Prof. M. Schwarz  Analysis A  WS 2008/09

Serie 7

1. Berechne sup, inf, lim, lim inf, lim sup sofern wohldefiniert für folgende Folgen (je 1 Pkt.):

a) (−1)^{n}(1 − \frac{1}{n}).

b) \sqrt{n + 1} + (−1)^{n}\sqrt{n}.

c) a_{n} = \sqrt[n]{2} + (−1 − \frac{1}{n})^{n}.

d) |1 − 2^{\frac{1}{n}} · i^{n}|.

2. a) (1 Pkt) Gibt es eine Folge, deren Häufungspunkte genau die positiven reellen Zahlen sind? Begründe oder gib eine an.

b) (1 Pkt) Konstruiere eine Folge (a_{n}) mit inf a_{n} < lim inf a_{n} < lim sup a_{n} < sup a_{n}.

c) (1 Pkt) Sei (a_{n}) beschränkt und a_{n} < sup a_{n} für alle n. Zeige: sup a_{n} = lim sup a_{n}.

3. a) Zeige (2 Punkte): Eine Folge (a_{n}) in einem metrischen Raum (X, d) ist eine Cauchy-Folge ⟺ zu jedem ε > 0 existiert eine natürliche Zahl n_{0}, so daß für alle n ≥ n_{0} (n ∈ ℕ) und für alle k ∈ ℕ gilt: d(a_{n+k}, a_{n}) < ε.

b) Zeige (2 Punkte): Der metrische Raum (ℂ, d) mit d(z, z′) = |z − z′| ist vollständig.

4. a) (2 Pkte) Es sei (a_{n}) ∈ ℝ^{ℕ} eine unterhalb beschränkte Folge. Zeige: Der Limes Inferior lim inf a_{n} existiert und ist gleich α genau dann, wenn gilt: Für alle ε > 0 existieren unendlich viele Folgenglieder a_{n} mit a_{n} < α + ε und nur endlich viele Folgenglieder mit a_{n} < α − ε. (Dies ist der Beweis von Satz II.4.5 (a).)

b) (2 Pkte)E s seien (a_{n}) und (b_{n}) beschränkte Folgen. Zeige:

lim sup(a_{n} + b_{n}) ≥ lim sup a_{n} + lim inf b_{n} .

Rückgabe: spätestens Dienstag, 02.12.08, 10.30 Uhr in den Briefkästen