Prof. M. Schwarz  Analysis für Physiker 3  WS 2006/07

Serie 3

1. Betrachte die folgenden beiden Parametrisierungen von S^{2} = {x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1} als Flächenstücke und berechne jeweils explizit den Flächeninhalt.

a) ϕ: ℝ^{2} → ℝ^{3},

ϕ(u, v) = (\frac{2u}{u^{2} + v^{2} + 1}, \frac{2v}{u^{2} + v^{2} + 1}, \frac{u^{2} + v^{2} − 1}{u^{2}v^{2} + 1}) ,

b) ψ: [0, π] × [0, 2π] → ℝ^{3},

ψ(ϑ, φ) = (cos ϑ cos φ, cos ϑ sin φ, sin ϑ) .

2. Sei

K = \{ (x, y, z) | 1 ≤ (\frac{x}{a})^{2} + (\frac{y}{b})^{2} ≤ 4, −c ≤ 2 ≤ c \}, 0 < a < b, c > 0 .

Sei l eine Gerade in ℝ^{3} und ϱ: K → [0, ∞) die Funktion ϱ(r, l) = dist(r, l) = der Abstand von r zu der Geraden l. Dann heißt

T_{K,l} = ∫∫∫_{K} ϱ(x, y, z)^{2} d^{3}(x, y, z)

das Trägheitsmoment von K um die Achse l. Finde den Ellipsoiden

E = \{ (x, y, z) | (\frac{x}{r_{1}} )^{2} + (\frac{y}{r_{2}} )^{2} + (\frac{z}{r_{3}} )^{2} ≤ 1 \},

der dieselben Trägheitsmomente T_{x}, T_{y}, T_{z} jeweils um x-, y- und z-Achse hat.

3. a) Es sei γ: [0, L] → ℝ^{2} eine geschlossene Kurve parametrisiert durch γ(u) = (f(u), g(u)) mit |γ̇(u)| = 1 und f(u) > 0 f.a. 0 ≤ u ≤ L. γ_{[0,L)} sei injektiv und γ(0) = γ(L). Betrachte γ als in der x-z-Ebene liegend. Sei F die Rotationsfläche, die durch Rotation von γ um die z-Achse entsteht. Gib eine möglichst einfache Formel für den Flächeninhalt von F.

b) Berechne den Flächeninhalt von

T_{a,b} = \{ (x, y, z) | (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − b)^{2} + z^{2} = a^{2} \}, 0 < a < b .

4. Sei f(u, v) ein parametrisiertes Flächenstück f: R^{2} ⊃ G → ℝ^{3} und ϕ(x, y) = (u, v) eine Koordinatentransformation, also f̃(x, y) = (f ∘ ϕ)(x, y). Zeige: Das Flächenelement

d^{2}S = |f_{u} × f_{v}| d^{2}(u, v)

ist invariant unter Koordinatentransformation, also d^{2}S = d^{2}S̃, mit

d^{2}S̃ = |f̃_{x} × f̃_{y}| d^{2}(x, y) .

Hinweis: Zeige zuerst die Identität |f_{u} × f_{v}|^{2} = EG − F^{2} mit

E = ⟨f_{u}, f_{u}⟩, F = ⟨f_{u}, f_{v}⟩, G = ⟨f_{v}, f_{v}⟩ .

Rückgabe: In den Übungsgruppe am 7.11. bzw. 8.11.