Prof. M. Schwarz  Analysis für Physiker 3  WS 2006/07

Serie 7

1. a) Es seien U, V ⊂ ℝ^{n} offen, φ: U → V ein C^{∞}-Diffeomorphismus und ω ∈ Ω^{k}(V), sowie c ∈ C_{k}(U) eine k-Kette der Form c = n_{1}σ_{1} + … + n_{r}σ_{r}. Zeige: Dann gilt für φ(c) = n_{1}φ ∘ σ_{1} + … + n_{r}φ ∘ σ_{r},

∫_{φ(c)} ω = ∫_{c} φ^{∗}ω .

b) Es sei f: U → ℝ^{3} ein reguläres parametrisiertes Flächenstück mit Normalenfeld n: U → S^{2}. Es sei ω = dx_{1} ∧ dx_{2} ∧ dx_{3}(n, ·, ·). Dies liefert eine 2-Form auf F = f(U). Zeige: ∫_{F} ω ist gleich dem Flächeninhalt von F.

2. a) Finde ω ∈ Ω^{3}(ℝ^{4} \ {0}) mit dω = 0, so daß es kein α ∈ Ω^{2}(ℝ^{4} \ {0}) gibt, mit dα = ω.

b) Finde α ∈ Ω^{1}(ℝ^{2} \ {(x, y, 0)| x^{2} + y^{2} = 1}) mit dα = 0, so daß es kein f ∈ C^{∞}(ℝ^{2} \ {(x, y, 0)| x^{2} + y^{2} = 1}) gibt mit df = α.

3. a) Es sei E^{n} ⊂ ℝ^{n} der abgeschlossene Einheitsball und ∂E^{n} = S^{n−1}. Es sei h: E^{n} → S^{n−1} eine C^{∞}-Abbildung. Zeige: Dann kann nicht h_{|S^{n−1}} = id gelten. Hinweis: Berechne ∫_{∂E^{n}} h^{∗}ω für die (n − 1)-Form ω = x_{1}dx_{2} ∧ … ∧ dx_{n} + … + (−1)^{n−1}x_{n}dx_{1} ∧ … ∧ dx_{n−1}.

b) Zeige: Es gibt keine glatte Abbildung f: E^{n} → E^{n} ohne einen Fixpunkt x ∈ E^{n} mit f(x) = x. Hinweis: Zeige, falls doch, so könnte man ein h wie in a) konstruieren mit h_{|S^{n−1}} = id.

4. a) Berechne ∫_{F} ω für

F = \{ (x, y, z) | (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − R)^{2} + z^{2} = r^{2} \}

und ω = xdy ∧ dz − z^{2}dx ∧ dz.

b) Gibt es einen C^{∞}-Diffeomorphismus φ: ℝ^{3} → ℝ^{3} so dass für ω_{o} = dx_{1} ∧ dx_{2} + dx_{3} ∧ dx_{4} ∈ Ω^{2}(ℝ^{4}) und Σ = φ(F) × {0} mit F aus a) gilt: ∫_{Σ} ω_{o} > 0? Hinweis: Zeige

∫_{Σ} ω_{o} = ∫_{F} φ^{∗}(dx_{1} ∧ dx_{2}) .

Rückgabe: In den Übungsgruppen am 05.12. und 06.12.