Mathematik I für Chemiker
1. Serie vom 11.10.01

1.

Gegeben seien die Mengen $A = \{ a,b,c,2,3,4\},\, B=\{ a,b\},\, C = \{ c,2\},\, D= \{ b,c\},\, E = \{ a,b,\{ c\} \},\, F = \emptyset ,\, G = \{ \{ a,b\}, \{ c,2\} \}$. Stellen Sie fest, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind:

(a) $c\in A$, (b) $c\in F$, (c) $c\in E$, (d) $\{ c\}\in E$, (e) $\{ c\}\in C$, (f) $B\subset A$, (g) $D\subset A$, (h) $A\subset C$, (i) $D\subset E$, (j) $F\subset A$, (k) $E\subset F$, (l) $B\in G$, (m) $B\subset G$, (n) $\{ B\} \subset G$, (o) $D\subset G$, (p) $\{ D\} \subset G$, (q) $G\subset A$, (r) $\{ \{ c\} \} \subset E$.

Lösung:

a)

$c \in A \to$ wahr

b)

$c \in F \to$ falsch

c)

$c \in E \to$ falsch

d)

$\{c\}\in E \to$ wahr

e)

$\{c\}\in C \to$ falsch, aber es ist $\{c\} \subset C \to$ wahr

f)

$B\subset A \to$ wahr

g)

$D\subset A \to$ wahr

h)

$A\subset C \to$ falsch

i)

$D\subset E \to$ falsch, weil $c \in D$ kein Element von $E$ ist.

j)

$F\subset A \to$ wahr

k)

$E\subset F \to$ falsch

l)

$B\in G \to$ wahr

m)

$B\subset G \to$ falsch

n)

$\{B\}\subset G \to$ wahr

o)

$D\subset G \to$ falsch

p)

$\{D\}\subset G \to$ wahr

q)

$G\subset A \to$ falsch

r)

$\{\{c\}\}\subset E \to$ wahr

2.

Geben Sie die Potenzmenge jeder der folgenden Mengen an:

a)

$\{ a,b,c\}$,

b)

$\{ a\}$,

c)

$\emptyset$,

d)

$\{ \emptyset \}$.

Lösung:

a)

$A=\{a,b,c\}, \quad P(A)=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}$
damit $\vert P(A)\vert= 8 = 2^3$

b)

$$B=\{a\}, \quad P(B)=\{\emptyset,\{a\}\} \to \vert P(B)\vert=2=2^1$$

c)

$$C=\emptyset, \quad P(C)=\{\emptyset\} \to \vert P(C)\vert=1=2^0$$

d)

$$D=\{\emptyset\}, \quad P(D)=\{\emptyset,\{\emptyset\}\} \to \vert P(D)\vert=2=2^1$$

3.

Seien die Mengen $A=\{ a,b,c\},\, B=\{ c,d\},\, C=\{ d,e,f\}$ gegeben.

Was sind (i) $A \cup B$, (ii) $A\cap B$, (iii) $A\cup (B\cap C)$, (iv) $C\cup A$, (v) $B\cup \emptyset$, (vi) $A\cup (B\cup C)$, (vii) $A\setminus B$?

Lösung:

(i)

$A\cup B= \{a,b,c,d\}$

(ii)

$A\cap B=\{c\}$

(iii)

$A\cup (B\cap C)=\{a,b,c,d\}$

(iv)

$C\cup A=\{a,b,c,d,e,f\}$

(v)

$B\cup \emptyset=\{c,d\}$

(vi)

$A\cup (B\cup C)=\{a,b,c,d,e,f\}$

(vii)

$A\setminus B=\{a,b\}$

4.

a)

Gegeben sei die Abbildung $A= \{ (7,3),\,(1,4),\, (0,6),\, (4,6),\, (5,7)\}$. Geben Sie den Definitions- und Wertebereich an. Ist die Abbildung $A$ eineindeutig, eindeutig oder keines von beiden?

Lösung:A meint $7\to 3, 1\to 4,0\to 6,4\to 6,5\to 7$

$$\Rightarrow Definitionsbereich\;D=\{0,1,4,5,7\}$$

$$\Rightarrow Wertebereich\;W=\{3,4,6,7\}$$

A ist eindeutig, da jedem Urbild ein Bild zugeordnet wird
A ist nicht eineindeutig, da dem Bild $''6''$ zwei Urbilder zugeordnet werden

b)

Modellieren Sie die folgenden Sachverhalte durch eine Abbildung. Beschreiben Sie Definitionsbereich, Wertebereich, Bilder und Urbilder näher.

(i)

Von einer chemischen Substanz stehen 12 (gleiche) Mengeneinheiten zum Verkauf bereit. Beim Verkauf einer Mengeneinheit der Substanz wird ein Erlös von $p$ Geldeinheiten erzielt. Der (Gesamt)-Erlös wird in Abhängigkeit von der Anzahl g der verkauften Mengeneinheiten $(g = 1,\dots ,Q)$ ermittelt.
Lösung:
$Q=12$ Mengeneinheiten, Verkauf: Preis p, Menge q
Erlös $E(q)=p*q,\; q=1,\ldots,12$,
$p$=Anstieg der linearen Funktion $E(q)$

(ii)

In einem geschlossenen Behälter mit konstantem Volumen befindet sich ein Gas, das Temperaturschwankungen im Bereich von $T_1$ bis $T_2$ unterworfen wird. Der Druck des Gases wird in Abhängigkeit von der Temperatur gemessen.
Lösung:

$$T_1\le T\le T_2,\qquad V=konstant (isochor)$$

Druck: Zustandsgleichung für ideales Gas
m: Gasmasse, R: spezielle Gaskonstante

$$p*V=m*R*T$$

$$\Rightarrow p=p(T)=\left(\frac{mR}{V}\right)\,T$$

$$\left(\frac{mR}{V}\right)\to Konstante \Rightarrow also\quad ist \quad p(T) \quad lineare\quad Funktion$$

Diese Lösungsblatt wurde von Martin Zschache erstellt.

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