19.

Damit vier Vektoren als linear unabhängig gelten können, dürfen sie in folgender Vektorgleichung nur die Null-Lösung zulassen:

\begin{displaymath} \left( \begin{array}{c} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ \end{array}\right) \alpha \end{displaymath} + \begin{displaymath} \left( \begin{array}{c} 2\\ 0\\ 1\\ -1\\ \end{array}\right) \beta \end{displaymath} + \begin{displaymath} \left( \begin{array}{c} -1\\ 0\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right) \gamma \end{displaymath} + \begin{displaymath} \left( \begin{array}{c} 0\\ 2\\ 3\\ 0\\ \end{array}\right) \delta \end{displaymath} = \begin{displaymath} \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

Dies ist ein homogenes Gleichungssystem:

I: $ \alpha$ 1 + $ \beta$ 2 + $ \gamma$ (-1) + $ \delta$ 0 = 0
II: $ \alpha$ 2 + $ \beta$ 0 + $ \gamma$ 0 + $ \delta$ 2 = 0
III: $ \alpha$ 3 + $ \beta$ 1 + $ \gamma$ 0 + $ \delta$ 3 = 0
IV: $ \alpha$ 4 + $ \beta$ (-1) + $ \gamma$ 1 + $ \delta$ 0 = 0

aus II folgt: $ \alpha = -\delta$,
in III folgt: -3 $ \delta + \beta +3\delta =0$ , also $ \beta =0$ .
Damit folgt aus I: $ \alpha = \gamma$ . Und noch aus IV: $ 5 \gamma =0$, also auch $ \alpha =0$ und $ \delta = 0$. Folglich sind die vier Vektoren linear unabhängig.

Dr.Wolfgang Quapp 2002-11-26