Prof. M. Schwarz  Analysis für Physiker 3  WS 2006/07

Serie 1

1. a) Berechne das Volumen von { (x, y, z) | x^{2} + y^{2} − z^{2} ≤ 1, |z| ≤ 2 }.

b) Berechne das Volumen von { (x, y, z) | z ≥ x^{2} + y^{2}, x + y + z ≤ 1 }.

c) Berechne das Volumen eines Tetraeders mit der Kantenlänge l.

2. a) Integriere die Funktion x^{n}y^{m}, n, m ∈ ℕ, über die Kreisscheibe { x^{2} + y^{2} ≤ r^{2} } und das Quadrat

[0, 1]^{2}.

b) Integriere die Funktion z^{2} über die Kugel { x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ r^{2} }.

3. Der Schwerpunkt einer kompakten Menge K ⊂ ℝ^{n} mit positiven Volumen V ist definiert durch den

Punkt S = (s_{1}, …, s_{n}) ∈ ℝ^{n} mit

s_{i} = \frac{1}{V} ∫_{K} x_{i}d^{n}x, i = 1, …, n .

Berechne den Schwerpunkt

a) von { x^{2} + y^{2} ≤ 1, y ≥ 0 }.

b) eines Kegels K(B, h) = \{ (x, z) ∈ ℝ^{n} | 0 ≤ z ≤ h, x ∈ (1 − \frac{z}{h})B \}.

4. Es sei C ⊂ ℝ die Menge aller reellen Zahlen, die eine Dezimalbruchdarstellung besitzen, in welcher die Ziffer 5 nicht vorkommt. Zeige:

a) C ist eine 1-dimensionale Nullmenge.

b) C lässt sich bijektiv auf ℝ abbilden.

Rückgabe: In der jeweiligen Übungsgruppe, 24.10. bzw. 25.10.