Prof. M. Schwarz  Analysis für Physiker 3  WS 2006/07

Serie 6

1. Berechne die Standarddarstellung folgender Differentialforman (d.h. in der kanonischen Basis):

a) im ℝ^{2}: (sin x dx − cos y dy) ∧ (cos y dx + sin x dy)

b) im ℝ^{3}: (x dx + xy dy + xyz dz) ∧ (2yz dy ∧ dz − dx ∧ dz + zdx ∧ dz)

c) im ℝ^{2n}: ω ∧ ω ∧ … ∧ ω (n-mal) für ω = (dx_{1} ∧ dx_{2} + dx_{3} ∧ dx_{4} + … + dx_{2n−1} ∧ dx_{2n}

d) im ℝ^{3}: d(xdx + ydy + zdz)

e) im ℝ^{3}: d((x + sin y)dx + (y + sin x)dy + ydz)

f) im ℝ^{3}: d(xyz dx ∧ dy + xy dy ∧ dz − \frac{1}{2}y^{2}(x − 1) dz ∧ dx)

g) im ℝ^{3}: f^{∗}(ydx + xdy) mit f: ℝ^{3} → ℝ^{2}, f(x, y, z) = (x + y + z, xyz)

h) im ℝ^{3}: f^{∗}(x^{2}dx), mit f: ℝ^{3} → ℝ, f(x, y, z) = xy^{2}z^{3}.

2. Die Zylinderkoordinaten auf ℝ^{3} sind gegeben durch

(x, y, z) = (ϱ cos φ, ϱ sin φ, z),

die Kugelkoordinaten durch

(x, y, z) = (r sin ϑ cos φ, r sin ϑ sin φ, r cos ϑ) .

a) Zeige, daß die zugehörige Orthonormalbasis aus Tangentialvektoren in den jeweiligen Koordinatenrichtungen gegeben ist durch

e^{⇀}_{ϱ} = \frac{∂}{∂ϱ}, e^{⇀}_{φ} = \frac{1}{ϱ} \frac{∂}{∂φ}, e^{⇀}_{z} = \frac{∂}{∂z} ,

bzw.

e^{⇀}_{r} = \frac{∂}{∂r} , e^{⇀}_{ϑ} = \frac{1}{r} \frac{∂}{∂ϑ}, e^{⇀}_{φ} = \frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂φ},

b) Berechne grad f, rot X^{⇀}, div X^{⇀} in Zylinderkoordinaten, wobei f eine Funktion und X^{⇀} ein Vektorfeld ist,

c) optional, 2 Pkte. Berechne grad f, rot X^{⇀}, div X^{⇀} in Kugelkoordinaten, wobei f eine Funktion und

X^{⇀} ein Vektorfeld ist.

3. Verwende dieselben Kugelkoordinaten r, ϑ, φ wie in Aufgabe 2.).

a) Drücke dr, dϑ, dφ durch dx, dy, dz aus und umgekehrt.

Bitten wenden! b) Es sei ω = x dy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy ∈ Ω^{2}(ℝ^{3}). Es sei f: (0, π) × (0, 2π) ∋ (ϑ, φ) ↦

f(ϑ, φ) ∈ S^{2} die Parametrisierung durch Kugelkoordinaten. Berechne f^{∗}ω.

4. a) Es sei γ: ℝ → ℝ^{2}, γ(t) = (u(t), v(t)) eine beliebige C^{1}-Kurve in ℝ^{2} und f: ℝ × ℝ → ℝ^{4},

f(s, t) = (cos s u(t), cos s v(t), sin s u(t), sin s v(t),

und ω = dx_{1} ∧ dx_{2} + dx_{3} ∧ dx_{4}. Berechne f^{∗}ω.

b) Finde ω ∈ Ω^{2}(ℝ^{3} \ {0}) mit dω = 0, so daß es kein α ∈ Ω^{1}(ℝ^{3} \ {0}) gibt, mit dα = ω.

c) Finde α ∈ Ω^{1}(ℝ^{2} \ {(1, 1)}) mit dα = 0, so daß es kein f ∈ C^{∞}(ℝ^{2} \ {(1, 1)}) gibt mit df = α.

Rückgabe: In den Übungsgruppen am 28.11. und 29.11.