Prof. M. Schwarz  Analysis für Physiker 3  WS 2006/07

Serie 2

1. Sei K ⊂ ℝ^{3} die Vereinigung aller zur (y, z)-Ebene parallelen Kreisscheiben vom Radius 1, deren Mittelpunkte in der (x, z)-Ebene auf der Kurve z = cos x liegen (0 ≤ x ≤ π). Berechne

∫_{K} ((z − cos x)^{2} + y^{2}) d^{3}(x, y, z) .

2. In der (x, z)-Ebene begrenzen die Parabel z = x^{2} + 1 und die Gerade z = 2 ein Flächenstück F. Lässt man F um die x-Achse rotieren, so erhält man einen Rotationskörper R ⊂ ℝ^{3}. Berechne

∫_{R} \frac{x}{y^{2} + z^{2}} d^{3}(x, y, z) .

3. a) Es sei T: ℝ^{n} → ℝ^{n} eine affine Transformation T (x) = Ax + b, A ∈ M(n × n, ℝ), b ∈ ℝ^{n}, det A ≠ 0. Zeige: Ist S der Schwerpunkt einer kompakten Jordan-messbaren Menge K ⊂ ℝ^{n} mit positivem Volumen v_{n}(K) > 0, so ist der Schwerpunkt der Bildmenge T (K) durch den Bildpunkt T (S) gegeben.

b) Es sei V ⊂ ℝ^{3} der Volltorus zu den Parametern 0 < a < b.

V = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − b)^{2} + z^{2} ≤ a^{2} \} .

Berechne das Trägheitsmoment ∫_{V} (x^{2} + y^{2}) d^{3}(x, y, z).

4. Es sei (x_{n})_{n∈ℕ} eine Abzählung der Menge der rationalen Punkte im 2-dimensionalen Einheitsquadrat [0, 1] × [0, 1] ∩ ℚ. Für n ∈ ℕ bezeichne mit I_{n} das kompakte Quadrat mit Mittelpunkt x_{n} und Kantenlänge 2^{−n}. Sei nun V die abzählbare Vereinigung der offenen Quadrate

V = I_{1}^{∘} ∪ I_{2}^{∘} ∪ ….

Dies ist also eine Teilmenge des ℝ^{2}.

a) Zeige: V ist beschränkt und offen.

b) Zeige: \underline{∫}_{V} 1 d^{2}(x, y) ≤ \frac{1}{3}.

c) Zeige: \overline{∫}_{V} 1 d^{2}(x, y) ≥ 1.

d) Folgere: V ist nicht Jordan-messbar.

Rückgabe: In der Übungsgruppe am 1.11. bzw. in der Vorlesung am 2.11.