Dr.Quapp: Statistik für Mathematiker mit SPSS

4. Übung - Nichtlineare Regression und Partielle Korrelation

1.

a) Es seien $X_i$$\sim$ N(0,1) und $Y_i$$\sim$ N(0,1) unabhängige Zufallsgrößen. Wir bilden

$$W = a X + b Y \ \ {\rm und } \ \ V= a^\prime \ X + b^\prime \ Y .$$

Zeigen Sie, daß Cov(V,W)= a a$^\prime$ + b b$^\prime$ ist.
b) Erzeugen Sie 1000 Zufallszahlen von V und W. Wählen Sie dabei a, a$^\prime$, b, b$^\prime$ so, daß gilt

$$(i) \ \ \rho_{V,W} =0,2 {\rm\ \ bzw. \ \ } (ii) \ \rho_{V,W} =0,0 .$$

2.

Laden Sie die Datei HCN1.sav von D:
Die Werte sind experimentelle Resultate eines Spektrometers, mit welchem Vibrations-Rotationslinien des HCN-Moleküles gemessen wurden. Es wird aus theoretischen Betrachtungen geschlossen, daß einzelne Linien additiv überlagern, und die Bandenform mit der sogenannten Lorenz-Funktion beschrieben werden kann:

$${\rm basislinie} \ - \ \sum_i c_i \frac{a_i}{\displaystyle{(\frac{a_i}{2})^2 + (x-b_i)^2 } }$$

Der Laufindex $i$ gibt die Nummer der Linie an, und a,b,c sind für jede Linie zu findende Parameter: $b_i$ sind die Lageparameter, $c_i$ geben die Größe = Intensität der Linien an, und $a_i$ beschreiben die sogenannte Halbwertbreite. $x$ sei die Achsenvariable.

3.

Es wird ein Zusammenhang vermutet zwischen der Zahl der Geburten $y_i$ eines Landes (je 100 Einwohner) und der Zahl der Störche $x_i$ (pro 100 km$^2$) ??? Der Zusammenhang läßt sich aber stark "auspartialisieren", wenn man den Industrialisierungsgrad $z_i$ mit beachtet (Anteil der Industrieproduktion am Sozialprodukt) Datei stoerche.sav von D:

$$\begin{array}{l\vert rrr} \hline Land & Y & X & Z \\ \hline... ...88 & 27.3 \\ Sudan & 2.02 & 2.33 & 18.1 \\ \hline \end{array}$$

Bestimmen Sie die bivariaten und die partiellen Korrelationen und deuten Sie diese.

4.

Laden Sie die Datei explo.sav von D:

$$\begin{array}{rl\vert rrr} \hline \ & Stoff & T & G & W \\ ... ...etranitromethylanilin & 3370 & 7200 & 340\\ \hline \end{array}$$

Die Werte geben die Wirkung W (in cm$^3$) von verschiedenen Sprengstoffen an, wobei vermutet wird, daß diese abhängt von der Explosionstemperatur T (in $^o$C), und von der Detonationsgeschwindigkeit G (in m/sec).
a) Bestimmen Sie durch lineare Regression die beste Funktion der Art

$$W = a+ b \ T + c \ G \ .$$

b) Bestimmen Sie die bivariaten und die partiellen Korrelationen und deuten Sie diese.