Prof. M. Schwarz  Analysis für Physiker 3  WS 2006/07

Serie 4

1. Es sei T ⊂ ℝ^{3} der Torus

\{ (x, y, z) | (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − R)^{2} + z^{2} = r^{2} \} 0 < r < R .

a) Berechne das Einheitsnormalenfeld n^{⇀} auf T mit n(r + R, 0, 0) = (1, 0, 0) und für das Vektorfeld

v(x, y, z) = (\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} , \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} , 0) das Integral ∫_{T} v · dS^{⇀} bzgl. der Orientierung durch n.

b) Berechne direkt (ohne Verwendung des Satzes von Gauß) das Integral

∫∫∫_{V} div vd^{3}(x, y, z)

über den Volltorus V mit ∂V = T .

2. a) Berechne zu dem orientierten Torus T und n^{⇀} wie in Aufgabe 1.) das Integral ∫_{T} v · dS^{⇀} mit v(x, y, z) = (x, y, z). Wie verhält sich dieses Integral zum Volumen des Volltorus V mit ∂V = T?

b) Berechne das äußere Einheitsnormalenfeld zu

P = { (x, y, z) | 0 < z < 1 − x^{2} − y^{2} }

und das Integral ∫_{∂P} v · dS^{⇀} zu dem Vektorfeld v(x, y, z) = (x + 2y + z^{2}, x^{3} + y − z, x^{2} − y^{3} + z) mit Hilfe des Satzes von Gauß.

3. Es sei v: U → ℝ^{3} ein Vektorfeld, welches auf einer Umgebung U eines beschränkten Gebiets G stetig differenzierbar ist, und das Gebiet G habe einen durch ein äußeres Normalenfeld orientieren Rand ∂G, so dass die Voraussetzungen des Satzes von Gauß erfüllt sind. Sei außerdem f: U → ℝ eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige:

∫_{G} ∇f · vd^{3}(x, y, z) = ∫_{∂G} fv · dS^{⇀} − ∫_{G} f div v d^{3}(x, y, z) .

4. Es sei Ω ⊂ ℝ^{3} ein offenes Gebiet, v ∈ C^{1}(Ω, ℝ^{3}) ein zeitunabhängiges Geschwindigkeitsfeld und ϱ: ℝ×Ω → [0, ∞) eine zeitabhängige stetig differenzierbare Dichtefunktion auf Ω. Wir sagen: H = ϱ v und ϱ genügen der Masseerhaltung in Ω, wenn

\frac{d}{dt} ∫_{B} ϱd^{3}V = − ∫_{∂B} H · dS^{⇀}

für alle offenen Gebiete B ⊂ Ω gilt, welche die Voraussetzungen des Satzes von Gauß erfüllen und deren Rand durch das äußere Normalenfeld orientiert ist. Zeige: Die Masseerhaltung gilt, wenn

div H + \frac{∂}{∂t}ϱ = 0 .

optional (2 Punkte): Zeige, daß diese Bedingung für Masseerhaltung auch notwendig ist.

Rückgabe: In den Übungsgruppe am 14.11. bzw. 15.11.