Dr.Quapp: Statistik für Mathematiker mit SPSS

Hilfe zur 7. Übung - Operationen mit Zufallsvariablen

1.] Es sei $S$ die summierte Augenzahl beim Wurf mit 3 Würfeln.
a) Bestimmen Sie die Einzelwahrscheinlichkeiten $P(S=k)$ für $k=3,...,18$. Für welches $k$ ist $P(S=k)$ maximal?
b) Erzeugen Sie dieses Experiment mit SPSS, indem Sie drei Variable $X, Y$ und $Z$ aus gleichmäßig verteilten Zufallszahlen erzeugen, und $S$ als Summe dieser Zufallszahlen darstellen. Prüfen Sie das Resultat durch ein Balkendiagramm.
c) Mit $B$ bezeichnen wir das Ereignis, daß bei einem Wurf alle Augenzahlen unterschiedlich sind. Bestimmen Sie $P(B)$ und bestimmen Sie $P(S=k\vert B)$ für $k=3,4,...,18$.

Da die Zufallsvariablen addiert werden, muß ihre Verteilungsdichte aus einer Faltung berechnet werden. Für zwei Zufallsvariable $X$ und $Y$ ergibt sich beim Würfel:

$$P_1(X=i)=P_1(Y=i)= \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle... .....,6 {\rm und}\\ 0 & {\rm sonst } \end{array} \right.$$

Bei $W=X+Y$ erhalten wir

$$P_2(W=l)= \left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle{\sum_{i=... ......,12, {\rm und } 0 & {\rm sonst } \end{array} \right.$$

d.h. die beiden Gleichverteilungen der Würfe $X$ und $Y$ werden gegenläufig "gefaltet", daher der Name der Operation. $P_2(W)$ wird eine "Dreiecksverteilung". Wird noch eine dritte Zufallsvariable $Z$ hinzugenommen, erhalten wir für $S=X+Y+Z = W+Z$ sukzessive

$$P_3(S=k)= \left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle{ \sum_{... ...3,...,18, {\rm und } 0 &{\rm sonst } \end{array} \right.$$

oder

$$P_3(S=k)= \sum_{l=2}^{12} \sum_{i=1}^6 P_1(X=i) P_1(Y=... ...-l) {\rm bei} k=3,...,18, {\rm und } 0 {\rm sonst } .$$

Es ist

$k$	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
$P(k) \cdot 216$	1	3	6	10	15	21	25	27	27	25	21	15	10	6	3	1

Das Maximum von $P_3(S)$ liegt bei $k=10,11$.

zu b) Die Zufallsvariablen $X,Y, Z$ sind aus einer Gleichverteilung in [1.0,6.9999] durch Abschneiden auf ganze Zahlen erzeugbar: TRUNC(RV.UNIFORM(1,6.9999)). Man verwende etwa 216 Werte, oder Vielfache davon: $n \times 216$.

zu c) Die Anzahl der günstigen Fälle ist eine Variation ohne Wiederholung mit $n$=6, $l$=3, also 120 Fälle, damit ist $P(B)=120/216=5/9$. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, wenn $B$ eingetreten ist, kann leicht abgezählt werden: Bei $k=3,4,5,16,17,18$ ist sie Null (diese Fälle kommen nicht vor), bei $k=6,7,14,15$ ist sie je 3!, bei $k=8,13$ ist sie je $2\times 3!$, und bei $k=9,10,11,12$ ist sie je $3 \times 3!$.

In SPSS kann eine neue Variable definiert werden unter Zuhilfenahme des Falls-Fensters: $SB= X+Y+Z$ $\rightarrow$ Falls $(X\sim =Y) \& (X\sim =Z) \& ( Y\sim =Z)$ ist. Die Statistik von SB sollte obige Werte annähern. In einem Balkendiagramm kann man $S$ oder $SB$ ansehen, wobei bei letzterem noch unter $\rightarrow$ Optionen die Darstellung der "Fehlenden Werte" abgeschaltet werden sollte.

2.] a) Für welche Werte $a$ ist $f(x)=a/(e^x+e^{-x})$ eine Dichte? Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion $F$ zu dieser Dichte!
b) Es sei $U\sim U(0,1)$. Bestimmen Sie die Dichte und Verteilungsfunktion von $Y:=F^{-1}(U)$, wobei $F$ die Verteilungsfunktion aus a) ist (Inversionsmethode).
c) Bestimmen Sie mir SPSS Modalwert, Median, und Quartile von $F$. Benutzen Sie dazu N=200 Werte von $U\sim U(0,1)$.

Es ist $a= 2/ \pi$.

$$F(x)= \frac{2}{\pi} \int_0^{e^x} \frac{dz}{1+z^2} = \frac{2}{\pi}\, arctan(e^x)$$

also wird

$$y=F^{-1}(u) = ln(tan( \frac{\pi}{2} u)) .$$

Wenn $u \in U(0,1)$ und $y=F^{-1}(u)$, dann ist

$$P(Y \le y) = P( U \le F(y) ) = F(y) = \frac{2}{\pi} arctan(e^y)$$

Somit kann man aus der gleichverteilten Zufallsvariablen $U$ mit obiger Umrechnung die "F(y)"-verteilte Zufallsvariable $Y$ machen! Berechnung in SPSS:

$$Y = LN ( SIN( \frac{\pi}{2} U) / COS( \frac{\pi}{2} U) )$$

Sortiert man die $Y$-Werte, und ordnet ihnen den Wert $casenum/N zu, so kann man auch wieder die empirische Verteilungsfunktion von $Y$ darstellen.

3.] Berechnen Sie 200 Werte der Zufallsvariablen $X$ mit Gleichverteilung $U(0,a)$ mit etwa a=10. Berechnen Sie die neue Zufallsvariable

$$Y = X^3 .$$

Analysieren Sie die Verteilung von Y. Bestimmen Sie theoretisch und in SPSS approximativ die Wahrscheinlichkeit $P(a<Y<2a)$, z.B. für $a=10$.
Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von $Y$ !

Sei $X$ eine Zufallsvariable und $Y=h(X)$, wobei $h$ z.B. stückweise monoton und differenzierbar sei. Dann ist die Dichte von $Y$

$$f_Y(y) = f_X(h^{-1}(y)) \frac{1}{\vert h^{\prime} (h^{-1}(y))\vert}$$

Da $X$ gleichverteilt ist mit $U(0,a)$, wird

$$f_Y(y) = \frac{1}{3 a y^{2/3}} {\rm bei } 0 < y \le a^3 {\rm und } \ \quad 0 \quad {\rm sonst},$$

also erhalten wir

$$P(a<Y<2 a) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & {\rm bei} a<... ...^{1/3} -1 ) & {\rm bei } \sqrt{2} < a \end{array} \right.$$

Werden die Ausprägungen von $Y$ sortiert, so kann die Grenze bei $Y$=10 und bei $Y$=20 abgelesen werden, und es ergab sich im Test als Resultat die Wahrscheinlichkeit zu 0,2708-0,2156=0,0551. Theoretisch sollte herauskommen:

$$\frac{1}{\sqrt[3]{100} } ( \sqrt[3]{2} -1) =0,0560 .$$

Eine zweite Version ist die Belegung einer Zählvariable im Intervall $(10<Y) \& (Y<20)$ etwa mit 1, und ein Aufsummieren dieser Einsen, gegen die Gesamtzahl der Zeilen.