Prof. M. Schwarz  Analysis für Physiker 3  WS 2006/07

Serie 10

1. a) Zeige: Ist K ⊂ ℝ^{k} kompakt und (f_{n}: K → ℝ)_{n∈ℕ} eine Folge von Lebesgue-integrierbaren Funktionen, welche gleichmäßig gegen f: K → ℝ konvergieren, so ist auch f Lebesgue-integrierbar, und es gilt

lim ∫_{K} f_{n} dλ^{k} = ∫_{K} f dλ^{k} .

(Hinweis: Zeige: gleichmäßige Konvergenz impliziert Lebesgue-majorisierte Konvergenz)

b) Gilt dies auch für K = ℝ^{k}? Begründe!

2. Untersuche folgende Funktionenfolgen f_{n}: I → ℝ. Beantworte die Fragen (mit Begründung):

• Ist lim f_{n} Lebesgue-integrierbar?

• Existiert lim ∫_{I} f_{n}(x)dλ^{1}(x)?

• Ist ∫_{I} lim f_{n}dλ^{1} = lim ∫_{I} f_{n}dλ^{1}?

• Welche Form von Konvergenz liegt für (f_{n}) vor: gleichmäßig, Lebesgue-majorisiert?

a) \frac{1}{(1+x^{2})^{n}} auf I = ℝ,

b) \frac{nx}{1+nx^{2}} auf I = [0, 1],

c) f_{n}(x) = \begin{cases}n^{\frac{3}{2}} , & 0 ≤ x ≤ \frac{1}{n}, \\ 2\sqrt{n} − n^{\frac{3}{2}} x, & \frac{1}{n} ≤ x ≤ \frac{2}{n}, \\ 0, & x ≥ \frac{2}{n}, \end{cases},

d) f_{n}(x) = \begin{cases}0, & x ≤ n − \frac{1}{n}, \\ nx + 1 − n^{2}, & n − \frac{1}{n} ≤ x ≤ n, \\ 1 + n^{2} − nx, & n ≤ x ≤ n + \frac{1}{n}, \\ 0, & x ≥ n + \frac{1}{n}, \end{cases}

3. a) Zeige, daß die Funktion \frac{sin t}{t} auf (0, ∞) nicht Lebesgue-integrierbar ist.

Hinweis: \frac{sin t}{t} ≥ \frac{sin t}{(2k+1)π} für alle 2kπ ≤ t ≤ (2k + 1)π, k ∈ ℕ.

b) Zeige, daß das uneigentliche Riemannsche Integral ∫_{0}^{∞} \frac{sin t}{t}dt = lim_{R→∞} ∫_{0}^{R} \frac{sin t}{t}dt existiert. Hinweis: Zeige |∫_{lπ}^{(l+1)π} \frac{sint}{t}dt| ≤ \frac{2}{(l+1)π} und verwende das Leibniz’sche Konvergenz-Kriterium für alternierende Reihen.

4. Es sei

F (s) = ∫_{[0,∞)} e^{−st} \frac{sin t}{t}dλ^{1}(t) .

Bitten wenden! a) Zeige, daß F (s) für s > 0 im Sinne des Lebesgue-Integrals wohldefiniert ist.

b) Zeige, daß lim_{s→∞} F (s) = 0.

c) Zeige, daß F (s) für s > 0 differenzierbar ist und

F′(s) = −\frac{1}{1 + s^{2}} .

d) Zeige: F (s) = \frac{π}{2} − arctan s.

e) optional (2 Pkte): Zeige, daß ∫_{[a,∞)} e^{−st} \frac{sin t}{t}dλ^{1}(t) = ∫_{a}^{∞} e^{−st} \frac{sin t}{t}dt und daß der Betrag hiervon unabhängig von s ≥ 0 gegen einen Wert M(a) abgeschätzt werden kann mit lim_{a→∞} M(a) = 0. Hieraus folgt

∫_{0}^{∞} \frac{sin t}{t} dt = lim_{s→0} F (s) = \frac{π}{2} .

Rückgabe: In den Übungsgruppen am 16.01.07 und 17.01.07