a ≠ R, und verwende dann Symmetrieargumente.

Bitten wenden!

4. Es sei X ein Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge U ⊂ ℝ^{n}. Definiere die sogenannte Kontraktion

X⌟: Ω^{k}(U) → Ω^{k−1}(U),
X⌟ ω = ω(X, ·, …, ·),

also

(X⌟ ω)(p)(v_{1}, …, v_{k−1}) = ω(p)(X(p), v_{1}, …, v_{k−1})

für alle p ∈ U, v_{1}, …, v_{k−1} ∈ ℝ^{n}.

a) Seien ω = dx_{1} ∧ dx_{2} ∧ dx_{3} ∧ dx_{4} ∈ Ω^{4}(ℝ^{4}) und X = (X^{1}, X^{2}, X^{3}, X^{4}) ein Vektorfeld auf U ⊂ ℝ^{4}. Berechne X⌟ ω und d(X⌟ ω).

b) Sei ω = dx_{1} ∧dy_{1} +dx_{2} ∧dy_{2} ∈ Ω^{4}(ℝ^{4}), mit ℝ^{4} = ℂ^{2}, z_{j} = x_{j} +iy_{j}, j = 1, 2. Sei H: ℝ^{4} → ℝ eine C^{1}-Funktion und definiere das Vektorfeld X_{H} durch

X_{H}⌟ ω = −dH .

Zeige: X_{H} = J∇H, wobei J: ℂ^{2} → C^{2} der lineare Operator J(h, k) = (ih, ik) ist. X_{H} heißt das Hamiltonsche Vektorfeld zur Hamiltonfunktion H.

Rückgabe: In den Übungsgruppen am 12.12. und 13.12.