Prof. M. Schwarz  Analysis für Physiker 3  WS 2006/07

Aufgabensammlung für eine Übungsklausur

Es dürfen keine Hilfsmittel (Taschenrechner, Skript, Buch, Notizen, etc.) verwendet werden.

Endergebnisse, Lösungswege und getroffene Aussagen sollten formuliert werden.

1. a) Berechnen Sie das 4-dimensionale Volumen des Balles

B^{4}(r) = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ ℝ^{4} | x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} ≤ 1, } .

b) Es sei im Folgenden v_{n}(r) das n-dimensionale Volumen des n-dimensionalen Balles vom Radius r > 0, n ∈ ℕ. Begründen Sie, warum es eine Konstante c_{n} > 0 gibt, die nur von der Dimension n abhängt, so daß

v_{n}(r) = c_{n}r^{n} für alle r > 0, n ∈ ℕ .

c) Zeigen Sie

c_{n} = \frac{2π}{n} · c_{n−2} für alle n ≥ 2,

mit c_{0} := 1. (Hinweis: Man berechne zuerst f_{n} mit c_{n} = f_{n}c_{n−1} f.a.

n.)

2. Sei eine Fläche F als der Graph von z = f(x, y) = 1 − x^{2} + y^{3} über dem Rechteck (x, y) ∈ [0, 1] × [1, 3] gegeben. Sei X^{⇀} das Vektorfeld X^{⇀}(x, y, z) = (z, x, y/2). Bestimmen Sie den Fluß von X^{⇀} durch F.

Bitten wenden!

3. Sei eine geschlossene Kurve γ: [0, a] → ℝ^{2} ohne Selbstschnittpunkte in der oberen Halbebene in der Form

γ(u) = (f(u), g(u)), g(u) > 0, (f′)^{2} + (g′)^{2} = 1

für alle 0 ≤ u ≤ a gegeben.

a) Bestimmen Sie die Länge L der Kurve γ und eine Formel für den Schwerpunkt

S_{γ} = (x_{γ}, y_{γ}) = (1/L ∫_{γ} x ds, 1/L ∫_{γ} y ds)

von γ in den Ausdrücken f und g.

b) Es sei F ⊂ ℝ^{3} die Fläche, welche durch Rotation von γ um die x-Achse entsteht. Zeigen Sie: Der Flächeninhalt von F ist gleich 2πy_{γ}L,

4. Berechnen Sie den Fluß des Vektorfeldes X^{⇀}(x, y, z) = (0, y, 0) durch die Oberfläche des Körpers

K = { (x, y, z) | 1 ≤ x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 4, x^{2} + y^{2} ≤ 4z^{2} } .

5. Finden Sie ein rotationsfreies Vektorfeld X^{⇀} auf G = ℝ^{3} \{(1, 0, z) | z ∈ ℝ }, welches kein Gradientenfeld auf G ist, d.h. es existiert kein Potential Φ: G → ℝ mit X^{⇀} = grad Φ.

6. a) Welche Dimension hat Λ^{3}(ℝ^{5})? Begründen Sie!

b) Zeigen Sie, daß für ω ∈ Λ^{2}(ℝ^{4}) mit ω ∧ ω ≠ 0 kein α ∈ Λ^{1}(ℝ^{4}) existiert, so daß α ∧ ω = 0.

c) Berechnen Sie d(x^{2}e^{y}dz − y sin z dx + x^{2}dy).

7. a) Geben Sie die Definition einer Nullmenge in ℝ^{n}.

Bitte wenden!

b) Zeigen Sie gemäß der Definition, daß

\{ x ∈ ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{3^{n}} | a_{k} ∈ \{0, 2\} f.a. k ∈ ℕ \}

eine Nullmenge im ℝ ist.

8. Es sei Φ: ℝ^{n} → ℝ^{n} eine lineare Abbildung und K ⊂ ℝ^{n} eine Borel-Menge mit Lebesgue-Maß λ_{n}(K) = c. Geben Sie den Wert λ_{n}(Φ(K)).

9. Es sei Φ: ℝ^{2} → ℝ^{2},

Φ(x, y) = (e^{x} cos y, e^{x} sin y) .

Berechnen Sie das Lebesgue-Maß λ_{2}(Φ((−∞, 0] × [0, 2π])).