Dr.Quapp: Statistik für Mathematiker mit SPSS

7. Übung - Operationen mit Zufallsvariablen

1.

Es sei $S$ die summierte Augenzahl beim Wurf mit 3 Würfeln.
a) Bestimmen Sie die Einzelwahrscheinlichkeiten $P(S=k)$ für $k=3,...,18$. Für welches $k$ ist $P(S=k)$ maximal?
b) Erzeugen Sie dieses Experiment mit SPSS, indem Sie drei Variable $X, Y$ und $Z$ aus gleichmäßig verteilten Zufallszahlen erzeugen, und $S$ als Summe dieser Zufallszahlen darstellen. Prüfen Sie das Resultat durch ein Balkendiagramm.
c) Mit $B$ bezeichnen wir das Ereignis, daß bei einem Wurf alle Augenzahlen unterschiedlich sind. Bestimmen Sie $P(B)$ und bestimmen Sie $P(X=k\vert B)$ für $k=3,4,...,18$.

2.

a) Für welche Werte $a$ ist $f(x)=a/(e^x+e^{-x})$ eine Dichte? Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion $F$ zu dieser Dichte!
b) Es sei $U\sim U(0,1)$. Bestimmen Sie die Dichte und Verteilungsfunktion von $Y:=F^{-1}(U)$, wobei $F$ die Verteilungsfunktion aus a) ist (Inversionsmethode).
c) Bestimmen Sie mir SPSS Modalwert, Median, und Quartile von $F$. Benutzen Sie dazu 200 Werte von $U\sim U(0,1)$.

3.

Berechnen Sie 200 Werte der Zufallsvariablen $X$ mit Gleichverteilung $U(0,10)$. Berechnen Sie die neue Zufallsvariable

$$Y = X^3 \ .$$

b) Analysieren Sie die Verteilung von Y. Bestimmen Sie theoretisch und in SPSS approximativ die Wahrscheinlichkeit $P(a<Y<2a)$, z.B. für $a=10$.
Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von $Y$ !