Hinweise zur 8. Übung - - Faltung + Grenzwertsatz von
Moivre-Laplace
[1.]
Erzeugen Sie (je 200 Zeilen) von zwei diskreten
Zufallsgrößen
, und
und bilden Sie damit die neuen Zufallsgröße
.
Überprüfen Sie das bekannte Faltungsverhalten der Binomialverteilung,
d.h. berechnen Sie die resultierenden Parameter und .
Aus einem Bernoulli-Experiment B mit Ja-Nein Entscheidung mit
Wahrscheinlichkeit p zu (1-p) entsteht durch Wiederholung, d.h. durch
Addition der Zufallsvariablen B zu einer weiteren von gleichem Typ,
die Binomialverteilung. Diese ist also per Definition schon eine Faltung.
[2.]
Erzeugen Sie (je 200 Zeilen) von zwei diskreten
Zufallsgrößen
,
und bilden Sie damit
die neuen Zufallsgrößen
Überprüfen Sie das bekannte Faltungsverhalten der Poissonverteilung,
d.h. berechnen Sie den resultierenden Parameter für ein
.
Die Dichte der Poissonverteilung an der Stelle ist
[3.]
Erzeugen Sie (je 200 Zeilen) von zwei
Zufallsgrößen
und bilden Sie damit neue Zufallsgrößen
und .
Überprüfen Sie das bekannte Faltungsverhalten der Normalverteilung,
d.h. berechnen Sie die resultierenden Mittelwerte und Streuungen von und
.
Für die Normalverteilung gilt bekannterweise
[4.]
Erzeugen Sie (je 200 Zeilen) von zwei
Zufallsgrößen
, und
und bilden Sie damit
die neuen Zufallsgrößen
Überprüfen Sie das bekannte Faltungsverhalten der -Verteilung,
d.h. berechnen Sie den resultierenden Parameter .
Für die -Verteilung gilt analog wie in [1.], daß sie selbst
schon eine Faltung ist:
[5.]
Die Binomialverteilung läßt sich durch die Normalverteilung
approximieren,
wenn nicht zu nahe an 0 oder 1 ist, und
wenn hinreichend groß ist (zentraler Grenzwertsatz).
Vergleichen Sie mit Streu-Diagramm die
Verteilungsfunktionen von N(0,1) und der
entsprechend verschobenen Verteilungsfunktion der Binomialverteilung
für =1/3 und =10, 30, 100, und 300.
Hinweis: "verschoben" bedeute,
wenn
ist, dann sollte
näherungsweise nach verteilt sein.
In SPSS kann damit die Binomialverteilung auf einer ganzzahligen
Achsenvariablen ( mit =CDF.BINOM(x,n,1/3) ) verschoben werden zu
der neuen Achsenvariablen durch
. Mit dieser
sind je zwei Verteilungen und gleichzeitig betrachtbar.
Die 4 Fälle für sind einzeln zu behandeln.
Für np(1-p)9 ist das Ersetzen der Binomialverteilung durch die
Normalverteilung mit np
und
np(1-p)
möglich. Also bei p=1/3 ab n40.
Mit den Befehlen aus spss085V12.sps kann die Aufgabe in einem Syntaxfenster
abgearbeitet werden. Ein Feld muss dabei im Datenfenster aktiviert sein.