Linear algebraic groups
by
T.A. Springer
Birkhäuser, Boston 1981

Problem:
Die Operation eines Gruppenelements gÎG durch Linkstranslationen auf den Funktionen f:G®k wird unten mit l bezeichnet. Dabei ist es manchmal sinnvoll
(lf)(x) = f(gx)
zu setzen und manchmal
(lf)(x) = f(gx)
(damit man wieder eine Linksoperation erhält). 
Vorschlag:
Vielleicht sollte man für die erste Art der Defintion das Symbol L verwenden, d.h. die naive Art der Operation werde mit L bezeichnet und die ‘theoretische’ mit l ?

Notation
a:Der(k[G], k[G]) ® TG	evaluation of the vector fields on the linear algebraic group G at eÎG, 3.3.5
a	nilpotent part of the linear endomorphism a, convention behind 2.4.5
a	semi-simple part of the linear endomorphism a, convention behind 2.4.5,
	semi-simple part of the element a of an algebraic group, 2.4.8.
a	unipotent part of the linear endomorphism a, convention behind 2.4.5
	unipotent part of the element a of an algebraic group, 2.4.8.
B(G)	Varietät der Borel-Untergruppen der zusammenhängenden linearen algebraischen Gruppe G, vgl. 7.3.10
B(G)	Varietät der Borel-Untergruppen der zusammenhängenden linearen algebraischen Gruppe G, die den maximalen Torus T enthalten,vgl. 8.1.6
D(B)	Menge der einfachen Wurzeln bezüglich der Borel-Untergruppe B, vgl. 10.1.10
End(V)	the algebra of endomorphisms of the finite dimensional k-vector space V, 2.4.1
GL(V)	the group of invertible endomorphisms of the k-vector space V, 2.4.1
gl	Lie algebra of n´n-matrices over k, 3.3.9(3)
gl(V)	Lie algebra of endomorphisms of the vector space V, 3.3.13
G	die zur Wurzel a gehörige Gruppe vom halbeinfachen Rang 1, vgl. 9.1.8
G	set of fixed points of the automorphism s:G®G, 4.4.1
L	left translation on a linear algebraic group G by the group element gÎG, 2.3.4 first and second part
M	k-algebra of all nxn -matrices
M(x)	fiber of the module M at the point x, 3.2.15
m(s,t)	Ordnung des Produkts der Spiegelungen s und t in der Weyl-Gruppe, vgl. 10.2.3
N(H)	Noramlisator der abgeschlossenen Untergruppe H in der linearen algebratischen Gruppe G, 2.5.11
l	left translation on the coordinate ring of a linear algebraic group G by the group element gÎG, 2.3.4 second part
P(V)	projectivation of the k-vector space V, proof of 5.1.4
R	right translation on a linear algebraic group G by the group element gÎG, 2.3.4 second part
R(B)	Menge der positiven Wurzeln zur Borel-Untergruppe B, vgl. 9.3.1
r	right translation on the coordinate ring of a linear algebraic group G by the group element gÎG, 2.3.4 second part
S(B)	Menge der Spiegelungen zu den einfachen Wurzeln bezüglich der Borel-Untergruppe B, vgl. 10.1.10
s	action on the coordinate ring of a G-space, 2.3.3
Z(D)	centralizer of the diagonalizable group D in the lineare algebraic group G, 4.4.6
z(D) centralizer of the diagonalizable group D in the Lie group of the linear algebraic group G, 4.4.6
1. Some algebraic geometry
1.9. Some results on morphisms
xxx Eine Anwendung von Zariskis Hauptsatz
Sei f: X ® Y ein bijektiver Morphismus algebraischer Varietäten mit folgenden Eigenschaften.
1.	 X und Y sind irreduzibel.
2.	Y ist normal.
3.	f ist separabel.
Dann ist f ein Isomorphismus.
Beweis. Nach Zariskis Hauptsatz (vgl Milne, Etale Cohomology) zerfällt f in eine Zusammensetzung
f: X  X’  Y
aus einer offenen Einbettung f’ und einen endlichen Morphismus f”. Wir können dabei X’ durch die Abschließung des Bildes von f’ ersetzen, also annehmen,
4.	X’ ist irrreduzibel
5.	Im(f’) liegt dicht in X’.
Wegen der Bijektivität von f gilt nach dem Satz von der Dimension der Faser,
6.	dim X = dim Y = dim X’.
Wegen 5 hat die abgeschlossene Menge
S :=  X’ - Im(f’)
eine kleinere Dimension als X’. Dasselbe gilt für das Bild von S in Y. Insbesondere ist
f”(S)
eine echte abgeschlossen Teilmenge von Y. Außerhalb von f”(S) sind bestehen alle Fasern von f” aus genau einem Punkt (wegen der Bijektivität von f). Deshalb ist der Separabilitätsgrad von f” gleich 1. Wegen 3 folgt
1 = deg f” = [k(X’): k(Y)].
Mit anderen Worten, f” ist birational,
6.	k(X’) = k(Y).
Als endlicher Morphismus ist f” affin. Die affinen Koordinatenringe von X’ sind daher gerade die Normalisierungen in k(X’) = k(Y) der affinen Koordinatenringe von Y. Weil Y normal ist (vgl. 2), muß f” ein Isomorphismus sein. Wir können also annehmen
X’ = Y, f”  = Id.
Die offene Einbettung f’ ist dann aber surjektiv, d.h. f = f’ ist ein Isomorphismus.

QED.
Bemerkung
Die Bedingung, daß Y normal ist, kann man nicht weglassen: Man nehme für Y die semikubische Parabel und für f: X ® Y die Aufblasung in der Spitze.
1.9.3 Extending ring homomorphism into algebraically closed fields I
Lemma
Let B be an integral domain and A a subring such that B=A[b] for some b Î B.
Write
B=A[T]/I
where I is the ideal of all f(T) Î A[T] with f(b)=0. Denote by J(I)ÍA the set of the leading coefficients of the polynomials of I. It is easy to see that J(I) is an ideal. Let f:A ® F be a homomorphism into an algebraically closed field F such that fJ(I)¹0. Then f can be extented to a homomorphism B ® F.

Proof. Let
f=f+fT+...+fTÎ I
be a polynomial of minimal degree in I satisfying
f(f)¹0.
Extend f:A ® F to a homomorphism f':A[T] ® F[T] mapping the variable T into itself.
Assume that the ideal f'(I)Íf'(A[T]) doesn't contain non-zero constants, hence generates a proper ideal in F[T]. If z Î F is a zero of this ideal,
f'(I)×F[T]Í(T-z)F[T],
then the composition
A[T] F[T] ® F,
 where the second homomorphism maps T into z, has a kernel containing I, hence factors
B=A[T]/I ® F,
giving this way the required extension of f to B.
Now assume that f'(I) contains a nonzero constant. We will prove that this case is impossible. The assumption means that there is a polynomial
g=g+gT+...+gTÎ I with f(g)¹0, f(g)=0 for i>0.
The division algorithm shows that there are polynomials q,r Î A[T] and an integer d>0 such that
fg = qf+r and deg r < m.
Then f(f)f(g) = f(q)×f(f)+f(r). Since ff has degree m>0, this is possible only in case f(q)=0, so that f(r) is also a non-zero constant. Replacing g by r we may assume that
n = deg g < m.
If m=1, g Î I is a non-zero element of A, contradicting the assumption AÍB. So assume m>1 and that the assertion of the lemma is true for smaller values of m.
For every polynomial h=h+hT+...+hTwith h¹0 define to be
= h+hT+...+hT = h()×T.
Claim: the set of polynomials Twith h Î I and a³0 form an ideal of A[T].
Let h:=h'×T+h''×T. Then
		= (h'()×T+h''()×T)×T
		= ×T+ ×T
showing that the sum of two elements in is again in .
Now let h:=h'×h''×T. Then
		= (h'()×h''()×T)×T
		= ×,
hence the product of an element of with an arbitrary polynomial is again in . This proves the claim.
Using the claim, we are going to ...
1.9.4 Extending ring homomorphism into algebraically closed fields II
Lemma
Let B be an integral domain and A a subring such that B is of finite type over A. Given any non-zero b Î B there exists some non-zero a Î A such that every homomorphism f: A ® F with f(a)¹0 where F is an algebraically closed field can be extented to a homomorphism f:B ® F with f(b)¹0.

Proof. Write B=A[b,...,b]. By induction we may assume r=1, i.e., B=A[b]=A[T]/I for some prime ideal I.
Assume first that I is non-zero. Let f Î I be non-zero of minimal degree and let a' be the leading coefficient of f. The division algorithm applied to g Î A[T] shows,
g Î I 	Û	 f| (a')g for some d Î N.
Since I is prime and a similar criterion holds in the polynomial ring Q(A)[T], f is irreducible over Q(A).
Now let g Î I represent the given element b. Since b¹0, hÏI. Since f is irreducible over Q(A), f and h are coprime over Q(A), i.e., there are u,v Î A[T] and a'' Î A-{0} with
(*)					uh+vf = a''.
Claim: a := a'×a'' satisfied the the conditions of the lemma.
For, if f(a)¹0, the leading coefficient of f Î I is mapped to something non-zero, hence f can be extented to B by the previous lemma. Passing to the residue classes modulo I, identity (*) gives u(b)b = a'', hence f(u(b))f(b) = f(a'')¹0, hence f(b)¹0. This settles the case that I is non-zero. The case I=0 is easy.
1.9.5. The image of a morphism
Theorem
Let f:X ® Y be a morphism of varieties. Then fX contains a non-empty open piece of .

Proof. Using suitable coverings of X and Y by affine open sets one sees that it suffices to consider the case that X and Y are affine. If X,...,Xare the components of X, then = È...Èand one sees that one can assume X to be irreducible. We may then also replace Y by . Thus we are reduced to the case that X and Y are affine and irreducible and that = Y. Given an integral domain B(:=o(X)) and a subring A(:=o(Y)) of B such that B is of finite type over A, it will be sufficient to show that there is some a Î A such that each p Î D(a) is the restriction of some P Î Spec B. For the latter is will be enough to show that the natural homomorphism
A ® A/p Í algebraic closure of Q(A/p)
can be extented to a homomorphism on B. But this is the claim of 1.9.4 with b=1.
2. Linear algebraic groups, first properties

Notation:
k is an algebraically closed field.
2.1. Algebraic groups
2.1.1 Definitions(algebraic group, linear algebraic group, homomorphism, direct product
An algebraic group over k is a variety G, which is also a group, such that the maps defining the group structure,
p:G´G ® G, (x,y)€xy
i:G ® G, x€x
are morphisms of varieties. If the underlying variety is affine, then G is called to be a linear algebraic group. These are the ones we shall concerned with (it is common to use the term 'linear' instead of 'affine' in this context).
Let G and G' be algebraic groups. A morphism of varieties f:G ® G' is a homomorphism of algebraic groups if it is also  a group homomorphism. It is an isomorphism of algebraic groups if it is an isomorphism of varieties and of groups. Automorphisms are defined similarly.

Let G be a linear algebraic group, and put A:=k[G]. Then the group structure of G is defined by algebra homomorphisms
p*:A ® AÄA
i*:A ® A,
and the identity element e gives rise to a homomorphism A ® k. These have to satisfy a number of conditions, reflecting the group axioms (see the next exercise).

The underlying set of the product variety G´G' can be considered to be the set-theoretical product and can be equipped with the usual direct product group structure. This  makes G´G' into an algebraic group, the direct product of the algebraic groups G and G'.
2.1.2 Exercises
(1)	Let A,p*,i* and e as above. Denote by g:G ® G the constant morphism g€e. The corresponting algebra homomorphism g*:A ® A is given by g*f=f(e). Show that the group axioms for G are expressed by the commutativity of the following diagrams:

(2)	Check that G´G', as defined above, is indeed an algebraic group.
(3)	Let G be an algebraic group and H a closed subset of G which is also a subgroup. Let f:H ® G be the inclusion map. There is a structure of algebraic group on H such that f is a homomorphism of algebraic groups.
(4)	Define a notion of pre-algebraic group, starting with a prevariety G, instead of a variety. Show that a pre-algebraic group is an algebraic group.
2.1.3 Examples
(1)	The additive group
G=A, with addition as group operation. This defines a linear algebraic group, with A=k[T]. It is called the additive group and denoted G. The algebra homomorphisms induced by the group operations are as follows:
p*:A ® AÄA, T € TÄ1+1ÄT
i*:A ® A, T € -T
e:A ® k, T € 0
(2)	The multiplicative group
G=A-{0}, with multiplication as group operation, is an algebraic group called the multiplicative group and denoted G. Its coordinate ring is A=k[T,T] and the group operations induce algebra homomophisms
p*:A ® AÄA, T € TÄT
i*:A ® A, T € T
e:A ® k, T € 1.
If n is any non-zero integer, then f:G® G, x € xdefines a homomorphism of algebraic groups. If k has characteristic p>0, and n is a power of p, then f is an isomorphism of abstract groups but not of algebraic groups (since f*:A ® A is not surjective, see 1.4.8(3)).
(3)	The general linear group
Consider the space Mof all n´ n- matrices to be k. If x Î M, let det(x) its determinant. The general linear group GLis the principal open set {x Î M| det(x)¹0}, with matrix multiplication as group operation. Is coordinate ring is
A:=k[GL] = k[T, D| i,j=1,...,n]
where D:=det(T). The group operations induce algebra homomorphisms
p*:A ® AÄA, T€ TÄT
i*:A ® A, T€ (T)
e:A ® k, T€ d,
where T denotes the matrix with Tat position (i,j).
GLis an irreducible variety of dimension nsince so is M.
(4)	Closed subgroups of the general linear group
Any subgroup of GLwhich is closed in the Zariski topology, is a linear algebraic group. Here are a number of examples.
(a) finite subgroups.
(b)	D	:=the group of nonsingular diagonal matrices.
(c)	T	:=the group of upper triangular matrices. By definition,
T:={x=(x) Î GL| x=0 if i>j}.
(d)	U	:=the group of unipotent upper triangular matrices. By definition,
U:={x=(x) Î T| x=1 for every i}.
(e)	SL:=the special linear group,
SL:={x Î GL| det(x)=1}.
(f)	O:=the orthogonal group,
O:={x Î GL| x×x=1},
where xdenotes the transpose of x.
(g)	SO:=the special orthogonal group, SO:=SLÇO.
(h)	Sp:=the symplectic group,
Sp:={x Î GL| x××x = }.
(5) Non-linear algebraic groups
As examples of non-linear algebraic groups (not needed in the sequel) we mention the elliptic curves. These are closed subsets of the projective plane P. Assuming for convenience that char(k)¹2,3 such a group G can be defined as the set
G:={(x,x,x) Î P| xx= x+axx+bx},
where a,b Î k are such that the polynomial T+aT+b has no multiple roots.
The neutral element e is (0,0,1). The group operation of G is abelian, and is written additively. It is such that if three distinct points of G are collinear (i.e., if their homogeneous coordinates satisfy a nontrivial linear equation cx+cx+cx=0), then their sum is e. This defines the addition, and it is easy to check that if 
x=(x,x,x) Î G, then -x = (x,x,-x).
The addition may, in fact, be given explicitely by formulas, which are, however, not very enlightening. A proof of the associativity of the group operation starting from these formulas would be quite glumsy.
There are better, more geometric ways, to deal with the group structure on such a curve, We refer to [21, p. 321].
2.1.4 Exercises
(1)	Let V be a finite dimensional vector space over k. Define a linear algebraic group GL(V) whose underlying abstract group is the group of all invertible linear maps V ® V, and which is isomorphic to GL.
(2)	 Chech that all subgroups of GLof 2.1.3(4) are indeed closed.
(3)	Write A:=k[SL] = k[T,T,T,T]/(TT-TT-1)=k[t,t,t,t] (tdenoting the residue class of T). Let p:SL´SL® SLand i:SL® SLdefine the group structure of SL, and let  B be the subalgebra of A generated by the products tt.
(a)	Show that p*(B)ÍBÄB and deduce that  there is an algebraic group PSLwith coordinate ring B, together with a homomorphism of algebraic groups SL® PSLhaving kernel {+1,-1}. It is not an isomorphism algebraic groups.
(b)	Assume char(k)¹2. Then B is the algebra of functions f Î A such that f(-x)=f(x) for all x Î SL.
(c)	Assume char(k)=2. Then the homomorphism SL® PSLof (a) is an isomorphism of abstract groups.
(4)	Show that the group Uof 2.1.3(4d) is solvable (it is even nilpotent).
2.2. Elementary properties of algebraic groups
2.2.0. The translation isomorphisms
Let G be an algebraic group. If g Î G, the maps
G ® G, x € gx, and G ® G, x € xg
are isomorphisms of the variety G. We shall often use this.
2.2.1. The connected component of the identity element
Proposition.
(i)	There is a unique irreducible component Gof G containing the identity element e; it is a closed normal subgroup of finite index.
(ii)	Gis the connected component of e, for the Zariski topology.
(iii)	Any closed subgroup H of G of finite index contains G.
Proof. (i). Let X and Y be irreducible components of G containing e. Let
p:G´G ® G and i:G ® G
be the morphisms defining the group operations of G. Then
XY:= p(X´Y)
is irreducible, and the same is true for its closure . By assumption, e is contained in X and Y, hence XÍand YÍ, hence X = = Y, the latter being a consequenc of the fact that there is no inclusion relation between irreducible components.
In the special case X=Y we see that X=, hence X=XX, hence X is closed und multiplication. Note that Xis an irreducible component containing e (since i:G ® G is an isomorphism) so that the above implies X=X. We have proved that X is a closed subgroup of G. For every x Î G, xXxis an irreducible component containing e (since conjugation with x is an isomorphism), hence coincides with X. It follows that X is a closed normal subgroup. Every coset xX of X is an irreducible component of G (since multiplication by x is an isomorphism), hence the number of such cosets must be finite. 
This completes the proof of (i).
(ii). Write X:=G. The complement of X in G is a union of finitely many cosets of X (see the last assertion of (i)), hence a union of finitely irreducible components. Therefore, G-X is a closed set and X is open (and closed) in G. Moreover, as an irreducible set, X must be connected. Thus X is a maximal conneced subset of G containing e. This proves (ii).

(iii). Let HÍG be a closed subgroup with finite index. Then G-H is the union of finitely many cosets xH. Each such coset being closed, the complement G-H must be closed. Therefore, H is simultaneously open and closed in G. Since e is in H, the connected component of e must be in completely in H, GÍH, as claimed.

Remarks and conventions.
(i)	It follows from the above Proposition 2.2.1 that for an algebraic group the notions of connectedness and irreducibility coincide. It is usual to speak of a connected algebraic group, and not of an irreducible one. We follow this convention.
(ii)	In the sequel, we always denote by Gthe identity component of an algebraic group G. Dimensions being defined as in 1.8.1, if follows from the above Proposition 2.2.1 that
dim G = dim G
2.2.2. Exercises
(1)	The groups G, G, D, U, GL, SLof 2.1.3 are all connected. If char(k)¹2, the group Ois not connected (then SOand Spare also connected, but this requires a bit more work, see 6.14).
(2)	The variety V(TU) in Adefined by the equation TU=0 is connected, but reducible (hence it cannot be the underlying variety of an algebraic group).
(3)	Let G be a connected algebraic group and N a finite normal subgroup of G. Then N lies in the center of G (Hint: let n Î N and consider the morphism g€gngof G into N).
2.2.3. Dense open subsets
Lemma
Let U and V be dense open subsets of G. Then U×V = G.
Proof. Let x Î G. Then xVand U are both open and dense in G, hence they have a non-empty intersection. This means that x Î UV.

Remark
Note that if G is connected, every non-empty open subset is dense. In that case we need only require U and V to be open and non-empty.

2.2.4. The closure of a subgroup
Proposition
Let H be a subgroup of G.
(i)	Its closure is a subgroup of G.
(ii)	If H contains a non-empty open subset of , then = H.
Proof. (i). Let x Î H. Then H=xHÍx. Since xis closed, Íx, hence xÍ. Since x is arbitrary, H×Í.
Now let x Î . Then, as we have just seen, HxÍ, hence
 x = Í
the identity on the right comming from the fact that multiplication by x is an isomorphism. Again, since x is arbitrary, ×Í . We have proved, is multiplicatively closed. Moreover, since x € xis an isomorphism,
()= = .
We conclude that is a group.
(ii). Let UÍH be a non-empty and open in the closure . Then H, being a union of translates of U, is also open in . But then by 2.2.3, =H×H=H.

2.2.5. The image and the kernel of a homomorphism
Proposition
Let f: G ® G' be a homomorphism of algebraic groups.
(i)	Ker f is a closed subgroup of G.
(ii)	fG is a closed subgroup of G'.
(iii)	f(G) = f(G).
Proof. (i). Since f is continuous, Ker f = fis closed in G.
(ii). By 1.9.5 we know that fG contains a non-empty open piece of its closure , hence fG is closed by 2.2.4(ii).
(iii). fG is an algebraic group (by (ii)) containing f(G) as a connected normal subgroup of finite index (by 2.2.1). f(G) is closed in fG by (ii), hence f(G)Íf(G) by 2.2.1(iii). Since f(G) is connected and f(G)is the connected component of e, f(G) = f(G).
2.3. G-spaces
2.3.1 G-spaces, morphisms of G-spaces, isotrophy groups, regular representations
A G-variety, or G-space, is a variety X, on which G acts as a permutation group, the action being given by a morphism of varieties.

More precisely, there is a morphism of varieties
a:G´X ® X, (g,x) € g×x,
such that g×(g'×x) = (gh)×x and e×x=x. The variety X is called homogeneous space for G if it is a G-space on which G acts transitively. If, moreover, the action is simply transitive, X is called a principal homogeneous space.

Let X and Y be G-spaces. A morphism f:X ® Y is a G-morphism, or is said to be equivariant, if
f(g×x)=g×f(x) for g Î G and x Î X.
Note that, if Y is a homogeneous space, f is automatically surjective.

Let X be a G-space. If x Î X its orbit is the set
G×x := {g×x | g Î G}.
Note that the group G acts transitively on G×x. We will see below that orbits are homogeneous spaces (see 4.3.1(i) and 4.3.5(2)).

The isotropy group of x Î X in G is the subgroup
G:= {g Î G | g×x=x}.
Note that Gis closed since it is the inverse image of x under the morphism G ® X, g € g×x.

Let V be a finite dimensional vector space over k. A homomorphism of algebraic groups
f: G ® GL(V)
is called a rational representation of G in V. In this case, V can be considered as a G-space, defining the action by
G´V ® V, (g,v) € f(g)(v).
From Exercise 2.3.2(3) below we see that P(V) can be considered as a GL(V)-space.

G-space structures on G itself
(i)	Action by inner automorphisms. Define the action as
G´G ® G, (g,x) € gxg.
Note that G cannot be a homogeneous space under this action (except for G={e}).
(ii)	Action by left translations. Define the action by
G´G ® G, (g,x) € gx.
Under this action, G is a principal homogeneous space.
(iii)	Action by right translations. Define the action as
G´G ® G, (g,x) € xg.
Again, G is a principal homogeneous space.
2.3.2 Exercises
(1)	Let G be a closed subgroup of GL. Then Acan be made into a G-space, which is not homogeneous.
(2)	The action of G=GLon Adefines an action of G on Pwhich makes Pinto a homogeneous space. Describe the isotropy group of a point. The induced action of G on P´Pis not homogeneous, in fact G has 2 orbits in P´P.
(3)	Generalize the results of (2) to GLand P.
Convention
From now on we assume that G is a linear algebraic group.

2.3.3 Action on the coordinate ring of a G-space
Let X be an affine G-space, and let a:G´X ® X define its action on X. Then
k[G´X] = k[G]Äk[X]
and a defines an algebra homomorphism
a*:k[X] ® k[G]Äk[X].
Consider the representation
s:G ® GL(k[X]), g € (f € f°L)
 of G in the (on the possibly infinite dimensional) vektor space k[X]. Here 
L: G ® G, x € gx,
denotes left translation by g Î G. From the result that follows we see that the representation s is locally finite, i.e., that k[X] is a union of finite dimensional subspaces which are s(G)-stable.
2.3.4 Local finiteness of the action on the coordinate ring of a G-space
Proposition
Let X be an affine G-space, let a:G´X ® X define its action on X, and let F be a finite dimensional subspace of k[X].
(i)	There is a finite dimensional subspace E of F in k[X] which contains F and is stable under every s(g) with g Î G.
(ii)	F is stable under every s(g), gÎG, if and only if
a*FÍk[G]ÄF.
Proof. (i). We may assume that F is 1-dimensional,
F=kf
for some fÎk[X]. Write
a*f = uÄf (uÎk[G], fÎk[X]).
Then
s(g)f(x) = f(gx) = f(a(g,x)) = (a*f)(g,x)=  u(g)×f,
and we see that every s(g)f is in the subspace
E' := k×f
of k[X] spanned by the functions f. In particular, the subspace
E := k×s(g)f
of E’ spanned by all functions s(g)f with g Î G is finite dimensional, hence satisfies the requirements of (i).
(ii). Let f,...,fbe a k-linear basis of F. Then if
a*FÍk[G]ÄF,
there are functions uÎ k[G] with
a*f= uÄf
for every j. Therefore,
(s(g)f)(x) = f(gx) =  u(g)f(x).
This holds for every xÎX, i.e.,
(s(g)f) = f(gx) =  u(g)f,

and s(g)f is in F for every g. This shows that F is stable under the action s.
Conversely assume that F is stable under s. As above, let f,...,fbe a k-linear basis of F. Extent it to a k-linear basis {f}È{g} of k[X]. Then
{1f}È{1g}
is free generating system of k[G]k[X] over k[G].
Let f Î F and write
a*f = uÄf+ vÄg with u,v Î k[G].
Then
s(g)f = u(g)f+ v(g)g.
Since {f}È{g} is a basis and s(g)f is in F by assumption, v=0 for every g Î G. Hence the functions vare identically zero and a*f is in k[G]ÄF for every f Î F. This completes the proof of (ii).
QED.

The action of G on its coordinate ring by left or right translations
Let
L:G´G ® G, (g,x) € L(x):=gx,
and
R:G´G ® G, (g,x) € R:=xg,
denote the action of G on itself by left and right translations, respectively. For f Î k[G] define
l:= f°Land r:= f°R.
Then l= l°land r= r°r, i.e.,
l:G´k[G] ® k[G], (g,f) € l:=f°L,
and
r:G´k[G] ® k[G], (g,f) € r:=f°R,
are representations of G on the vector space k[G]. These representations are faithfull:
if l=id, then f°L=f hence f(g)=f(e) for every f Î k[G], hence g=e, i.e., g=e. A similar arguments works for r.

Note that if ix := x, then
r(g) = i*l(g)(i*).

2.3.5 Linear algebraic groups as subgroups of GL
Theorem
Let G be a linear algebraic group. Then there is an isomorphism of G onto a closed subgroup of some GL.
Proof. Take some finite-dimensional subspace of k[G] generating k[G] as a k-algebra. By the previous result we may assume that this subspace is stable under the action of G on k[G] via left translations l. Let f,...,fÎ k[G] be a basis of this subspace. Then
k[G] = k[f,...,f]
and
f(gx) = (lf)(x) = m(g)f(x)
for certain regular functions mÎ k[G]. Then
f:G ® GL, g € (m(g)),
is a group homomorphism which is obviously a morphism of linear algebraic groups.
f is injecitive: if f(g) = id, i.e., lf= ffor every i, then f=ffor every i. Since the polynomials fgenerate k[G], f(g)=f(e) for every f Î k[G]. In particular, g and e have the same affine coordinates, hence g=e.
f is a closed embedding: the algebra homomorphism induced by f on the coordinate rings is given by
f*:k[T, D] ® k[G], T€ m.
Since 
f(g) = (lf)(e) = m(g) f(e)
for every g, i.e.,
f= mf(e)

In other words, the polynomials f are in the image of f*. Since these polynomials generate k[G], we see that f* is surjective. But this means that f is a closed embedding.
QED.
2.3.6 Invariance of the ideal defining a subgroup
Lemma
Let G be a linear algebraic group, let HÍG be a closed subgroup. Then
				H	= {x Î G | lI(H) = I(H)}
					= {x Î G | rI(H) = I(H)}
Here l denotes left translation with x, r right translation with x, and I(H)is the ideal of H in k[G].
Proof. It is sufficient to prove the identity for left translations.  Note that the set on the right does not change if one replaces the defining identities
lI(H) = I(H)
by corresponding inclusions
lI(H) Í I(H).
For x,y Î H and f Î I(H),
(lf)(y) = f(xy) = 0,
hence lf Î I(H) for every xÎH and every fÎI(H). Conversely, if lf Î I(H) for every function f Î I(H), then
f(x) = (lf)(e) = 0,
hence xÎ H, hence x Î H.
QED.
2.3.7 Exercise
Let G be a linear algebraic group and X an affine G-variety. Show that there is an isomorphism y:X ® Aof X onto a closed subvariety of some A, and a rational representation f:G ® GLsuch that y(g×x)=f(g)y(x) for g Î G, x Î X (Hint: adapt the proof of 2.3.5).
Solution. As in the proof of 2.3.5 take a finitely generated linear subspace VÍk[X] generating k[X] as an algebra over k and invariant under the action of G via left translations. Let dim V = n and write
V = kf+...+kf
f(gx) = m(g) f(x).
Then
	f(ghx)	= m(g) f(hx) = m(g)m(h)f(x)
			= m(gh) f
Comparing coefficients we see that
f:G ® GL, g € (m(g)),
is a homomorphism of linear algebraic groups. Moreover, consider
y: X ® A, x € (f,...,f).
Since the functions f generate k[X], this is a closed embedding. By construction, the following diagram is commutative:

for
m*°y*(T) = m*(f) = mf
and
(f*Äy*)°n*(T) = (f*Äy*)(TÄT) =  mf
Hence we have a commutative diagram

as required. Here m denotes the action of G on X and n the natural action of GLon A.
2.4 Jordan decomposition
2.4.1 Semi-simple, nilpotent, and unipotent Automorphisms
Let V be a finite dimensional vector space over k. An endomorphism a:V  ®  V is semi-simple if there is a basis of V consisting of eigen vectors of a. We say that a is nilpotent if a=0 for some N and that a is unipotent if a-1 is nilpotent.

Note that if the characteristics p of k is posititive, a is unipotent if and only if a=1 for some s>0.

We denote by

	End(V)		the algebra of endomorphisms of V
	GL(V)		the group of invertible endomorphisms of V

If dim V = n we may view End(V) as the algebra M of all nxn -matrices and GL(V) as GL.

2.4.2 Simultaneous diagonalization

Lemma
Let S Í Mbe a set of commuting matrices.
(i)	There is some x  Î  GLsuch that xSxconsists of upper triangular matrices.
(ii)	If all elements of S are semi-simple, there exists some x  Î  GLsuch that xSxconsists of diagonal matrices.

Proof. Let s:V ® V be an Endomorphism and let WÍV be the eigenspace of s belonging to the eigenvalue l,
W := {x Î V| sx=lx}.
Then W is stable under every endomorphism s':V ® V commuting with s. For, x Î W implies 
s(s'x)=s's(x)=s'(lx)=ls'(x),
 i.e., s'(x) Î W.

(i). The claim means, there is a flag
0=WÍWÍ...ÍWÍW =V
of S-stable linear subspaces WÍV with dim W = i. We may assume that S is a linear subspace of M. Given any non-zero s  Î  S, let W Í V denote any nonzero eigenspace of s. In case all s  Î  S are scalar multiplications, the claim of the lemma is trivial. Otherwise there is some s, such that W is a proper subspace, which is S-stable because of the assumption about S. The claim follows now by induction on n = dim V.
(ii) is proved similarly, using decompositions of V in a direct sum of eigenspaces of the elements sÎS instead of flags of invariant subspaces.
QED.

2.4.3 Operations with semi-simple, nilpotent, unipotent Endomorphisms
Lemma
Let V be a finite dimensional vector space over k.
(i)	The product of two commuting semi-simple (nilpotent, unipotent) endomorphisms of V is semi-simple (nilpotent, unipotent, respectively).
(ii)	If a:V ® V and b:W ® W are semi-simple (nilpotent, unipotent), then the same is true for
aÅb Î End(VÅW), aÄb Î End(VÄW), aÄ1+1Äb Î End(VÄW).
Proof. (i) Use 2.4.2 to repreent the endomorphismus by a upper triangular matrices.
(ii) In the case of the direct sum, use bases of V and W such that a und b have upper triangular matrices.
In the case of the tensor product, note that
ab = aId°Idb
and the two maps on the right commute, so that the claim follows from (i). As for the claim about
aÄ1+1Äb Î End(VÄW)
use bases of V and W such that a and b have upper triangular matrices und note that, for a certain basis von VW, the matrix of a1 is a direct sum of copies of the matrix of a.
QED.
2.4.4 Additive Jordan decomposition
Proposition
Let V be a finite dimensional vector space over k. Let a Î End(V).
(i)	There are unique a,a Î End(V) such that
	(a)	a is semi-simple, a is nilpotent,
	(b)	aa = a a and
	(c)	a = a+a
	(additive Jordan decomposition).
(ii)	There are polynomials P,Q Î k[T] without constant term such that
a = P(A) and a = Q(a)
	for every a Î End(V) (V fixed).
(iii)	If b Î End(V) commutes with a, then it also commutes with aand a.
(iv)	If WÍV is an a-stable subspace of V, then W is also stable under aand a, and
a| =a| + a|
	is the additive Jordan decomposition of the induced endomorphism a|. 
(v)	Let WÍV be an a-stable subspace and deonote by ,  and  the linear maps induced by, respectively, a, a and a on V/W. Then
 =  + 
	is the Jordan-decomposition of .
Proof. Let
det(T×Id - a) = (T-a)
be the characteristic polynomial of a, the a being the distinct eigenvalues of s. Write
V := {x Î V | (a-a) x = 0}
for the maximal subspaces of V, where a reduces to a matrix with one single eigenvalue. Note that V is the direct sum of the subspaces V. Since the polynomials T-a are relatively prime, the Chinese remainder theorem implies that there is some P Î k[T] with
P(T) º amod (T-a)	,	P(T) º 0 mod T.
Define a to be a := P(a). Then all spaces Vare stable under aand
a| = a×Id.
It follows that a is semi-simple and a-a is nilpotent (since a is diagonal on V with the same unique eigenvalue a like a). The statements of the Proposition are now immediate, except for the uniqueness in (i). To prove the latter, let
a = b +b
be a second decomposition with b semi-simple and b nilpotent, both commuting with a. Then from (iii) we see that b and b commute with aand a , hence
a -b = b -a 
is both semi-simple and nilpotent (by the previous Lemma). It follows  0 = a -b = b -a.
QED.
2.4.5 Multiplicative Jordan decomposition
Corollary
Let a Î GL(V). There are unique a,aÎ GL(V) such that the following conditions are satisfied.
(i)	ais semi-simple
(ii)	ais unipotent
(iii)	a = a×a = a×a.
	(multiplicative Jordan decomposition).
(iv)	Multiplicative Jordan decompostion commutes with the formation of a-stable linear subspaces and their factors, i.e. we have properties similar to those of 2.4.3 (iv) with areplaced by a.
Proof. Let a=a+abe the additive Jordan decomposition of a. Since a is invertible, it has no eigenvalue 0, and from the proof of 2.4.4 we see that ais invertible. Therefore,
a = a
and a:= 1+a×ais as required.

Convention
We always write a = a+a=aafor the additive and multiplicative Jordan decomposition of a Î End(V), respectively a Î GL(V). We call a, a, athe semi-simple, nilpotent, unipotent part of a, respectively.
2.4.6 Jordan decomposition of direct sums and tensor products
Corollary
Let a=aaÎ GL(V) and b=bbÎ GL(W). Then
aÅb = (aÅb)(aÅb) Î GL(VÅW)
aÄb = (aÄb)(aÄb) Î GL(VÄW)
is the Jordan-decomposition of aÅb and aÄb, respectively.
Proof. Follows from Lemma 2.4.3 (ii).
QED.

2.4.7 Jordan decomposition of locally finite actions on infinite dimensional vector spaces
Additive Case
Let V be a not necessarily finite dimensional vector space over k. Denote again by
End(V) and GL(V)
the algebra of endomorphisms of V and the group of invertible endomorphisms, respectively. We say that a Î End(V) is locally finite if V is a union of finite dimensional a-stable subspaces. We say that a is semi-simple (locally nilpotent) if its restriction to any finite dimensional a-stable subspace is semi-simple (nilpotent). If a is semi-simple, it is also semi-simple in the sense of 2.4.1. The analogous statement for "nilpotent" is not true. For a locally finite a Î End(V) we again have an additive Jordan decomposition
a = a+a
satisfying 2.4.4(i) with locally finite a and a and “nilpotent” replaced by “locally nilpotent”.

Proof. To define ax and ax  for x Î V, take a finite dimensional a-stable subspace WÍV containing x and define
ax := (a|)x
ax := (a|)x
It follows from 2.4.4 that this is independent of the choise of W and that aand aare as required.
QED.
Multiplicative Case
Similarly for a Î GL(V) locally finite, we have a multiplicative Jordan decomposition
a = a×a.
The properties 2.4.4(iv) and 2.4.5 continue to hold, and the same is true for 2.4.4(iii), if b is locally finite.
Special case: the action of a linear algebraic group on its coordinate ring
Now let G be a linear algebraic group, and let A:=k[G]. If x Î G, then the right translation r(x) is a locally finite element of GL(A) (by 2.3.4), hence we have a Jordan decomposition
r(x) = r(x)r(x).
2.4.8 Jordan decomposition inside a linear algebraic group
Theorem
Let G be a linear algebraic group over the field k and let
r: G ® Aut(k[G])
the (infinite) representation of G by right translations (2.3.3 and 2.3.4 second part).
(i)	(Jordan decomposition in G) For every x Î G, there are uniquely determined elements x, x Î G such that
r(x) = r(x)
r(x) = r(x)
x = x×x = x×x.
(ii)	If f:G ® G' is a homomorphism of algebraic groups then
f(x) = f(x)
f(x) = f(x)
(iii)	If G=GL, then x and x are the semi-simple and unipotent parts of x as defined in 2.4.5.
The element x and x of (i) is called the semi-simple part and the unipotent part of x, respectively.
Proof. (i). Let A := k[G] and let
q:AÄA ® A, aÄa' € aa'
be the surjective homomorphism induced by multiplication in A.
For every xÎG, the right translation associated with x,
r(x): A ® A, f(y) a f(yx),
is an algebra automorphism of A. Therefore,
q°(r(x)Är(x)) = r(x)°q.
As a first step in the proof, we show that the same is true with r(x) replaced by its semi-simple part r(x), i.e.,
(*)				q°(r(x)Är(x)) = r(x)°q.
This can be done using 2.4.4 and 2.4.6. Identity (*) means that
r(x): A ® A
is an automorphism of k-algebras. Hence the map
A ® k, f € (r(x)f)(e)
(which is the composition of r(x) with evaluation at e) is a homomorphism of k-algebras defining a point xÎ G such that
(**)					f(x) = (r(x)f)(e)
for every fÎA.
Since r(x) commutes with all left multiplications l(y) (which are locally finite), we have by 2.4.4(iii),
	(r(x)f)(y) = (l(y)r(x)f)(e) = (r(x)l(y)f)(e)
			= (l(y)f)(x)		(by (**))
			= f(yx)
			= (r(x)f)(y)
for every y, i.e., r(x) = r(x).

Similarly one defines xsuch that r(x) =r(x). Then
r(xx) = r(x)r(x) = r(x)r(x)= r(x)r(x)  = r(x)r(x).
Since r:G ® GL(A) is faithfull, it follows that xx= xx. We have now established (i).
(ii). A homomorphism of algebraic groups f:G ® G' can be factored G ® Im(f) ® G'. Since Im(f) is a closed subgroup in G' by 2.2.5(ii), it suffices to prove (ii) in two special cases.
(a). G is a closed subgroup of G' and
f G ® G’
is the canonical injection. Then k[G] = k[G']/I, and by 2.3.6,
G = {x Î G' | r(x)I = I}.
The assertion of (ii) is now a consequence of the fact that Jordan decomposition commutes with the formation of factor spaces w.r.t. stable linear subspaces (see 2.4.4(iv)).
(b). f is surjective. In this case, f*: k[G’] ® k[G] is injektive and k[G'] can be considered as a subspace of k[G] (see 1.9.1(i)), which is invariant under all r(x) with x Î G. Again the assertion follows from the fact that Jordan decompostion commutes with the passage to invariant subspaces (see 2.4.4(iv)).
(iii). If G=GL, then A=k[T,D] (see 2.1.3(3)). Put
e :=T.
Then, if x=(x) Î G, (r(x)e)(y)=e= yx= e(y)x , hence
r(x)e = xe.
Thus, the subspace V:= ke+...+keof A is r(G)-stable and the restriction of r(x) to V is represented by the matrix of r(x) with respect to the basis {e}. By the very definition of xwe have,
r(x)| = r(x)| = (r(x)|) ,
where the operators in the middle and on the right are the semi-simple parts in the sense of 2.4.7 and 2.4.5. In other words, the matrix r(x)|of x is the "usual" semi-simple part of the matrix r(x)| of x. Similarly one obtains
r(x)| = r(x)| = (r(x)|).
QED.
2.4.9 Criterion for semi-simple and unipotent elements
Corollary
Let x Î G. Then the following are equivalent.
(i)	x is semi-simple (resp., unipotent).
(ii)	There is an isomorphism f:G ® GL onto a closed subgroup of some GL such that f(x) is semi-simple (resp. unipotent).
Proof. (i)Þ(ii) follows from 2.3.5 and 2.4.8(ii).
(ii)Þ(i). By 2.4.8(iii), the semi-simple (unipotent) part of a semi-simple (unipotent) matrix in Gl is the matrix itself. Hence the claim follows 2.4.8(ii) and the fact that f is injective.
QED.
2.4.10 Exercises
We use the notations of 2.4.8.
(1)	Show that l(x) =l(x) and l(x) = l(x).
(2)	The set G of unipotent elements of G is a closed subset.
(3)	Show by an example that the set Gof semi-simple elements of G is not necessarily open or closed.
Solutions
(1). Let G' be the linear algebraic group obtained from G by inverting the order of multiplication. Then, considering G as a closed subgroup of GL, G' can be considered as a closed subgroup of (GL)'@GL, x€x. 
The semi-simple part of a regular n´n matrix x considered as an element of GLis identical with its semi-simple part, when considered as an element of (GL)'. Hence the formations of the semi-simple parts in G and G' coincide, and the same is true for the unipotent parts.
Therefore, if r' denotes right translation with respect to G',
l(x)= r'(x)= r'(x) = l(x)
l(x)= r'(x)= r'(x) = l(x)
(2). We may assume that G is a closed subgroup of GL. Then 
	G	={x Î G| all eigenvalues of x are =1}
		= {x Î G| det(T×Id - x) = (T-1)= T}
		= {x Î G| s= (-1)for i=1,...,n }
where sdenotes the i-th coefficient of the characteristic polynomial of the matrix of x. 
(3). Consider the closed subgroup of GL,
G= {x Î GL| T=0} = {x= | a,b,c Î k, a¹0, b¹0}.
The open subset of all x with a¹c consists entirely of semi-simple matrices. Its closure is equal to G, since G is irreducible. The matrix

is not semi-simple but in G. This shows that Gcannot be closed in G. Assume that Gis open in G. Then FÇGis open in
 F := {x= | b Î k}.
Since FÇGcontains the identity matrix, it isn't empty. Hence all but a finite number of elements in F must be semi-simple, which is wrong.
Definition (unipotent group)
The linear algebraic group G is called unipotent if all its elements are unipotent.

Warning (semi-simple group)
A semi-simple linear algebraic group is not one all whose elements are semi-simple, see the definition in 6.14.
2.4.11 Unipotent groups as subgroups of U
The next result, which is in fact one from linear algebra, together with 2.3.5 and 2.4.9, shows that an unipotent G is isomorphic to a closed subgroup of some U of unipotent upper triangular matrices.
Theorem
Let G be a subgroup of GL consisting of unipotent matrices. Then there is some x Î GLsuch that xGxÍU.
Proof. Let V=k, so G is a subgroup of GL(V)=GL. Using induction on n, it suffices to prove that there is some v Î V, v¹0 such that gv=v for every g Î G. If G stabilizes a nontrivial proper subspace of V, the existence of v follows by induction. So we are reduced to the case that G acts irreducibly on V.

Let AÍM be the subspace
A:= kg
spanned by all gÎG. This is a subalgebra of M, which acts irreducibly on V. By Burnside's theorem (see e.g. [26, Ch. XVII, § 3) it follows that A = M. If g,h Î G,
Tr((1-g)h) = Tr(h)- Tr(gh) = 0,
where the last identity comes from the fact that the elements of G are unipotent matrices. Therefore,
Tr((1-g)a) = 0
for every a Î A=M and every gÎG. But then we must have g=1. It follows G={1}, dim V = 1, and the existence of v is trivial.
QED.

Remark
In the rest of this chapter we shall deal with various kinds of abelian groups. First we prove a structure theorem for abelian groups

2.4.12 Commutative groups as direct products of Gand G
Theorem
Let G be a commutative linear algebraic group.
(i)	The sets G and G of semi-simple and unipotent elements are closed subgroups.
(ii)	The product map p:G´G ® G is an isomorphism of algebraic groups.
Proof. We may assume G to be a closed subgroup of GL. Since the product of commuting semi-simple (resp. unipotent) Endomorphisms is again semi-simple (resp. unipotent) by 2.4.3(i), we see that G and G are subgroups of G in the commutative case. Moreover, Gis closed by Exercise 2.4.10(2). It follows from 2.4.2(ii) that there is a direct sum decomposition of V:=k into G-stable subspaces, say
V = V,
and there are homomorphisms f:G® k* such that
g×v = fv for g Î Gand v Î V.
Trigonalizing the restrictions of G to Vwe may assume that GÍT. But then
G=GÇD. In particula,  Gis closed, whence (i).
The uniqueness of the Jordan decomposition in G implies that p is an isomorphism of abstract groups. It is clearly a morphism of algebraic varieties. To establish (ii), it suffices to show that p is also a morphism. But the map x € xis a morphism, being "projection into diagonal matrices". Hence p: x € (x, xx) is also a morphism.
QED.
2.4.13 The semi-simple and unipotent parts of connected commutative groups
Corollary
Let G be a connected commutative linear algebraic group. Then so are G and G.
Proof. Immediate from the proof of 2.4.12.
QED.
2.5 Diagonalizable groups and tori
2.5.1 Charactera, 1-parameter subgroupa, diagonalizable gropus and tori
Let G be a linear algebraic group. A homomorphism of algebraic groups c:G ® Gis called a rational character of G. The set of characters is denoted
C*(G) := Hom.
It has a natural structure of an abelian group. Its group operation is usually written additively. We may consider C*(G) as a subset
C*(G) Í k[G].
We denote by Cthe set
C(G):= Hom.
An element of Cis called multiplicative 1-parameter subgroup of G. If G is commutative, Chas also the structure of an additive (i.e. abelian) group: we define
(l+m)(t) := l(t)m(t), (-l)(t) := l(t)for t Î G and l,mÎC(G)
A linear algebraic group G which is isomorphic to a closed subgroup of some group of diagonal matrices Dis called diagonalizable. It is called an algebraic torus (or simply a torus) if it is isomorphic to some D.
2.5.2 Characterization of diagonalizable groups
Theorem
Let G be a linear algebraic group. Then the following conditions are equivalent.
(a)	G is diagonalizable.
(b)	C*(G) is a finitely generated abelian group generating k[G] as a k-vector space.
(c)	Every rational representation of G is a direct sum of 1-dimensional ones.
Proof. (a) Þ (b).  Let c: D® k be the projection onto the i-th diagonal entry such that d Î Dcan be written as d=diag(c,...,c). Then cis a rational character of D, and we have
k[D] = k[c,...,c,c,...,c].
We see that the elements of C*(D) generates k[D].
Now let G be diagonalizable, i.e., a closed subgroup of Dwith n appropriate. Then k[G] is a factor ring of k[D], hence generated over k by the the restrictions to G of the characters cand c. This shows that C*(G) generates k[G] as a k-vector space. Moreover, the restrictions
f:= c|	(i=1,...,n)
generate C*(G). For, every f Î C*(G) is an elment of k[G], hence a linear combination of power products of f,...,f. Since different characters are linearly independent, f must be equal to one of these power products. This shows that C*(G) is generated by the elements fhence is finitely generated.
(b) Þ (c). By assumption, the characters c Î C*(G) generate the coordinate ring k[G], hence form a basis of k[G] over k (since different characters are linearly independent). Let f:G ® GLbe a rational representation of G. Write V:=k. Expressing the matrix elments of f(g) as linear combinations of elements of C*(G) we see that we can write f(g) as a finite sum
f(g) = c(g)A ,
with uniquely determined coefficients AÎ M. From f(gh)=f(g)×f(h) we infer
c(g)c(h)A = c(g)c'(h)A A .
Since different characters on G´G are linearly independent, this implies
(1)					AA = d×A  .
Moreover, the defining identity f(g) = c(g)A yields for g=e,
(2)					1 = A .
Define
V :=AV.
Then by the last identity, every v Î V is a sum of vÎ V. From the former identity (1) we see that vis uniquely determined by v, i.e., V is a direct sum of the subspaces V. Moreover, for v Î V , i.e., v = Av,
f(g)v = c(g)v.
This completes the proof of the implication (b) Þ (c).
(c) Þ (a). Embed G into some GL(V) and write V as a direct sum of G-modules which are 1-dimensional as k-vector spaces. This is possible by condition (c).
2.5.3 Subgroups of diagonalizable groups and kernels of characters
Corollary
Let H be a closed subgroup of the diagonalizable group G. Then H is diagonalizable, and is the intersection of the kernels of finitely many rational characters of G
Proof. The first assertion is clear from the definition of a diagonalizable group. As for the second, consider the ideals
		I := {f Î k[G] | f(H)=0}                       (the ideal of H in k[G])
		J := (c - 1 | c Î C*(G) | c(H)=1).
It will be sufficient to show that I=J. For, if c- 1,...,c- 1 generate the ideal J, equality of I and J implies
H = {g Î G | f(g)=0 for f Î J} = {c=1 | i=1,...,r} = Ker(c).
Obviously, JÍI. Let f Î I. Since C*(G) generates k[G],
				f	= cc+...+cc
with cÎk, cÎC*(G). Restriction to H yields a linear combination of characters on H which is identically zero. Since sets of pairwise different characters are linearly independent, there are i and j with c = c on H. Write
c = c + (c -c) = c + c(c - 1).
with c:=(c)c. Then c is a character restricting to the trivial one on H, i.e., the term cis in J. Reducing f modulo J, the function f can be written as a linear combination of s-1 characters. Induction on s shows that f Î J as required.
QED.
2.5.4 k[G] as the group algebra of the character group
Corollary
Let G be diagonalizable. Then C*(G) is a finitely generated abelian group, without p-torsion, if the characteristics p = char(k) of k is positive. Moreover, the algebra k[G] is isomorphic to the group algebra of C*(G).
Proof. By 2.5.2(b), C*(G) is a finitely generated abelian group. Assume that C*(G) has p-torsion. Then there is a non-trivial character c Î C*(G) with p×c = 0, i.e., c(g)=1 for every g Î G. Since k is algebraically closed, every element of GÍDcan be written as a p-th power, hence c is trivial, contrary to the choise of c. This shows, C*(G) cannot have p-torsion.
Again by 2.5.2(b), k[G] is generated by the elements of C*(G). Since finite sets of pairwise different characters are linearly independent, the characters form a free generating system of k[G], i.e., the coordinate ring can be identified with the group algebra of C*(G).
2.5.5. Exercises
(1)	Determine the rational characters of G.
(2)	Let G be a linear algebraic group. G acts on the 1-parameter subgroups Cby conjugation,
(g×l)(t) = gc(t)gfor gÎG, cÎC, tÎG.
If g Î G, l Î C, define
q:G® G, t € l(t)gl(t).
This is a morphism of algebraic varieties. Considering G as an open subset of the affine line, let
P(l) := {g Î G | qextends to a morphism A® G}.
(a)	P(l) is a subgroup of G, containing the centralizer HÍG of l(G). Moreover, we have P(g×l)=gP(l)g.
(b)	P(l)ÇP(-l)=H (Hint: use 1.6.12(2), last part).
(c)	Let G := GL, acting on V:=k. For anyl Î Cthere exists a family of subspaces VÍVÍ...ÍVÍV (a flag) such that
P(l) = {g Î G | g×V=Vfor i=1,2,...,s}.
	(Hint: using 2.5.2(c), reduce to the case that l(t)=diag(t,...,t), where a³a³...³a).
(d)	Show that P(l) is a closed subgroup of G, for any G and l Î C.
Solutions
(1)
Determine the rational characters of G:= G.
_______________________________________________________________
k[G] = k[T,T] is generated as a k-vector space by the powers T, nÎZ, of the indeterminates. Each such power (considered as a function on G) is in fact a character c:G ® G, g € g, of G. An arbitrary character c of G, considered as an element of the coordinated ring, is a linear combination of the characters c. Since every set of pairwise different characters is linearly independent, c must be equal to one of these. We have proved,
C*(G) = {c| n Î Z}
_______________________________________________________________

(2)
Let G be a linear algebraic group. G acts on the 1-parameter subgroups Cby conjugation,
(g×l)(t) = gc(t)gfor gÎG, cÎC, tÎG.
If g Î G, l Î C, define
q:G ® G, t € l(t)gl(t).
This is a morphism of algebraic varieties. Considering G as an open subset of the affine line, let
P(l) := {g Î G | qextends to a morphism A® G}.
(a)
P(l) is a subgroup of G, containing the centralizer HÍG of l(G). We have P(g×l)=gP(l)g.
_______________________________________________________________
Let g,gÎG be two elements such that
q:G ® G, t € l(t)gl(t)
extends to a morphism A. By definition,
	q	= l(t)ggl(t)= l(t)gl(t)l(t)gl(t)
				= q×(q),
hence
	q		= m°(id´i)°(q´q)°D
				
where m:G´G ® G is multiplication, i:G ® G is inversion, and D:G ® G´G is the diagonal. Since the diagonal D:G ®G´G is the restriction of the diagonal A®A´A,  the above decomposition can be extended to a morphism on A® G (since qand qcan by assumption). This shows ggÎ P(l), i.e., P(l) is a subgroup of G.
The formula
P(g×l)=gP(l)g
holds since 
	q	= (g×l)(t)x(g×l)(t) 
			= (g×l(t)×g)x((g×l(t)×g)
			= g×l(t)×g×x×g×l(t) ×g
			= g×q×g,
i.e., x Î P(g×l)  Û gxg Î P(l)  Û x Î gP(l)g.
Finally, if g Î G is in the centralizer HÍG of l(G),
q= l(t)gl(t) = g×l(t)l(t)= g
is a constant function and hence can extended to A. Therefore HÍP(l).
_______________________________________________________________

(b)
P(l)ÇP(-l)=H (Hint: use 1.6.12(2), last part).
_______________________________________________________________
Let g Î P(l)ÇP(-l). Then
q:G® G, t € l(t)gl(t)
q:G® G, t € l(t)gl(t) = q
both can be extented to A. In other words, the coordinate functions
qÎk[G]=k[T,T]
of the morphism
q:G® GÍGL
are even polynomials,  qÎk[T], and the same is true if T is replaced by T. But then each qmust be a constant, and
l(t)gl(t)= q= q= g.
In other words, g is in the centralizer H of l(G).
_______________________________________________________________
(c)
Let G := GL, acting on V:=k. For any l Î Cthere exists a family of subspaces VÍVÍ...ÍVÍV (a flag) such that
P(l) = {g Î G | g×V=Vfor i=1,2,...,s}.
(Hint: using 2.5.2(c), reduce to the case that l(t)=diag(t,...,t), where a³a³...³a).
_______________________________________________________________
The 1-parameter subgroup l:G ® G can be used to lift the natural action of G on V to an action of G on V. Let
V=WÅ...ÅW
be a decomposition of V into 1-dimensional G-stable subspaces (such a decomposition exists, since G is diagonalizable (2.5.2(c))). Then
l(t)w = tw for w Î W.
We may assume that n=...=n< n=...=n< ... < n=...=n.

Let {e}be a basis of V such that egenerates W. For g Î G write g=(g) for the matrix of the linear transformation g in terms of this basis. Then the matrix of qin terms of the basis {e}is equal to
q= l(t)gl(t)= (g')
with g':= g×t.
Therefore, qcan be extended to Aif and only if g=0 for every pair (i,j) such that n> n. The latter condition means that (g) has matrices of type n´n, n´n,...,n´n in the main diagonale, has zeros beneth theses matrices, and has arbitrary elements above them. This can be expressed also using flags. Write
V:=W+...+W.
Then P(l) = {g Î G | gVÍV} = {g Î G | gV=V}.
_______________________________________________________________
(d)
Show that P(l) is a closed subgroup of G, for any G and l Î C.
_______________________________________________________________
See the description of of P(l) in terms of the basis {e} in (c).
2.5.6. The group algebra of an abelian group G and its coalgebra operations
k[G] := k-algebra with k-vector space basis G and the multiplication induced by the group multiplication. Note that
k[GÅG] @ k[G]Äk[G].
Equip k[G] with morphisms as follows (gÎG):
		p*:k[G] ® k[G]Äk[G],	g € gÄg (comultiplication)
		i*:k[G] ® k[G],		g € g
		e:k[G] ® k,		g € 1    (counit)
2.5.7. The linear algebraic group defined by a finitely generated abelian group
Proposition
Let G be a finitely generated abelian group without p-torsion where p:=char(k). 
(i)	k[G] is an affine k-algebra.
(ii)	There is a diagonalizable group G(G) with k[G(G)] = k[G] such that multiplication, inversion, and unit induce p*, i*, and e as above on the coordinate ring.
(iii)	C*(G(G)) = G.
(iv)	If G is diagonalizable, G(C*(G)) @ G.
The isomorphisms of (iii) and (iv) are functorial in the appropriate category.
Proof. (i). All we have to show is that k[G] is reduced. Writing G as a direct sum of cyclic groups, we may assume that G is cyclic. In case G=Z, k[G] = k[T, T] is obviously an integral domain. If G is finite, G=Z/(d), the characteristics p=char(k) doesn't divide d (by assumption) and k[G] = k[T]/(T-1) is reduced, for, T-1 has no multiple roots.
	(ii). As above we may assume that G is cyclic. In case G=Z, k[G] = k[T, T] = k[G], hence G(G) = G. Suppose that G=Z/(d), d not a multiple of p. Then k[G] = k[T]/(T-1) is the coordinate ring of the finite group G(G) = Z/(d) (of d-th roots of unity).
	(iii), Again we may assume that G is cyclic. By direct calculation,
			C*(G(Z)) = C*(G) = Z
			C*(G(Z/(d))) = C*(Z/(d)) = Z/(d).
	(iv). For G diagonalizable k[G] is isomorphic to the group algebra of G:=C*(G) by Corollary 2.5.4, hence by (ii), k[G(G)] = k[G] = k[G]. But this implies G(G) = G as claimed.
2.5.8. Characterization of affine tori
Proposition
Let G be a diagonalizable group.
(i)	G is a direct product of a torus and a finite abelian group.
(ii)	G is a torus if and only if G is connected.
(iii)	G is a torus if and only if C*(G) is a free abelian group.
Proof. Write C*(G) as a direct sum of a free abelian group Gand a finite one, G. Then, by the previous result, G @ G(G)´G(G). Since k[G] is finite dimensional, G(G) must be finite. In particular, if G is connected then G(G)=1, i.e., G=0. 
Moreover, C*(D) = Zand G(Z) = Das one can easily see by direct calculation.
This concludes the proof of the proposition.
2.5.9. Exercises
(1)	Make diagonalizable groups and abelian groups without p-torsion into categories and show that these two categories are anti-equivalent (p:= char(k)).
(2)	Let G be diagonalizable. If H is a closed subgroup of G and Y is a subgroup of C*(G), define
		H:= {c Î C*(G) | c(H) = 1}
		Y:= {x Î G | c(x)=1 for every c Î Y}
	Then H=H and Y=Y if C*(G)/Y has no p-torsion.

Remark. We conclude this section with some special results about diagonalizable groups and tori (partly in the form of exercises).
2.5.10. Rigity of diagonalizable groups
Proposition
Let G and G' be diagonalizable groups, V a connected affine variety, and
f:V´G ® G'
a morphism of affine varieties such that for every v Î V the map
G ® G', x € f(v,x),
defines a homomorphism of algebraic groups. Then f(v,x) is independent upon v.
Bemerkung
Diese Aussage heißt auch Starrheitssatz für diagonalisierbare Gruppen.
Proof. If c' Î C*(G'), the regular function c'°f(v,g) on V´G can be written in the form
c'°f(v,g) = fc(g)
with fÎ k[V] (since k[G] is generated as a k vector space by the characters of G, hence so is k[V´G] = k[V]Äk[G] as a module over k[V]). Since x € f(v,x) defines a group homomorphism for every fixed v,
	c'°f(v,gg)	= c'°f(v,g)c'°f(v,g)
				=  ffcc
Comparing this with
	c'f(v,gg)	= fcc
and using the fact that the charactes of G form a vector space base of k[G] over k (so that the products 1ÄcÄcwith c, cÎ C*(G) form a free basis of k[V]Äk[G]Äk[G] over k[V]), we see that
ff= .
In particular, fis an idempotent element of k[V], hence takes only the values 0 and 1. For e = 0,1 put
V:= {v Î V | f= e}
(c and c' fixed). Then Vand Vare disjoint closed subsets of V, and V is their union. Since V is connected, it must be equal to one of them, i.e., each fmust be independent upon v. But then c'°f(v,g) is independent upon v for every character c' of G'. Since the characters of G' generate the coordinate ring k[G], the coordinates of f(v,g), hence f(v,g) itself is independent upon v.
QED.
2.5.11. Normalizer and Centralizer of a diagonalizable subgroup
Definition (normalizer, centralizer)
Let G be a linear algebraic group and HÍG be a closed subgroup. Then
Z(H) := {g Î G | ghg=h for every h Î H}
is called the centralizer of H in G and
N(H) := {g Î G | gHg=H for every h Î H}
is called the normalizer of H in G.
Both are closed subgroups of G. For,
N(H) = {gÎG | f(ghg) = 0 for every fÎk[G] vanishing on H and every hÎH}
is defined by a set of polynomial functions, and the same is true for
Z(H) := {g Î G | f(ghg)-f(h)=0 for every hÎH and fÎk[G]}
Corollary
Let H be a diagonalizable subgroup of G. Then
N(H) = Z(H)
and N(H) /Z(H) is finite.
Proof. Define V:= N(H) and consider the map
f:V´H ® H, (v,h) €  vhv.
By the previous result, f(v,h) is independent upon v, i.e., vhv =ehe = h, hence v Î Z(H).
This proves N(H) Í Z. Since N(H) is connected, N(H) Í Z(H). The converse inclusion is trivial. The finiteness assertion follows from the first part of the corollary, i.e., from the fact that Z(H) contains N(H), and the fact that N(H)/N(H) is finite.
2.5.12. Exercises about tori
Let T be a torus. We write C*:=C*(T) and C:=C.
(1)	Let T=D. Then C* consists of the functions
D ® G, diag(x,...,x) € x...x,
	with (a,...,a) Î Zand Cconsists of the maps
G® D, x € diag(x,...,x)
	with (b,...,b) Î Z.
(2)	If c Î C*, l Î C define (c, l) Î Z by the condition
x=c(l(x)).
	Then (c, l) defines a perfect pairing C*´C ® Z, i.e., every homomorphism C* ® Z is of the form c € (c,l) with l Î C , and similarly for homomorphisms C ® Z.
(3)	Let V be an affine T-space, and let A:=k[V]. Denote by B:=A the subalgebra of T-invariant functions of V,
B := A:= {f Î A | f(t×v) = f(v) for t Î T, v Î V}.
	(a) B is an affine subalgebra of A.
	(b) If W is an affine variety with k[W] @ B then the injection B ® A defines a morphism of affine varieties f:V ® W such that f(t×v)=f(v) for t Î T, v Î V. Show that the following holds: if W' is an affine variety and f':V ® W' a morphism with f'(t×v)=f'(v) for t Î T, v Î V, then there is a unique morphism y:W ® W' such that

 ,i.e., f'=f°y
	(Hint: use the decomposition
A = Awhere A:={f Î A | f(t×v)=c(t)f(v) for tÎT, vÎV}.
(4)	An equivariant affine embedding of a torus T is an affine T-space V containing T as an open subvariety such that the action T´V ® V extends the product map T´T ® T.
	(a) There is a finitely generated sub-semigroup S of C*, which generates C*, such that k[V] is isomorphic to the semigroup algebra k[S] of S (Hint: view k[V] as a r(T)-stable subspace of k[T] and use that k[T] is the group algebra k[C*]).
	(b) Conversely, for every S with the properties of (a) there is an equivariant affine embedding V such that k[V] = k[S]. It is unique up to isomorphism of T-spaces.

	For details on equivariant embeddings we refer to G. Kempf et al., Toroidal embeddings, Lecture Notes in Math. 339, Springer, Berlin 1973, Chapter I.

2.6. One dimensional groups
2.6.1 Preview
In this section we are going to prove that a 1-dimensional connected linear algebraic group is isomorphic to Gor G. This is a non-trivial result.
A geometric argument to prove it, but which requires more knowledge of algebraic geometry then we presuppose here, runs as follows. Imbed the affine variety G as an open subvariety in some irreducible smooth projective curve C. So
G = C - F,
where F is finite and non-empty. The variety G has an infinite group of automorphisms via left translations by its elements. Extending them to automorphisms of C such that F is stable one sees that C has an infinite group of automorphisms fixing a point. Then C is isomorphic to the line P (a proof of this using the Jacobian of C is given in [3, p. 250-252], see also [21, p. 305-306].
Thus G is an open subset of P and it follows by elementary arguments that G is as described. The important point here is that the automorphim group of the variety P is PSL.
We follow here an elementary approach. The difficult case is that of a unipotent group in characteristic p>0.

Convention
We denote in this section by G a 1-dimensional connected linear algebraic group over k. We put p := char(k) (p may be zero).

2.6.2 Commutativity, the non-unipotent case
Lemma
(i)	G is commutative
(ii)	If G is not unipotent, then G is isomorphic to G.
(iii)	If G is unipotent and p>0, then for every g Î G we have g=e.
Proof. (i). Fix some g Î G and consider the morphism
f:G ® G, x € xgx.
Since G is supposed to be connected, the image of f is either a single point, fG={g}, or one-dimensional, = G (see 1.8.2). In the latter case, the difference
G-fG
is finite (by 1.9.5). Consider G as a closed subgroup of GL. If G-fG is finite, then there are only finitely many possibilities for the characteristic polynomial det(T×e-g) of g Î G. The connectedness of G then implies that the characteristic polynomial must be constant, hence equal to det(T×e-e) = (T-1). Thus G is unipotent, and by 2.4.11 it is contained in Uand hence by Exercise 2.1.4(4) it is solvable.
On the other hand, since g×fG lies in the commutator subgroup G' of G, the finiteness of G-fG implies that G-G' is finite, hence =G, and 2.2.4(ii) shows that G'=G. But this contradicts the solvability of G. We arrive at a contradiction proving that fG = {g}. Since g Î G was arbitrary, it follows that G is commutative. We have proved (i).
	(ii). By 2.4.12 and 2.4.13, we now have that G is the direct product of the two connected subgroups Gand G. Since dim G = 1, one must be trivial (use 1.8.3). If G = Git is diagonalizable (2.4.2(ii)) and by 2.5.8(ii) it is a torus, which must be G. This establishes (ii).
	(iii). In the situation of (iii), the map
G ® G, g € g,
is a homomorphism of G into itself. By 2.2.5(ii), using that dim G =1, the image is either {e} or G. Since G can be considered as a subgroup of Uby 2.4.11 (see also 2.4.1) if follows that all elements of G have p-power order:
(1-g)= 0 , hence 0 = (1-g)= 1 - gfor some r.
Thus the second alternative is impossible. This proves (iii).

Remark
To deal with the remaining case when G unipotent, we need a number of auxiliary results.
2.6.3 p-Polynomials
Definition(p-Polynomial)
A polynomial P Î k[T,...,T] is a p-polynomial if one of the following conditions is satisfied.
(i)	p>0 and P is a linear combination of terms T (i = 1,...,m and h ≥ 0).
(ii)	P is homogeneous of degree 1.
Lemma(characterization of p-polynomials)
P Î k[T,...,T] is a p-polynomial if and only if
(1)	P(T+U,...,T+U)=P(T,...,T)+P(U,...,U)
where Tand Udenote Indeterminates.
Proof. It suffices to prove that a polynomial P satisfying (1) is a p-polynomial. Let Ddenote the partial derivative in k[T,...,T] with respect to T. Then (1) implies that 
DP(T) = |= |= aÎ k
is a constant.Write
Q(T,...,T) = P(T,...,T) - aT.
Then DQ = 0 for i=1,...,m. If the characteristics is zero, this implies that Q is a constant (treat the case m=1 and use induction on m).
Q(T,...,T) = Q(0,...,0) = P(0,...,0).
Since P satisfies condition (1),  P(0) = P(0)+P(0) hence P(0) = 0, we see that Q is zero, hence
P(T,...,T) = aT.
This proves the claim in case the characteristics is zero. In case p>0 the identities DQ = 0 imply that there is a polynomial
QÎ k[T,...,T]
with
Q(T,...,T) = Q.
Since Q has property (1), the same is true for Q. Since deg Q< deg Q the induction hypothesis implies that Qis a p-polynomial. But then so are Q and P.
2.6.4 Additive functions and p-dependence
Definition (additive function)
Let H be a connected linear algebraic group. An additive function a on H is an element of k[H] such that
a(h×h')=a(h)+a(h')
for arbitrary h,h' Î H. Note that if a,...,aare additive functions and P Î k[T,...,T] is a p-polynomial, then P(a,...,a) is also an additive function.
Definition (p-dependence)
Let H be a linear algebraic group. The additive functions a,...,aon H are called algebraically dependent (p-dependent) if there is a nonzero polynomial (resp. a p-polynomial) P Î k[T,...,T] such that
P(a,...,a) = 0
for every h Î H. It is clear how to define the corresponding notions of independence. If p=0 then p-dependence is the same as linear dependence.

Lemma
Let H be a linear algebraic group.
(i)	If the additive functions a,...,a on H are algebraically dependent they are p-dependent, so the notions of algebraic dependence and p-dependence of additive functions coincide.
(ii)	If the additive functions a,...,a are p-dependent there exist additive functions b,...,b and p-polynomials PÎ k[T,...,T] such that the following conditions are satisfied.
	(a)	n < m.
	(b)	b,...,bare p-independent.
	(c)	a = P( b,...,b) for every i.
Proof. (i). Let a,...,abe algebraically dependent and take a nonzero polynomial P Î k[T,...,T] of minimal degree such that
P(a(h),...,a(h)) = 0 for h Î H.
Then P(T+a(h),...,T+a(h))-P(T,...,T) is a polynomial of degree smaller than that of P, giving an algebraic dependence between a,...,a. Hence it is zero. Let Q(U,...,U) denote the coefficient of some monomial T×...×T in
P(T+U,...,T+U) - P(T,...,T) - P(U,...,U).
Then deg Q < deg P and Q(a(h),...,a(h)) = 0 (h Î H). It follows that Q = 0. This establishes (i).
	(ii). Assume first m = 1. Then P(a)=0 for some p-polynomial P Î k[T]. It follows that a(H) is finite, hence a=0 since H is connected. Now let m > 1, and assume that a,...,a are p-dependent. If p=0 they are linearly dependent, and (ii) is well-known. So suppose p>0. We may assume, replacing aby a suitable linear combination of a,...,a, that some dependence relation has the form
(2)		a+ca+...+ca+l(a,...,a)+...+ l(a,...,a)= 0
where lÎ k[T,...,T] are homogeneous, linear, and not all 0. In other words we may assume that the linear term equals a. Define
 := -ca-...-ca- l(a,...,a) -...- l(a,...,a).
This is an additive function satifying
(2’)		a- () = 0
From the very definition of  we find a p-dependence relation for , a,...,a of lower degree then (2). Induction on this degree then establishes (ii).
QED.
2.6.5 Polynomial cocycles
Definition
Next we establish a result about "polynomial cocycles" in k[T,T]. Recall that p = char(k). If p>0, put
c(T,T) := =  TTÎ(Z/pZ)[T,T].
Lemma
Let f Î k[T,T] satisfy
(3)	f(T+T,T) + f(T,T) = f(T,T+T) + f(T,T)
(4)	f(T,T) = f(T,T)
Then the following assertions are true.
(i)	If p=0 there is some g Î k[T] such that
f(T,T) = g(T+T) - g(T) - g(T).
(ii)	If p>0 there are g Î k[T], a Î k, h ³ 0 such that
f(T,T) = g(T+T) - g(T) - g(T) + a×c(T,T).

(iii)	If moreover
(5)				f(T,iT) = 0
 	then a = 0.
Proof. (ii). We may assume f to be homogeneous of degree d. Let Ddenote the partial derivative with respect to T(i=1,2). From (3) we get
(6)	(Df)(T+T,T) + (Df)(T,T) = (Df)(T,T+T)
(7)	(DDf)(T+T,T) = (DDf)(T,T+T)
From (7) we conclude that the homogeneous polynomial DDf is a multiple of (T+T),
(DDf)(T,T) = b×(T+T)
Case 1: d ± 1(mod p). The last identity implies
(*)			(Df)(T,T) = b×((T+T)-T) + h(T, T).
for some homogeneous h Î k[T,T] The first term on the right hand side of (*) satisfies identy (6). Hence substitution of (*) into (6) gives
h(T+T, T) + h(T, T) = h(T, T+T).
Setting T=0 and substituting T€ Twe find:
(8)			h(T, T) = h(0, T+T)-h(0, T).
Hence the degree d-1 of h(T,T) is a multiple of p. Since by assumption d ± 1(mod p), h must be identically zero, i.e.,
(9)			(Df)(T,T) = b×((T+T)-T).
Case 2: d º 1(mod p). We are going to prove that identity (9) holds also in this case. The expression b×(T+T)cannot be written as an derivative with respect to T of any non-zero homogeneous polynomial of degree d-1 except in case b=0. Therefore
(DDf)(T,T)=0,
hence (Df)(T,T) = h(T, T). From (8) we see that we have an identity (9) also in the present case.
"Integrating" identity (9), we will prove now the assertion of (ii). Again we have to distinguish several cases.
Case 1: d ± 0(mod p). From (9) we obtain
f(T,T) = a×((T+T)-T-T) + h(T,T)
with a Î k and hÎ k[T,T].
 The symmetry condition (4) implies that h(T,T) must be a polynomial in Tand T. Since the degree d of f is assumed to be not a multiple of p, this implies h=0. We have proved that f is of the required form in this case.
Case 2: d º 0(mod p), d>p. The binomial coefficient
() = 
is not a multiple of p, hence, if b is none-zero, there is a nonzero term TT on the right hand side of (9). Such a term cannot be obtained by differentiation with respect to T. Thus b = 0, hence
Df=0 (and Df=0 by symmetry)
and f must be the p-th power of a polynomial satisfying also the conditions (3) and (4) of the Lemma. Hence we can use induction on d. We have yet to treat the induction start:
Case 3: d=p. As in case 1 we see that f can be written as
f(T,T) = a×((T+T)-T-T) + h
where his now linear. By direct calculation one sees that the conditions (3) and (4) imply that f is a multiple of c(T,T) in this case. This finishes the proof of (ii).
	(iii). For f(T,T) = g(T+T) - g(T) - g(T) with g homogeneous the condition of (iii) is trivially satisfied:
	f(T,iT) =  
			= p×g(T)+ g((i+1)T)-g(iT)
			= p×g(T) + g(p×T) - g(0×T)
On the other hand, for f(T,T) = a×c(T,T) (which is formally the previous case with g(T)= a×T/p)the condition reads
0 = a×(p×T+(pT))/p = a×T,
which is satisfied if and only if a=0.
	(i). This is a simplified version of (ii) and left to the reader.
QED.
Corollary
Let f Î k[S,...,S,T,...,T] satisfy
(3)	f(S+T,U) + f(S,T) = f(S,T+U) + f(T,U)
(4)	f(S,T) = f(T,S).
If char k = p > 0, assume moreover
(5)				f(T,iT) = 0
Then there is some gÎk[S,...,S] such that
f(S,T) = g(S+T) - g(S) - g(T).
Proof. We may assume that f ist homogeneous of degree d. We proceed by induction on n. The case n = 1 follows from the previous lemma.

Consider f a

So let n > 1. Write
S’ := (S,...,S) and T’:= (T,...,T)
consider f as a polynomial in S and T with coefficients in k[S’,T’]. Then the coefficients of f also satify the conditions of the corollary.

and consider f as a polynomial in S’ and T’ (with coefficients from and algebraically closed extension k’ of k(S,T)). By induction hypothesis, there is some g’Îk’[S’,T’] such that
f = g’(S’+T’) - g’(S’) - g’(T’).

QED.
2.6.6 Classification of connected 1-dimensional linear algebraic groups
Theorem
Let G be a connected 1-dimensional linear algebraic group. Then G is isomorphic to either Gor G.
Proof. By 2.6.2 we may assume that G is unipotent. We have to prove G @ G, which means (check this) that there is a nonzero additive function a Î k[G] such that k[G] = k[a].
We assume that G is a closed subgroup of some Uof unipotent upper triangular matrices (see 2.4.11). Let fÎ k[G] be the (i,j)-matrix entry function (1 £ i < j  £ n). We use induction on n. For n=1 there is nothing to prove (for, G=U@ Gin this case). So assume n>1 and that the assertion has been proved for closed subgroups of U.
There are two homomorphisms of algebraic groups
f,f:U® U,
the first one being obtained by erasing the first row and column of a matrix, the second one by erasing the last row and column. For example,
f:U® U, € D.
Note that
f= f= D×D' .
By induction, there are additive functions a, aÎ k[G] such that
k[fG] = k[a] for i=1,2.
This means that the fwith i>1 lie in k[a] and those with j<n in k[G]. Since dim G = 1, we have that aand aare algebraically dependent. By 2.6.4 there is an additive b Î k[G] such that a,aÎ k[b]. Hence all fwith (i,j) ¹ (1,n) are in k[b].
From the multiplication rule for matrices we see that there is a unique f Î k[T,T] such that
f- f- f= f(b(x), b(y)) for x,y Î G,
and it follows that f satisfies (3) and (4) of 2.6.5.

[By definition,
f(bX, bY) = ff
Therefore, since the functions fare linear,
	f(bX+bY,bZ)+f(bX,bY)-f(bX,bY+bZ)-f(bY,bZ)
		=
		= 0
Since the group G is commutative, f(bX, bY)=f(bY, bX).]
If p>0, (5) also holds
	f(bX,jbY) 	= ff= (j) (ff)
 			= ×(ff)
 			= 0
By 2.6.5 (ii) there exists some g Î k[T] with
f(T,T) = g(T+T)-g(T)-g(T)
Then
g(x) := f-g(b(x)) Î k[G]
is again additive:
		g(xy)= ff- g(b(x)+b(y))
			=f(b(x),b(y))+f+f- g(b(x)+b(y))
			=g(b(x)+b(y))-g(b(x))-g(b(y))+f+f- g(b(x)+b(y))
			=-g(b(x))-g(b(y))+f+f

			= g(x)+g(y).
Since b and g are algebraically dependent, they are expressible in an additive functions a.  (by 2.6.4). By construction, every fis in k[a], hence k[G] Í k[a]. Conversely, a is an additive function on G, so that a Î k[G] hence k[G] = k[a]. This proves the theorem.
QED.

2.6.7 Exercises
(1)	Let G be a linear algebraic group which is connected, unipotent and commutative. If p>0 assume moreover that
G={e}.
	Show that G is isomorphic to a "vector group" (G) (Hint: proceed as in the proof of 2.6.6).
(2)	(p>0) Let c be as in 2.6.6. Define the structure of a linear algebraic groups on Asuch that
(x,y)×(x',y') = (x+x',y+y'+c(x,x')).
	This group is connected, unipotent, commutative, of dimension 2. Show that it is not isomorphic to (G).
Remarks about Exercise (1)
We have to show that there are algebraically independent additive functions
a , i = 1,..., m
such that
k[G] = k[a,...,a]
By assumption G is unipotent, so we may assume
G Í U.
Denote by
f: G Í U ® k (1≤1<j≤n)
the projection onto the entry in position (i,j).
We use induction on n. The case n = 1 is trivial. So assume n > 1 and that the assertion has been proved for closed connected commutative subgroups of U. Consider the two homomorphisms of algebraic groups
f: U®U,  a A,
and
f: U®U,  a A,
which erase the first (respectively the last) row and colum. By induction, there are two families of algebraically independent additive functions a,...,a (i=1,2) such that
k[fG] = k[a,...,a].
Since f and f are surjective, these rings can be considered as subrings of k[G]. Then
fÎ k[fG] for i>1
fÎ k[fG] for j<n.
By 2.6.4 there are additive and linearly independent b, ... , bÎk[G] such that
a Î k[b, ... , b] for every i and j,
hence
 f Î k[b, ... , b] for every i and j such that (i,j)¹(1,n).
From the multiplication rule for matrices we see that there a unique
fÎk[S,...,S,T,...,T] such that
f(xy) - f(x) - f(y) = f(x)f(y) = f(b(x),b(y)).

From the definition of f we see that f satisfies (3) and (4) of Lemma 2.6.5 if the variables T and T there are replaced by the sets of variables S,...,S  and T,...,T, respectively (this follows from the associative and the commutative laws in G). If char k = p > 0, (5) also holds (by 2.6.2(iii)). Therefore by (2.6.5(i) + (iii)), if f is considered as a polynomial only in S and T then
f = g(S+T) - g(S) - g(T).
for some polynomial g whose coefficients are polynomials in the variables
S,...,S,S,...,S  and T,...,T,T,...,T

 Let gÎk[T,...,T] as in 2.6.5. Then
g(x) = f(x) - g(b(x))
is again an additive function. By 2.6.4 b, ... , b and g are expressible by linearly independ additive functions g, ... , g, and we have k[G] = k[g, ... , g].
.

QED.
Notes
Chapter 2 contains material on algebraic groups which can be handled with the limited amount of algebraic geometry developed in the first chapter. The material of the first three sections is fairly standard.
The Jordan decomposition in linear algebraic groups has been introduced as soon as possible, in 2.4. In our proof of the  basic theorem (2.4.8) we do not follow the usual method, in which the group G is first imbedded into some GL. We use, as much as possible, the formal properties of the Jordan decomposition of linear maps of a vector space.
When the Jordan decomposition is available it is not difficult to establish the basic results about commutative linear algebraic groups and diagonalizable ones. This is done in 2.4 and 2.5.
The proof of the rigidity theorem 2.5.10 shows that the affine varitey V in the statement of that theorem may be replaced by any connected affine scheme over k. One thus gets a stronger result. It implies that a diagonalizable group has no "infinitesimal automorphisms".
The classification of 1-dimensional linear algebraic groups is always a tricky point in the theory. The reader may consult [11, 7, no.4], [3, p. 257-259], [23, no. 20]. If one does not want to invoke results from curve theory (see 2.6.1), one has trouble in handling 1-dimensional unipotent groups of characterisc p>0 (the geometric explanation seems to be that the affine line Ais not simply connected in characteristic p>0). We  have given an elementary treatment of these groups, in which we need the results on polynomial cocycles contained in 2.6.5 (such results are due to M. Lazard [27, lemme 3]. We also need some results on p-polynomials. Another elementary treatment, which also requires properties of p-polynomials, can be found in [23, no. 20].
3. Derivations, differentials, Lie algebras
3.1. Derivations and tangent spaces
3.1.1 Derivation of a module over a commutative ring, an exact sequence
Let R be a commutative ring, A a commutative R-algebra and M a left A-module. An R-derivation of A in M is an R-linear map D:A ® M such that
D(ab) = a×D(b)+b×D(a).
One sees immediately that D(1)=0, hence
D(r×1) = 0 for r Î R.
These derivations form an A-module denoted
Der,
the module structure being defined by
(D+D')a := Da+D'a
(b×D)a := b(Da)
The elements of Derare called the (R-linear) derivations of A. 
Let f:A ® B is a homomorphism of R-algebras, and N a B-module, then there is an exact sequence
(1)			0 ® Der® Der® Der
3.1.2 Tangent space, heuristic introduction
Let X be a closed subvariety of A. We identify its algebra of regular functions k[X] with k[T,...,T]/I, where I is the ideal of polynomial functions vanishing on X. Assume that I is generated by f,...,f.
Let x Î X be some point and L a line in Athrough x. Its points can be written as x+tv, where v is a direction vector, and t runs through k. The points of the intersection L Ç X are found by solving the set of equations (for t)
(2)				f= 0 (i=1,...,s).
One solution is t=0.
Let Ddenote partial derivation in k[T] with repect to T. Then
f= t×v+ t×(...) + ...,
and we see that t=0 will be a multiple root of the set of equations (2) if and only if
v(Df)(x) = 0 for i=1,...,s.
If this is so, we call L a tangent line anf v a tangent vector (of X in x).
Write D' = vD. This is a derivation of the ring k[T]. The last set of equations then says that (D'f)(x)=0 for i=1,...,s. Denoting by M the maximal ideal in k[T,...,T] of all functions vanishing in x, it follows that D'I  Í M. The linear map 
k[T] ® k, f € (D'f)(x),
factors through k[T] /I and gives a linear map D:k[X] ® k=k[X]/M.
Viewing k as a k[X]-module k via the homomorphism f € f(x), we see that D is in fact a k-derivation k[X] ® k.
Conversely, every element of Der(k[X], k) can be obtained in this manner from a derivation D' of k[T,...,T] with D'I Í M (check this).We conclude that there is a bijection of the set of tangent vectors v of X at x  and Der.
3.1.3 Tangent spaces
Definition for affine varieties
Let  be an affine variety and  a point. Then the tangent space of  at  is defined to be the vector space

where  is the residue class field of  at .
Differential of a morphism at a given point
Let  be a morphism of affine varieties. Then the induced algebra homomorphisms of coordinate rings and residue class fields,

(for xÎX and y = f(x)) define a -linear map

which is called to be the differential of  at  and is denoted

Functoriality
By the very definition this construction is functorial, i.e., 

In particular, the differential of an isomorphism is an isomorphism.

3.1.4 The tangent space of an open neighbourhood
Let  and  be affine varieties and let  an isomorphism onto an affine open subvariety. Then  is an isomorphism.
Proof. We may assume that X is an open subset of . Take some regular function  on  such that
.
Since  is also a regular function on X and  coinsides with the principal open set on X of the restriction , we are reduced to the case . In this case,
.
Surjectivity. Given a derivation , there is always a derivation  extending  and sending  to any given element of the base field. Since , i.e., ,  can be chosen such that . But then  annihilates the ideal  and induces a derivation . This proves that  is surjective. Note that the residue class  of  is a regular function on  with value  at .
Injectivity. Follows from the fact that the extension of derivations to quotient rings is unique. 
QED.
3.1.5 The case of an abstract variety, simple points, smoothness
Remark
The preceding result expresses the local character of the definition of tangent space in a point  of an affine variety .
Tangent space at a point of an arbitrary variety
Let  be an arbitrary variety (see 1.6) and  any point. The tangent space of  at  is defined to be
TX := TU
where the limit is taken over all open affine neighborhoods  of  (hence is canonically isomorphic to  for every such neighborhood).
The Differential at a point
Given a morphism  of varieties, the differential of  at  is defined to be 
df := d(f|:U®V)
where the limit is taken over all pairs  of affine open subsets of  and , respectively, satisfying  and .
Functoriality

This follows from the corresponding formulas for the affine situation.
Simple points
Let  be a variety. The point  is called a simple point of , if
.
In this case  is also called to be smooth or non-singular at . A variety is called to be smooth or non-singular, if all its points are simple points.
3.1.6 The tangent space as the dual of m/m
Let  be an affine variety and  any point. Then the -linear map

is well-defined and an isomorphism. Here  denotes the ideal of regular functions on  vanishing at .
Proof. Since  is annihilated by  the product rule for the derivation  implies that . This shows that the above linear map is well-defined.
Injectivity. Assume that the derivations  is mapped to the trivial homorphism. Then  for every . For  arbitrary let . Then , hence 
,
i.e., .
Surjectivity. Since  is a natural direct sum decomposition,
.
Hence any given linear map  can be extended to a linear map on  by sending the unity to zero. Direct calculation shows that this is in fact a derivation:

Composition of  with the natural homomorphism  gives a derivation mapping to the given linear map. This proves surjectivity.
QED.

3.1.7 Exercises
(1) Using 3.1.6, describe  in the following cases: 
	(a) X is a point, (b) , 
	(c) , 
	(d) , 
(2) Let  be an affine variety,  the local ring of  at  (see 1.4.4(1)), and  the maximal ideal of . Prove that  is isomorphic to the dual of the vector space .
(3) Let  and  be varieties and let ,  be points. Prove that 
.
(4) If  is a closed subvariety of , and  the injection, then  is injective.
3.2. Differentials, separability
3.2.1 Kähler differentials
Let R be a commutative ring and A a commutative R-algebra. Denote by

the product homomorphism and by
I := Ker(q)
its kernel. Then

is called the module of (Kähler-) differentials of A over R. Note that this is a module over . The -linear map

is called the universal derivation of  over .

3.2.2 The universality property of Kähler differentials
Let R be a commutative ring and A a commutative R-algebra.
(i)	For every A-module M, the map
°d: Hom(W, M) ® Der(A,M), f a f°d
	is an isomorphism of A-modules.
(ii) The pair  of an A-module, together with an R-derivation d of A to , is determined up to an isomorphism of A-modules by the property (i).
Proof. straightforward
3.2.3 Functoriality
Let R be a commutative ring and  an R-algebra homomorphism. Then there is a unique homomorphism of A-modules

such that the following diagram is commutative:

Moreover, given any B-module N, there is a commutivative diagram

where the horizontal homomorphisms are the isomorphisms of 3.2.2
Proof. straightforward.
3.2.4 Generators and relations for the module of Kähler differentials
Let R be a commutative ring and A a finitely generated R-algebra,
.
Then the module of Kähler differentials

is generated by the differentials of the generators . The module of relations between these differentials, i.e., the kernel of the A-linear map
,
is generated by the elements

3.2.5 Exercises
(1)	If  then  is a free A-module with basis .
(2)	In the situation of 3.2.4, with m=n=1, give a condition on  under which . Discuss the particular case that R is a field.
(3)	Let A be an R-algebra which is an integral domain, let F be the quotient field of A. Then .
(4)	Let F be a field and  be an extension field of finite type. Then  is a finite dimensional vector space over E spanned by the .
(5)	Let . Show that  is not a free A-module.
(6)	Let  and B R-algebras. There is an isomophism of -modules (all tensor products over R):

	identifying the universal differential of AB with

3.2.6 Field extensions
1. The first basic exact sequence
Let F be a field, and E, E’ be two extension of F of finite type with EÍE’. Then there is an exact sequence
WE  W ® W ® 0

called the first basic exact sequence. Here .

Proof. By (3.1(1)) we have an exact sequence

Using the representation of the Der-modules as Hom-modules (3.2.2(i)) we obtain an exact sequence

The map

defines an isomorphism of vector spaces over E
.
Hence dualizing the above exact sequence, we get the result. Note that all involved vector spaces are finite dimensional.
QED.
2. Separability
The field extension E of F is called to be separable over F if for each xÎE there is a polynomial fÎF[T] without multiple roots such that f(x)=0 [26, Ch. VII,34]. We may assume f to be irreducible and in that case its derivative f’ is nonzero. If  char(F)=0, then every algebraic extension of F is separable.
3.2.7 The first basic exact sequence in the separable case
If E is a separably algebraic extension over E’ then the isomophism a of 3.2.6 is injective.
Proof. The claim essentially means, derivations can be uniquely extented to separably algebraic extensions, which is easily checked (Take a simple algebraic extension).
QED.
3.2.8 Characterization of separability in terms of derivations (simple extensions)
Let E = F(x) be a simple field extension. Then:
(i)	.
(ii)	 if and only if x is separably algebraic over F.
Proof. If x is transcendental over F, this is a consequence of Exercise 3.2.5 (1). If x is algebraic over F, we have
E @ F[T]/(f),
where f is the minimum polynomial of x over F. The assertion then follows from 3.2.4 , using that f’(x) ¹ 0 if and only if x is separably algebraic.
QED.
3.2.9 Characterization of separability in terms of derivations (general case)
1. Definitions
Let E be a field extension of finite type over F. Then

denotes the transcendence degree of E over F. If , the trancendence degree t is the maximum number of  which are algebraically independent over F. In case t=r, E is  purely transcendental over F. E is called to be separably generated over F if it is a separable algebraic extension of a purely trancendental extension. In case the characteristics p:=char(F) is zero, E is always separably generated over F. 
The field F is called perfect if either the characteristics p=char(F) is zero or the Frobenius morphism
,
is surjective.
2. Theorem
Let E be a finitely generated field extension over F. Then:
(i)	.
(ii)	Equality holds in (i) iff E is separably generated over F.
(iii)	If F is perfect then E is separably generated over F.
Proof. Standard stuff in commutative algebra.

3.2.10 Criterion for separably generated field extensions
Let F be a perfect field und E, E’ two extension fields of finite type over F such that
F Í E’ Í E.
Then the following conditions are equivatlent.
(i)	E is separably generated over E’.
(ii)	The natural E-linear map a: WE®W is injective.
(iii)	The natural E-linear map Der(E,E)®Der(E’,E) is surjective.
Proof. (ii) Û (iii). This follows from the universality property of Kähler differentials (see 3.2.2), i.e.
Der(E’ , M) = Hom(W , M)
for E’-Moduls M and similarly with E instead of E. Note that
Hom(WE, E) = Hom( W, E) = Der (E’,E).
(i) Û (ii). By 3.2.9(iii) and (ii) one has
	dim W		= tr.deg E’
	dim W		= tr.deg E
hence from the exact sequence of 3.2.6
	dim W		≥ tr. deg E
where equality holds if and only if a is injective. Thus the claim follows from assertion (ii) of the theorem of 3.2.9.
QED.
3.2.11 Exercise
(1)	Let E’ Í E be finitely generated over the perfect field F. Prove that if E is separably algebraic over E’, then the Morphisms ain 3.2.10 is an isomorpisms.
(2)	Let F be a perfect field, E a field extension of F of finite type. Define
p := char (F).
If aÎE is such that da = 0, then aÎF in case p = 0 and a is a p-th power of an element of E if p>0. (Hint : use 3.2.9(iii) and 3.1(i)).
3.2.12 The Module M(A) associated with a matrix
Let R be an integral domain with fraction field F,
F := Q(R).

For none-zero elements fÎR we write
R := R[T]/(1-fT) = R[f] Í F,
and for every R-Module M let
M := MR .
Let AÎM(R) be an m´n-Matrix with entries in R and
f: R ® R, x a Ax,
the linear map defined by the transpose of A. The cokernel of this map is denoted
M(A) := Coker(f)
Further, let GL(R) be the group of invertible n´n-matrices with entries in R.
3.2.13 A normalization lemma
Let R be an integral domain and AÎM(R) an m´n-matrix with entries from R. Then:
(i)	M(BA) = M(A) for every BÎGL(R).
(ii)	M(AC) @ M(A) for every CÎGL(R).
(iii)	There are fÎR-{0}, BÎGL(R), CÎGL(R) such that
A = BC
where I is the r´r-identy matrix.
Proof. Idea: solve the problem over the quotient field and note that there are only finitely many elements occuring as denominators
...
QED.
3.2.14 Lemma: the freeness locus of M(A)
Let R be an integral domain and AÎM(R) an m´n-matrix with entries from R. Then there is an element fÎR-{0} such that M(A) is a free R-module. Moreover, one may choose f such that the residue classes of certain standard unit vectors e of R form a basis of M(A).
Proof.
...
QED.
3.2.15 Specialization to the geometric case
Let X be an irreducibel affine variety over k. We are going to apply the preceding results for 
				R := k[X]
				F := k(X).
Recall that the field k is algebraically closed, hence perfect. If xÎX, let
M := {fÎk[X] | f(x) = 0}
be the maximal ideal defined by the point x. If M a a k[X]-module, put
M(x) := M/MM.
This is a vector space over k (sind k[X]/M @ k) called the fiber of M at x.
Let A be as in 3.2.12 be an m´n-matrix with entries in R := k[X]. Since the entries of A are functions on X, the matrix A(x) with entries in k is defined. It is immediate that
M(A)(x) = M(A(x)).
3.2.16 Lemma: the freeness locus of M(A)
Let X be an irreducible affine variety,
R := k[X]
and AÎM(R) an m´n-matrix with entries from R. Denote by r the rank of the matrix A considered over the quotient field of R.
(i)	The set of xÎX such that
dim M(A)(x) = n-r
	is open and none-empty.
(ii)	If xÎX and dim M(A)(x) = n-r there is some fÎk[X] with f(x)¹ 0 such that  M(A) is a free k[X]-module of n-r.
Proof.

QED.

Geometric terminology
Let Y be an affine variety. We put
W := W .
If xÎX, the tangent space
TX = Der(k[X], k)
(see 3.1.3) is, by 3.2.2(i) isomorphic to
TX @ Hom(W, k).
Since for any k[X]-module M we have
Hom(M , k) = Hom(M(x), k), M(x) := M/MM,
it follows
TX @ Hom (W(x), k).
The dual vector space of the tangent space TX is called the cotangent space (of X at x) and is denoted (TX)*. It can be identified with the vector space W(x).

3.2.17 Theorem: the smooth locus and freeness of differentials
Let X be an irreducible variety of dimension e.
(i)	If x is a simple point of X, there is an affine open neighborhood U of x on X such that W is a free k[U]-module with a basis
(df,...,df)
for suitable fÎk[U].
(ii)	The simple points of X form a none-empty open subset of X.
Proof. Requires the previously skippen preparations.
...
QED.
3.2.18 Exercises
(1)	The elements of a system of local coordinates are algebraically independent over k.
(2)	Let X be an irreducible affine variety. If W := W is a free k[X]-module, then X is smooth.

3.2.19 Definitions: dominant and separable morphisms
Let f: X ® Y be a morphism of irreducible varieties. This morphisms is called dominant, if f(X) is dense in Y. If this is the case, then there is by 1.9.1(ii) an injection
f*: k(Y) ® k(X)
of the fields of rational functions on y and X, respectively. So we can view k(X) as a field extension of k(Y). If this field extension is separably generated, then the morphism f is called separable. 
Remarks in the affine situation
(i)	Let f: X ® Y be a dominant morphism of irreducible varieties. Assume moreover that X and Y are affine and denote by f* the canonical injection
f*: k[Y] ® k[X].
According to 3.2.3 there is a homomorphism of k[Y]-modules
(f*): W ® W.
For xÎX let k be the k[X]-module k, with the module structure define via evaluation at x (see 3.1.2). Viewed as an k[Y]-module via f* this is k (check this).
(ii)	We are going to study the linear map
(df): TX ® TY
of 3.1.3. Using the preceding remark and the diagramm of 3.2.3, we see that we can view this map also as the homomorphism
Hom(W, k) ® Hom(W , k)
induced by (f*). It can also be viewed as a linear map
Hom(W(x), k) ® Hom(W(fx) , k).

3.2.20 Theorem (separability and surjectivity of the differential)
Let X and Y be irreducible varieties and f: X ® Y a morphism.
(i)	Assume that xÎX and y:=f(x)ÎY are simple points of X and Y, respectively, such that
(df): TX ® TY
	is surjective. Then f is dominant and separable.
(ii)	Assume that f is dominant and separable. Then there is a none-empty open subset U Í X such that for xÎU, the point y := f(x) is simple on Y and that
(df): TX ® TY
	is surjective.
Proof. Requires the above skipped preparations.

QED.

3.2.21 Theorem (smoothness of G-spaces and separability of morphisms of G-spaces)
Let G be a connected algebraic group.
(i)	Let X be a homogeneous space for G.Then X is irreducible and smooth. In particular, G is smooth.
(ii)	Let f: X ® Y be a G-morphism of homogeneous spaces. The f is separable if and only if the tangent map (df): TX ® TY is surjective for some xÎX. If so, then (df) is surjective for every point xÎX.
(iii)	Let f: G ® G’ be a surjective homomorphism of algebraic groups. Then f is separable if and only if (df) is surjective.
Proof. (i). Fix some point xÎX and consider the morphism
G ® X, g a gx.
Since X is a homogeneous space, this morphism is surjective. Hence X is irrreducible.
For every gÎG the morphism
X ® X, x a gx,
is an isomorphism of X. Hence if x is a simple point of X, the same is true for gx. Since G act transitively on X, every point of X is a simple point of X, i.e., X is smooth (cf. 3.2.17).
(ii). Follows from 3.2.20.
(iii). The is a consequence of (ii), viewing G and G’ as homogeneours spaces for G.
QED.

3.3. The Lie algebra of a linear algebraic group
3.3.1 Terminology
Let  be a linear algebraic group. We will use the following notation.

,	the left translation on  defined by 
,	the right translation on  defined by 
	the affine coordinate ring of the group 
, 	the left translation on  defined by 
,	the right translation on  defined by 
,	the multiplication map
, the left translation on  defined by 
, the right translation on  defined by 
,	the interior Automorphism of  defined by 
Ad: TX ® TX, X a X°Int	the linear map on the tangent space induced by the action of  on  as an interior automorphism.
, the linear map on the tangent space induced by the action of  on  as an interior automorphism.
Remarks
1.	The Group G acts by translations from the left on itself, but from the rigth on  and . Moreover, the differential
,
	is an equivariant map with respect to these actions:

2.	By 3.1.6 the restriction of derivations  to the maximal ideal  of function vanishing at x induces an isomorphism of vector spaces

	i.e., the following pairing

	is exact. In particular, the (k-linear) evaluation map

	is bijective. Identifying the latter two vector spaces and letting  we obtain
 evaluated at  = X(a)
	(since k-derivations are identically zero on k).
3.3.2 Trivializing the cotangent bundle
Let G be a linear algebraic group over k. Then the map
f: W ® k[G](TG)*, da a - d(Ra)
is an isomorphism of -modules, where the module structur of  is given by

Moreover,
(i)	The action of gÎG on the differentials via left translation corresponds under this isomorhism to the action on the first factor:

(ii)	The action of gÎG on the differential via right translation corresponds up to innter automorphism to the action on the first factor:

(iii)	The universal differential d on G corresponds under this isomorphism to the derivation given by the following formula:

	if f is a function on G such that . Here  denotes the multiplication map.

Remarks
•	The above formula for  means that, for a given function ,  one has to take the right translate ()(x) for every  and consider it as a function of y. Hence
d(Ra)
	can be considered as an element of (TG)* depending upon xÎG, hence as an element of .
•	The module structure of  comes from the module structure of  given by
k[G]k[G] ® k[G], (a, a’a”) a aa’a”.
	which is obviously well-defined.
Proof. Consider the isomorphism of algebraic varieties
G´G ® G´G, (x,y) a (x, xy)
which can be written as a composition

It induces an isomorphism of the algebra ,
(1)		y = (∆id)*°(idm)*: AA ® AA, a(x,y) a a(x,xy) = a°(id´m)°(∆´id)

such that the following diagrams are commutative:
(2)					
Note that,
	y((l l)(a)) = y(a°(LL)) = a°(LL)°(id´m)°(∆´id)
	(lid)(y(a))	= (lid)(a°(id´m)°(∆´id)) = a°(id´m)°(∆´id)°L´id
Hence, to prove the first diagram (1) is commutative, it is sufficient to show, the following two maps are equal.

and similarly, the second diagram (2) is commutative, since the following two maps are equal.

From the very definition of  we see that  maps  onto the ideal of functions vanishing on :

In other words, . Therefore,  is isomorphically mapped to . This gives the claimed isomorphism

Note that
	f(da) = - f(cl(a(y) - a(x))) = a(xy) - a(x) mod k[G]M
			= - (Ra)(x) - (Ra)(x) mod k[G]M
			= - d(Ra)(x)
In particular, if  and Rf = f(?y) = f(?)g(y),
hence
d(Rf) =  f( g-g(e) mod M)

This gives the claim of assertion (iii):
(f°d)(f) =  f(df) = - d(Rf) = -  f( g-g(e) mod M)
The two commutative squares above give the assertions of (i) and (ii).
QED.
3.3.3 The Lie algebra structure on Der(A,A)
Let A be an algebra over k. Then the space of derivations

is a Lie algebra with the Lie bracket

If the characteristics p = char(k) > 0 is positive, Leibniz’ formula shows that
D(ab) = () Da×Db = a×Db + b×Da
for a,bÎ A. Hence  is again a derivation. This means, in this case D is a restricted Lie algebra in the following sense.
Definition: Restricted Lie algebra
Let k be a field of positive characteristics p := char(k) > 0. Then a Lie algebra D over k is called restricted or p-Lie algebra if it is equipped with a mapping
D ® D, D a D
called p-operation such that
(a)	(xD) = xD (xÎk, DÎD)
(b)	(ad D) = ad(D)
(c)	(D+D’)  = D + D’ +  is(D,D’)
where s(D,D’) is the coefficient of x  in ad(xD+D’)(D) “Jacobson’s formula”). Here we write
(ad D)D’ := [D, D’].
Definition: The Lie algebra L(G) of an algebraic group
Let A = k[G] be the coordinate ring of an algebraic group G. Then G acts by left an right translations on the Lie algebra of vector fields on G,
D = Der(A, A).
The actions are given by
L: G´D ® D, (g,X) a l°X°l
R: G´D ® D, (g,X) a r°X°r
The Lie algebra of G is defined to be the subalgebra of D of all vector fields invariant under all left translations:
L(G) := {XÎDer (A,A) | X°l = l°X }
Since left and right translations commute, L(G) is stable under right translations, i.e., G acts on L(G) via right translations. Moreover, it is easy to see that L(G) is also stable under the p-operations on .
3.3.4 Trivializing the tangent bundle
There is an isomorphism of k[G]-modules

where the module structure on the right is defined by
a×(fX) = (af)X.
Moreover,
(i)	y°l°y = lid
(ii)	y°r°y = rAd
(iii)	y(aX)(f) = -(af)×X(g) if fÎk[G] is such that f°m = fg.
Proof. Dualizing 3.3.2 we obtain a linear isomorphism over A := k[G],

(1)	Hom(A(TG)*, A) ® Hom(W , A), h a (df a -h(d(Rf))) 
If f°m = fg then by 3.3.2(iii),
d(Rf) = fdg
hence for A-linear maps h,
h(d(Rf)) =  f h(1dg)
The left hand side Hom module is isomorphic to

k[G]TG @ Hom(A(TG)*, A), aX a (a’laa’al(X)),

hence the isomorphism writes
k[G]TG ® Der(A,A), aX a (f a  - f h(1dg))
where h is the map a’laa’al(X), i.e., 
h(1dg) = a(dg)(X) = aX(g)
Thus the isomorphism is given as follows:
k[G]TG ® Der(A,A), aX a (f a  - af X(g))

This gives the claimed isomorphism and assertion (iii). Assertions (i) and (ii) are dualizations of the corresponding formulas of 3.3.2.
QED.

3.3.5 The Lie algebra structure and the tangent space at e
Let  be the linear map

Then:
(i)	 defines an isomorphism of vector spaces  such that the right translation on the Lie algebra corresponds to  on the tangent space.
(ii)	 is a rational representation, called the adjoint representation of G on the tangent space.
Proof. Consider the commutative diagram

By the formulas (i) and (ii) of 3.3.4 the left invariant vector fields of L(G) are mapped under y to the elements of kTG, i.e., the lower horizontal map on the right is an isomorphism. Moreover, on kTG the map a°y acts as follows (by 3.3.4(iii)):
(1)	(a°y)(1X)(f) = - (fX(g))(e)
			= - f(e)X(g)
			= - X(f(e)g)
			= - X(f).
This shows, both lower horizontal maps are isomorphisms. According to 3.3.4(ii), 
y°r°y = rAd ,
e.g. right translation with g on L(G) corresponds to IdAd on kTG, hence to Ad on TG. This proves assertion (i).
As for (ii) we have to show that
G ´ TX ® TX, (g, X) a X°Int ,
is a regular map.
As we have seen in 2.3.4, the operation of G on itself by conjugation induces a rational representations on the finite dimensional invariant subspaces of k[G]. This implies that this operation induces a rational representation on M/M = (TX)*. Passing to the induces representation on the dual we see that the representation of G on the tangent space is a rational representation.
QED.

3.3.6 Functoriality: the case of closed immersions
Let G’ÍG be a closed subgroup of G with ideal IÍk[G]. Then
D := {XÎDer(k[G], k[G]) | X(I) Í I }
is a sub-Lie-algebra of , and there is an obvious homomorphism of Lie-algebras
l: D ® D :=  Der(k[G’], k[G’]), X a (f mod I a X(f) mod I)
such that the following diagram is commutative:

Moreover,
TG’ = { XÎTG | X(I) = 0 }

3.3.7 Lemma
l induces an isomorphism DÇL(G) ® L(G’).
Proof. By 3.3.5 the restriction of  (resp. ) to the Lie algebra L(G) (resp. L(G’)) is injective (resp. an isomorphism). Hence l is injective on the intersection DÇL(G) (since the above diagram is commutative.
To prove surjectivity, we have to show that for  the invariant vector field  (which maps to -X under l) is in .
Let fÎI. We have to show . Write
f= fg
Since f(xy) = 0 for x,yÎG’ and since the ideal defining G’´G’ is IA+AI we may assume that  for every i. From the formula of 3.3.4 we see
y(1X)(f) = fX(g)
Since each term on right vanishes on G’, this is a function of I as required.
QED.
Convention
In that what follows, we identify the Lie algebra L(G) and the tangent space TG via y. We thus obtain a Lie algebra structure on the latter space.
We shall also denote the Lie algebra of a linear algebraic group G, H, ... by G, H, ...
If F: G®G’ is a homomorphism of algebraic groupsm we write dF for the induced tangent map
(dF): G®G’.
We call dF the differential of F.

3.3.8 Functoriality: general case
Let f: G ® G’ be a homomorphism of linear algebraic groups. Then df : G®G’ is a homomorphism of Lie algebras which is compatible with the p-operations if p := char(k) > 0.
Proof. Consider the factorization
G  G´G’  G’
where
r (x) := (x, f(x)) for xÎG
and s is the projection onto the second factor. From this we see that it is sufficient to prove the claim in the following three special cases.
1.	f is an isomorphism.
2.	f is a projection (like s).
3.	f is a closed subgroup.
Case 3 follows from 3.3.6 and 3.3.6 (since l is essentially the inverse of the natural inclusion TG ® TG’ of the tangent spaces induced by f).

The first two cases are easy and left to the reader.

QED.

3.3.9 Examples
(1)	The additive group
Let G = G, so k[G] = k[T]. The k-derivations
X:k[G]®k[G]
are such that for aÎk[T],
Xa =  X(T) with X(T)Îk[T]
hence
X = f× with fÎk[T].
Hence, derivations commuting with all translations T a T+a, aÎk, can be written
X = l× with lÎk.
If p = char(k) > 0, the p-fold derivative with respect to T is zero, i.e. D = 0. Therefore,
G = TG = k×
is the 1-dimensional (restricted) Lie-algebra with
[X,X] = 0 for XÎG
and (in case p>0)
X = 0 for XÎG.
(2) The multiplicative group
Let G = G , so k[G] = k[T,T]. The k-derivations 
X:k[G]®k[G]
are such that for aÎk[T],
Xa =  X(T) with X(T)Îk[T,T]
hence
D = f× with fÎk[T,T].
Hence, derivations commuting with all translations T a aT, aÎk*, can
be written
X = l×T with lÎk*.
Thus,
G = TG = k×X, X := T×
is the 1-dimensional (restricted) Lie algebra with
[X,X] = 0
and (in case p>0)
X = X.
(3) The general linear group
Let G = GL. Then
k[G] = k[T, det(T) | i,j = 1,...,n].
Denote by
gl
the Lie-algebra of all n´n-matrices over k with product
[X,Y] := XY - YX
(and the p-product in case p>0 just the usual p-th power). For
x = (x) Î gl
let D: k[G] ® k[G] be the k-derivation with
D T = - T×x  = - (TX).
For y = (y)Îgl we have
	D (l(T)) = D((yT)) =  D(yT)
		= - y D(T)
		= -  yT×x
		=  - (yTx)
		= - l((Tx))
		= l(DT).
In other words, the derivations D°l and l° D conincide on the variables T, henc on k[G] (by the product rule). We have proved
DÎL(G) for every X.
The map
gl ® L(G), x a D,
is k-linear and injective. Since
dim G = dim G = n = dim gl.
the map must be bijective. Moreover, it is an isomorphism of Lie algebras, for
	D(T) = - (T[x,y]) = - (Txy - Tyx) = - (Txy) + (Tyx)
		= - D((Tx)) + D((Ty))
		= - D(DT) + D(DT)
		= [D,D].
So the Lie algebra of G may be identified with
	L(G) = gl.
Moreover, since
Int: GL ® GL , x a gxg,
is linear with respect to x, its differential (=linearization at e) is
Ad(x): L(G) ® L(G), x a gxg.
Also, the isomorphism  L(GL) @ gl is compatible with the passage to subgroups (check this) so that, for any closed subgroup G Ì GL , the Lie algebra G may be considered as a subalgebra of gl.

3.3.10 Exercises
(1)	The Lie algebra of SL is the subalgebra sl of gl consisting of all matrices with trace 0 (Hint: use 3.3.7).
(2)	Determine the Lie algebras of the groups D , T and U of 2.1.3.
(3)	Let f: SL®PSL be the homomorphism of 2.1.4. Show that df is surjective if p ¹ 2.
(4)	If p := char(k) ¹ 2, then L(SO) is isomorphic to the Lie group of all skew-symmetric n´n-matrices.
(5)	L(G) = L(G).
(6)	Show that Ad(x) is an automorphism of the Lie algebra L(G) for every xÎG. If G = GL, then Ad(x)X = xXx for xÎGL and XÎgl.
Remark
Next we give some differential formulas to be used in the sequel.

3.3.11 The Lie algebra of a direct product
Let G be a linear algebraic group,
π: G´G ® G, (x,y) a xy,
the product map and
i: G ® G, x a x,
the inversion (see 2.1.1). We have
L(G´G) = L(G)L(G)
(since this is true for the tangent spaces at the neutral element, see 3.1.7(3)). The differentials of these maps can be described as follows.
(dπ): L(G)´L(G) ® L(G), (X,Y) a X+Y.
(di): L(G) ® L(G), X a -X.
Proof. The product map π defines a k-linear map
:=(π*):W ® W , fdg a π*(f)dπ*(g),
(see 3.2.3) and
W = Wk[G]  k[G] W.
Let fÎk[G] and π*f = fg. Then, since (?*) commutes with the exterior differential,
(1)			(df) = d(π*f) = (dfg + fdg).
Since f(e)g = fg(e) = f, hence
f(e)dg = g(e)d f = df
we have
(df) - df1 - 1df Î MW .
Therefore, the linear map
(e):W(e) ® W(e,e) = W(e) W(e)
induced by  is given by
(2)				df a df1 + 1df a (df, df).
The dual of this map is
(dπ):TG´TG ® TG
and from (2) we see that
	(dπ)(X,Y) = (X,Y)° (e)
hence this vector field has on the differential dfÎ W(e) = (TG)* the value
	(dπ)(X,Y)(df) = (X,Y)° (e)(df)
			= (X,Y)(df,df)		(see (2))
			= X(df) + Y(df)
			= (X+Y)(df)
Thus (dπ) is the map (X,Y) a X+Y, as claimed.
As for the second formula, note that
π°(id, i): G ® G, x a (x,x) a e
is the trivial map. Therefore
0 = dπ°(Id, di)
i.e., for XÎTG we have
0 = dπ°(Id, di)(X) = dπ(X, diX) = X + diX.
QED.

3.3.12 The differential of the commutator map
Let G be a linear algebraic group.
(i)	Let s: G ® G be a morphism of algebraic varieties and let
f: G ® G, x a s(x)x,
	Then (df) = (ds) - id.
(ii)	For xÎG let
f: G ® G, y a xyxy,
	be the commutator map for x. Then
(df) = Ad(x) - id.
Proof. (i). Write the morphism f as the following composition
G  G´G  G´G  G, x a (x,x) a (sx, x) a s(x)x
Therefore,
	(df)(X) = dπ((ds´di)(d∆(X)))
		= dπ((ds´di)(X,X))
		= dπ((ds(X),di(X))
		= dπ (ds(X), -X)
		= ds(X) - X.
This proves (i).
(ii). From assertion (i) we see that
(df) = dInt - id = Ad(x) - id.
QED.
3.3.13 The differential of direct sum and tensor product representations
Let V be a finite dimensional vector space. We write
gl(V)
for the Lie algebra of all endomorphisms of V. So
gl(V) @ gl
if dim V = n. If
f: G ® GL(V)
is a rational representation (see 2.3.1) then its differential df is a homomorphism of Lie algebras
df: G ® gl(V),
i.e., a representation of the Lie algebra G on the vector space V.
Lemma
Let G’ and G” be two linear algebraic groups and let
f’: G’ ® GL(V’) and f”: G” ® GL(V”)
be rational representations. Denote by
f’f”: G’´G” ® GL(V’V”)
and
f’f”: G’´G” ® GL(V’V”)
the direct sum and tensor product representations of f’ and f”, resp. We identify
L(G’´G”) = L(G)L(G”).
Then
(i)	d(f’f”) = df’  df”,
(ii)	d(f’f”)(X’,X”)(v’v”) = df’(X’)(v’)v” + v’df”(X”)(v”).
Proof. (ii). It suffices to prove (ii) for X” = 0. In that case we have that
d(f’f”)(X’,0)(v’v”)
is the differential of the morphism
G’ ® V’V”, x a f’(x)v’v”,
evaluated at X’. But the differential (=linearization) of the latter map, evaluated at X’,is just
df’(X’)(v’)v”.
(i). The proof is similar and left to the reader.
QED.
3.3.14 Exercises
(1)	Let f: G ® GL be a rational representation. Write
f(x) = (f(x))
for xÎG with fÎk[G]. Then
df(X) = (X(f))
for XÎTG.
(2)	Let VÌk[G] be a finite dimensional subspace of k[G] which is stable under all left translations l , xÎG (resp. under all r). Let
f: G ® GL(V)
the rational representation defined by l (resp. r). Then
(df(X))f = Xf,
where XÎL(G) is viewed as an element of
L(G) Ì Der(k[G],k[G]).
(3)	The differential of the adjoint representation is given by
(dAd)(X)Y = [X,Y]
for X,YÎG.
(Hint: first deal with the case G = GL and then use an embedding G Í GL).
(4)	Let f: G ® GL(V) be a rational representation. Let #V be an exterior power of V (see [26, Ch. XVI,§6]), and let
#f: G ® GL(#V)
be the representation with
(#f)(x)(v#v#...#v) = f(x)v#f(x)v#...#f(x)v
for xÎG and vÎV. Then #f is a rational representation and its differential is given by
(d#f)(X)(v#v#...#v) =  v#...#(df)(X)v#...#v
for XÎG and vÎV.(Hint: deduce this from from the analog statements about the tensor product 3.3.13(ii)).

Remark
As an application of the differential calculus on lineare algebraic groups developed so far we shall prove now Lang’s theorem about the Frobenius of algebraic groups over finite fields. We start with a few definitions concerning fields of definition.

3.3.15 Lang’s theorem about algebraic groups over finite fields: preparation
Let X be an affine variety over k and let kÍk be a subfield. A k-structure on X is a k-subalgebra AÍA := k[G] of finite type over k such that
A = Ak.
If such a structure is given we say that X is a k-variety, or is defined over k, or that k is a field of definition of X.
A closed subvariety X Í A is defined over k if and only if the ideal
I(X) Í k[T,...,T]
(see 1.1.1) is generated by polynomials which are contained in
k[T,...,T]
(check this). This is not equivalent to the weaker property that there are f,...,fÎ k[T,...,T] such that X is the set of common zeros of the f (1≤ i ≤ s) (counter example: char k = p > 0, k a none-perfect field, n = s = 1, f = T - a, where aÎk but the p-th root of a is not in k). However, this equivalence holds if k is perfect. For a discussion of these questions see e.g. [3, AG, §12]. We do not need to go into details.

If X and Y are affine k-varieties, defined by k-algebras A and B, a morphism
f: X®Y
is a k-morphism or is defined over k, If there is a homomorphism of k-algebras
f: B ® A,
such that the homomorphism f*: k[Y] ® k[X] defining f is fid. It is now clear how to define a k-structure on a linear algebraic group G. In that case we say that G is a k-group or is defined over k.

Now let k := F be the finite field with q elements, and let k be an algebraic closure of F. If X is an affine variety defined over k, and A, A are as before, the homomorphism
A ® A, f a f,
defines a morphism
F: X ® X
which is defined over F. This is the Frobenius morphism.

If f: X ® A is an F-embedding of X into affine n-space, so that we can view X as a subset of k, we have
F(x...,x) = (x,...,x)
if (x,...,x)ÎX. It is clear from the definition of F that the tangent map (dF) is trivial for every xÎX.
3.3.16 Lang’s theorem
Let G be a connected linear algebraic group which is defined over F and let F be the corresponding Frobenius morphism. Then
f: G ® G, x a (Fx)x,
is a surjective morphism.
Proof. Step 1. F: G ® G is a homomorphism of algebraic groups.
By assumption, G is defined over F. In particular, the multiplication
π:G´G® G, (x,y) a (f(x,y), ...,  f(x,y))
is defined, with respect to some embeding G Í A, by polynomial functions f with coefficients in F. Therefore, f(Fx,Fy) = f(x,y), hence
F(x×y) = F(x)F(y),
i.e., F is a homomorphism of algebraic groups.
Step 2. f(G) contains a none-empty open subset UÍ G.
By 3.3.12(i)
(df) = (dF) - id = -id,
i.e.,
(df): TG ® TG
is bijektive. Since
f(x) = (Fx)x = (Fa)× (F(ax)(ax) a
= (Fa)×f(ax)a,
the differential
(df): TG ® TG
is bijective for arbitrary aÎG. Now let
X := 
be the Zariski closure of the image of f. This is an irreducible closed subset of G. The none-singular points of X form a none-empty open subset of X (see 3.2.17(ii)). In particular, there is a singular point in X of the form
f(a)ÎX, aÎG.
Therefore, if we consider f as a morphism f: G ® X,
dim X = dim TX ≥ dim Im(df) ≥ dim TG ≥ dim G,
hence
X = G.
By 1.9.5, the Image of f contains a none-empty open subset of G,
Æ ¹ U Í f(G), U Í G open.
Step 3. For every aÎG there is a none-empty open subset V of G, consisting of Elements of the form (Fy)ay.
Write
		s(x) := F(x)a = r(F(x))
		f(x) := s(x)x.
Then by 3.3.12(i),
(df) = (ds) - id = (r)°(dF) - id = id.
Inparticular (df) is bijective. Moreover,
f(x) = (Fx)ax = (Fb)× (F(bx)a(bx) b
= (Fb)×f(bx)b,
Therefore, (df) is bijecitive for every bÎG. The claim now follows by the same arguments as in step 2.
Step 4. The proof.
Given any aÎG choose the none-empty open subsets U,V Í G as in Step 2 and 3. As G is connected, these sets have a none-empty intersection, i.e., there are points x,yÎG such that
(Fx)x = (Fy)ay.
But then
a = (Fy)(Fx)xy = F(yx)(yx) = f(yx),
i.e., f is surjective.
QED.
Remark
Let G as in the theorem. Then the fixed point set of F,
G := { xÎG | Fx = x }
is a finite group. All “finite Chevalley groups” are of this type. Lang’s theorem is the basic tool in the study of these groups. We give an instance of an application in the next exercises below.
3.3.17 Exercises
(1)	Let G and G be as before. Let xÎG. Then the centralizer  Z(x) of x is a closed subgroup of G (see 2.5), which is F-stable. Assume that Z(x) is connected. If yÎG is conjugate to x in G, then is is alread conjugate to x in the finite group G (for more details see [6, part E, Ch. I]).
(2)	Let G be a connected linear algebraic group and s; G®G an endomorphism of algebraic groups such that ds: G®G is a nilpotent linear map. Then G ®G,  x a (sx)x, is surjective.
3.4. Jordan decomposition in L(G)
Let G be a linear algebraic group, with Lie algebra g. We view the elements of g as derivations of k[G]. There is a Jordan decomposition of elements of g, quite similar to the one in G (2.4.8), which will be briefly discussed.

3.4.1 Existence of the Jordan decomposition
Let F be a finite dimensional subspace of k[G]. There is a finite dimensional subspace E of k[G] which contains F and is stable under all derivations XÎLie(G). In other words, the action of Lie(G) on k[G] is locally finite. In particular, there is an additive Jordan decomposition  for left invariant vector fields X on G.
Proof. We may assume that F is generated by one single element fÎk[G]. Write
f(xy) = f(x)g(y).
Then
l°f = f(x)g,
hence for DÎLie(G),
D(l°f) = f(x)D(g),
Since D is supposed to be invariant under left translation,
l°D(f) = f(x)D(g),
Evaluating at y=e we get
D(f)(x) = f(x)D(g)(e),
This last identity shows that D(f) is contained in the k-vector space generated by , i.e., the vector space generated by the functions D(f) where D runs over the invariant vector fields, is finite dimensional.
QED.

3.4.2 Properties of the Jordan decomposition
Let X Î Lie(G) and let  be the Jordan decomposition of X. Then
(i)	,  ÎLie(G) and .
(ii)	If f:G®G’ is a homomorphism of linear algebraic groups then df commutes with the Jordan decomposition in Lie(G):
  and 
(iii)	If  then  and  are the semi-simple and nilpotent parts of the matrix .
3.4.3 Exercises
(1)	Prove 3.4.2 (Hint: the proof is similar to the proof for the multiplicative Jordan decomposition in G (see 2.4.8)).
(2)	If G is a torus, then all XÎL(G) are semi-simple.
(3)	If G is unipotent, then all XÎL(G) are nilpotent.
3.4.4 Note about the methods used in this book

4. Further study of morphisms, applications
4.1. General properties of morphisms of varieties
4.1.1 The situation, notation
Let X and Y be two irreducible varieties and
f: X ® Y 
a dominant morphism (see 3.2.19). We may view the quotient field k(X) (see 1.8.1) as an extension of the field k(Y). The transcendence degree of the extension is
trdegk(X) =  dim X - dim Y.
We shall give in 4.16 (ii) a geometric interpretation of this integer.

If F is any field and E a finite algebraic extension, the elements of E which are separable over F form a subfield
E := { xÎE | x separable over F}
Its degree is called the separable degree of E over F and denoted
[E:F] := [E:F].
For any xÎE there is a power x which is in E, where p := char(F) (see 26, Ch.VII, §4).

If X and Y are as before and dim X = dim Y, then k(X) is a finite algebraic extension of k(Y). In 4.1.6(iii) a geometric interpretation is given of [k(X):k(Y)].
If k(X) = k(Y) then f  is said to be birational.
4.1.2 Criterion for birational morphisms
Let f: X ® Y be a dominant morphism of irreducible varieties. The the following are equivalent.
(i)	f is birational.
(ii)	There is a none-empty open subset UÍX such that f(U)ÍY is open and such that f induces an isomorphism U ® V.
Proof.

QED.
4.1.3 Lemma: the purely transcentental case
Let f: X ® Y be a dominant morphism of affine irreducible varieties such that
k[X] = k[Y][a],
where a is trancendental over k(Y). Then
(i)	f is an open morphism.
(ii)	If Y’ÍY is an irreducible closed subvariety, then f(Y’)ÍX is an irreducible close subvariety of dimension
dim f(Y’) = dim Y’ + 1.
Proof.

QED.
4.1.4 Lemma: the separable algebraic case
Let f: X ® Y be a dominant morphism of affine irreducible varieties such that
k[X] = k[Y][a],
where a is separably algebraic over k(Y). Then there is a none-empty open subset
UÍX
with the following properties.
(i)	The restriction of f to U is an open morphism U ® Y.
(ii)	If Y’ÍY is an irreducible closed subset and X’ÍX an irreducible component of f(Y’) such that X’ÇU ¹ Æ, then dim X’ = dim Y’.
(iii)	For xÎU,
#f(f(x)) = [k(X):k(Y)].
Proof.

QED.
4.1.4 Lemma: the purely inseparable case
Let f: X ® Y be a dominant morphism of affine irreducible varieties such that
k[X] = k[Y][a],
where aÎk(Y). Then there is a none-empty open subset UÍX  with the following properties.
(i)	f induces an open morphism U ® Y which is a homeomorphism onto its image.
(ii)	If Y’ÍY is an irreducible closed subset, then there is at most one irreducible component X’ of f(Y’) such that X’ÇU ¹ Æ. If X’ exists, then dim X’ = dim Y’.
Proof.
QED.
4.1.6 Theorem
Let f: X ® Y be a dominant morphism of irreducible varieties of relative dimension
r := dim X - dim Y.
Then there is a none-empty open subset UÍX with the following properties.
(i)	f induces an open morphism U ® Y.
(ii)	If Y’ Í Y is an irreducible closed subvariety and X’ an irreducible component of f(Y’) such that X’ÇU  ¹ Æ, then
dim X’ = dim Y’ +r.
	In particular, if yÎY, any irreducible component of f(y) which intersects U has dimension r.
(iii)	If k(X) is algebraic over k(Y) then for all xÎU the number of points in the fiber f(f(x)) equals [k(X):k(Y)],
Proof.
QED.
4.1.7 Corollary
In the situation of 4.1.6 we may replace assetion (i) by the stronger property
(i)’	For any variety Z, the restriction of f to U defines an open morphism U´Z ® Y´Z.
Proof.
QED.
4.1.8 Exercises
(1)	Show, using 4.1.6(iii), that an isomorphism f:A® A is of the form f(t) = at+b (a,bÎk, a¹0). Deduce that an isomorphism y of the projective line P (see 1.7.1) is of the form
y(x,y) = (ax+by, cx+dy) with det ¹0.
(2)	Let X := {(x,y)ÎA | x = y }. This is an irreducible closed subset of dimension 1. Define f: X ®A by f(x,y) := y/x if (x,y) is not the origin and f(0,0) = 0. Show that y is a morphism of varieties which is birational and bijective, but is not an isomorphism of varieties.
(3)	Consider the morphism f: A® A, (x,y) a (x,xy). Show that f is birational, and that it is not an open morphism. Determine the components of its fibers.
(4)	Consider the morphism f: A® A, (x,y,z) a (x,xy,z). Let
X := {(x,y,z)ÎA | y = x+1 }.
	Show that X and Y = fY are irreducible closed subvarieties of A of dimension 2. Let
Y’ := {(x,y,z)ÎA | y = xz, z = x+1}.
	Show that Y’ is irreducible, close, of dimension 1 and that if char k ¹ 2, fY’ÇX has a component of dimension 0.
4.2. Finite morphisms
4.2.1 Definition
Let B be a ring and AÍB a subring. We say that B is finite over A if B is an A-module of finite type. We say that bÎB is integral over A if it satisfies an equation
b + ab + ... + a = 0 , aÎA.
If every bÎB is integral over A then B is said   to be integral over A.
4.2.2 Lemma: finiteness and integralness
Let B be an A-algebra of finite type. Then B is integral over A if and only if B is finite over A.
Proof.
QED.
Remarks
(i)	The lemma implies that the elements bÎB which are integral over A form a subring called the integral closure of A in in B.
(ii)	If the ring C in integral over B and B is integral over A, then C is integral over A.
(iii)	A dominant morphism f: X ® Y of affine irreducible varieties is called finite if k[X] is finite over k[Y].
4.2.3 Proposition: surjectivity and closedness of finite morphisms
Any finite morphism is surjective and closed.
Proof.
QED.
4.2.4 Proposition: finiteness and quasi-finiteness
Let f: X ® Y be a dominant morphism of irreducible affine varieties and
xÎX
any point such that its fiber
f(f(x)) is finite.
Then there is an affine open neighborhood VÍY of f(x) such that
f(V)ÍX
is an affine open neighborhood of x and such that the morphism
f(V) ® V
induced by f is finite.
Proof.
QED.
4.2.5 Corollary: preservation of dimension
Let f: X ® Y be a dominant morphism of irreducible affine varieties such that for at least one point xÎX the fiber
f(f(x)) is finite.
Then dim X = dim Y.
Proof.
QED.
4.2.6 Exercises
(1)	Let f :X®Y be a finite morphism. Then, for any variety Z, the induced morphism
f´id: X´Z ® Y´Z
	is closed.
(2)	Let f: X ®Y be a surjective morphism of irreducible affine varieties. Assume that f(f(x)) is finite for all xÎX. Then f is finite (Hint: Take fÎk[X] and put I := {gÎk[Y] | gf is integral over k[Y]}, show that I=k[Y]).
(3)	An integral domain A is said to be normal if every element of its quotient field which is integral over A, lies already in A. An irreducible affine variety X is normal, if k[X] is normal.
	Let f: X ®Y be a morphism of irreducible affine varieties which is bijective and birational. Assume Y to be normal. Show that f is an isomorphism (This is a version of ”Zariski’s main theorem”. Hint: use Exercise (2)).
4.3. Applications to algebraic groups
4.3.1 Lemma: closed and locally closed orbits
Let G be a connected algebraic group acting on the G-space X.
(i)	An orbit of G in X is open in its closure. Each orbit and its Zariski closure are irreducible varieties.
(ii)	There exist closed orbits. All orbits of minimal dimension are closed.
Proof. (i). Let xÎX and write O := G×x for its orbit. Consider the morphism
G ® X, g a gx.
The closure of its image contains a none-empty open subset U which is completely in its image
U Í O,
(see 1.9.5). Since G acts transitively on O, the open sets gU cover O. This proves (i) the first claim of (i). Moreover, we see that O is an open subvariety of . Since G is irreducible, the same  is true for O and . This proves (i).
(ii). Take O such that dim O is minimal. If O were not closed, the difference
 - O
would contain an orbit of dimension less than dim  = dim O, which contraticts the choise of O.
QED.
4.3.2 Lemma: G-obits and G-orbits
Let G be an algebraic group and X a homogeneous space for G. Then:
(i)	Each irreducible component of X is a homogeneous space for G.
(ii)	The components of X are open and closed, and X is their disjoint union.
Proof. Let X’ Í X be an orbit of G. Since G acts transitively on X and G has finite index in G (by 2.2.1(i)),
G = gG È ... È gG,
X = GX’ = gGX’ È ... È gGX’ = gX’ È ... È gX’,
i.e., X is the disjoint union of finitely many translates gX’, gÎG, Each of them is a G-orbit.  From 4.3.1(ii) follows that one of them is closed, hence all of them are closed. This proves the claim.
QED.
4.3.3 Theorem: Dimension of the fibres for morphisms of homogeneous spaces
Let G be an algebraic group and  and equivariant morphism of homogeneous spaces for G. Define
r := dim X - din Y.
Then
(i)	For any variety Z, the induced morphism  is open.
(ii)	If Y’ is an irreducible closed subvariety of Y and X’ an irreducible component of , then dim X’ = dim Y’ + r. In particular, for every point , the irreducible components of  all have dimension r.
(iii)	Equivalent conditions:
	(a)	 is an isomorphism.
	(b)	 is bijective and the map induced on the tangent spaces, 				 is bijective for some .
Proof. Using the previous lemma (4.3.2) the proof of the theorem is easily reduced to the case that G is connected and X,Y are irreducible. Then  is surjective, hence dominant, and we can apply the theorem on the dimension of the fibers (4.1.6 and 4.1.7). Let UÍX be an open subset with the properties as in this theorem. Since the morphism is equivariant, all translates  also enjoy these properties, hence does the union of all these translates. Since the union equals X, assertions (i) and (ii) follow.
As for assertion (iii), assume that  is bijective. Then the field extension  is purely inseparable (4.1.6)(iii). If  is bijective too, we see that this extension also is separable. Hence k(X)=k(Y) and  is birational, hence induces an isomorphism on certain open subsets of  and  (4.1.2). Since  is equivariant, this implies that it is an isomorphism. This proves (b)Þ (a). The converse implication is trivial.
QED.
4.3.4 Corollary: Criterion for isomorphisms of linear algebraic groups
Let  be a surjective homomorphism of algebraic groups. Then
(i)	dim G = dim G’ + dim Ker(f).
(ii)	Equivalent assertions:
	(a)   f is an isomophism.
	(b)   f is an isomophism of abstract groups and the induced Lie algebra homomorphism  is an isomorphism.
Proof. Consider G and G’ as homogeneous spaces for G: the first one via left translations (2.3.1) and second one via  and left translations on G’. Then  is an equivariant morphism and the assertions follow from 4.3.3.
QED.
4.3.5 Exercises
(1)	The connectedness assumption of in 4.3.1 can be ommitted (except for the irreducibility assertions).
(2)	In the situation of 4.3.1, an orbit is a homogeneous space (this fact was already stated in 2.3.1).
(3)	Let G be a unipotent linear algebraic group and X an affine G-space. Denote by O a G-orbit in X and let  be its closure. Assume that . Then the difference
O’ := 
	is closed (by 4.3.1 and (1)). Let I and I’ be the ideals in k[X] of functions vanishing on  and  respectively. Then , , and . Deduce from the fact that unipotent groups can be embedded into some U (see, 2.4.11) that there exists some  such that  for , and show that this leads to a contradiction. Hence all orbits of G in X are closed (“theorem of Konstant-Rosenlicht”).
(4)	Give an example of a bijective homomorphism of algebraic groups  which is not an isomorphism of algebraic groups.
(5)	If char k = 0, a homorphism of algebraic groups  is an isomophisms of algebraic groups if and only if it is an isomorphism of abstract groups. Similarly for homogeneous spaces.
(6)	(a)   Let  be a homorphism of algebraic groups. Then
.
	(b)   Assume moreover that G is connected, , and  is surjective. Then  is a finite subgroup of the center of  (Hint for the proof of the last statement: let  and consider the morphism G ® Ker(s), x a xgxg).
4.4. Semi-simple automorphisms
4.4.1 Notation, the Lie algebra of the fixed point group of an automorphism of algebraic groups
Let G be a connected linear algebraic group and
s: G ® G
an automorphism of G in the sense of algebraic groups. We write
G := { xÎG | sx = x }
for the set of fixed points of s.This is a closed subgroup. Also,
f: G ® G, x a (sx)x,
is a morphism of varieties. The induced map on the tangent spaces,
ds : L(G) ® L(G),
is an automorphism of the Lie algebra G := L(G). We write
(1)			G := {XÎG | (ds)X = X } = Ker(df).
Since fG = {e}, we have (df)Lie(G) = {0} hence
(2)				Lie(G) Í G = Ker(df) .
Equality need not hold (see Exercise 4.4.9(1) below). From Lemma 4.4.2 will follow that equality holds if char(k) = 0.

In general this question is related to the dominant morphism
y: G ® , x a fx,
considered as an equivariant morphism of G-spaces, where G acts onto itself by left translations and on  as follows.
G ´  ® , (g,x) a (sg)xg.
Note that fG is an orbit of G under the action just defined. By 4.3.1(i) fG is open in its closure , i.e. it is a variety with a transitive action of G, i.e. a homogeneous space. By 3.2.21 (i) fG is smooth. In particular,
eÎ is a non-singular point.
Moreover,
dim  = dim G - dim G.
4.4.2 Lemma: Criterion for equality in L(G) Í L(G)
Let G be a connected linear algebraic group and
s: G ® G
an automorphism of G in the sense of algebraic groups. Then the following are equivalent.
(i)	Lie(G) = G
(ii)	y: G ® , x a (sx)x, is separable.
Proof. Using the notations of 4.4.1 we get
	dim Im(dy) = dim L(G) - dim Ker(df) 			(homomorphism theorem)
		= dim L(G) - dim G				(by 4.4.1(1))
		≥ dim L(G) - dim L(G)			(by 4.4.1(2))
		= dim G - dim G
		= dim fG						(by 4.3.3(ii))
		= dim 						(fGÍ is open)
If condition (i) is satisfied, then equality holds everywhere in the above estimation. In particular, (dy): L(G)® L() is surjective. By 3.2.21(ii) this implies that y is separable.
Conversely, if condition (ii) is satisfied, the outer members of the above estimation are equal (by 3.2.21(ii)). The equality holds everywhere in the estimation. In particular, condtion (i) is satisfied.
QED.
Definition: semi-simple automorphisms
Let G be a connected linear algebraic group and
s: G ® G
an automorphism of G in the sense of algebraic groups. Then s is called semi-simple if the action of s on k[G] is semi-simple in the sense of 2.4.7.
4.4.3 Lemma: Criterion for semi-simplicity of an automorphism
Let G be a connected linear algebraic group and
s: G ® G
an automorphism of G in the sense of algebraic groups. Then the following are equivalent.
(i)	s is semi-simple.
(ii)	There is an isomorphism t: G ® GL onto a closed subgroup of some GL and a semi-simple element sÎGL such that
t(sx) = st(x)s for all xÎG.
In other words, semi-simple automorphisms are essentially the same as conjugation with semi-simple elements.
Proof. Choose a finite dimensional k-linear subspace V Í k[G] containing a set of generators of the k-algebra k[G]. By 2.3.4(i) we may assume that V is invariant under left transformations with respect to element of G. Then
t:G ® GL(V), g a l,
is a closed embedding of linear algebraic groups (see proof of 2.3.5). Since the operation of s* on k[G] is locally finite,
V Í W
for some finite dimensional s*-stable k-linear subspace W Í k[G]. In particular
(1)						 s*(V)
is a finite-dimensional k-linear subspace of k[G]. For x,yÎG von fÎV one has
	l(s*(f))(y) = s*(f))(xy)
		= f(s(xy))
		= f(s(x)s(y))
		= (lf)(s(y))
		= s*(lf)(y)
hence
	l(s*(f))	= s*(lf)
for fÎV and xÎG. Since V is invariant under left translation, lfÎV, i.e., the right hand side of the above expression is in (1). We have prove, (1) is stable under both, left translations and the operation of s*. Therefore, we may assume that the vector space V defining the closed embedding t is s*-stable.
Let sÎGL(V) be the restriction of s* to V,
s := (s*| ).
Since the action s*| is semi-simple, the same is true for the inverse action s. Moreover, for x,yÎG, fÎV, we have
	(t(s(x))(f))(y) = (lf)(y)
			= f(s(x)y)
			= f(s(x×s(y))
			= (s*f)(x×s(y))
			= l(s*f)(s(y))
			= (s)*(l(s*f))(y)
hence
	t(s(x))(f)	= (s)*(l(s*f)) = (s)*((t(x))(s*f))
hence
	t(s(x))	= (s)*°t(x)°s* = st(x)s.
Therefore, t and s are as claimed in (ii).
Conversely, if t and s are as in (ii), then conjugation by s is a semi-simple operation on k[GL(V)]. The induced operation on the factor space k[G] of k[GL(V)] is semi-simple, since Jordan decomposition is compatible with passage to factor spaces.
QED.
4.4.4 Theorem: properties of semi-simple automorphisms
Let G be a connected linear algebraic group and
s: G ® G
a semi-simple automorphism of G. Define
f(x) := (sx)x.
Then:
(i)	The subset fG Í G is closed and the induced morphism y:G®fG is separable.
(ii)	Lie(G) = Lie(G).
Proof. By 4.4.3 we may assume that G is a closed subgroup of GL and that there is a semi-simple sÎGL such that
sx = sxs for every xÎG.
Step 1. Separability of y.
Step 1.1. The case G = GL
If G = GL write s as a diagonal matrix
s = diag(a,...,a,a,...,a,...,a,...,a)
with pairwise different eigenvalues a . Then
G
consists of the n´n-matrices commuting with s, i.e.,
G = GL´GL´...´GL
where n denotes the multiplicity of a. For the Lie-algebra we get
L(G) = glgl...gl
The operation of s on L(G) is by conjugation with s. Therefore L(G) consists of the n´n-matrices commuting with s, i.e.,
L(G) = L(G).
By 4.4.2, y is separable.
Step 1.2. The case G arbitrary.
Extend s to an automorphism of GL acting via conjugation with s,
s: GL ® GL, x a sxs
Also, extend f to a morphism
f:GL ® GL , x a sxsx.
Let XÎT. Since T Í T and we have already dealt with the case of GL , it follows that there is some YÎL(GL) with
(df)Y = X.
By 3.3.12 (i) the left hand side of this identity is (ds - 1)Y, i.e.
X = (ds- 1)Y.
Since, by assumption, s is semi-simple, the same is true for ds, i.e.,
ds: gl ® gl
is a semi-simple automorphism stabilizing the subspace L(G) Í gl. We may write gl as a direct sum of ds -stable subspaces,
gl = L(G)G’.
Since X is in the first direct summand and df = ds - Id respects the direct sum decomposition, we may assume,
Y Î L(G). 
We have proved, (df): L(G) ® T is surjective. Hence y is separable (see 3.2.21(ii)). But then assertion (ii) is true (see 4.4.2).
Step 2. fG is closed in G.
Let m(T) denote the minimum polynomial of s over k,
m(T) = (T - a).
Consider the set
X Í GL
of elements xÎGL satisfying the following three conditions.
(a)	x normalizes G,i.e., xGx Í G.
(b)	m(x) = 0
(c)	the charactistic polynomial of Ad(x)| equals that of ds.
Then X is a closed subset of GL containing s. Since m(T) has no multiple roots, all elements of X are semi-simple.

If xÎX, let
		G := G := { yÎG | xyx = y } = { yÎG | yxy = x }
		L(G) := { XÎL(G) | Ad(x) X = X }
Apply (ii), which we have already proved, with s = s: y a xyx. It follows that
	dim G = dim L(G)
The dimension on the right is just the multiplicity of the eigenvalue 1 of Ad(x)|, which is dim L(G) by condition (c), i.e.,
(1)	dim G = dim L(G) for every xÎX.
Now G operates on X by inner automorphisms,
G´X ® X, (g,x) a gxg.
Consider the morphism
G ® G, g a gxg, xÎX fixed.
This morphism is G-equivariant if the action on the left is left translation and on right is conjugation. Replacing the image by the orbit O(x) of x we obtain an equivariant morphism of homogeneous spaces. The theorem on the fiber dimension (see 4.3.1(ii)) gives for the fiber over x (as for all fibers),
	dim G = dim G - dim O(x)
i.e.
	dim O(x)	= dim G - dim G
			= dim G - dim L(G)		(cf. (1))
is independent upon x, All orbits have the same dimension, hence all orbits are closed. In particular
O(s) = {gsg | gÎG }
is closed in X, hence in G. But then
fG = { sgsg | gÎG } = sO(s)
is closed in G, i.e. assertion (ii) is true.
QED.
4.4.5 Corollary: an application to conjugacy classes and centralizers
Let G be a connected linear algebraic group and let sÎG be semi-simple. Then:
(i)	The conjugacy class C := {xsx | xÎG} of s in G is closed. The morphism
G ® C, x a xsx,
	is separable.
(ii)	Let Z := {xÎG | xsx =  s } be the centralizer of s in G. Then
L(G) = (Ad(s)-Id)L(G)  Lie(Z).
Proof. Consider the automorphism of algebraic groups
s: G ® G, x a sxs.
By 4.4.3 it is semi-simple. Let f as in 4.4.4, i.e. fx = (sx)x = sxsx, then
C = s×f(G) and Z := G.
Assertion (i) is, in the special case considered here, assertion (i) of 4.4.4. Consider the decomposition
L(G) = Ker(ds)Im(ds)
of L(G) into the eigenspace of ds for the eigenvalue 0 and the sum of all other eigenvalues. By 3.3.12
	Im(ds) = (Ad(s)-Id)L(G)
and
	Ker(ds) = L(G)		(by definition, see 4.4.1(1))
		= L(G)		(by 4.4.4(ii))
		= L(Z)		(see above).
This proves the claim of assertion (ii).
QED.
Remark
Conjugacy classes of arbitrary elements need not be closed. See, for example, Exercise 4.4.9(6).
4.4.6 Notation: Zentralizers of a diagonalizable group
Let D be a diagonalizable linear algebraic group, which acts as a group of automorphisms on the connected group G. This means that G is a D-space in the sense of 2.3.1 and that for all dÎD the morphism
G ® G, g a d×g.
is a group automorphism of G. From 2.5.2 we infer that these are semi-simple automorphisms. Let
Z(D) := {gÎG| d×g = g for all dÎD }
The group D also acts as a group of automorphisms on the Lie algebra G=L(G). Let
z(D) := {XÎLie(G) | d×X = X for all dÎD}.
4.4.7 Corollary: the Lie algebra of the centralizer
Let D be a diagonalizable linear algebraic group, which acts as a group of automorphisms on the connected linear algebraic group G. Then
Lie Z(D) = z(D).
Proof. Note that if
Z(D) = G,
then G acts trivially on G and hence on L(G). The assertion is trivial in this case.
Now we proceed by induction on dim G. If dim G = 0, G = {e} and the claim is trivial in view of the above note. Now assume dim G is arbitrary. In view of the above note we may additionally assume,
Z(D) ¹ G.
Choose dÎD such that the dimension of the fixed point group
G := {gÎG | d×g = g }
is minimal. Note that this is a closed subgroup of G (by 4.4.1) of dimension less than dim G. Since D is commutative, D stabilizes G , and since the action is by automorphisms, D even stabilizes the identity component
H := G .
Obviously,
Z(D) = Z(D).
Therefore
(1)				Z(D) = Z(D) = Z(D).
But then,
	L(Z(D)) = L(Z(D))		(by (1)).
		= z(D)		(by induction hypothesis)
		= z(D)ÇL(H)	(by definition of z(D))
		= z(D)ÇL(G)	(by definition of H)
		= z(D)ÇL(G)	(by theorem 4.4.4(ii))
		= z			(since dÎD).
QED.
Remark
The corollary applies, in particular, if D is a diagonalizable subgroup of G which acts by inner automorphisms.  In this case, Z(D) is the usual centralizer of D in G, which justifies, to some extend the above notation.
4.4.8 Proposition: the semi-simple elements of connected nilpotent groups
Let G be a connected nilpotent linear algebraic group. Then the set G of semi-simple elements is a central subgroup of G.
Proof. If x,yÎG write
(x, y) := xyxy
for the commutator. Recall that G is nilpotent if there is some n>0 such that all iterated commutators
(x,(x,...,(x , x)...))
are equal to e.
Now let sÎG  be semi-simple. We have to show that s is in the center of G. Write
s(x) := sxs and f(x) := s(x)x = (s, x).
If n is as above, then
f(G) = {e}.
Hence the linear map
df = ds - Id : L(G) ® L(G)
(see 3.3.12(i) for this formula) is nilpotent. On the other hand, ds is, if one fixes an embedding into some general linear group, also conjugation with s, hence a semi-simple linear map. Therefore, df is both semi-simple and nilpotent, i.e., df = 0. But then
L(G) = L(G) = { XÎL(G) | (df)X = X } = L(G).
The closed subvariety G of the irreducible variety G has dimension dim G, i.e., G = G, i.e, s = Id, i.e., s is in the center of G.
QED.
Remark
A more precise result will be given later (6.8). It should be observed that the connectedness assumption in 4.4.8 is essential (see Exercise 4.4.9(5)).
4.4.9 Exercises
(1)	Let char k = 2, G = SL and s: G ® G the inner automorphism defined by the matrix
.
	Show that L(G) ¹ L(G) .
(2)	Let G = GL and let s be an inner automorphism of G. Show that L(G) = L(G).
(3)	Let G be a closed subgroup of GL. The Lie algebra gl := L(G) is a subalgebra of gl. Assume that there is a complementary subspace gl’ of gl in gl which is stable under Ad G,
gl = glgl’.
	(a) If s is an inner automorphism of G then L(G) = L(G). (Hint: imitate the argument in the second part of the proof of theorem 4.4.4).
	(b) Let xÎG and C be the conjugacy class of x in GL. Show that CÇG consists of finitely many conjugacy classes of G. (Hint: let X be a component of CÇG and let D be conjugacy class of some xÎX in G. Deduce from (a) that TX = TD and X = D).
(4)	(a) Show that the number of unipotent conjugacy classes in GL is finite (use the theory of Jordan normal forms, see [26, Ch. XV,§3]).
	(b) Let char k ¹ 2 and G := SO embedded into GL in the usual manner. Then G satisfies the condition of the previous exercise. Deduce from (a) and exercise 3(b) that the number of unipotent conjugacy classes in G is finite.
	Remark: This conclusion can be drawn, by the same argument, in more general circumstances. See for example, R. Steinberg : Conjugacy classes in algebraic groups, Lecture Notes in Math 366, Springer 1974, p. 106. One gets involved here in the structure theory of reductive linear algebraic groups, discussed in our later chapters.
(5)	Let G be the dihedral Group of order 8. Then G is nilpotent and has an irreducible complex representation of degree 2. This shows that 4.4.8 cannot be extended to non-connected groups (similar properties hold for all non-abelian p-groups).
(6)	(a) Show that the conjugacy class of  in GL is not closed.
	(b) More generally, one can show as folllows that the conjugacy class of an unipotent element x ¹ 1 in GL is not closed. Let x = 1+X, where X is a nonzero nilpotent n´n-matrix. Using the theory of Jordan normal forms, define a multiplicative 1-parameter subgroup l of GL (2.5.1) such that l(t)Xl(t) = tX (tÎk*). Deduce from this that 1 lies in the closure of the conjugacy class of x.
Notes
(about the methods used in this chapter)
5. Quotients
5.1 Chevalley's theorem
5.1.1 Lemma: Subgroups and their Lie algebras as stabilizers
Let G be a linear algebraic group and HÍG a closed subgroup. Then there is a finite dimensional k-linear subspace
V Í k[G],
which is invariant under right translations, and a k-linear subspace
W Í V
satisfying
(1)				H = {xÎG | rW = W }
and
(2)				L(H) = { XÎL(G) | X(W) Í W }.
Proof. Let
I = I(H) = (f,...,f)Í k[G]
be the ideal of the subgroup H and
V Í k[G]
a finite dimensional k-linear subspace containing the set of generators f of the ideal I. We may assume that V is stable under right translation r , gÎG (see 2.3.4). Restriction to V of right translation defines a rational representation (see 2.3.5)
f:G ® GL(V), g a r| .
Let
W := VÇI.
Since I is invariant under right translations with elements of H (see 2.3.6), we have
rW = W for xÎH.
Conversely, if xÎG is such that this identity holds, then
rf Î W Í I
for every generator f , hence rI Í I. From 2.3.6 we see that xÎH. This proves (1).
Proof of the inclusion “Í” of (2).
As we have seen above, the subspace W Í V is invariant under f(H), i.e. f maps H to the closed subgroup subgroup GL(V) Í GL(V) of linear transformations preserving W. There is a commutative square

where the vertical maps are the natural inclusions and y is the restriction of f. Passing to the tangent spaces at e we obtain a commuative square

where the upper right Lie algebra consists of the linear maps preserving W. This means
(df)(X) Î gl(V) for XÎL(H),
i.e.,
(df)(X)W Í W for XÎL(H).
This gives the inclusion to be proved (since, (df)(X)f = X(f) for fÎW, see Exercise 3.3.4).
Proof of the inclusion “ ” of (2).
We have to use Lemma 3.3.7 which says that the restriction map
l: D ® D X a X|
where
	D = Der(k[H], k[H])
	D = {XÎDer(k[G],k[G]) | X(I) Í I }
induces an isomorphism
DÇL(G) ® L(H).
Let XÎL(G) such that X(W) Í W. We have to prove
XÎL(H).
By assumption
X(f) Î W Í I
for every i, hence
X(I) Í I.
Therefore X is in DÇL(G) and its restriction Y to H is in L(H), i.e., there is a tangent vector Y Î L(H), which, considered as a tangent vector to G, is Y. This proves the converse inclusion.
QED.
5.1.2 Lemma: Invarianz and passage to exterior powers
Let V be a finite dimensional k-vectorspace,
W Í V
a k-linare subspace of dimension
d := dim W
and
f: GL(V) ´ V ® V, (x, v) a x(v)
the canonical rational representation. Denote by
f: G ´ #V ® #
the rational representation induced by f on the d-th exterior power and let
L := #W (Í#V).
Then:
(i)	For xÎGL(V) one has x×W=W Û (f(x)L = L.
(ii)	For XÎgl(V) one has XW Í W Û df(X)L Í L.
Proof. The implications “” are trivial. It will be sufficient to prove the converse implications “Ü”.
Proof of (i). Fix some xÎGL(V). Let
v,...,v Î V
be a basis of V such that
v,...,v Î W
is a basis of W. The elements
v#...#v with i<...<i
form a basis of #V and
v#...#v Î L
is one of L. For the given xÎGL(V) one can choose the above basis of V such that, moreover,
v,...,v Î x(W)
is a basis of x(W). We have to prove l = 0 if L ist stable under f(x). Write
		e := v#...#v
		f := v#...#v
Then f(x)e = lf for some lÎk. If l>0, then e and f are linearly independent and f(x) does not stabilize L.
Proof of (ii). Fix some XÎgl(V). Then (cf. 3.3.14(4))
d f(X)e = v#...#v#Xv#v#...#v .
Writing Xv = av we have
d f(X)e =   av#...#v#v#v#...#v .
In case a ¹ 0 for some i ≤ d and d < j, then L cannot be stable under
d f(X).
Hence a = 0 for i ≤ d and d < j. But then W is stable under X.
QED.
5.1.3 Theorem:  Subgroups and their Lie algebras as stabilizers of lines
Let G be linear algebraic group and H Í G a closed subgroup. Then there is a rational representation
f: G ® GL(V)
and a 1-dimensional k-linear subspace L Í V such that
H = {xÎG | (fx)L = L }
and
L(H) = {XÎL(G) | df(X)L Í L }.
Proof. This is a consequence of the previous two results 5.1.1 and 5.1.2.
QED.
5.1.4 Corollary (Theorem of Chevalley)
Let G be a linear algebraic group and HÍG a closed subgroup. Then there is a quasi-projective homogeneous G-space X and a point xÎX such that the following conditions are satisfied.
(i)	H is the isotropy group of x in G, H = G = { gÎG | g×x = x }.
(ii)	The morphism y: G®X, gag×x, induces a separable morphism
y:G ® fG.
(iii)	The fibers of y are the cosets gH (gÎG).
Proof. Let V and L and be as in the previous theorem 5.1.3. Denote by
P(V)
the projective space of 1-dimensional k-linear subspaces of V (called projectivation of V). Let
x Î P(V)
be the point defined by L Í V. Denote by π the canonical morphism
π: V - {0} ® P(V)
mapping each none-zero vector to the 1-space generated by it. The group G acts on P(V) such that
g×π(v) = π(g×v) for vÎV, gÎG,
and P(V) is a G-space with this action. Denote by X the orbit of x under this action. Then X is open in its closure (see 4.3.1(i)), hence is a quasi-projective variety. Assertions (i) and (iii) follow now from the previous result 5.1.3 and the fact that the orbital map
y:G ® X, g a gx,
is equivariant as a map of G-spaces.
For the proof of (ii) it is sufficient to show that (see 3.2.21(ii)) the differential
dy=(df): L(G) = TG ® TX,
is surjective. Since
	dim TX = dim X			(homogeneous spaces are non-singular)
		= dim G - dim f(x)	(see 4.3.3(ii))
		= dim G - dim H		(see 5.1.3 above)
		= dim L(G) - dim L(H)
it is sufficient to show
	Ker(dy) = L(H).
Since y is constant on HÍG, i.e., the composition
H ® G  X
factors over the one-point space, the restriction of dy to L(H) is zero, i.e. 
L(H) Í Ker(dy).
Conversely, assume XÎKer(dy). The morphism y is the composition
G ® V-{0}  P(V), g a g×e a f(g)L,
where e Î L Í V denotes a none-zero vector and the first map comes from the action f of G on V. Therefore,
(df)(X)(e) Î Ker (dπ) = π(π(e))È{0} = L .
Since (df)(X) is linear and e generates L, this implies
(df)(X)L Í L .
From the second identity of 5.1.3 we see that XÎL(H).
QED.
5.2 Construction of quotients
5. 2.1 Quotients of lineare algebraic groups modulo closed subgroups
Let G be a linear algebraic group and HÍG a closed subgroup. A quotient of G modulo H is a pair (G/H, a) of a homogeneous space G/H for G together with a point aÎG/H whose isotropy group is H, such that the following universal property holds:
´(*)	For any pair (Y,b) of a homogeneous G-space Y and a point bÎY, whose isotropy group contains H, there is a unique G-morphism
f: G/H ® Y with fa = b.
Remark
The main result of this section is the following existence theorem.

5.2.2 Theorem: existence and uniqueness of quotiens
Let G be a linear algebraic group and H Í G a closed subgroup. Then a quotient (G/H, a) exists and is unique up a G-isomorphism.
More precisely, if X and x are as in 5.1.4, then (X,x) is a quotient.
Proof. The uniqueness part of the claim is trivial. To prove the existence statement we proceed as follows.
First we define G/H as a ringed space. Using 5.1.4 it will be shown that this ringed space is an algebraic variety.
Step 1. G/H as a set.
As usual let
G/H := { gH | gÎG}
the set of left cosets modulo H. Denote by
π: G ® G/H, g a gH,
the canonical map.
Step 2. G/H as topological space. Define a subset
U Í G/H
to be open, if π(U) is open in G. This defines a topology in G such that π is a continuous and open map (cf. 4.1.6(i)).
Step 3. The structure sheaf of G/H. We define a sheaf O of k-valued functions on G/H as follows (see 1.4.2). Let U Í G/H be open. Then
O(U)
is the ring of functions f:U®k such that f°π:π(U) ® k is regular on
π(U) Í G.
Step 4. G/H as a G-space.
G acts transitively on G/H by left translations (set theoretically). These left translations are isomorphisms of the ringes space (G/H, O). More precisely, if gÎG, then
G/H ® G/H, xH a gxH,
is an isomorphism of ringed spaces.

If (Y, b) is as in 5.2.1 (*) then the map
f: G/H ® Y, xH a xb,
is well-defined. It is the only G-equivariant map such that
fa =b
where a := eH. Moreover, the composition of f with the canonical map is just the orbital map
G ® Y, g a gb.
Since the latter is a morphism of varieties, f  is continuous and lift along f map regular functions to regular function, i.e., f is a morphism of ringed spaces.
To finish the proof of the theorem, it is sufficient to show that the ringed space G/H is isomorphic to a homogeneous space in the sense of 2.3.1. To do so, we use 5.1.4. Let X, x and y: G ® X, g a gx, as in 5.1.4.
By the properties of the ringed space G/H there is a G-equivariant morphism of ringed spaces
f: G/H ® X with fa = x.
It is sufficient to show that this is an isomorphism of ringed spaces.

Consider the commutative diagram

where the vertical map at the left is the natural map.

By property 5.1.4(i), H is the isotropy group of x in G. Therefore the map f is bijective. As a morphism of ringed spaces it is continuous. 
For U Í G/H open, the set
fU = y(f(U))
is open (since morphisms of homogeneous spaces are open, see 4.3.3(i)). Hence f is open, f is continuous, i.e. f is a homeomorphism of topological spaces.

To prove that f is an isomorphism of ringed spaces, it is sufficient to show the following.

For U Í X the homomorphism of k-algebras
(1)				O(U) ® O(f(U)), f a f°f,
defined by f is bijective. Since the orbital map y is surjective, the same is true for f (by the above diagram), hence (1) is injective. We have yet to prove surjectivity. From the definition of O we see that this means the following: if
f: V := y(U) ® k
is any regular function, which is constant on the fibers of f, 
f(gh) = f(g) for gÎV and hÎH,
then there is a regular function
F: U ® k
such that
F°y = f.
Since f is constant on the fibers of f, it comes from a function on the set f(U), and therefore, since f is bijective, from a function on U. In other words, F exists (and is unique) if we omit the regularity condition. Thus, all we have to prove is that F is regular. This is a local condition and we may consider the irreducible components of the variety X separately (which are G-orbits by 4.3.2). The reduces the the prove to the case that G is connected.
Let
G Í V´A
be the graph of f: V ® k, i.e.,
G := {(g,f(g)) | gÎV }.
Moreover, let
G’ := (y´Id)G Í U´A.
Then
U´A  - G’  = (y´Id)(V´A  - G).
Since the graph G of the function f is closed in V´A, the difference
V´A  - G
is open. By 4.3.3(i) the equivariant map y´Id is open, i.e.,
U´A  - G’
is open, hence G’ is closed in U´A. Consider the projection
l: G’ ® U
onto the first factor. Since y induces a surjection V ® U and f is constant on the fibers, the map l bijective (and is trivially a morphism of varieties). Composition with y´Id gives a morphism
V @ G ® U,
which is, up to isomorphism equal to y, hence separable by 5.1.4(ii). Therefore, l is separable. Since l is bijective, its degree is 1, i.e., it is birational (see 4.1.6(iii)). Hence the is an open subset
U’ Í U
such that l induces an isomorphism  lU’ ® U’ (see 4.1.2). But then the same is true with U’ replaced by gU’ÇU for any gÎG, Since G acts transitively on itself by left translations we see that
l: G’ ® U
is an isomorphism. The composition of l with the projection to the second factor is hence a regular function
F: U ® k
such that the graph is G’. But then, f = y°F.
QED.

5.2.3 Corollary: quasi-projecitivity of the quotient and separability of the canonical map
Let G be a linear algebraic group and HÍG a closed subgroup. Then:
(i)	G/H is a quasi-projective variety of dimension
dim G/H = dim G - dim H.
(ii)	If G is connected, the canonical morphism G ® G/H is separable.
Proof. The assertions follow from the contruction of G/H in 5.2.2 and the assertions of 5.1.4, except for the dimension formula. The latter follows from 4.3.3.
QED.
5.2.4 Exercises
Let G be a linear algbraic group and H Í G a closed subgroup.
(1)	The follwing properties are equivalent.
	(a)	H meets all components of G.
	(b)	G = GH.
(2)	An open subvariety of an affine algebraic variety is called quasi-affine variety (see 1.6.12(4) for a quasi-affine variety which is not affine). If all homomorphisms of algebraic groups H ® G are trivial, then G/H is quasi-affine.
(3)	Let G := SL and HÍG the subgroup of upper triangular matrices. Then G/H @ P.
(4)	Let H be a closed subgroup of a linear algebraic group G for i =1,2. Prove that there is an isomorphism of G´G-spaces
G/H ´ G/H @ G´G/H´H.
(5)	Let H and K be connected closed subgroups of the linear algebraic group G. Then:
	(a) HK is an irreducible quasi-affine subvariety of G, whose dimension equals dim H + dim K - dim HÇK (Hint: let H´K act on G by (x,y)g := xgy and consider the orbit of e).
	(b) Let π: G ® G/K the canonical map g a gK (the points of G/K being identified with the cosets gK). By (a) we have
dim πH = dim H - dim HÇK.
	Show that the restriction of π to H is a separable morphism onto its image if and only if
dim L(H) Ç L(K) = dim HÇK.
	(c) Let G := SL, H the subgroup of diagonal matrices and K a distinct conjugate of H. Show that, if char k = 2, we have
dim L(H)ÇL(K) ¹ dim HÇK.
(6)	Let char k ¹ 2. G := SO, n ≥ 3 (see Exercise 2.1.3(4)) acting on
V := k
	in the standard manner. Let
X := { (x,...,x) Î V | x + ... + x = 1}
	and e := (0,...,0, 1). Then G acts on X. The isotropy group of eÎX is SO , viewed as subgroup of SO, Show that SO/SO is isomorphic to the affine G-variety X (Hint: use Witt’s theorem, see [26, Ch. XIV, §5]).

5.2.5 Proposition: quotients modulo normal subgroups are linear algebraic groups
Let G be a linear algebraic group and NÍG a closed normal subgroup. Then:
(i)	G/N is an affine variety.
(ii)	Provided with the usual group structure, G/N becomes a linear algebraic group.
Proof. Consider the following action of G´G on G/N.
G´G´G/N ® G/N, (g’,g”,xN) a g’xg”N.
This action is correctly defined, since N is a normal subgroup, and G/N becomes a homogeneous G´G-space. The isotropy group of H contains H´H. By the universality property of quotient spaces 5.2.1 there is a morphism of G´G-spaces
G/H´G/H = G´G/H´H ® G/H
preserving the base points, i.e.,
(g’H, g”H) a g’g”H,
defines a morphism. From this we see that G/H is an algebraic group variety. It remains to be proved assertion (i).

For this, choose V, L and
f: G ® GL(V),
i.e. f is a rational representation such that N is the stabilizer of L in G and L(N) is the stabilizer of L in L(G). For any rational character
c:N ® G
of H we write
V := {vÎV | f(h)v = c(h)v for hÎN}.
From the linear independence of characters it follows that the subspace V’ÍV spanned by the spaces V is a direct sum of these spaces,
V’ :=  V Í V.
Since N is normal in G, each gÎG permutes the spaces V :
f(h)(f(g)v) = f(hg)v = f(gh’)v = f(g)c(h’)v = c’(h)f(g)v
with h’ = ghg ÎN and c’: H ® G the character such that
c’(h) := c(ghg).
Therefore, V’ is f(G)-stable. Since LÍV is contained in one of the spaces V it is contained in V’ and the stabilizers of L in G and L(G) do not change if the representation f is restricted to V’. Hence we may assume,
V’ = V.
Denote by
W Í End(V)
the subspace of linear endomorphisms stabilizing each direct summand V and consider the rational map
y: G ® GL(W), x a (w a f(x)wf(x)).
It is obviously a homomorphism of algebraic groups.
Claim. Ker(y) = N.
If hÎN, f(h) is multiplication by c(h) on V and f(h) is multiplication by c(h),  hence
y(h)w = c(x)wc(x)w = w,
y(h) = Id.
Conversely, if hÎKer(y), then f(h)wf(h) = w, i.e., commutes f(h) with every wÎW. But then f(h) is scalar multiplication on each V. In particular f(h) stabilizes L. But then hÎN.
This proves the claim. In particular, y  induces an injective morphism of algebraic varieties
l:G/H ® GL(W), xH a (w a f(x)wf(x)).
The explicit formula shows, this is in fact a homomorphism of algebriac groups. In particular, the image of l is a closed subgroup of GL(W) (see 2.2.5(ii)). Since GL(W) is affine, this image is affine. Hence it will be sufficent to show, that
l: G/H ® Im(l)
is an isomorphism. By construction, this map is bijective. Hence it is sufficient to show that the tangent map
(dl): T(G/H) ® T(Im l)
is bijective (see 4.3.3(iii)). Since l is a morphism of homogeneous spaces, Im l is none-singular,  i.e.,
dim T(Im l) = dim Im l ≤ dim G/H = dim T(G/H).
Thus, it will be sufficient to show that 
(dl) is injective.
Consider the composition with the differential of the natural map r:G®G/H, i.e. with
(dr):L(G) ® L(G/H).
Note that
Ker(dr) = L(H).
Hence it is sufficient to prove the following.
(*)			If XÎL(G) and (dy)X = 0 then XÎL(H).
To prove this, write y as the following decomposition.
 y : G  G´G  G´G  W´W  GL(W)´GL(W)  GL(W),
      x a (x,x) a (x,x) a(f(x), f(x))aR´La R°L
Passing to the differentials at e we obtain
dy: LG  LG´LG  LG´LG  LW´LW  gl(W)´ gl(W)  gl(W),
  X a (X,X) a(X,-X)a(df(X),-df(X))aR´LaR+L
Note that R and L are linear, hence equal to their differentials, and the differential of the multiplication map is summation. In other words,
 (dy)(X)w = w×df(X) - df(X)×w for wÎW and XÎL(G).
Therefore, if X is as in (*),
0 = (dy)(X)w = w×df(X) - df(X)×w for every wÎW.
Hence df(X) commutes with every wÎW, i.e., df(X) is scalar multiplication on every V and, therefore, stabilizes L,
df(X)L Í L.
But then XÎL(H) as required (see 5.1.3).
QED.
5.2.6 Exercises
Let G be a linear algebraic group and HÍG a closed subgroup.
(1)	Let N be a closed normal subgroup in H. Then
G/H @ (G/N)/(H/N).
(2)	Let A := {fÎk[G] | f(gh) = f(g) for gÎG, hÎH}.
	(a) If G/H is affine then k[G/H] = A.
	(b) For  G/H to be affine it is necessary and sufficient that A is a k-algebra of finite type which separates the cosets of H.

	The latter requirement means that if xH and yH are distinct cosets then there is some fÎA such that f(xH) = 1 and f(yH) = 0. (Hint: If A is a k-algebra of finite type let X be an affine algebraic variety with k[X] = A. Show that left translations induce a structure of homogeneous space on X, which satisfies the requirements of 5.2.1).

	(c) Let H be a torus. Then G/H is affine. (Hint: If xH and yH are distinct cosets, let I and J be the ideals in k[G] which they define. Then I+J = k[G]. Deduce from 2.5.2(c) that IÇA + JÇA = A and verify the condition of (b)).
(3)	Let T be a torus and T’Í T any subtorus (i.e. a closed subgroup which is a torus. Then:
	(a) T/T’ is a torus.
	(b) The short exact sequence
{e} ® T’ ® T ® T/T’ ® {e}
	induces a short exact sequence
0 ® X(T/T’) ® X(T) ® X(T’) ® 0
	of the character groups.
Solutions
(3)
Since T is commutative, T’ is normal in T, hence T/T’ is a linear algebraic group. Every rational representation
T/T’ ® Aut(V)
of T/T’ can be considered as a rational representation of T, hence decomposes into 1-dimensional representations (by 2.5.2). Hence T/T’ is diagonalizable. As an image of a connected variety T/T’ is also connected, hence a torus. This proves (a).
Consider the sequence
0 ® X(T/T’) ® X(T) ® X(T’) ® 0
By funtoriality, we see that it is a complex (the composition of two sucessive maps is trivial). Since T®T/T’ is surjective, the sequence is exact at X(T/T’). A character
c: T ® G
with trivial restriction to T’ factors over T/T’ by the universality property of T/T’. Therefore, the sequence is exact at X(T). We have yet to prove surjectivity of
X(T)  X(T’).
Since X(T’) is a free abelian group of finite rank,  the same is true for the subgroup
Im(a) Í X(T’).
Hence there is a torus S such that
X(S) = Im (a) Í X(T’).
The inclusion of the character groups induces an inclusion of the coordinate rings
k[S] Í k[T’]
(which are freely generated by the characters) and hence a dominant morphism
f:T’ ® S.
It will be sufficient to show that this is an isomorphism of algebraic groups.

This morphism is a homomorphism of algebraic groups. To see this, let s,tÎT’ and cÎX(S). Then
	c(f(st)) = f*(c)(st)
		= c(st)	(since f induces the inclusion Im(a)ÍX(T’))
		= c(s)c(t)
		= c(f(s))c(f(t))	(as above)
		= c(f(s)f(t))
Since the characters S generate the coodinate ring of S, this implies
	f(st) = f(s)f(t),
i.e., f a homomorphism of algebraic groups as claimed. But then, Im(f) is closed in S and 
f: T’ ® S is surjective.
Moreover, the surjection
X(T)  Im(a) = X(S) (Ì X(T’)).
induces a surjection k[T] ® k[S] of the coordinate rings and hence an injection
S ® T
such that the diagram of canonical maps

is commutative. But then, T’®S must be injective and S ® T is the inverse of T’®S, i.e. T’ ® S is an isomorphism.
QED.
Notes
6. Solvalble groups
This chapter deals with the structure theory of connected solvable linear algebraic groups, which is basic for the general theory.
6.1 Closed subgroups generated by irreducible subvarieties
G			algebraic group
(: ® G)	a family of morphisms of algebraic varieties
			= ()
H			smallest closed subgroup of G containing all 
Assume that,  is irreducible and eÎ for every iÎI. Then
(i)	H is connected.
(ii)	There are finite sequences {a(i) | i=1,...,n} and {e(i) | i=1,...,n} such that a(i)ÎI, e(i)Î{+1,-1} and
H = ××...×.
Proof. We may assume the sets  occure among the sets  and hence e(i) = 1 for every i. Write
 := ××...× for a = (a(1),a(2),...,a(n))Î.
Properties of  and its closure  in G:
 is irreducible, for, it is the image of the irreducible variety
´...´.
 is irreducible, for, a decomposition of  into closed subvarieties gives one for .
× =  (by the very definition).
×Í (since multiplication is a morphism)
Choose some a such that dim  is maximal. Then one has
 Í × Í 
hence  =  for every b, hence Í  for every b. In particular:
× Í .
This shows that  is a closed subgroup of G. Since  contains a non-empty open subset of its closure  (this is true for the image of every morphism f:X®Y of algebraic varieties by Th. 1.9.5), we get  = × (by Lemma 2.2.3, G=U×V for dense open subsets U,V of an algebraic group G). This proves the claim.
QED.
6.2 Abstract groups generated by closed connected subgroups
G		algebraic group
()	family of closed connected subgroups
If G is generated as an abstract group by the groups , then G is connected. Moreover, there is a finite sequence a(1),...,a(n) in I such that
G = ×...×
Proof. Immediate consequence of 6.1.
QED.
6.3 Commutator subgroups
Let G be a algebraic group. Given subgroups H,KÍG we define the commutator subgroup of H and K to be
(H,K) := subgroup generated by the the commutators (x,y):=xy, xÎH,yÎK
Note that if H and K are normal, then so ist (H,K) (since automorphisms map commutators into commutators). In particular (G,G) is a normal subgroup and G/(G,G) is abelian.

The higher commutator groups of G are inductively defined by
					G		:= G
					G	:= (G,G)
The group G is called solvable if G = {e} for some n.
Moreover, we define a sequence of normal subgroups by
							:= G
					G	:= (G,G)
The group G is called nilpotent if G = {e} for some n, which means that all iterated commutators
(,(...,(,)...) are equal to e.
The center Z(G) of G is defined to be
Z(G) := {xÎG | (x,g) = e for every gÎG}
6.4 Commutator group of closed connected subgroups
G		algebraic group
H,K		closed subgroups
Suppose one of these subgroups is connected.
Then (H,K) is closed and connected.
Proof. Assume, for example, that H is connected. Consider the family of morphism
: H®G, h a kh, (kÎK)
Then 6.1 tells us that (H,K) is the smallest closed subgroup generated by the images of these morphisms. Moreover (H,K) is connected by 6.1.
QED.
6.5. The higher commutators and the center of a connected group
Let G be a connected algebraic group. Then
(i)	The groups G and G are closed connected subgroups of G.
(ii)	Z(G) is a closed subgroup.
(iii)	If G is nilpotent and non-trivial, then Z(G) is non-trivial.
Proof. (i) follows from 6.4.
(ii). Consider the family of morphisms
: G ® G, x a (x,g), (gÎG).
Then Z(G) is by definition the intersection of the fibers (e), hence it is closed.
(iii). Assume that G is nilpotent and non-trivial. Then there is some n such that G ¹ {e} and G = {e}. Then G is connected, non-trivial and contained in the center.
QED
6.6 Exercises
(1)	Connectedness of SO. Assume char k ¹ 2. Let V := k and define a symmetric bilinear form
( , ): V´V ® k
	by
((x...,x), (y,...,y)) := xy .
	Then O (see 2.1.3(4)) is the group of linear transformations gÎGL such that (gx, gy) = (x,y) for all x,yÎV.
	If xÎV satisfies (x,x) = 1 put
sy := y - (x,x)x.
	This is a reflection, contained in O and one knows the reflections s generate O (see [25, p. 353]). Put
X := {(x,y)ÎV´V | (x,x) = (y,y) = 1 }.
	This is an irreducible affine variety and
f: X ® SO, (x,y) a ss,
	is a morphism of varieties.
	(a) Deduce from 6.1 that SO is connected.
	(b) Show that the condition eÎY of 6.1 cannot be omitted.
(2)	Connectedness of Sp. Let V = k and define an alternating bilinear form
( , ): V´V ® k
	by
((x...,x), (y,...,y)) := (xy -  xy).
	The group of linear transformations gÎGL such that (gx,gy) = (x,y) for all x,yÎV is the symplectic group Sp (see 2.1.3(4)). One knows that Sp is generated by the symplectic transvections
t: V ® V, y a y - a(x,y)x ,
	(xÎV, aÎk, see [25, p. 373]). Deduce from 6.1 that Sp is connected.
(3)	The dimension of the the normalizer. Let G be a connected nilpotent linear algebraic group and HÍG a proper connected closed subgroup. Show that
dim H < dim H,
	where H denotes the normaliser. In particular, if dim H = dim G - 1, then H is a normal subgroup (Hint: use 6.5 (ii)).
(4)	Nilpotentness of U. The group  of unipotent upper triangular matrices is connected and nilpotent.
Lösungen
Zu (3)
First note that the subgroup H of G is closed, for
H = {gÎG | ghÎH for every hÎH} =    (H)
where  denotes the morphism : G ® G, g a gh.
Since G is nilpotent, there is some n such that G  H and G Í H. Then G is a connected closed subgroup (6.5(i)) of H not completely contained in H. Since G is connected, it is even in the identity component (H), and the latter must be strictly greater than H. But then, dim H < dim (H) ≤ dim H.

Zu (4)
To see that  is connected, let N:= and equip the set of matrices
X={A=()Î |  = 0 for i≥j }
with the structure of an algebraic variety by identifying it with . Then
X ® , A a E+A
is a morphism of algebraic varieties which is obviously an isomorphism. Since  is irreducible, this shows that  is connected. We have yet to show that  is nilpotent.
Given an n´n matrix A define

d(A) = i	if the i-th diagonal above the main diagonal is the first one containing a non-zero element. By convention d(E) = 0 and d(0) = n.
Then
 := {E+NÎ | d(N)≥i}
is a subgroup of  for every i (since (E+N)(E+N’) = E+N+N’+NN’). To prove that  is nilpotent, it is sufficient to show that
(,) Í .
Let E-NÎ and E-N’Î and write
	(E-N)	= E+N+N+... 	= E+L		(d(L) >0)
	(E-N’)	= E+N’+N’+... 	= E+L’		(d(L’) ≥ i)
Then one has modulo additive terms X with d(X)>i:
	(E-N,E-N’)	= (E-N)(E-N’)(E-N)(E-N’)
			º (E-N-N’)(E+L+L’)
			º E+L+L’ - N - NL - N’
			º E+L - N - NL		since d(L’-N’) > i
			º E				since L = N + NL
This proves (E-N,E-N’)Î, i.e.,  is nilpotent.
6.7 Strukture of connected solvable groups (Lie-Kolchin)
Let G Í  be a connected solvable closed subgroup of . Then some conjugate of G lies in the upper triangular matrices,
xG Í  .
Proof. Let V := . Then G operates on V. It is sufficient to show that V contains a complete flag of invariant linear subspaces. For this it  suffices to show that there is a non-zero vÎV which is a common eigenvector of all gÎG. We prove this by induction on the dimension
dim G
starting with G = {e}.
The commutator subgroup G = (G,G) is a connected solvable closed subgroup (by 6.5(i)). Since it is a proper subgroup, it has smaller dimension. By induction we know there is a common eigenvector of the elements of (G,G). Write
 := {vÎV | g×v = c(g)v for gÎ(G,G)}
for every rational character c of (G,G). Then G permutes the distinct non-zero subspaces  : for gÎG and hÎ(G,G) one has
hg = gh(,) = gc(h(,)) = c(hg)g
hence g = g with c’(x) = c(xg). The sum of the linear subspaces  must be direct (since characters are linearly independent), hence there are only finitely many such subspaces. Let dim  = r and consider the action
G´ ®  (g,W) a gW.
The orbit of  under this action consists of spaces  where c’ runs throught a set of characters of (G,G), hence is finite. Since G is connected, the orbit consists of one single element. This means the spaces  are stable under G, G× Í . To find a comon eigenvector in V, we may assume
V = 
for some c (replacing G by its image in GL()). Consider the action.
G´V ® V, (g,v) a gv.

The subgroup (G,G) acts  on V by scalar multiplication. Commutators (x,y) = xy always act via matrices with determinant 1. Hence (G,G) acts via scalar matrices with determinant 1. Thus (G,G) acts by finitely many matrices. Since (G,G) is connected, it must act trivially. Therefore (G,G) is trivial and G is commutative. But in the commutative case theorem 6.7 was already proved (see 2.4.2(i)) so that a common eigenvector exists in this case.
QED.
6.8 Decompositon of connected nilpotent groups
Let G be a connected nilpotent linear algebraic group.
(i)	The sets ,  of semi-simple and unipotent elements are closed connected subgroups, and  is a central torus of G.
(ii)	The product map p: ´ ® G is an isomorphism of algebraic groups.
Proof. The fact that  is contained in the center was already proved (4.4.8). In particular,  is commutative. We may assume that G Í  is a closed subgroup. By (2.4.2)(ii) there is a direct sum decomposition of V :=  such that  acts by scalar multiplication on each summand. As in the previous proof we see that G commutes these direct summands, hence (being connected) leaves them invariant. 
By the previous theorem 6.7 we can triagonalize the action of G on each summand, i.e., we may assume
GÍ  ,  = GÇ .
In particular,  is closed in G. As one easily sees now,  = GÇ, hence  is closed.
The map of (ii) is obviously a morphism. It is bijective by the uniqueness of the Jordan decomposition. We have yet to show that its inverse is a morphism too.
The map
G®, xa,
is a morphism (being projection onto the diagonal matrices). Hence
x a (,x)
is also a morphism.
QED.
6.9 The unipotent part of a solvable connected group
Let G be a connected solvable linear algebraic group. Then:
(i)	(G,G) is closed, unipotent, and connected.
(ii)	The unipotent elments of G form a subgroup  which is closed nilpotent connected, and normal. The quotient G/ is a torus.
Proof. (i). By 6.7 we may assume that G Í  is contained in the upper triangular matrices. Then (G,G)  consists of upper triangular matrices such that all entries on the main diagonal are 1, i.e., (G,G) is unipotent. The fact that (G,G) is closed and connected was proved in (6.5)(i).
(ii). Denoting by  the group of unipotent upper triangular matrices, one has
 = GÇ ,
hence  is closed and normal. Moreover, it is nilpotent, since  is nilpotent by exercise 6.6(4). Inclusion defines an injective homomorphism of algebraic groups
G/ ® /.
The group on the right is a torus, hence G/ is commutative with all elements being  semi-simple. Consider G/ as a closed subgroup of some GL. By Lemma 2.4.2(ii) we may assume that it is even contained in D. So G/ is a connected diagonalizable group, and hence a torus by (2.5.8).
We have yet to show that  is connected. The identity component  is a closed normal subgroup of G. Replacing G by the quotient group G/ we may assume that  is finite.
Since  is normal, G acts by conjugation on . Since G is connected, the orbits under this action are connected. Since  is finite, this means all orbits consist of single elements. In other words, 
ÍZ(G)
 is contained in the center. Since (G,G)Í , as we have seen above, this implies that G is nilpotent. But than  is connected by (6.8)(ii).
QED.
The assertion that follows is a lemma needed in the proof the structure theorem 6.11 for connected solvable groups.

6.10 Lemma: connected solvable groups contain some G in the center of their unipotent part
Let G be a linear algebraic group which is connected and solvable but not a torus. Then there is a closed normal subgroup NÍG such that
(i)	N Í Z()
(ii)	N @ 	(the additive group)
Proof. By (6.9) the unipotent elements form a closed nilpotent connected normal subgroup  of G. Moreover,  is non-trivial, for otherwise G would be a torus by (6.9)(ii). By (6.5)(iii)  has a center with non-tivial identity component. Hence there exists a non-trivial connected closed normal subgroup H of G contained in
H Í Z().
Note that, since  is normal in G, the same is true Z(), and hence for Z(). If char(k) = p > 0, we may additionally assume that
H = {e}.
By exercise (2.6.7)(1), H is isomorphic to a vector group (). If n = 1 we are done. Otherwise, let VÍk[H] be the subspace of additive functions (f(hh’)=f(h)+f(h’), see 2.6). The torus T = G/ operates on H via conjugation, hence it operates on k[H], stabilizing V. Since the action of T on k[H] is locally finite and since each rational represention of a torus decomposes into 1-dimensional ones (2.5.2)(iii), there is some aÎV such that kaÍV is stable under the action of T. But then the identity component of Ker(a) = {hÎH | a(h) = 0} has dimension n-1 and is a subgroup which has the same properties as H.
QED.
The notion of maximal Torus
The next theorem gives the most important facts about the internal structure of a connected solvable linear algebraic group G. A maximal torus of G is a subtorus of G which has the same dimension as the torus S = G/. It will follow (see (6.12)(i)) that a maximal torus is also a maximal torus in the set-theoretical sense.
6. 11 The structure of connected solvable groups
Let G be a connected solvable linear algebraic group. Then
(i)	Every semi-simple element sÎG is contained in a maximal torus (in particular, a maximal torus exists).
(ii)	The centraliser (s) of every semi-simple element sÎG is connected.
(iii)	Any two maximal tori of G are conjugate.
(iv)	If T is any maximal torus, the product map j: T´ ® G is an isomorphism of varieties (not of groups).
Proof. (iv). Let the direct product T´ operate on G by
T´´G ® G, (t,g,x) a tx.
The orbit of e is the T×, which is a subgroup (since  is normal by (6.9)(ii)).  The isotropy group of e in T´ is trivial (for, TÇ = {e}). Therefore, dim  = dim T + dim  = dim G. Since every orbit is open in its closure (by (4.3.1)(i)) and T× is a subgroup of G, 
G = T×
by 2.2.4(ii), i.e., the product mophism
j: T´ ® G
is surjective. The tangent map induced by j is
Lie(T)Lie() ® Lie(G), (X,Y) a X+Y,
(see 3.3.11). Now the tangent vectors to T are semi-simple and the tangent vektors to  are nilpotent (see exercise (3.4.3)(1) and (2)), hence Lie(T)ÇLie() = 0, i.e., the tangent map is injective, hence bijective. In other words, j is an equivariant homomorphism of homogeneous spaces inducing isomorphisms on the tangent spaces. By (4.3.3)(iii), j is an isomorphism. This proves (iv).

Next we prove the other assertions in case dim  = 1.
The case dim  = 1.
Since  is connected by (6.9)(iii),  @  (see 2.6.6). Fix some isomorphism
f:  ®  
and let
p: G ® S := G/
be the canonical homomorphism. 
Since  is normal in G, G operates on  by conjugation
G´G ® G , (g,x) a gxg.
Since  @  is commutative, conjugation with elements from  induces the identity map on , hence conjugation defines an operation of G/ on G
S´G ® G , (gG,x) a gxg, S := G/.

Vía f this gives an operation on the affine line  by group homomorphisms. Now the only group homomorphism on  are multiplication by constants (An automorphism ® is given by a linear additive polynomial). In other words, there is a rational character a:G/ ®  such that
(1)				gf(x) = f(a(pg)×x), gÎG, xÎ .
If a=1 is constant, G acts trivially on  . But then G is commutative. So all assertions follow from (2.4.12) with T =  being the only maximal torus of G (note that every torus consits of semi-simple elements and hence is contained in G).

So assume a¹1. Let sÎG be any semi-simple element and write
Z := (s).
Then there is a direct sum decomposition
(2)				Lie(G) = (Ad(s)-1)Lie(G)Lie(Z)
by (4.4.5)(ii). Since S = G/ is commutative, p(x) = p(gx), hence
dp = dp°d = dp°Ad(s)
hence  dp°(Ad(s)-1) = 0, hence
(3)			(Ad(s)-1)Lie(G) Í Ker(dp) = Lie().
As for the identity on the right, note that the canonical homomorphism p: G ® S := G/ is separable by (5.2.3)(ii) with fibers isomorphic to , hence the differential dp has kernel Lie(). From these inclusions we see
				dim (Ad(s)-1)Lie(G) ≤ 1
				dim  = dim Lie(Z) ≥ dim G - 1.
To prove that s is contained in some maximal torus we distinguish to cases.
1. Case: a(ps)¹1. Note that there are semi-simple elements satisfying this condition: just take the semi-simple part of any gÎG with a(pg)¹1 (on the unipotent part of g, a is trivial). Then by (1),
(4)					ZÇ = {e}.
Therefore ¹G and Lie()¹Lie(G). Thus  is an (n-1)-dimensional closed connected solvable subgroup of G with trivial unipotent part. By (4),  maps injectively (hence bijectively) to the torus G/, hence is a maximal torus. By assertion (iv) we have
G =  .
If g=xy (xÎ,yÎ) commutes with s, then y commutes with s, hence y = e, hence g=xÎ. Therefore,
Z = .
We have proved, the centralizer of a semi-simple element sÎG with a(ps)¹1 is a maximal torus, which proves assertions (i) and (ii) is this case.
2. Case: a(ps)=1. From identity (1) we see that conjugation with s is a trivial operation on  hence ÍZ hence Lie()ÍLie(Z). From (3) we see that the direct sum decompositin of Lie(G) degenerates to
Lie(G) = Lie(Z).
Hence dim Z = dim G, hence Z = G, and s lies in the center of G. In particular, s lies in some maximal torus (e.g., in the centralizer of some element s’ with a(ps’)¹1).

We have yet to prove assertion (iii) (in the case that dim  = 1). If T is any maximal torus, the projection p onto G/ induces a bijection
T ® G/.
In particular, there is some tÎT such that a(pt)¹1. As we have seen above, this implies that Z(t) is a maximal torus (containing T since T is commutative). Thus
T = Z(t).
Let T’ be another maximal torus and choose t’ÎT’ such that
T’ = Z(t’).
We may assume that t and t’ map to the same element of G/ , i.e.,
t’ = t×f(x) for some xÎ.
For arbitrary yÎ we have,
	t×f(x+(a(pt’))-1)y) = t×f(x+(a(pt’))y - y)
		= t×f(x)×f((a(pt’))y)×f(y)	(f is a group isomorphism)
		= t×f(x)×t’×f(y)×t’×f(y)  		(by formula (1))
		= t’×t’×f(y)×t’×f(y)			(since t’ = t×f(x))
		= f(y)×t’×f(y)
Since a(pt’) = a(pt) ¹1, we may choose yÎ such that
x+(a(pt’))-1)y = 0,
i.e. such that
t = f(y)×t’×f(y).
But then, the centralizers of t and t’ are conjugate,
T = f(y)×T’×f(y)
as claimed.
General case.

Proof of (i). Assume dim  > 1. Let N be as in 6.10. Write
 := G/N.
Then / @ G/. Let sÎG be any semi-simple element and let   its image in . By induction on dim G we may assume that  is in a maximal torus  of . The inverse image of  in G is a connected closed subgroup H of G. Since  consists of semi-simple elements,  Í N, hence dim ≤ 1. By induction we know that s lies in a maximal torus T’ of H, which is also a maximal torus of G, for, 
dim T’ = dim H/ ≥ dim H - 1 = dim  = / @ G/ .
This proves (i).
Proof of (iii). Given two maximal tori S,TÍG, let  and  their image in . Since S und T map bijectively to  and , respectively, the latter are maximal tori of , hence are conjugate by induction. Conjugating S with an appropriate element of G we may therefore assume that S and T have the same image in . For every sÎS there are elements tÎT and nÎN such that s=t×h. Uniqueness of Jordan decompositon implies h=e, hence s=t. This shows SÍT, hence S=T.
Proof of (ii). Let sÎG be semi-simple. Denote by  the image of s in .Denote
 := {gÎG | sgsg Î N}.
This is the inverse image of the centralizer of ,
G := r(Z()), r: G ®  = G/N the natural map.
 Since Z() is connected by induction,  is a closed connected subgroup of G such that
(s) Í  and /N @ ().
If  is different from G, (s) is connected by induction hypothesis. So assume
 = G.
Write Z := (s). As above we have a direct sum decomposition
Lie(G) = (Ad(s)-1)Lie(G)Lie(Z).
Let r:G®G/N denote the canonical map. From  = G we deduce that G/N = (), hence r(x) = r(sx) for every xÎG. Therefore
dr = dr°d = dr°Ad(s)
hence  dr°(Ad(s)-1) = 0, hence
(5)			(Ad(s)-1)Lie(G) Í Ker(dr) = Lie(N).
If (Ad(s)-1)Lie(G) = 0, one has Lie(G) = Lie(Z), hence dim Z = dim G, hence Z=G , hence Z = G is connected.
Thus assume
(Ad(s)-1)Lie(G) = Lie(N).
Then dim Z = dim G - 1  and
ZÇN = {e}
(consider the action of G/N on N and use a relation like (1)). Hence the product map
Z´N ® G
is bijective, which implies (as above) Z = Z, i.e., Z is connected. This completes the proof of the theorem.
QED.
6.12 Non-maximal tori of connected solvable groups
Let G be a connected solvable linear algebraic group and HÍG a subgroup all of whose elements are semi-simple. Then
(i)	H lies in a maximal torus of G. In particular, any subtorus of G lies in a maximal torus.
(ii)	The centralizer H is connected and coincides with the normalizer H.
Proof. If sÎG is semi-simple and contained in the center Z(G) of G, it lies in all maximal tori of G (by 6.11(i) and (iii)). Therefore (i) is true in case HÍZ(G). The second assertion (ii) is trivially true in this case.

If H is not contained in Z(G), choose any sÎH-Z(G). Then the centralizer
Z(s) Ì G
is a proper connected (see 6.11(ii)) subgroup of G.
 Since H maps injectively under
G ® G/ ,
the groups H is commutative. So H Í (s). The claim of (i) follows by induction on dim G. The same argument shows that H is connected.
Finally let xÎH. Then for all hÎH we have
xhxhÎHÇ(G,G) Í HÇ = {e}
(use 6.9(i)), i.e., xÎH, hence H = H.
QED.
6.13 Regular functions on homogeneous of connected solvable groups
Let G be a connected solvable linear algebraic group and HÍG a proper closed subgroup of G. Then there exists a non-constant regular function on the variety G/H.

Proof. We use induction on dim G + dim G/H. This integer is at least 2.
1. Step: the case dim G + dim G/H = 2.
Then
dim G = dim G/H = 1.
Inparticular, G is isomorphic to  or  hence abelian. So H is a normal subgroup and G/H is affine by (5.2.5)(i). The claim is triavially true in this case.
2. Step: the case G = {e}.
Then G is abelian by (6.9)(ii), G/H is affine for the same reason, and the claim is trivially true again.
3. Step: the case G ¹ {e}.
Let NÍZ(G) be a closed connected normal subgroup of G isomorphic to G as in 6.10. Then HN is a closed subgroup. If it is different from G, then by induction hypothesis there is a non-constant regular function on G/HN. Using the canonical map G/H®G/HN we get a non-constant regular function on G/H. Hence assume that
HN = G.
Then (H) is a normal subgroup of G (for, it is invariant under both H and N, hence under G). Moreover,
(*)					G/H = (G/(H))/H/(H).
If (H) is non-trivial, the claim follows by induction again. So assume
(H) = {e}.
Then T:=H is a torus, hence is contained in a maximal torus of G (by 6.12). Now
dim T = dim H ≥ dim HN - 1 = dim G - 1
(note that dim N = 1), and T maps injectively into G/G. Therefore
dim G = 1
and N = G hence
 G/H = HN/H = N/NÇH = G/H.
This reduces the proof to the first step (since dim G = 1).
QED.
6.14 Reductive groups
Let G be an arbitrary linear algebraic group. Consider the family of all
closed, connected, solvable, normal
subgroups. The group generated by all these groups is a group of the same kind. Hence there is a maximal closed, connected, solvable, normal subgroup. It is denoted
G
and called the radical of G. Similarly, there is a maximal closed, connected, unipotent, normal subgroup of G denoted
G
and called unipotent radical of G. These two are related by
(G) = G.
The group is called semi-simple if G = {e} and reductive if G = {e}.
6.15 The radical of a connected reductive group
Let G be a connected, reductive linear algebraic group. Then RG is a torus. It coincides with the identity component of the center ZG,
RG = (ZG)
Moreover
RGÇ(G,G)
is finite.
Proof. Since (G) = G = {e}, we have that T:=RG is a torus by (6.9)(ii). Normalizer and centralizer of the diagonlizable subgroup T have the same identity component by (2.5.11),
G = (T) = (T),
i.e., T lies in the center of G, i.e.,
T Í (ZG).
Since (G) = {e}, (ZG) = {e}. As a commutative group consisting of semi-simple elements (ZG) is diagonalizable by (2.4.2)(ii). Being connected it is even a torus by (2.5.8). Since it is closed, connected, solvable and normal, it is contained in T:=RG. We have proved
T = (ZG).
To prove the last statement, assume G to be a closed subgroup of GL(V). Decompose V into a direct sum V such that tÎT acts as scalar multiplication by c(t) on V , the c’s being pairwise distinct rational characters of T. Then GÍ(T) permutes hence stabilizes all V and (G,G) is contained in SL(V), i.e., the elements of 
RGÇ(G,G) = TÇ(G,G)
are direct sums of scalar matrices with determinant 1. Hence this set is finite.
QED. 
6.16 Exercises
(1)	Give an example of a finite solvable subgroup of (C) which is not conjugate to a group of triangular matrices (this shows that the connectedness assumption in Kolchin’s theorem (6.7) is essential).
In the exercises that follow, G is a connected solvable linear algebraic group.
(2)	Let H be a closed connected nilpotent subgroup of G which is equal to its normalizer. Show that H is the centralizer of a maximal torus of G. (Hint: By 6.8 we have H = H´H . Show that H = Z(H) and use 6.12(i) to prove that H is a maximal torus).
(3)	There is a sequence G = G G ... G G = {e} of closed connected normal subgroups of G sucht that all quotient groups G/G are either isomorphic to  or .
(4)	Let H be a closed subgroup of G such that dim G/H = 1. Then G/H is either isomorphic to  or to (as a variety). (Hint: use 6.10).
Solutions
(1)	Let H Í GL(R) Í (C) the symmetry group of the regular hexagon consisting of 6 rotations and 6 reflections. The rotations form a commutative normal subgroup and the corresponding factor group has order 2, hence is commutative. Therefore, H is solvable.
	Assume that H would be conjugate to a subgroup H’ := gHg of upper triangular matrices. Then H’ contains 6 elements of order 2 (the 6 reflections). Each is of the form
A = , A = Id,  det A = -1
	i.e., with
a = d = 1, ab+bd = 0, ad = -1.
	The only solutions of this system are
		a = 1, d = -1, b arbitrary
		a = -1, d = 1, b arbitrary
	The second group of solutions differs only by sign from the first. Now
 = ,
i.e., all these elements commute with each other. But this is not the case with the 6 reflections of H.
(2)	By assumption
(+)		H = N (H) = N(H´H)	(see 6.8)
				= N (H)ÇN(H)
	Taking unipotent parts on both sides we see,
(*)				H = GÇN(H) = N(H)
	Note that, since H is a central torus (by 6.8), G Í N(H). Since G is nilpotent, there is some i such that
C(G) Í H and C(G)  H
	(exept in case H = G). But then for gÎ C(G) and hÎH,
ghgh Î C(G) Í H
	hence ghgÎ H , i.e., each element gÎ C(G) is in N(H). But then N(H) is strictly larger than H in contradiction with (*). This proves
H = G .
	Since G is normal in G, N(H) = N(G) = G and identity (+) reads
H = N(H) = Z(H)
	For the second equality sign see 6.12(ii). The proof is complete if we can show that H is a maximal torus. By 6.12(i) H is contained in a maximal torus of G, say
H Í T.
	Since T is commutative,
H = Z(H)   T.
	Since T consists of semi-simple elements, T Í H. Therefore,
H=T.

(3)	Since G is solvable there is at least such a sequence with the factors being abelian (by 6.5). This reduces the proof the case that G is abelian. But then G is the direct Product of a torus and a connected unipotent group (by 2.4.12). But then the claim follows from previously proved results. Note, in particular that by 6.5 a connected nilpotent none-trivial G has a none-trivial Z(G).
(4)	By 6.10 there is a closed normal subgroup N ÍG such that
N Í Z(G) and N @ G.
	Consider the restriction
f:N ® G/H
	of the natural map. The image of f is 1-dimensional or 0-dimensional. In the second case Im f is finite, hence equal to {e} (since N is connected), i.e., N Í H and
G/H = (G/N)/(H/N)
	and the claim follows by induction on dim H. So assume we are in the first case. Then f is surjective and G/H is a homogeneous space such that the stabilizer of H is finite,
N = NÇH = finite.
	Since N is commutative, NÇH is normal in N and
N/NÇH @ G/H
	is affine the coordinate ring being
k[G/H] = k[N] = k[T]
	where NÇH can be considered as a finite Group of automorphisms of the polynomial ring k[T], i.e., NÇH operates on k[T] via translation,
T a T + g, gÎNÇH Í N = k.
	It will be sufficient to show that k[T] is isomorphic to k[T].
	Since NÇH is finite, each gÎNÇH has finite order, i.e. either char k = 0 and NÇH is trivial or g is a fraction of the characteristics. So it is sufficient to show that the invariants of k[T] under the translations of type
T a T + p/n
	form a ring isomorph to k[T]. But this ring is just
k[f] with f = (T- i◊p/n).

Notes
The first results of this chapter give standard elementary material. 6.3 is also true if H and K are closed subgroups (not nessarily connected), such that H normalizes K (see [3], p. 108).
The proof of the main result 6.11 is somewhat different from the usual one, which is due to Borel ([2], §12, see also [3], p. 244). We have exploited here the auxiliary result 6.10.
6.13 is rather a weak result. As a matter of fact, in that case the quotient G/H is an affine variety (see [5], 9.13).

Notes
7. Complete varieties. Borel subgroups, parabolic subgroups and their properties
7.1 Vollständige Varietäten
An algebraic variety X is said complete if the following holds: for any variety Y, the projection morphism X´Y®Y is closed, i.e., maps closed sets onto closed sets. The example in 1.91 shows that the affine line  is not complete. One should view the notion of completeness as an analogue, in the category of algebraic varieties, of the notion of compactness in the category of locally compact topological spaces (see exercise 7.1.5(1)).
7.1.1 Properties of complete varieties
Let X be a complete variety.
(i)	A closed subvariety of x is complete.
(ii)	If Y is a complete variety, then so is X´Y.
(iii)	If f:X®Y is a morphism of varieties, then fX is closed and complete.
(iv)	If X is a subvariety of a the variety Y then X is closed in Y.
(v)	If X is irreducible then any regular function on X is constant.
(vi)	If X is affine, then X is finite.

Proof. (i) and (ii) follow immediately from the definition of completeness.
(iii). Let
G := {(x,f(x)) | xÎX}
be the graph of f. Note that G is the inverse image of the diagonal DÍY´Y under the morphism
X´Y ® Y´Y, (x,y) a (fx,y),
i.e., G is closed in X´Y. Since fX is the projection of G onto Y, and X is complete, this projection is closed. To prove that fX is complete, let Z be any variety. We have to prove that the projection fX´Z®Z is a closed map. Since G maps surjectively onto fX, it will be sufficient to show that the projection
G´Z®Z
is closed. But this follows from the fact that G is isomorphic to X, hence is complete.
(iv). This is a special case of (iii) with f:X®Y being the natural injection.
(v). Let f be a regular function on X and consider it as a morphism
f:X® Í 
If f in non-constant, than fX is a non-empty dense subset of . Since X is complete fX must be closed in , hence fX = , which is impossible. Thus f must be constant.
(iv). Let XÍ be affine. By (v) the coordinate functions on X must be constant on each irreducible component of X, hence X consists of a finite number of points.
QED.
7.1.2 Completeness of projective varieties
A projective variety is complete.
Proof(Shafarevich). It suffices to prove that projective n-space  is complete. So we have to prove the projection morphism
p: ´Y®Y
is closed for all varieties Y. Since Y has an open cover by affine subvarieties, we may assume that Y is affine. Since Y is contained in some  we may assume that Y = . Therefore all be have to prove ist that the projection morphism
p: ´®
is closed.

A closed subset in ´ is given by a set of polynomial equations
(*)				(x,y) = 0 (i=1,...,r, xÎ, yÎ),
which are homogeneous with respect to x = (x,...,x). We have to show the set of points yÎ such that (*) has a solution x is closed. Denote by (x) the set of power products of degree i of x,...,x. By Hilbert’s Nullstellensatz, (*) has a solution if and only if the ideal
<(x,y) | i=1,...,r>
generated by the polynomials (x,y) doesn’t contain any (x) as a subset. Write
 := {yÎ | (x) is not contained in <(x,y) | i=1,...,r>}.
We have to show the intersection Ç is closed in . Obviously
    . 
Hence it will be sufficient to showt that  is closed for every sufficiently large i. Fix some i greater than the degree of any  (with respect to x). To prove that  is closed replace  by the set of all products of  with all elements from (x) (this doesn’t change the degree i part of the ideal generated by the ’s). Thus we may assume that each  has degree i. Now consider the polynomials  as vectors in the space of homogeneous polynomials of degree i with coordinates depending in a polynomial way upon yÎ.

Then the condition
(x) Í <(x,y) | i=1,...,r>
means that the set {(x,y)} contains a basis of this vector space, a condition that can be expressed by saying that certain determinants are non-zero. In particular this is an open condition on y, i.e.,  -  is open. But then  is closed.
QED.
7.1.3 Complete algebraic groups are commutative
Let G be a connected algebraic group which is complete. Then X is commutative.

Complete algebraic groups are called abelian varieties. An example are the elliptic curves. For the theory of abelian varieties we refer to Mumford [29].

To prove the claim we need
7.1.4 A rigitity result
Let X,Y,Z be irreducible varieties with X complete. Let
j: X´Y ® Z
be a morphism and write (x) := j(x,y). Assume that there is some aÎY such that  is constant. Then  is constant for every yÎY.
Proof of 7.1.3. Let with X := Y := Z := G and j(x,y) := xyx.  Then j(x,e) is constant as a function of x. By 7.1.4 j(x,y) is constant as a function of x for every y. In particular
j(x,y) = j(e,y) = y
for every x and every y. But then G is commutative.
QED.
Proof of 7.1.4. Let G be the graph of j,
G := {(x,y,j(x,y)) | xÎX, yÎY}.
In particular, G is closed in X´Y´Z. Since X is complete, the subset
A := {(y,j(x,y)) | xÎX, yÎY}
of Y´Z is closed. As the image of an irreducible set is also irreducible. Consider the projection
p: A ®Y.
By assumption, (a) consists of one single point. Hence dim A = dim Y. For xÎX the subset
 := {(y,j(x,y)) | yÎY}
of A is closed (since it is the graph of a morphism Y®Z) and is isomorphic to Y. Hence it is irreducible and its dimension is equal to dim Y = dim A. Therefore
 = A
for every x. But the (x) := j(x,y) is constant for every yÎY.
QED.

7.1.5 Exercises
(1)	Let X be a locally compact Hausdorff space. Show that X is compact if and only if for any locally compact space Y the projection map X´Y®Y is closed.
	Hint: in the proof of the if part use a one point compactification of a non-compact X.
(2)	(a) Let G be a connected algebraic group and H a closed connected, complete subgroup. Then H lies in the center of G.
	(b) Let G be a connected algebraic group. There exists a maximal closed, connected complete subgroup of G. It lies in the center of G.
Solutions
(1)	Let  := XÈ{∞} be such that the open neighbourhoods of ∞ are the complements of compact subsets of X. Suppose
X´Y®Y is closed
	for every locally compact Y. Inparticular, X´® is closed.Since X is Hausdorff, the diagonal ∆ is closed in X´. Projecting to the second factor, we see that X is closed in , hence {∞} is a neighbourhood of ∞, hence the closed subset
X =  - {∞}
	of  is compact.
	Conversely, assume that X is compact. Let Y be locally compact, F Í X´Y be a closed subset and F’ be its image under the projection X´Y®Y. Assume that there F’ isn’t closed, i.e., Y-F’ isn’t open. Then there is a point yÎY such that every neighbourhood U of y has points in common with F’. We can choose U such that the closure of U is compact. Replacing Y by we may assume that Y is compact. But then X´Y is compact, F is compact, hence so is F’. But than F’ is closed.
(2)	(a). Consider the morphism j:H´G®G, (h,g)ahgh. Then j(h,e) is constant as a function of h. But then by 7.1.3 j(h,g) is a constant function of h for every gÎG. In particular,
hgh = j(h,g) = j(e,g) = g
	for arbitrary hÎH, gÎG, i.e., H is in the center of G, as claimed.
	(b). Let X, YÍG be two closed, connected, complete subgroups. By (a) both X and Y are in the center of G, hence are normal subgroups. But then XY is a subgroup which is connected by 6.1 and complete 7.1.1. This shows there is a maximal one in the set of all closed, connected, complete subgroups of G.
7.2 Parabolische Untergruppen und Borel-Untergruppen einer linearen algebraischen Gruppe
Convention
G denotes a linear algebraic group.
7.2.1 Completeness of homogeneous spaces
Let G be a linear algebraic group and X, Y be homogeneous spaces. Assume there is a bijective G-morphism j:X®Y.
Then X is complete if and only if Y is so.
Proof. From 4.3.3 we know that the induced map
X´Z®Y´Z
is open for every variety Y, hence is a homeomorphism of topological spaces. From this fact the claim is obvious.
QED.

Parabolic subgroups
Let G be a linear algebraic group. A closed subgroup PÍG is called a parabolic subgroup if the quotient variety G/P is complete.
Remark. PÍG is parabolic if and only if PÇG is parabolic in G.
Proof. “Þ” is trivial, and the converse implication follows from the fact the the components of an algebraic group are isomorphic as varieties.
QED.
7.2.2 Existence of parabolic subgroups
Let G be a connected linear algebraic group. Then the following are equivalent.
(i)	There is a proper parabolic subgroup of G.
(ii)	G is non-solvable.
Proof. (ii)Þ(i). We may assume that G is closed in some GL(V). Then G operates on the projective space P(V) and by 4.3.1(ii) there is a closed orbit X for this action. By 7.1.2 this orbit X is a complete homogeneous space for G. Let xÎX be any point and let
P := G := {gÎG | gx = x}
be the isotropy subgroup of x in G. Then
G/P ® X, gP a gx,
is a bijective G-morphism of homogeneous spaces. Inparticular, G/P is complete (by 7.2.1) and P is a parabolic subgroup of G.
It is a proper one if dim X>0. If dim X = 0, then X = {x}. Let vÎV any point on the line x and let
V := V/kv.
Then G operates on V and we can find a closed orbit in P(V). Continuing this way one either finds a complete homogeneous space of positive dimension (hence a proper parabolic subgroup) or G is isomorphic to a subgroup of a group of triangular matrices, hence is solvable. This proves the implication
G has no proper parabolic subgroup Þ G is solvable.

If G is solvable, then there is a non-constant function of G/P by 6.13 of every proper closed subgroup PÍG. But then P cannot be parabolic.
QED.
7.2.3 Projectivity of factors modulo parabolic subgroups
Let G be linear algebraic group and P Í G a parabolic subgroup. Then G/P is a projective variety.
Proof. By 5.2.3 G/P is quasi-projective, i.e., an open subvariety of a projective variety. Since G/P is complete, it must be closed in this projective variety, hence itself projective.
QED.
7.2.4 Transitivity of the property to be parabolic
Let P and Q be closed subgroups of G with PÍQ. If P Í Q and Q Í G are parabolic then so is P Í G.
Proof. We have to show that for any variety X, the projection G/P´X®X is closed. Since the natural morphism G®G/P is an equivariant morphism of homogeneous spaces, the induced map G´X®G/P´X is open by 4.3.3(i). Hence closed subsets of G/P´X are in 1-1 correspondence to closed subsets AÍG´X satisfying
(g,x)ÎA Þ gP´{x} Í A.
We have to show, closed sets of this type map onto closed subsets of X.

Consider the morphism
a: Q´G´X®G´X, (q,g,x) a (gq,x).
If A is as above, then
aA = {(q,g,x) | (gq,x)ÎA},
which is closed in Q´G´X. The completeness of Q/P implies that the projection of aA onto G´X is closed in G´X, i.e., the set
 gQ´{x}
is closed in G´X. The completeness of G/Q implies that the projection onto X of the last set is closed in X. But this is just the image of A in X.
QED.
7.2.5 Borel’s fixed point theorem
Let G be a connected solvable linear algebraic group and X a complete G-space. Then there is a point xÎX which is fixed by all elements of G.
Proof.By (4.3.1)(ii) there is a closed orbit Y for the action of G on X. Let yÎY and
P := 
be the isotropy group of x in G. Then there is a bijection G/P ® Y of homogeneous spaces, i.e. P is a parabolic subgroup. Since G is solvable, P = G by 7.2.2, whence the orbit Y consists of a single point. This proves the claim.
QED.
Borel subgroups
Let G be a linear algebraic group. A Borel subgroup of G is a connected, solvable, closed subgroup which is maximal with respect to these properties. A maximal torus of G is a closed subtorus of G of maximal dimension. This last notion occured already in 6.11 in the case that G is connected and solvable.

7.2.6 First Properies of Borel subgroups
Let G be a linear algebraic group. 
(i)	A closed subgroup of G is parabolic if and only if it contains a Borel subgroup.
(ii)	If B is a Borel subgroup of G then G/B is complete.
(iii)	All Borel subgroups of G are conjugate.
(iv)	All maximal tori of G are conjugate.
Proof. We may assume that G is connected. 
(i). Let B be a Borel subgroup of G and P any parabolic subgroup. Then the connected solvable group B acts on the projective variety G/P (by left translations). By Borel’s fixed point theorem there is some xÎG such that BxP = xP. In particular,
xBx Í P.
Since xBx is a Borel subgroup of G, this proves the only if part of (i), i.e., every parabolic subgroup contains a Borel subgroup.

To prove the if part, it will be sufficient to prove (ii). For if G/B is complete and BÍP, then the image of G/P of G/B under the natural morphism G/B ® G/P is complete, too (by 7.1.1(iii)).
(ii). We use induction on dim G/B. The case dim G/B = 0 (i.e. G solvable) is trivial. So assume that G is non-solvable. Then there is a proper parabolic subgroup PÍG (by 7.2.2). Replacing P by a conjugate, we may assume P B. Then B is a Borel subgroup of P. By induction on dim G/B
we may assume that B is parabolic in P. But then B is parabolic in G by by transitivity (see 7.2.4). This proves (ii).
(iii). Let B and B’ be two Borel subgroups. Then B and B’ are parabolic by (ii). The argument in the proof of (i) shows that B is conjugate to a subgroup of B’. In particular dim B≤dim B’, hence dim B = dim B’ by symmetry. But the B and B’ are conjugate.
(iv). Let T and T’ be two maximal tori. Then T is contained in a Borel subgroup B (by the definition of Borel subgroup). By (iii) we may assume that T’ is also contained in B. But maximal tori of connected solvable groups are conjugate by (6.11(iii)).
QED.
7.2.7 Homomorphic images of parabolic subgroups and maximal tori
Let f:G®G’ be a surjective homomorphism of linear algebraic groups. Let HÍG be a Borel subgroup (parabolic subgroup, a maximal torus, respectively) of G. Then fH is a subgroup of G’ of the same type.
Proof. If H is a 
 subgroup of G, then fH is closed (by 2.2.5(ii)), connected and solvable. Moreover, the induced morphism G/H ® G’/fH is surjective. But then G’/fH is complete (by  7.2.6(ii) and 7.1.1(iii)), hence fH contains a Borel subgroup (by 7.2.6(i)). By the definition of Borel subgroup, fH itself must be Borel.
If H is parabolic, then G/H is complete. From the surjection G/H ® G’/fH one sees that G’/fH is complete, too. Hence fH is parabolic in G’.
Now let H be a maximal torus. Take a Borel subgroup B containing T. Then there is a decomposition
B = H×
by 6.11(iv). Applying f one obtains
fB = fH×f.
Since fB is a Borel subgroup and f is unipotent, the isomorphisms of 6.11(v) implies that fH must be a maximal torus of fB. Since any two maximal tori are conjugate an are contained in a Borel subgroup, fH is a maximal torus of G’.
QED.
7.2.8 The center of a Borel subgroup
Let G be a connected linear algebraic group and BÍG a Borel subgroup. Then Z(G)ÍZ(B)ÍZ(G).
Proof. Z(G) is connected, solvable and (trivially) closed, hence contained in some Borel subgroup B. By the conjugacy result (7.2.6(iii)) for Borel subgroups, Z(G) is contained in every Borel subgroup. This proves the first inclusion.
Now let gÎZ(B). Consider the morphism
f: G ® G, x a gxgx.
By the choise of g, f(xB) = f(x), hence induces  a morphism G/B ® G. Since G/B is complete, this latter morphism must be constant (by 7.1.1(v)). But then f is contant, i.e., gÎZ(G).
QED.
7.2.9 Nilpotent Borel subgroups
Let G be an algebraic group and BÍG a Borel subgroup. Then if B is nilpotent, G = B.

Proof. We may assume that G is connected. The claim will be proved by induction on dim G. If B = {e}, then G = G/B is complete, hence G = {e} by (7.1.1(v)). So assume B¹{e}. Since B is assumed to be nilpotent, dim Z(B) > 0 by 6.5(ii), hence dim Z(G) > 0 by 7.2.8.
Since Z(G)ÍB, it will be sufficient the prove the claim for G/Z(G). But then the result follows by induction.
QED.
7.2.10 Cartan subgroups
Let G be an algebraic group. A Cartan subgroup of G is a subgroup of type
C := (T),
where TÍG is a maximal torus of G (a  Cartan subgroup is the connected centralizer of a maximal torus). Since maximal tori of G are conjugate, the same is true of Cartan subgroups.

Corollary
Each Cartan subgroup C of G is nilpotent and equal to its connected normalizer (C).
Proof. T is a maximal torus of C and lies in the center of C. 

Let B be a Borel subgroup of C. Then B contains a conjugate of T (by 7.2.6(iv)), hence T itself, since T is in the center of C. Moreover, the multiplication map T´B®B is bijective by 6.11 and defines a direct product decomposition, since T is in the center of C. Note that, by  6.9(ii), B is a nilpotent connected closed normal subgroup of B. Note that since the product decomposition B=T×B is direct, every normal subgroup of B is normal in B. Therefore, B is nilpotent.
We have proved, every Borel subgroup of C is nilpotent. But then C is itself nilpotent (by 7.2.9).

By 2.5.11,
 C = (T) = (T)
Let gÎ(C). Then the inner automorphism defined by g defines an automorphism C®C, x a gxg that maps T onto a maximal torus. Since any two tori are conjugate and T is in the center of C, T is mapped onto itself. Therefore gÎ(T). We have proved, 
(C) Í (T), hence (C) Í (T).
From the identities above we see, (C)ÍC. The converse inclusion is trivial.
QED.
7.2.11 Exercises
G is assumed to be a connected linear algebraic group.
(1)	Aufgabe
	Let H be a closed subgroup of G containing a maximal torus T. Then
HÍH×T.
(2)	Aufgabe
	Let B be a Borel subgroup of G. Then (B) = B.
(3)	Aufgabe
	If all elements of G are semi-simple then G is a torus.
(4)	Aufgabe
	Let G = .
	(a) The group T of upper triangular matrices in  is a Borel subgroup.
	(b) Let G act on V = k. A flag in V is a sequence of distinct subspaces  (1≤i≤s) of V such that ÍÍ...Í. Then G also acts on the set of flags. The flag is complete if s = n-1 and dim  = i for every i. The Borel subgroups of G are the subgroups whose elements fix a given complete flag. (Hint for the proof of (a): Let G act on . Use that the isotropy group of a point of  is a parabolic subgroup, and show by induction on n that /T is complete).
(5)	Aufgabe
	Assume char(k) ¹2. Let G=, viewed as a subgroup of  fixing the symmetric bilinear form <?,?> of 6.6(1). A subspace W of V =  is isotropic if the restriction of this form to W is zero. The Borel subgroups of G are the subgroups whose elements fix a given isotropy flag, i.e., a maximal flag consisting of isotropic subspaces. (Hint: proceed as in the preceding exercise; one has to use Witt’s theorem, see [26, Ch. XIV, §5]).
(6)	Aufgabe
	Establish a similar result for the symplectic group  (see 6.16(2)).
(7)	Aufgabe
	Assume that G is defined over  and let F be the corresponding Frobenius morphism (see 3.3.15). There exists a maximal torus T of G and a Borel subgroup B T such that FT = T , FB = B. If (T’,B’) is another such pair, there exists xÎG with Fx = x such that T’ = xTx, B’ = xBx. (Hint: Use Lang’s theorem 3.3.16 and 7.2.6(iii),(iv)).
(8)	Aufgabe
	Let B be a Borel subgroup of G and s an automorphism of G (in the sense of algebraic groups) fixing all elements of B. Then s=id.
(9)	Aufgabe
	Let P and Q be parabolic subgroups of G, with PÍQ. Assume that X is a closed subset of G such that XP = X. Then XQ is closed (Hint: use the completeness of G/P).
Solutions
Zu (1)
	Let gÎH. Then gTg is a maximal torus of H. Since any two tori of H are conjugate in H, there exists some xÎH such that gTg = xTx. But then xg normalizes T, i.e. gÎxT. This proves the claim.
Zu (2)
	Take some maximal torus T of G contained in B. Then, by exercise (1), BÍB×T, hence
(*)					(B)Í B×T.
	Since the Cartan subgroup C := (T) is connected and nilpotent, some conjugate of C is contained in B, i.e.,
x(T)x Í B for some xÎG.
	But then, B   x(T)x = (xTx)  xTx. Since (*) is true for every maximal torus of G contained in B, we may replace T with xTx and hence assume that 
(T)ÍB.
	But then B×(T) = B and B×T is the disjoint union of a finite number of certain cosets of B. Since (B) is connected, it is contained in precisedly one of those cosets. Since it has e in common with B, it must be contained in B,
(B) Í B.
	The converse inclusion is trivial.
Zu (3)
	Take some Borel subgroup BÍG and a maximal torus T of G contained in B. Since B is connected and solvable, one has a direct sum decomposition B = T×B by (6.11). Since the elements of G are semi-simple, B = T. In particular, B is nilpotent. But then B = G by (7.2.9), i.e., G = B = T is a torus.
Zu (4)
	(a) Since T is conected and solvable, it will be sufficient to show that T is parabolic. Let ,..., be the standard basis of V =  and define  = k×+...+k×. Then 
T = {gÎG | g =  for i=1,..., n-1}.
	Define  to be the subgroup
 = {gÎG | g =  for i=1,..., j}.
	Then T = , and it will be sufficient to show that each  is parabolic. Let G act on the projective space (V) in the usual way. Then  is the isotropy subgroup of  considered as a point of (V) hence is parabolic in G. Moreover, there is an action of  on the projective space (V/) and  is the isotropy subgroup of / considered as a point of (V/). Assume we have already proved that  is parabolic. Consider  the action of  on (V/). Then, with respect to this action,  is the isotropy subgroup of / considered as a point of (V/), hence is parabolic.
	(b) Follows easily from the fact that any two Borel subgroups are conjugate.
(4)	1. Step. If WÍV is any isotropic subspace, then dim W≤k:=[].
	Since the scalar product is non-degenerate,
dim W + dim  = dim V = n.
	Moreover, since W is isotropic, WÍ. Therefore, this identity implies
2×dim W ≤ n.
2. Step. Construction of a maximal isotropic subspace W of V.
	Fix any orthonormal base ,..., of V. Define another base by
				:=  (+×)
				:=   (-×)
	for j=1,...,k:=[]. Then
			W	:= <,...,>
				:= <,...,>
	are isotropic subspaces of V. By the first step they are even maximal isotropic subspaces.
3. Step. Let 0ÌÌÌ...Ì be an isotropy flag. Then
0ÌÌÌ...ÌÍÌÌ...ÌÌV
	is a complete flag (if equality holds in the middle, skip ).
	
	By Witts theorem, G= acts transitively on the set of isotropy flags. Hence it is sufficient to show the claim for one such flag. Let W be the maximal isotropic subspace of the previous step, and let
0ÌÌÌ...Ì = W
	be any complete flag of W. Then
 = 
	Moreover, since the scalar product is non-degenerate, dim  = n-dim  = n-j. This proves the claim of the third step.
4. Step. Let 0ÌÌÌ...Ì be an isotropy flag. Then
B := {gÎ | g=, for j=1,...,k}
	is a Borel subgroup of G:=.
	
	Since G consits of isometries, the condition g= implies that g also fixes the orthogonal complement of . Hence B consits of the Elements of G fixing a certain complete Flag of V. This means, there is a Borel subgroup B’Í such that
B = B’ÇG.
	In particular, B is resolvable. Since G:= acts transitively on P(V), the same argument as in (4) shows that B is parabolic. Thus all we have to show is that B is connected. Fixing a basis of V associated with the complete flag of Step 3, B consists of the upper triangular matrices of ,
B = Ç .
	To see that this group is connected note that an orthogonal upper triangular matrix is automatically diagonal. Therefore, in an appropriate affine Space, B is defined by the equations
			××...×		= 1.
			×		= 1 (i=1,...,k)
						= 1 (in case that n is odd).
	These identities imply that ,..., represent units in k[B] and allow to eliminate the last k indeterminates.
	If n is even, k[B] is a polynomial algebra over
	k[,...,]/(×-1 | i=1,...,k) 
		= k[,...,]/(×-1 | i=1,...,k)
		= k[,...,] 
	If n is odd, a similar calculation shows that k[B] is a polynomial algebra over this ring, too.
	At any case, k[B] has no zero divisors, i.e., B is connected.
Zu (5)

7.3 Weitere Eigenschaften von Borel-Untergruppen
Situation
Let G be a connected linear algebraic group
7.3.1 Lemma: die Konjugierten einer abgeschlossenen Untergruppe
Let H be a closed subgroup of the connected linear algebraic group G. Put 
X = xHx.
(i)	X contains an open subset of its closure . If G/H is complete then X is closed.
(ii)	If some element of G lies in (at least one but) only finitely many conjugates of H then  = G.
Proof. We may assume H to be connected. Then
Y = {(x,y)ÎG´G | xyxÎH}
is an irreducible closed subset of G´G. Moreover, if (x,y)ÎY, then (xH,y)ÍY (check these properties). The canonical morphism G ® G/H is G-equivariant, hence induces an open map
G´G ® G/H´G
(by 4.3.3(i)). It follows that the image
 = {(xH,y) | xyxÎH}
of Y in G/H´G is closed in G/H´G and is irreducible. Let
π:G/H´G ® G
be the projection onto the second factor. Since X = π, the assertions (i) follow from 1.9.5 and the definition of completeness.
The fibers of the projection morphism ®G/H all have dimension dim H. Therefore,
dim  = dim G/H + dim H = dim G
by 4.1.6(ii). Now let xÎG have the property of (ii). Then Çπx is finite. Hence π| has finite fibers over a dense open set by 4.2.5. In particular, 
dim  = dim  = dim G.
But then  = G.
QED.
7.3.2 Lemma: Zentralisator eines Torus als Zentralisator eines Elements
Let S be a torus in the connected linear algebraic group G. Then there is some sÎS with
(S) = (s).
Proof. We may assume G = GL(V). The rational representations of S decompose into 1-dimensional ones (2.5.2c). Therefore,
V =  ,
where
A is a finite set of characters of S
and
 := {vÎV | s×v = c(s)v for every sÎS}.
Elements gÎG commuting with all sÎS, leave the subspaces  invariant: for vÎ and gs = sg for every sÎS one has
s×gv = g×sv = g×(c(s)v) = c(s)×gv,
i.e., gv Î . Therefore,
(S) = {gÎG | g= for every c}.
Choose sÎS such that c(s)¹c’(s) for any two different c,c’ÎA. This is possible since the regular function c-c’ is not identically zero on S (hence defines a proper closed subset) and since S is not the union of finitely many proper closed subsets (for it is connected). The element s acts on different spaces  by multiplication with different scalars. Hence theses spaces are the eigenspaces of s on V. But then the above argument shows that
(s) = {gÎG | g= for every c}
hence (s) = (S).
QED.
7.3.3 Überdeckungen aus Borel-Untergruppen, aus maximalen Tori und aus Cartan-Untergruppen
Let G be a connected linear algebraic group.
(i)	Every element of G lies in a Borel subgroup.
(ii)	Every semi-simple element of G lies in a maximal torus.
(iii)	The union of the Cartan subgroups of G contains a dense open subset of G.
Proof. (iii).Let T be a maximal torus of G and C := (T) the associated Cartan subgroup. Since any two Cartan subgroups are conjugate, the claim of (iii) follows from 7.3.1 provided we can show the existence of an element t which is contained in at least one and at most finitely many conjugacy classes of C.
Take some tÎT such that
C = (t),
which is possible by the preceding result 7.3.2.  Then
tÎxCx for some xÎG
if and only if t lies in the unique maximal torus T of xCx (see 6.11(i)). But then
xtxÎT hence
C = (T) Í (xtx) = x(t)x = xCx
(taking the centralizer is an inclusion reversing operation). This implies C = xCx. We have proved, C is the only conjugate containing t. This proves (iii).
(i). Choose some Borel subgroup BÍG containing C,
CÍB
(such B exists since C is nilpotent). Then
 xCx Í  xBx
In particular, the set on the right is dense in G. Moreover, since G/B is complete, it is equal to G by 7.3.1.
(ii). Follows from (i) and 6.11(i).
QED.
7.3.4 Das Zentrum der Borel-Untergruppen
Let G be connected and let BÍG be a Borel subgroup. Then Z(B) = Z(G).
Proof. By (7.2.8)
Z(B) Í Z(G).
Conversely let xÎZ(G). Then x lies in a Borel subgroup by 7.3.3(i). Since any two Borel subgroups are conjugate, x lies in the center of every Borel subgroup, hence in Z(B).
QED.
7.3.5 Zusammenhang der Torus-Zentralisatoren, deren Borel-Untergruppen
Let G be connected and let SÍG be a torus in G.
(i)	The centralizer (S) is connected.
(ii)	Given a Borel subgroup B of G containing S, then
BÇ(S)
	is a Borel subgroup of (S). Moreover, all Borel subgroups of the centralizer (S) are obtained in this way.
Proof. (i). Let xÎ(S). It is sufficient to show, x is in the connected centralizer of S. Let B be a Borel subgroup of G containing x (which exists by  (7.3.3)). Moreover, let
X := {gB | xgBÍgB, gÎG}
be the fixed point set of x in G/B. Then BÎX, and X is a closed subvariety of the projective variety G/B, hence is complete by (7.1.1(i)). By Borel’s fixed point theorem 7.2.5, the action of the connected solvable group S on X has a fixed point, i.e., SgB = gB and xgB = gB for some gÎG. This means, both S and x are contained in one and the same Borel subgroup gBg of G. By 6.12(ii) the centralizer of S in this Borel subgroup is connected, i.e., xÎ(S) as claimed.
(ii). Let B as in assertion (ii). Then BÇ(S) is  the centralizer of S in B and hence is connected by (6.12)(ii). Moreover it is solvable. To prove the first part of (ii) it is sufficient to show that  (S)/BÇ(S) is complete (by (7.2.6)(i)). Consider the injective morphism of homogeneous spaces
(S)/BÇ(S) ® G/B.
By 7.2.1 it will be sufficient to show that its image (S)×B/B  is complete. Since the of the morphism G®G/B is open, it will be sufficient to show that 
Y := (S)×B
is closed in G. Note that Y is irreducible (as an image of (S)´B under a morphism). Moreover, for every sÎS, the set Y is mapped to B under
G ® G, g a gsg.
	For, if y = z×b ÎY, then ySy = bSb Í B (for, SÍB).
Since B is closed, the same is true for the closure  of Y. The morphism
´S ® B/B , (y,s) a ysyB ,
satisfies the hypothesies of the rigidity theorem (2.5.10):
 is a connected affine variety as we have seen above
S and B/B are diagonlizable groups by assumption and by (6.9), 	respectively.
The morphism gives a homomorphism S®B/B for every fixed 	yÎ.
From 2.5.10 it follows that the latter map is independent upon y, i.e.,
(*)						ysyÎsB
for every yÎ and every sÎS, i.e.,
ySy Í SB for every yÎ.

With these preparations we are now able to prove that Y is closed.
aLet yÎ. We  have to show that y is in Y.

Note that SB is an algebraic group (it is contained in B and isomorphic to S´B by  (6.11)(iv) as a variety and a group since B is normal in B). Moreover,
ySy 
is a torus with dimension ≥dim SB/B, hence a maximal torus of SB. Since any two tori in SB are conjugate by (6.11)(iii), there is some xÎSB with
ySy = xSx.
We may assume
x Î  B.
Consider the element
y’ = yx.
This element satisfies
(**)					(y’) Sy’ = S
and it is also an element of ,
y’ Î .
Therefore, relation (*) holds for y’ (as for all elements from ): for every sÎS there is some bÎB such that
y’sy’ = sb.
On the other hand, y’sy’ÎS (in view of (**)), i.e.
b Î SÇB = {e},
i.e., y’sy’ = s.  Since this is true for every sÎS,
yx = y’ Î Z(S)
hence yÎZ(S)×B = Y. We have proved,  Í Y, i.e., Y is closed. This completes the proof of the first part of (ii).

The remaining part follows from the fact that any two Borel subgroups of Z(S) are conjugate.
QED.
7.3.6 Cartan-Untergruppen, ihre Beziehung zu den Borel-Untergruppen
Let G be connected and let TÍG be a maximal torus in G. Then

(i)	C = ZT is a Cartan subgroup of G
(ii)	If B is a Borel subgroup containing T then CÍB.

Proof. (i). By 7.3.5, C is connected, hence equal to the connected centralizer of the maximal torus T, hence a Cartan subgroup of G.
(ii) By 7.3.5, BÇC is a Borel subgroup of C. By (7.2.10), C is nilpotent, hence resolvable, hence equal to its only Borel subgroup, BÇC = C. But then CÍB.
QED.
7.3.7 Der Normalisator einer Borel-Untergruppe
Let G be a connected linear algebraic group and BÍG a Borel subgroup. Then NB = B.
Proof. Let N := NB. We prove N = B by induction on dim G.

Let T denote a maximal torus of B. If xÎN, then xTx is a maximal torus of B, hence there is some bÎB with xTx = bTb, i.e., bx normalizes T. To prove that x is in B we may assume that x normalizes T. Consider the homomorphism
f:T ® T, t a xtxt.
There are two cases.
1. case: f is not surjective. Then S := (Ker f) is a non-trivial subtorus of T (by (2.5.3) it is diagonalizable, and it is a tous by (2.5.8)(ii)). Obviously, xÎZS (for, Ker f consists of all elements of T commuting with x, so that x centralizes Ker f hence S). Now x normalizes B by assumption, hence it normalizes the Borel subgroup ZSÇB of ZS. In case that ZS ¹ G induction hypothesis implies xÎZSÇB hence xÎB. In case ZS = G, S is contained in the center and replacing G by G/S we can again use the induction hypothesis.
2. case: f is surjective. By Chevalley’s theorem (5.1.3) there is a rational representation
r: G ® GL(V)
such that the closed subgroup N of G is the stabilizer of a line k×v Í V,
(*)					N = {gÎG | r(g)vÎk×v}.
If gÎB we have r(g)v = v (homomorphisms B ® G must be trivial since G has no unipotent elements)
If tÎT, write t = xtxt (we assume that f is surjective). One sees that, again, r(t)v = v (use (*), i.e., v is an eigen vector of x and t).
Thus r(B)v = v and there is a morphism G/B ® V, gB a r(g)v. Since G/B is complete and V is affine, this morphism must be constant, i.e., r(g)v = v for all g, i.e., G = N. But then by Exercise (7.2.11)(2) B = N = N. This completes the proof of the theorem.

QED.
7.3.8 Der Normalisater einer parabolischen Untergruppe, Zusammenhang
Let G be connected and let PÍG be a parabolic subgroup. Then
NP = P.
Moreover, P is connected.
Proof. Let BÍP be a Borel subgroup. If xÎNP, then xBx is also a Borel subgroup of P, hence there is some yÎP with xBx = yBy (by 7.2.6(iii)). Then yx normalizes B, hence is in B by (7.3.7). In particular yxÎP hence xÎP. This proves the claim.
QED.
7.3.9 Konjugierte parabolische Untergruppen, die eine Borel-Untergruppe enthalten
Let G be connected and let P,QÍG be parabolic subgroups containing a Borel subgroup B.
Then, if P and Q are conjugate in G, P = Q.
Proof. Let Q = xPx. Then B and xBx are both Borel subgroups of Q, hence xBx = yBy for some yÎQ. Then yx normalizes B, hence lies in B, hence in Q, hence xÎQ. But then P = Q as claimed.
QED.
7.3.10 Die Varietät der Borel-Untergruppen
Sei G eine zusammenhängende lineare algebraische Gruppen und bezeichne
B= B(G)
 die Menge der Borel-Untergruppen von G. Fixieren wir ein BÎB und betrachten wir die Abbildung
G/B ® B, gBagBg.
Die Abbildung ist wohldefiniert (da B eine Gruppe ist). Sie ist surjektiv, da je zwei Borel-Untergruppen konjugiert sind (nach 7.2.6(iii)), und sie ist injektiv wegen NB = B (nach 7.3.7). Mit Hilfe dieser Abbildung können wir auf B die Struktur einer projektiven Varietät definieren. Da je zwei Borel-Untergruppen konjugiert sind, B’ = gBg, und die Konjugation mit g einen Isomorphismus G/B ® G/B’ definiert, ist diese Struktur von B sogar unabhängig von der speziellen Wahl von B. Wir haben auf diese Weise die Varietät der Borel-Untergruppen von G definiert. Diese ist ein homogener Raum bezüglich G.

Allgemeiner können wir für jede parabolische Untergruppe P B von G auf der Menge 
P = P(P)
der zu P konjugierten Untergruppen die Struktur einer projektiven Varietät definieren. Es besteht dann eine Surjektion
(G/B @) B ® P (@ G/P) ,
welche ein Morphismus von homogenen Räumen über G ist.
7.3.11 Aufgaben
Im folgenden sei G eine zusammenhängende lineare algebraische Gruppe.
(1)	Ein Element xÎG heißt regulär, wenn die Vielfachheit des Eigenwertes 1 von Ad(x) minimal ist.
(1a)	Die regulären Elemente von G bilden eine nicht-leere offene Untermenge von G.
(1b)	Ein Element x ist genau dann regulär, wenn der halbeinfache Teil von x regulär ist.
(1c)	Ein halbeinfaches Element x ist genau dann regulär, wenn der Zentralisator von x minimale Dimension hat (man benutze 4.4.4(ii)).
(1d)	Ein halbeinfaches Element x ist genau dann regulär, wenn Z(x) eine Cartan-Untergruppe von G ist. (Hinweis: man verwende 7.3.2 und 7.3.3(ii)).
(2a)	Eine abgeschlossene nilpotente Untergruppe CÍG mit C=(NC) ist eine Cartan-Untergruppe (Hinweis: man benutze 6.16(2)).
(2b)	Sei C eine maximale nilpotente Untergruppe von G mit der Eigenschaft , daß jede Untergruppe mit endlichen Index in C einen endlichen Index in ihrem Normalisator hat. Dann ist C eine Cartan-Untergruppe. (Dies ist eine gruppentheoretische Charakterisierung der Cartan-Untergruppen. Hinweis für einen Beweis: man zeige, die Abschließung einer nilpotenten Untergruppe of G ist nilpotent. Man schlußfolgere, C ist abgeschlossen, und weiter, C genügt den Bedingungen von (a))

Lösungen
(1a)	Sei G in den affinen Raum eingebettet. Dann ist die Konjugation mit g,
G ® G, xagxg =: f(x,g),
	eine in x und g reguläre Funktion. Ihr Differential in x=e,
Ad(g): TG ® TG
	ist durch eine Matrix gegeben, die in regulärer Weise von g abhängt. Dasselbe gilt von der Matrix Ad(g)-l×Id, also auch vom charakteristischen Polynom p(l). Die Bedingung, daß p(l) die n-fache Nullstelle 1 haben soll, bedeutet, p(l) ist an der Stelle 1 zusammen mit seinen ersten n-1 Ableitungen Null. Dies ist eine abgeschlossene Bedingung, d.h. die Forderung, daß die Anzahl der Eigenwerte von g nicht minimal sein soll ist abgeschlossen.
(1b)	Sei x=s×u die Jordan-Zerlegung. Sei G in GL, und zwar derart, daß x, s und u obere Dreiecksgestalt bekommen (das ist möglich, da s und u kommutieren). Dann hat u lauter Einsen auf der Hauptdialgonalen, d.h. x und s haben den Eigenwert 1 mit derselben Vielfachheit.
(1c)	Sei gÎG halbeinfach. Nach 4.4.4 ist der Morphismus
G ® G, x a gxgx,
	separabel. Die Faser über e hat deshalb dieselbe Dimension wie der Kern des Differentials Ad(g)-1:TG ® TG. Letztere Dimension ist aber die Vielfachheit des Eigenwertes 1. Die regulären halbeinfache Elemente g sind also diejenigen mit
dim {xÎG |  gxgx = e} = min.
	Links steht aber die Dimension des Zentralisators von g.
(1d)	Sei g halbeinfach. Wir wählen einen maximalen Torus T mit gÎT (das ist möglich nach 7.3.3(ii)). Dann gilt
Z(T) Í Z(g).
	Nach 7.3.2 gibt es weiter ein g’ÎT mit
Z(g’) = Z(T) Í Z(g).
	Nach (1c) ist g genau dann regulär, wenn überall das Gleichheitszeichen gilt, d.h. wenn Z(g) eine Cartan-Untergruppe ist.
(2a)	Nach Annahme ist C abgeschlossen nilpotent und zusammenhängend. Nach Ex. 6.16(2) genügt es zu zeigen, C=NC, d.h. es genügt zu zeigen, NC ist zusammenhängend.
7.3.12 Notes
8. Linear action of a torus on a projective variety
8.1 Fixpunkte
8.1.1 Bezeichnungen und Vereinbarungen (1-dimensionaler Fall)
Sei r: G®GL(V) eine rationale Darstellung. Diese definiert eine Operation der multiplikativen Gruppe G auf der Projektivierung P(V) von V,
G´P(V) ® P(V), (g,x) a g×x.
Sei
XÍP(V)
eine abgeschlossene Teilvarietät, die unter der Operation von G stabil ist. Wir identifizieren im folgenden G als die Teilmenge
G = P-{0,∞}
der projektiven Geraden.
8.1.2 Fixpunkte und assymptotische Limites von G-Orbits
(i)	For jeden Punkt xÎX kann die Orbitalabbildung G®X, g a g×x, auf die ganze projektive Gerade fortgesetzt werden. Bezeichnungsweise:
P®X, g a g×x.
(ii)	Für jedes xÎX sind die Punkte 0×x und ∞×x Fixpunkte von G auf X. Weiter gilt 0×x = ∞×x genau dann, wenn xÎX ein Fixpunkt ist.
Beweis. Wir wählen eine Basis {e} von V, auf der G durch Multiplikation mit Charakteren operiert,
r(g)e = ge
mit mÎZ wobei gelte
m ≥ m ≥ ... ≥ m.
Sei vÎV. Wir schreiben v in der Gestalt
v = ve mit v¹0, v¹0.
Ist x = [v] der zugehörige Punkt im projektiven Raum P(V), so gilt
	g×x	=  [gve ]  = f(g) = h(g)
mit
	f(g)	:=  [gve]
	h(g)	:= [gve ]
Durch f ung h sind Abbildungen A®P(V) definiert mit f(g) = h(g) für g¹0. Sei können verheftet werden zu einer Abbildung
f: ®P(V) mit f(0) = [ve] und f(∞) = [ve].
Dies ist der in (i) beschriebene Morphismus. Nach Konstruktion sind 0×x = f(0) und ∞×x = f(∞) Fixpunkte. Die Bedingung 0×x = ∞×x bedeutet, daß alle m mit v¹0 gleich sind. Das ist aber gleichbedeutend damit, daß x ein Fixpunkt ist.
QED.
8.1.3 Bezeichnungen (algemeine Dimension)
Wir werden unten ein ähnliches Ergebnis wie in 8.1.2 für beliegige Tori beweisen, indem wir den allgemeinen Fall auf den 1-dimensionalen zurückführen.

Sei T ein Torus und
r: T ® GL(V)
eine rationale Darstellung. Diese Darstellung definiert eine Operation
T´P(V) ® P(V), (t,x) a t×x.
Sei
Y Í P(V)
eine T-stabile Teilvarietät von P(V). Bezeichnungen:

X := X*(T)	Gruppe der Charaktere von T, d.h. der Homomorphismen T®G.
X:=X(T)	Gruppe der 1-parametrigen Untergruppen von T, d.h. der Homomorphismen G®T.
Wir wissen nach den Ergebnissen des 2. Kapitels (2.5.1), X und x sind freie abelsche Gruppen endlichen Rangs. Zwischen ihnen besteht eine Paarung
(,): X´X ® Z, (c, l) a <c, l>
mit c(l(g)) = g.
8.1.4 Einschränkung auf 1-dimensionale Untergruppen bei Erhaltung der Fixpunkt-Menge
Seien T ein Torus, r: G ® GL(V) eine rationale Darstellung und
YÍP(V)
eine T-stabile Teilvarietät bezüglich der induzierten Operation auf dem projektiven Raum. Dann gibt es endlich viele Charaktere
c,...,cÎX
derart daß für alle lÎX mit
<c, l > ¹0 für i = 1,...,r
die Fixpunkte in Y der eingeschränkten Operation 
r°l: G ® T ® GL(V)
dieselben sind wie die von r: T ® GL(V).
Beweis. Für cÎX sei
V := {vÎV | r(t)v = c(t)v für alle tÎT}
der Eigenraum zum Charakter c. Dann ist V die direkte Summe zu endlich vielen solchen (von Null verschiedenen) Eigenräumen. Die Fixpunkte von T auf P(V) sind gerade die Punkte [v] welche in einem solchen Eigenraum liegen.Der eindimensionale Torus G, der über r°l auf P(V) operiert hat genau dann dieselben Fixpunkte wie T, wenn alle Einschränkungen verschiedener Charaktere die in der Zerlegung von V auftreten, verschieden bleiben, d.h. die
c(l(g)) = g
müssen paarweise verschieden sein, d.h. <c, l> ¹ <c’, l> falls c und c’ verschiedene Charaktere nichtrivialen Eigenräumen sind. Mit anderen Worten, die notwendigen und hinreichenden Bedingungen sind
<c - c’, l> ¹ 0.
QED.
8.1.5 Operation auf irreduziblen Varietäten
Seien T ein Torus, r: G ® GL(V) eine rationale Darstellung und
YÍP(V)
eine T-stabile Teilvarietät bezüglich der induzierten Operation auf dem projektiven Raum. Die Varietät Y sei irreduzibel und in keinem echten linearen Unterraum P(W)ÍP(V) enthalten. Dann gilt
(i)	Ist dim Y ≥ 1, so hat T wenigstens 2 Fixpunkte auf Y.
(ii)	Ist dim Y ≥ 2, so hat T wenigstens 3 Fixpunkte auf Y.
Beweis. (i). Nach 8.1.4 können wir annehmen, T= G. Wenn alle Punkte von Y Fixpunkte sind, ist die Aussage trivial. Sei also yÎY, welcher kein Fixpunkt ist. Dann sind 0×y und ∞×y nach 8.1.2 zwei verschiedene Fixpunkte.
(ii). Wir wählen die Bezeichnungen wie im Beweis von 8.1.2. Sei W der von e,...,e erzeugte Unterraum von V. Da P(V)-P(W) isomorph zum affinen Raum A ist, kann Y nicht ganz in P(V)-P(W) liegen. Also ist
YÇP(W)
eine nicht-leere projektive Varietät einer Dimension ≥1, welche stabil unter der betrachteten Operation ist (nach Wahl der e). Nach dem ersten Teil gibt es in diesem Durchschnitt mindestens 2 Fixpunkte. Um noch einen dritten Fixpunkt zu finden, wählen wir ein
xÎY-P(W).
Dann ist ∞×x ein Fixpunkt. Dieser liegt nach Wahl der Vektoren e nicht in P(W), ist also von den bereits gefundenen Fixpunkten verschieden.

QED.
8.1.6 Die Weyl-Gruppe
Seien G eine zusammnenhängende lineare algebraische Gruppe und T ein maximaler Torus von G. Die Weyl-Gruppe von G bezüglich T ist definiert als die endliche Gruppe
W := NT/ZT
(vgl. 2.5.11). Weiter bezeichne B die Varietät der Borel-Untergruppen von G (7.3.10) und B die Menge der Fixpunkte von T auf B, d.h. die Menge der Borel-Untergruppen, die den Torus T enthalten. 
Bemerkungen
(i)	Die Elemente von NT operieren durch Konjugation auf T. Die induzierten Abbildungen sind Automorphismen der algebraischen Gruppe T. Deshalb kann man W(T) als eine Untergruppe der Automorphismengruppe von T auffassen,
W(T) Í Aut(T).
(ii)	Offensichtlich operiert NT auf B. Auf Grund des nachfolgenden Ergebnisses induziert diese Operation eine Operation der Weyl-Gruppe auf B.
8.1.7 Die Operation Weyl-Gruppe auf B
Seien G eine zusammnenhängende lineare algebraische Gruppe und T ein maximaler Torus von G.
(i)	Der Zentralisator ZT operiert trivial auf B.
(ii)	Die Operation von NT auf B definiert eine einfach transitive Operation der Weyl-Gruppe auf B.
Beweis. Zu (i). Sei BÎB und gÎZT. Das erste bedeutet TÍB. Nach 7.3.6(ii) gilt dann gÎZTÍB, also gBg = B, d.h. g operiert auf BÎB trivial.
Zu (ii). Seien B, B’ÎB zwei Borel-Untergruppen, d.h. sei B T und B’ T. Nach 7.2.6(iii) gibt es ein xÎG mit
B’ = xBx ( T).
Also ist xTx Í B. Nach 6.11(iii) existiert ein bÎB  mit xTx = bTb, d.h. mit 
n := xbÎNT.
Wegen bÎB gilt
nBn =  xBx = B’.
Wir haben gezeigt, W operiert transitiv auf B. Sei jetzt nÎNT ein Element mit nBn=B. Nach 7.3.7 gilt dann nÎNB = B, also
		nÎNTÇB	= NT		(tivial)
				= ZT		(nach 6.12(ii)).
Das Element n repräsentiert das neutrale Element der Weyl-Gruppe. Die Operation von W ist also einfach transitiv.
QED.
8.1.8 Fixpunkte parabolischer Untergruppen, kleine Weyl-Gruppen und Erzeuger von G
Seien G eine zusammenhängende lineare algebraische Gruppe und TÍG ein maximaler Torus.
(i)	Ist PÍG eine echte parabolische Untergruppe, so hat T auf G/P mindestens 2 Fixpunkte und im Fall dim G/P>1 sogar mindestens 3.
(ii)	W(T) = {e} Û G ist auflösbar.
(iii)	Im Fall #W(T) = 2 gilt dim B = 1.
(iv)	G wird von den Borel-Untergruppen B, welche T enthalten, erzeugt.
Beweis. Zu (i). Nach dem Satz von Chevalley 5.1.3 gibt es eine rationale Darstellung
r: G®GL(V)
und eine Gerade LÍV durch den Ursprung derart, daß G/P gerade das G-Orbit von L in P(V) ist. Aussage (i) ergibt sich damit aus 8.1.5.
Zu (ii). Die Implikation “Ü” gilt nach 6.12(ii). Sei jetzt umgekehrt W trivial. Angenommen G ist nicht auflösbar. Dann gibt es eine echte Borel-Untergruppe B in G,
BÍG, B¹G.
Nach (i) hat T mindestens zwei Fixpunkte auf G/B, d.h. es #B ≥ 2. Da W transitiv auf B operiert (nach 8.1.7), kann W dann nicht trivial sein.
Zu (iii). Weil W einfach transitiv auf B operiert, gilt #B = 2. Nach (i) folgt dim G/B ≤1. Der Fall dim G/B<1 ist aber nicht möglich, weil dann G auflösbar wäre, also nach (ii) #W=1 gelten würde. Also gilt dim G/B = 1. Das ist aber die Aussage von (iii).
Zu (iv). Wir führen den Beweis durch Induktion nach dim G. Im Fall dim G = 0, d.h. G= {e} ist nichts zu beweisen. Sei Q die Untergruppe, welche von den Borel-Untergruppen BÎB erzeugt wird. Nach 6.1(ii) und (i) ist Q zusammenhängend und abgeschlossen. Da Q eine Borel-Untergruppe enthält, ist Q parabolisch (7.2.6(i)). Angenommen, es ist Q¹G. Nach (i) hat T auf G/Q mindestens 2 Fixpunkte. Identifiziert man G/Q mit der Varietät der zu Q konjugierten parabolischen Untergruppen (7.3.10), so sind die Fixpunte von T gerade die zu Q konjugierten parabolischen Untergruppen Q’ mit
tQ’t = Q’ für alle tÎT.
Wegen NQ’ = Q’ (vgl. 7.3.8) ist letztere Bedingung äquivalent zu
T Í Q’.
Mit anderen Worten es gibt ein Q’ = gQg, gÎG, mit TÍQ’¹Q. Mit Q ist auch Q’ eine echte Untergruppe. Nach Induktionsvoraussetzung bzgl. dim G gilt also
 		Q’	= <B | B Borel-Untergruppe von Q’ mit TÍB>
			Í <B | B Borel-Untergruppe von G mit TÍB>
			= Q.
Man beachte die Enthaltenseinsrelation kommt von der Tatsache, daß jede Borel-Untergruppe von Q’ in einer von G enthalten ist. Da Q’ und Q konjugiert sind, folgt aus der Inklusion, daß Q = Q’ gilt. Das widerspricht aber der Wahl von Q und Q’. Also gilt Q=G.
QED.
8.2 Gruppen vom Rang 1
8.2.1 Rang und halbeinfacher Rang
Seien G eine lineare algebraische Gruppe und T ein maximaler Torus von G. Dann ist der Rang von G definiert als die Zahl
rk G := dim T.
Der halbeinfache Rang von G ist definiert als
ss-rk G := rk G/R(G).
Dabei bezeiche R(G) wie bisher das Radikal von G (vgl. 6.14).
8.2.2 Die Situation in diesem Abschnitt
In diesem Abschnitt sei G eine lineare zusammenhängende algebraische Gruppe deren Rang gleich 1 ist,
rk G = 1,
und welche nicht auflösbar ist.
Weiter sei B eine Borel-Untergruppe von G und TÍB ein maximaler Torus von G. Mit W bezeichnen wir die zu T gehörige Weyl-Gruppe,
(1)				W := NT/ZT.
Weil G den Rang 1 hat, gilt T@G und W kann mit einer Untergruppe der Automorphismengruppe von G identifiziert werden:
(2)			W Í Aut(G) = Einheitengruppe von Z = {¶1}.
Da G nicht auflösbar sein soll, gilt nach 8.1.8(ii) sogar
(3)				W = Aut(G) = {¶1}.
Repräsentiere nÎNT das vom neutralen Element verschiedene Element von W, d.h. die Konjugation mit n ist gerade der Übergang zum Inversen,
(4)				ntn = t für alle tÎT.
Da W die Ordnung 2 hat, gilt weiter
(5)					nÎZT.
Schließlich sei U := B der unipotente Teil von B.Nach 6.11 läßt sich G/U mit einem maximalen Torus von G identifizieren, d.h. es gilt dim G/U = 1.
8.2.3 Lemma 2.2: Das Radikal
Sei G eine zusammenhängende nicht-auflösbare Gruppe vom Rang 1. Dann gilt mit den Bezeichnungen von 8.2.2.
(i)	G ist disjunkte Vereinigung der Doppelrestklassen B und U×n×B.
(ii)	RG = (UÇnUn) 			(das Radikal von G).
(iii)	dim U/UÇnUn = 1.
Beweis. Sei xÎB der dem Punkt BÎG/B entsprechende Punkt. Wegen TÌB gilt
xÎB.
Da W={e,} nach 8.1.7(ii) auf B transitiv operiert, gilt
B = {x, n×x}.
Zeigen wir zunächst, es gilt
(*)			x { Unx  É  {nx} (echte Inklusion)
Angenommen, es gilt xÎUnx. Dann gilt x = unx für ein uÎU, d.h.
B = unBnu
Wegen uÎUÍB folgt B = nBn, d.h. x = n×x, was im Widerspruch steht zur Transitivität der Operation von W auf B. Dies beweist die linke Hälfte von (*). Angenommen, es gilt Unx = {nx}, d.h.,
unBnu = nBn für alle uÎU.
Dann ist UÍN(nBn) = nBn (vgl. 7.3.7). Wegen nÎNT gilt außerdem T Í nBn, also nach 6.11 auch
B = U×T Í nBn.
Dann ist aber B = nBn, d.h. x = n×x. Dieser Widerspruch beweist (*). 
Als stetiges Bild von B ist Unx zusammenhängend (6.11) und ¹{nx}, also mindestens eindimensional,
dim Unx ≥ 1.
Nun liegt Unx ganz im 1-dimensionalen Raum B @ G/B, d.h. Unx enthält eine dichte offene Teilmenge. Da offene Mengen im 1-dimensionalen Fall Komplemente von endlichen Mengen sind, ist Unx offene dichte Teilmenge von B,
Unx = B - S mit S endlich.
Zeigen wir, die Menge Unx ist stabil unter T, d.h.
TUnx = Unx.
Die Inklusion “ ” ist trivial. Zum Beweis von “Í” betrachten wir Elemente uÎU und tÎT. Es gilt
tunx = tuttnxÎUnx
(denn tut ist unipotent, also in B und nx ist fest bei T). Damit ist gezeigt, daß T die Menge Unx stabilisiert. Dann ist  aber auch das Komplement S stabil unter T. Da S endlich ist und T zusammenhängend, sind die Elemente von S Fixpunkte unter T, d.h.
S Í {x, n×x}.
Wegen (*) gilt {x} Í S Í {x}, d.h. S = {x}. Es gilt also
Unx = B - {x}.
Das ist aber die Aussage von (i): der Zerlegung von B in {x} und Unx entspricht gerade die Zerlegung von G in diejenigen Elemente g, welche x in die eine oder die andere Teilmenge von B abbilden. Genauer:
	G	= {gÎG| gx=x} £ {gÎG | gx Î Unx}
	= {gÎG | gBg = B } £ {gÎG | gBg = unGnu für ein uÎU}
	= N(B) £ {gÎG | (un)g Î N(B) = B }
	= B £ {gÎG | gÎunB für ein uÎU}
	= B £ UnB
Zu (iii). Die Menge Unx = B - {x} ist ein homogener Raum von U. Der Stabilisator von nx ist gerade
UÇnUn
(unx = nx Û nunx = x Û nun Î N(B) = B Û uÎnUn). Also gilt
U/UÇnUn @ Unx = offen und dicht in G/B.
Insbesondere ist dim U/UÇnUn = 1.
Zu (ii). Es gilt nach (iii)
dim U/(UÇnUn) = dim U/(UÇnUn) = 1.
Nach Übungsaufgabe 6.6(3) gilt für jede echte abgeschlossene zusammenhängende Untergruppe HÍG einer zusammenhängenden nilpotenten Gruppe G stets dim H<dim NH. Im Fall dim G/H = 1 ist also H automatisch normal. Angewandt auf unsere Situation erhalten wir daraus, daß
(UÇnUn) normal in U
ist. Diese Untergruppe wird auch normalisiert durch n (denn {B, nBn} ist das Orbit von B bei W={e,}) und durch T (denn {B, nBn} sind die Fixpunkte von T ). Also wird sie auch normalisiert von
B = U×T und nBn.
Nun wird G nach 8.1.8 erzeugt von B und nBn, d.h. (UÇnUn) ist normal in G. Damit gilt (UÇnUn) Í RG. Trivialerweise gilt RG Í (BÇnBn), zusammen also
(UÇnUn) Í RG Í (BÇnBn).
Die Gruppen in dieser Kette können sich in der Dimesion um höchstens 1 unterscheiden (wegen dim T =1). Also muß bei einer der beiden Inklusionen das Gleichheitszeichen gelten. Zum Beweis von (ii) genügt es also zu zeigen, RG ¹ (BÇnBn). Dazu wiederum genügt es zu zeigen, T liegt nicht in RG. Wäre TÍRG, so würden alle Konjugiert von T auch in RG liegen, also auch in BÇnBn, also auch in B. Dann würden aber auch alle Konjugierten von B den Torus T enthalten, d.h. es wäre
B = B.
Das ist aber nicht möglich, denn die Menge links ist endlich, und die rechts 1-dimensional.
QED.
8.2.4 Lemma 8.2.3: Die Zerlegung der Lie-Algebra
Sei G eine zusammenhängende halbeinfache nicht-auflösbare Gruppe vom Rang 1. Dann gilt mit den Bezeichnungen von 8.2.2:
(i)	ZT = T und UÇnUn = {e}.
(ii)	Es gibt einen von Null verschiedenen rationalen Charakter a:T®G mit
Lie(G) = Lie(T)Lie(G)Lie(G).
	Dabei sei Lie(G):= {XÎLie(G) | Ad(t)X = b(t)X für alle tÎT}. Die direkten Summanden der Zerlegung sind 1-dimensional und es gilt
Lie(G) = Lie(U) und Lie(G) = Lie(nUn).
(iii)	Die Abbildung U´B®UnB = G-B, (u,b)aunb, ist ein Isomorphismus von Varietäten.
Beweis. Zu (i). Da G halbeinfach ist, gilt RG = {e}. Nach 8.2.3(ii) ist deshalb
(UÇnUn) = RG = {e}.
Der Durchschnitt UÇnUn ist deshalb endlich. Nach 8.2.3 ist dim U/(UÇnUn) = 1, also gilt
dim U = 1.
Die Produktabbildung U´T®B ist nach 6.11 ein Isomorphismus. Wegen dim T = 1 folgt
dim B = 2.
Betrachten wir die Inklusionen
					T Í ZT Í B.
Die linke Inklusion ist trivial. Die rechte folgt aus 7.3.6. Die rechte Inklusion ist sogar echt, denn andernfalls wäre B=ZT nilpotent (7.2.10), also nach 7.2.9 G=B, d.h. G wäre auflösbar im Widerspruch zu unseren Annahmen. Da sich T und B in der Dimension nur um 1 unterscheiden und ZT zusammenhängend ist (7.3.5) folgt aus der Echtheit der rechten Inklusion, daß links das Gleichheitzeichen gelten muß:
T = ZT.
Damit ist der erste Teil von (i) bewiesen. Zum Beweis des verbleibenden Teils beachten wir, daß {B, nBn} nach 8.1.7 und 8.2.2 gerade die Menge der Fixpunkte von T auf der Varietät B der Borel-Untergruppen ist. Insbesondere operiert T (durch Konsjugation) auf B und auf nBn also auch auf den Normalteilern U und nUn von B bzw. nBn, also auch auf
UÇnUn.
Letzterer Durchschnitt ist endlich (wie wir am Anfang des Beweises gesehen haben). Da T zusammenhängend ist, muß die Operation von T auf dieser Menge trivial sein, d.h. es gilt
UÇnUn Í ZT = T.
Der Durchschnitt links besteht also aus unipotenten Elementen, die gleichzeitig halbeinfach sind. Also muß gelten UÇnUn = {e}.
Zu (ii). Wie wir in (i) gesehen haben, hat die unipotente Gruppe U die Dimension 1. Nach 2.6.6 gilt deshalb
U @ G .
Wir fixieren einen Isomorphismus
x: G ® U.
Die Konjugation von Elementen aus T induziert eine Operation von T auf G. Da die Automorphismen von G = 	A durch lineare homogene Polynome des Grades 1 gegeben sind, ist dies eine Operation mit Hilfe eines Charakters, d.h. es gibt einen Charakter 
a: T®G
mit
(1)			x(a(t)x) = t×x(x)×t für alle tÎT und alle xÎG.
Die Operation von T auf U ist nicht-trivial (sonst wäre UÍZT = T, also U={e} im Widerspruch zu dim U =1), d.h. es gilt
a ¹ 0,
d.h. a ist nicht der triviale Charakter x a 1. Der Isomorphismus x induziert einen Isomorphismus der Lie-Algebren
dx: Lie(G) ® Lie(U).
Wegen (1) wirkt die Einschränkung der adjungierte Darstellung von G auf T auf der Teilalgebra L(U) = Im(dx) gerade durch Multiplikation mit dem Charakter a,
Ad(t)X = a(t)X für tÎT und XÎLie(U) (ÍLie(G)).
Mit anderen Worten, es gilt
(2)					Lie(U) Í Lie(G) .
Konjugation mit n bildet B auf nBn ab. Also ist
Lie(nBn) = Ad(n)Lie(B)
und für XÎLie(B) und tÎT gilt
	Ad(t)Ad(n)X	= Ad(tn)X
			= Ad(nt)X	(nach 8.2.2 (4) gilt ntn = t)
			= Ad(n)Ad(t)X
			= Ad(n)a(t)X
			= a(t)Ad(n)X.
Wir haben gezeigt, es gilt
(3)				Lie(nUn) = Ad(n)Lie(B) Í Lie(G) .
Schließtlich gilt, da T kommutativ ist,
(4)					Lie(T) Í Lie(G)
Damit haben wir Eigenräume von Lie(G) zu drei verschiedenen Charakteren gefunden,
(5)			Lie(G)Lie(T)Lie(G) Í Lie(G).
Nach (2), (3) und (4) ist jeder dieser Eigenräume mindestens 1-dimensional. Zum Beweis von (ii) genügt es deshalb zu zeigen, daß G höchstens 3-dimensional ist (so daß in (2), (3), (4) und (5) das Gleichheitszeichen gilt).
Nach 8.2.3(i) gilt
G = BÈUnB.
Wegen dim U = 1 und dim B = 2 folgt daraus aber gerade dim G ≤ 3.
Zu (iii). Nach 8.2.3(i) ist die Abbildung
U´B®UnB = G-B, (u,b)aunb,
wohldefiniert. Durch Zusammensetzen mit den Isomorphismen
nUn´B®U´B, (v,b) a (nvn,b),
und
G ® G, g a ng,
erhalten wir einen Morphismus
j: nUn´B ® G-nB, (v,b) a vb.
Es reicht zu zeigen, letzterer ist ein Isomorphismus. Sei V := nUn. Wir führen auf Quelle und Ziel von j folgende Operationen von V´B ein, bezüglich welcher j offensichtliche äquivariant ist.
Operation von V´B auf sich:
(V´B)´(V´B) ® V´B, ((v’,b’),(v,b)) a (v’v, bb’)
Operation von V´B auf G:
(V´B)´G ® G, ((v’,b’), g) a v’gb’
Operation von V´B auf G-nB: Es reicht zu zeigen, die letzte Operation überführt nB in sich. Wir haben zu zeigen, für bÎB, v’ÎV, b’ÎB gilt
v’nbb’ÎnB.
Wir schreiben v’ÎV = nUn in der Gestalt v’ = nu’n mit u’ÎU. Dann gilt
v’nbb’ = nu’nnbb’ = nu’bb’ÎnB.
Surjektivität von j: Es gilt
Im(j) = VB = nUnB = nUnB = G-nB	(vgl. 8.2.3(i)).
Die Operation von V´B auf sich selbst ist offensichtlich transitiv, d.h. V´B ist ein homogener Raum. Dann ist aber auch Im(j) = G-nB ein homogener Raum. Zum Beweis der Isomorphie von j fehlen damit noch die folgenden Aussagen (vgl. 4.3.3(iii)).
1.	j ist bijektiv.
2.	Tj ist bijektiv.
Zu 1: Die Surjektivität von j haben wir bereits gezeigt. Beweisen wir die Injektivität. Sei (v,b)ÎV´B und j(v, b) = e, d.h. vb = e. Dann gilt
v = b Î B,
und weil v Î V = nUn unipotent ist, sogar
v = b Î B = U.
Damit ist nach (i) auch
v Î VÇU = nUnÇU = {e}
also v = e und b = v = e.
Zu 2: Es gilt nach (ii)
Lie(V) = Lie(nUn) = Lie(G)
Lie(B) = Lie(UT) = Lie(G)Lie(T)
also
Lie(G) = Lie(G)Lie(T)Lie(G) = Lie(V´B).
Die durch j:V´B®(G-nB), (v,b)avb, auf den Lie-Algebren induzierte Abbildung
dj:Lie(V)´Lie(B) ® Lie(G)
ist gerade die Addition. Identifiziert man Lie(V´B) mit der zugehörigen Teilalgebra von Lie(G), so wird diese Addition zur identischen Abbildung. Also ist dj bijektiv.
QED.
8.2.5 Theorem 8.2.4: Klassifikation der halbeinfachen Gruppen vom Rang 1
Sei G eine zusammenhängende halbeinfache Gruppe vom Rang 1. Dann gilt G @ SL(2,k) oder G @ PSL(2,k).
Beweis. G ist nicht auflösbar, denn dann würde aus der Halbeinfachheit folgen G = {e} folgen, was mit dem Rang 1 nicht vereinbar ist. Wir fixieren folgende Daten.
T	ein maximaler Torus.
B	eine Boreluntergruppe mit TÍB.
U	:= B der unitpotente Teil von B
y:G®T	einen Isomorphismus (existiert, weil G den Rang 1 hat)
x:G®U	einen Isomorphismus (existiert nach 8.2.3(iii) und 8.2.4(i))
W	:= NT/ZT	die Weilgruppe zu T (hat die Ordnung 2 nach 8.2.2)
n	ÎNT - ZT, Repräsentant eines Erzeugers von W = {e, }, vgl. 8.2.2
Der Torus T operiert durch einen Charakter auf U:
(1)		y(h)x(x)y(h) = x(h×x) für hÎk*, xÎk	
Die Operation von T auf B ist nicht-trivial, denn sonst wäre U Í ZT = T, also U={e} im Widerspruch zu dim U =1). Also gilt a¹0. Wir können annehmen, es gilt
a>0
(andernfalls könnten wir den Isomorphismus y abändern). Weiter ist nach 8.2.2(4):
(2)		n×y(h)×n = y(h) für hÎk*	
und, da die Weilgruppe die Ordnung 2 hat,
nÎZ(T) = T.
Wir wählen ein eÎk* derart, daß gilt
(3)		n=y(e)	
Damit gilt nach (2) und (3)
	y(e)	= ny(e)n	(nach (3))
		= y(e)	(nach (2))
also
	y(e) = y(e)
also
(4)		e = 1	
Die Isomophismen von 611(iv) und 8.2.4(iii) liefern einen Isomorphismus
(5)	G´G´G ® U´B                  ®    G-B,
	(x,h,z)       a  (x(x),y(h)x(z)) a x(x)ny(h)x(z).
Bemerkungen zur Beweisidee
(i)	Seien G eine (abstrakte) Gruppe, N Í G ein Normalteiler und HÍG eine Untergruppe derart, daß die Multiplikation
N´H ® G, (n,h) a nh
	bijektiv ist. Die Gruppenstruktur von G ist dann vollständig bestimmt, wenn wir die Gruppenstrukturen von N und H kennen und die Operation von H auf N durch Konjugation. G ist dann halbdirektes Produkt von N und H. Mit anderen Worten, um das Produkt von zwei Elementen nh und n’h’ zu kennen,
(nh)(n’h’) = (n(hn’h))(hh’),
	müssen wir die Multiplikation in jedem der Faktoren kennen und die Operation von H auf N durch Konjugation.
(ii)	Die hier vorliegende Situation ist mit der eben geschilderten vergleichbar. Der Isormorphismus (5) definiert G im wesentlichen als Varietät (genauer eine offene dichte Teilmenge von G).

	Zur Konstruktion eines Isomorphismus von G mit einer anderen Gruppe, werden wir diesen zunächst auf G-B definieren und dann zeigen, er läßt sich auf ganz G fortsetzen.
	Dann haben wir zu zeigen, daß bei beiden Gruppen die Produktbildung in derselben Weise erfolgt. Zu diesem Zweck haben wir zu beschreiben, wie sich zwei Produkte der
(1)						x(x)ny(h)x(z)
	multiplizieren (auf ganz G ergibt sich dann die Produktbildung durch Grenzübergang). Zur Beschreibung des Produkts zweier Elemente der Gestalt (1) benötigen wir folgende Daten:
1.	Die Beschreibung der Produktbildung von je zwei x(x) und y(h).
2.	Die Beschreibung der Operation der y(h) auf den x(x) durch Konjugation (d.h. der Art wie die x(x) mit den y(h) kommutieren, vgl. (1)).
3.	Die Beschreibung der Operation von n auf den y(h) durch Konjugation (vgl. (2)).
4.	Die Beschreibung der Operation von n auf den x(x) durch Konjugation.

	Mit Ausnahme von 4. haben wir bereits alle diese Daten (abgesehen von der konkreten Bestimmung der Zahlen a und e). Der nachfolgende Beweis wird im wesentlichen in der Suche nach der konkreten Beschreibung der Konjugation von n auf den x(x) bestehen.

Wir betrachten jetzt die algebraische Varietät G als offene Teilvarietät von G und betrachten ein Element
x Î G - {0} = G .
Nach 8.2.4(i) ist UÇnUn = {e}. Deshalb gilt nx(x)n { U. Da das Element nx(x)n unipotent ist, folgt damit sogar
(6)					nx(x)n{ B.
Mit anderen Worten es gilt nx(x)nÎG-B. Wegen des Isomorphismus (5) gibt es reguläre  Funktionen f,g,h auf G(ÍG)
f: G ® G, g: G ® G , h: G ® G
mit 
(7)			nx(x)n = x(f(x))ny(g(x))x(h(x)) für x¹0.

Die Funktionen f,g,h sind durch diese Bedingung eindeutig bestimmt.

Bemerkung
Wie auf Grund der obigen Bemerkungen zu erwarten ist, wird die Gruppenstruktur von G durch die Formeln (1), (2), (3) und (7) eindeutig bestimmt, d.h. sie ist festgelegt durch die Konstanten aÎN und e = ¶1 und die Funktionen f, g und h.

Um die Funktionen f, g und h genauer zu bestimmen, konjugieren wir jetzt beide Seiten von (7) mit y(h). Wir erhalten:
LHS von y(h)(7)y(h):
	y(h)nx(x)ny(h)	= y(h)nx(x)ny(h)
			= ny(h)x(x)y(h)n				(nach (2))
			= n×x(h×x)×n					(nach (1))
			= x(f(h×x))ny(g(h×x))x(h(h×x))	(nach (7)).
RHS von y(h)(7)y(h):
	y(h)x(f(x))ny(g(x))x(h(x))y(h)
		= x(h×f(x))y(h)ny(g(x))y(h) x(h×h(x))	(nach (1))
		= x(h×f(x))×n×y(h)y(g(x))y(h) x(h×h(x)) (nach (2))
				= x(h×f(x))×n×y(h×g(x))×x(h×h(x))
Vergleich der beiden Seiten liefert, da f,g,h durch (7) eindeutig bestimmt sind,
(8a)		f(h×x)	= h×f(x)
(8b)		g(h×x)	= h×g(x)
(8c)		h(h×x)	= h×h(x)
für alle x, h Î k*. Nun sind f,g,h reguläre Funktionen auf G, d.h. Elemente von
k[G]= k[x, x].
Die Relationen (8) implizieren, daß es sich um homogene Elemente handelt:
(9a)		f(x)	= a×x
(9b)		h(x)	= b×x
Aus (8b) erhalten wir, indem wir x=1 setzen h×g(1) = g(h), also
(9c)		g(h)	= h×g(1), a= 1 oder 2, g homogen.
Um weitere Relationen für f,g,h zu erhalten, ersetzen wir beide Seiten von (7) durch ihr Inverses. Wir erhalten
LHS von (7):
	nx(-x)n	= x(f(-x))ny(g(-x))x(h(-x))
RHS von (7):
	x(h(x))y(g(x))nx(f(x))
			= x(-h(x))y(g(x))nx(-f(x))
			= x(-h(x))ny(g(x))x(-f(x))	(nach (2))
			= x(-h(x))ny(eg(x))x(-f(x))	(nach (4) und (3))
Vergleich der beiden Seiten liefert
	f(-x)	= -h(x)
	g(-x)	= eg(x)
	h(-x)	= -f(x)
Zusammen mit (9) ergibt sich daraus:
(10)		a = b und g(-x)	= eg(x)
Wir unterscheiden jetzt vorübergehend die beiden Fäll a=1 und a=2. 
1. Fall a=1. Aus (9c) folgt g(h) = h×g(1) also
(11’)		g(h) = g×h für ein gÎk*
Aus (10) erhalten wir g×h = e×g×h also
(12’)		e = 1.
2. Fall a=2. Aus (9c) folgt g(h) = h×g(1) also
(11”)		g(h) = g×h für ein gÎk*
Aus (10) erhalten wir g×(-h) = e×g×h also
(12”)		e = -1.
Wir behandeln jetzt wieder die beiden Fälle a=1 und a=2 gemeinsam. Wir zeigen als nächstes:

Durch Ersetzen von n durch n×y(l) mit geeigneten lÎk* kann man erreichen, daß
(13)		a = b = -1
gilt.
Die Konjugation von x(x) mit einem Element der Gestalt y(l) entspricht nach (1) der Multiplikation von x mit l. Setzt man
n×y(l)  = n’
d.h. n = n’ y(l) Formel (7) ein, so erhält man damit also
	n’x(lx)n’ = x(f(x))n’y(lg(x))x(h(x)) für x¹0.
d.h.
	n’x(x)n’ = x(f(lx))n’y(lg(lx))x(h(lx)) für x¹0.
Durch geeignete Wahl von l können wir erreichen, daß die Koeffizienten der neue homogenen Funktionen (des Grades -1)
f’(x) = f(lx) und h’(x) = h(lx)
den Koeffizienten -1 haben, d.h. wir können annehmen, es gilt (13). Relation (7) nimmt damit die folgende Gestalt an.
(14)		nx(x)n = x(-x)ny(g(x))x(-x) für x¹0.
Dabei ist
(15)		g(x) =  mit  einem gÎk*
und (vgl. 12’) und (12”)
(16)		e = 
Es fehlt uns noch eine genauere Bestimmung des Koeffizienten g. Dazu nehmen wir jetzt an, x ist ungleich 0 und -1 und wenden Formel (14) für x und x+1 und 1 an. Genauer, wir setzen die entsprechenden rechten Seiten von (14) in die Relation
nx(x+1)n = nx(x)n× nx(1)n
ein und erhalten
x(-(x+1))ny(g(x+1))x(-(x+1)) 
	= x(-x)ny(g(x))x(-x) × x(-1)ny(g(1))x(-1)
also
x(-(x+1)+ x)ny(g(x+1))x(-(x+1)+1) 
	= ny(g(x))x(-x) × x(-1)ny(g(1))
	= ny(g(x))x(-x-1)ny(g(1))
	= nx(-g(x)(x+1))y(g(x))ny(g(1))
	= nx(-g(x)(x+1))ny(g(x))y(g(1))	(nach (2))
	= nx(-g(x)(x+1))ny(g(x)g(1))
also
x(-(x+1)+ x)ny(g(x+1))x(-(x+1)+1)y(g(x)g(1))
	= nx(-g(x)(x+1))n
also
nx(-g(x)(x+1))n
	= x(-(x+1)+ x)ny(g(x+1))x(-(x+1)+1)y(g(x)/g(1))
	= x(-(x+1)+x)ny(g(x+1))y()x(()(1-(x+1)))
	= x(-(x+1)+x)ny(g(x+1))x(()(1-(x+1)))
	= x(-(x+1)+x)ny(g(x+1))x(()(x/(1+x)))
also
nx(-g(x)(x+1))n
	= x(-(x+1)+x)ny(g(x+1))x(()(x/(1+x)))n
	= x(-(x+1)+x)ny(g(x+1))x(()(x/(1+x)))y(e)
	= x(-(x+1)+x)ny(g(x+1)) y(e)x(()(x/(1+x)))
	= x(-(x+1)+x)ny(g(x+1) )x(()(x/(1+x)))
Vergleich liefert
	-(-g(x)(x+1)) = -(x+1)+x
d,h.
	-(x+1)+x	= g(x)(x+1)
Wir multiplizieren mit x(x+1) und erhalten
	- x + (x+1)		= g(x)  = g(x)×x
d.h.
(17)		g(x)		= x
Für den weiteren Beweis unterscheiden wir die Fälle a = 1 und a = 2.
1. Fall: a = 2. Wir haben g(x) = gx und e = -1. Nach (17) ist
g = 1.
Wenn wir in Formel (14) das Element n durch ny(g) ersetzen, so nimmt diese die folgende Gestalt an.
ny(g)x(x) y(g)n = x(-x)ny(gg(x))x(-x) für x¹0.
Die linke Seite ist nach Formel (1) gleich
nx(gx)n = nx(x)n
Mit anderen Worten, wir können durch diese Substitution erreichen, daß g = 1 gilt. O.B.d.A. sei also g(x) = x, Formel (14) bekommt dann die Gestalt
(18)		nx(x)n = x(-x)ny(x)x(-x) für x¹0, n = y(-1).
Betrachten wir die Abbildung
f: G ® SL
mit
f| : x(x)y(h) a 
und
f|: x(x)ny(h)x(z) a   
Formel (18)ist dann das exakte Gegenstück zur folgenden in SL geltenden Formel.
   =    
Die Multiplikation der abstrakten Gruppe G ist durch (18) und die anderen oben angegebenen Multiplikationsregeln vollständig bestimmt. Die analoge Aussage gilt für SL. Deshalb definiert f einen Isomorphismus abstrakter Gruppen. Dieser ist eine Isomorphismus algebraischer Varietäten auf G - B.
Da f ein Isormophismus abstrakter Gruppen ist, ist f auch auf jeder Verschiebung von G-B eine Isomorphismus algebraischer Varietäten. Da dieser Verschiebungen G überdecken ist f auf ganz G ein Isormophismus algebraischer Varietäten.

2. Fall a = 1. In diesem Fall gilt g(x) = x und e = 1.
Formel (14) bekommt damit die Gestalt
(19)		nx(x)n = x(-x)ny(g(x))x(-x) für x¹0.
und es ist n = y(1) = e. Wir schreiben den Koordinatenring von SL in der Gestalt
k[SL] = k[T,T,TT]/( TT-TT-1) = k[t,t,tt].
Der Koordinatenring von PSL ist nach Aufgabe 2.1.4(3) die Teilalgebra
k[PSL] Í k[SL]
die von den Produkten tt mit 1≤ i,j≤ 4 erzeugt wird, oder, anders ausgedrückt, die Invariantenalgebra bezüglich der Substitution
X a -X,
d.h. nach Definition ist
PSL = SL/{¶Id} = SL/Z(SL)
Eine andere Beschreibung der PSL ist die folgende. Die Adjungierte Darstellung von SL definiert einen Homomorphismus algebraischer Gruppen
r:SL ® Aut(sl), g a (X a gXg).
Dabei sei sl die Lie-Algebra von SL  der 2´2-Matrizen mit der Spur 0. Der Kern dieser Abbildung ist gerade das Zentrum von SL , d.h. das Bild ist PSL. Das Bild von
g = 
bei r hat bezüglich der Basis
e = , e = , e = 
die Matrix
r(g) = 
Wir definieren eine Abbildung
f: G ® PSL
mit
f| : x(x)y(h) a r()
und
f|: x(x)ny(h)x(z) a r(  ).
Wie im vorangehenden Fall zeigt man, daß f ein Isomorphismus algebraischer Gruppen ist. Die Einzelheiten seien dem Leser überlassen.
QED.
8.2.6 Aufgaben 8.2.5
(1) Sei G wie in 8.2.5. Man zeige, G hat keinen echten abgeschlossenen Normalteiler einer Dimension > 0. Insbesondere gilt
G = (G,G)
	(Kommutator-Untergruppe) und PSL ist einfach (als algebraische Gruppe).
(2)	Sei r eine nicht-triviale rationale Darstellung von SL. Dann ist
Im r
	isomorph zu SL oder PSL.
(3)	Man zeige, jede 2-dimensionale zusammenhängende lineare algebraische Gruppe ist auflösbar.
Zu (1).
Angenommen G hat einen echten abgeschlossenen Normalteiler N Ì G positiver Dimension. Wir können annehmen, N ist zusammenhängen,
N = N.
Es reicht zu zeigen, daß in dieser Situation N auflösbar sein muß, denn das steht im Widerspruch dazu, daß das Radikal (d.h. der größte auflösbare Normalteiler) der halbeinfachen Gruppe G trivial ist.
Nacht 8.2.5 gilt
dim G = 3
also dim N ≤ 2, d.h.
dim N = 1 oder dim N = 2.
Im ersten Fall ist N = G oder N = G , d.h. N ist auflösbar. Im zweiten Fall ist N auflösbar nach Aufgabe (3).
Zu G = (G,G).
Mit G ist (G,G) zusammenhängend. Wäre (G,G) null-dimensional, so wäre (G,G) = {e}, d.h. G kommutativ, was nach 8.2.5 nicht der Fall ist. Also ist dim (G, G) > 0. Nach dem eben bewiesenen Ergebnis ist dann aber (G,G) = G.
Zur Einfachheit der PSL. 
Es reicht zu zeigen, der einzige echte Normalteiler von
G = SL
ist {¶Id}. Sei N ein echter Normalteiler der SL. Wie gerade bewiesen ist dann N endlich,
# N < ∞.
Beweisidee: man zeige, G/N genügt den Bedingungen von 8.2.5 ist somit gleich SL oder PSL.
Behauptung 1: rk G/N = 1.
Da natürliche Bild eines Torus von G in G/N ist ein Torus. Deshalb gilt
rk G/N ≥ 1.
Angenommen,
rk G/N > 1.
Dann gibt es einen maximalen Torus
T’ Ì G/N mit dim T’ ≥ 2.
Sei B’ Í G/N eine Borel-Untergruppe mit T’ÍB’. Dann kann nicht
T’ = B’
gelten, denn dann wäre B’ auflösbar, also T’ = B’ = G/N, d.h.G/N wäre kommutativ, d.h. (G,G) Í N = endlich, was nicht der Fall ist. Also gilt
T’ ¹ B’
also dim B’ > dim T’ ≥ 2, also B’ = G/N, d.h. G/N ist auflösbar. Es reicht also zu zeigen:
Behauptung 2: G/N ist nicht auflösbar.
Angenommen G/N ist auflösbar. Sei T’ ein maximaler Torus von G/N. Wie oben sieht man,
T’ ¹ G/N
(denn sonst wäre G/N kommutativ, also (G,G) Í N). Dann ist aber der unipotente Anteil
U’=(G/N)
ein (zusammenhängender) Normalteiler G/N der Dimension
dim U’ = dim G/N - dim T’ = dim G - dim T’ < dim G
Das vollständige Urbild in G ist ein Normalteiler positiver Dimension von G, also nach (1) gleich G. Das ist aber wegen dim U’ < dim G nicht möglich. Wir haben gezeigt, G/N ist nicht auflösbar.
Behauptung 3. G/N ist halbeinfach
Andernfalls ware R(G/N) ein nicht-trivialer zusammenhängender Normalteiler positiver Dimension. Das vollständige Urbild in G müßte (wie oben gezeigt) gleich G sein, d.h.
dim R(G/N) = dim G = dim G/N,
d.h. G/N = R(G/B) wäre auflösbar, im Widerspruch zu Behauptung 2.

Zusammenfassung.
Wir haben gezeigt, G/N genügt den Bedingungen von 8.2.5, d.h. es gibt einen Isomorphismus
G/N ® SL bzw. G/B ® PSL
Zur Konstruktion können wir das Bild einer Borel-Untergruppe B Í G und das Bild eines maximalen Torus T Í B und das Bild eines Repräsentanten nÎZ(T) des nicht-trivialen Erzeugers der Weyl-Gruppe von G nehmen. Durch Vergleich mit den entsprechenden Isomorphismen für G sehen wir, daß 
N Í {¶Id}
gelten muß.
Zu (2).
Folgt aus den Argumenten mit denen die Einfachheit von PSL bewiesen wurde.
Zu (3).
Angenommen G ist nicht auflösbar.

Wegen dim G = 2 hat G einen Rang ≤ 2. Im Fall rk G = 2 ist G ein Torus, also auflösbar. Im Fall rk G = 1 gilt nach 8.2.3 für jede Borel-Untergruppe
B = U´T, U = B, T ein maximaler Torus,
daß dim U ≥ 1 ist, also dim B ≥ 2, also G = B, d.h. G ist auflösbar.
Bleibt noch der Fall rk G = 0 zu betrachten. Dann gilt für jeden maximalen Torus T,
T = {e}
und für jede Boreluntergruppe B,
B = B, 
d.h. B ist nilpotent. Dann ist aber G = B (nach 7.2.9), d.h. G ist auflösbar.

8.2.7 Folgerungen (p. 181)
Wir leiten jetzt einige Folgerungen aus dem Klassifikationssatz 8.2.5 ab, die wir im nächsten Kapitel benötigen. Wir betrachten die folgende Situation.

G sei zusammenhängende reduktive Gruppe vom halbeinfachen Rang 1, d.h.
rk(G/RG)=1.

Das Radikal von G ist dann ein Torus C. Es gilt
(i)	C := RG = Z(G) ist ein Torus.
(ii)	G/C ist halbeinfach vom Rang 1.
(iii)	(G,G)ÇC ist endlich.
(iv)	G/C = (G/C, G/C).
(v)	(G,G) ist zusammenhängend und halbeinfach von Rang 1.
(vi)	(G,G) = SL oder = PSL.
(vii)	Seien
T Í  G := (G,G)
	ein maximaler Torus der Kommutator-Untergruppe und
T Í G
	ein maximaler Torus von G mit
T Í T,
	Dann gibt es einen nicht-trivialen Charakter
a: T ® G.
	mit
L(G) = L(G)L(T)L(G) 
	und
a(C) = 1.
	Dabei sind die Eigenräume zu a und -a eindimensional,
dim L(G) = dim L(G) = 1.
Beweis. Zu (i). Das erste Gleichheitszeichen gilt nach Definition. Das zweite ergibt sich wie folgt. Es gilt
Z(C) = N(C) = G
Das erste Gleichheitszeichen ergibt sich aus 2.5.11, das zweite Gleichheitszeichen gilt, weil C = RG ein Normalteiler ist. Sämtliche Elemente von G zentralisieren also C, d.h. C Í Z(G). Da Z(G) ein auflösbarer Normalteiler von G ist, gilt aber auch Z(G) Í RG =C. Also gilt überall das Gleichheitszeichen.
Zu (ii). Hätte G/C einen echten auflösbaren Normalteiler, so wäre dessen Urbild in G ein auflösbarer Normalteiler, der echt größer ist als C = RG, im Widerspruch zur Definition des Radikals RG. Die Rangaussage ist einfach eine der Voraussetzungen.
Zu (iii). siehe 6.15.
Zu (iv). siehe Aufgabe 8.2.5 (1).
Zu (v). (G,G) ist zusammenhängend nach (6.3). Der Morphismus (G,G)ÆG/C hat nach (3) endliche Fasern und ist surjektiv nach (iv). Da G/C halbeinfach ist, muß damit auch (G,G) halbeinfach sein. Weiter gilt auf Grund des endlichen Kerns dieses Homomorphismus und nach (2),
rk (G,G) ≤ rk G/C = 1.
Es gilt auch die umgekehrte Inklusion:
Im Fall rk (G,G) = 0 wären die Borel-Untergruppen B von (G,G) unipotent, also nach 7.2.9 wäre B = (G,G), d.h. (G,G) wäre auflösbar. Dann wäre aber auch G auflösbar, also auch G/C. Das steht aber im Widerspruch zu (2)(vgl. den Klassifikationssatz 8.2.5)
Zu (vi). Folgt aus (v) und dem Klassifikationssatz 8.2.5.
Zu (vii). Sei B Í G := (G,G) eine Borel-Untergruppe, die T enthält und
x: G ® (B) =: U
ein Isomorphismus.

Nach 8.2.4 gibt es einen nicht-trivialen rationalen Charakter
a: T ® G
von T mit
(1)			L(G) = L(G)L(T)L(G) .
wobei alle drei Eigenräume 1-dimensional sind. Die Multiplikation mit a(t), tÎT, entspricht beim Isomorphismus x gerade der Konjugation mit t. Der Charakter a läßt sich fortsetzen zu einem (nicht-trivialen) Charakter
a; T ® G.
Die natürliche Inklusion
G Í G
induziert Inklusionen von Lie-Algebren
L(G)= L(G)L(T)L(G) Í  L(G)L(T)L(G) Í L(G).
Zum Beweis der Behauptung reicht es zu zeigen, 
dim L(G)L(T)L(G) ≥ dim L(G),
d.h.
dim G/T ≤ 2.
Da T ein maximaler Torus von G und C = R(G) ein Torus ist, folgt C Í T. Wegen (iv) besteht eine Surjektion
G  = (G,G) ® G/C ® G/T
und wegen T Í T liegt T im Kern dieser Surjektion, d.h. es besteht eine Surjektion
G/T ® G/T.
Deshalb gilt wegen (1)
dim G/T ≤ dim G/T = dim L(G)L(G) = 2.
QED.
Bemerkung
Sei
y: G ®  T
ein Isomorphismus algebraischer Gruppen und sei a der Charakter von 8.2.7. Wir betrachten y als 1-Parameter-Untergruppe von T, sodaß wir das Skalarprodukt von y mit a bilden können. Dann gilt
<a, y> = ¶1 oder ¶2.
je nachdem ob G/R(G) isomorph ist zu PSL oder SL.
Beweis. Sei
x: G ® T
der zur Definition des Charakters a verwendete Isomorphismus. Dann entspricht die Multiplikation mit a(t) gerade der Konjugation mit t. Für t = y(h)ÎT ist damit
x(a(y(h))x) = x(a(t)x) = tx(x)t = y(h)x(x)y(h)  = x(hx)
(vgl. die Formel (1) im Beweis von 8.2.5). Dabei gilt
a = ¶1 oder ¶2
je nachdem ob G/R(G) isomorph ist zu PSL oder SL. Da x ein Isomorphismus ist, folgt
a(y(h)) = h,
d.h.
<a, y> = ¶1 oder ¶2.
QED.
8.2.8 Bezeichnung: Die orthogonale Transformation s
G sei zusammenhängende reduktive Gruppe vom halbeinfachen Rang 1, d.h.
rk(G/RG)=1.
Wir verwenden die Bezeichnungen von 8.2.7. Weiter sei
n Î N(T) - T
ein Repräsentant des nicht-trivialen Elements der Weyl-Gruppe von (G,G) und
s: T ® T, t a ntn
die Konjugation mit n. Dann operiert s auf X := X(T) und X = X(T) durch
	(s×x)(t)	:= x(s(t))	für xÎX
	(s×x)(x)	:= s(x (x))	für xÎX.

Nach Konstruktion gilt (s×x)°(s×x) = x° x , d.h.
< s×x , s×x> = < x, x> für xÎX und xÎX,
d.h. s ist für die natürliche Paarung auf X´X eine “orthogonale” Transformation.
8.2.9 Lemma:Eigenschaften von s,die Homomorphismen x 
G sei zusammenhängende reduktive Gruppe vom halbeinfachen Rang 1. Dann gilt mit den Bezeichnungen von 8.2.8 bzw. 8.2.7:
(i)	Es gibt genau ein aÎX mit
s×x = x - <x,a>a	für xÎX.
	Außerdem ist <a, a> = 2 und s = 1.
(ii)	n ist unabhängig von der speziellen Wahl von n und es gilt
x(n) = (-1)
	für jedees xÎX.
(iii)	Es gibt einen Homomorphismus algebraischer Gruppen
x: G ® G
	mit
tx(x)t = x(a(t)x)	für tÎT und xÎk
	und
Im(dx) = L(G).
	Hat x: G ® G ebenfalls die angegebenen Eigenschaften, so gibt es ein eindeutig bestimmtes cÎk* mit x(x) = x(cx).
(iv)	T und Im(x) erzeugen eine Borel-Untergruppe B von G mit der Lie-Algebra
L(B) = L(T)L(G) .
Beweis. Zu (i). Eindeutigkeit von a. Sei
y: G ®  T
ein Isomorphismus algebraischer Gruppen. Nach Definition ist die Abbildung s auf T (die Konjugation mit n, d.h.) der Übergang zum inversen Element, d.h. für
t = y(x) Î T
ist (s×x)(t) = x(st) = x(t), d.h.

	(s×x)(y(x))	= x(y(x))	= x(y(x))x(y(x))
			= x(y(x))×x.
Die letzte Identität besteht dabei nach Definition der Paarung < ,  >. Den Ausdruck links können wir, wenn a wie in (i) ist, auch wie folgt schreiben.
	(s×x)(y(x))	= (x - <x,a>a)(y(x))
			= x(y(x))/a(y(x))
			= x(y(x))×(x)
			= x(y(x))×x
Vergleich der beiden Ergebnisse liefert
	<a, y><x, a> = 2<x, y>.
Im Fall (G,G) @ SL ist <a, y> = ¶2 also
a = ¶y.
Im Fall (G,G) @ PSL ist <a, y> = ¶1 also
a = ¶2y.
In beiden Fällen zeigen diese Formeln, daß a eindeutig bestimmt ist.
Existenz von a. Wir benutzen die eben bewiesenen Formeln für a als Definition,
(1)				a = ey falls <a,y> = (2/e).
 Dann ist
(2)				<a, a> = <a, ey> = e<a,y> = 2.

Für jedes t Î T gibt es ein h mit t = y(h). Also gilt
	(x-<x,a>a)(t)	= x(t)a(t)	
				= x(t)a(y(h))	(wegen t = y(h) und (1))
				= x(t)h	(Definition von <a,y>)
				= x(t)h		(wegen (1))
				= x(t)x(y(h))
				= x(t)x(t)		(wegen t = y(h))
				= x(t)
				= x(ntn)			(wegen tÎT)
				= (sx)(t)
Die zu beweisende Identität gilt also zumindest für tÎT.

Betrachten wir jetzt den Fall, daß t im Torus C liegt,
tÎ C = R(G) Í T.
Es gilt
a(C) = 1
(vgl. 8.2.7(vii)). Also ist für tÎC:
	(x-<x,a>a)(t)	= x(t)a(t)
				= x(t)×1
				= x(t)
				= x(ntn)	(wegen C = Z(G),vgl. 8.2.7(i))
				= x(s(t))	(Definition von s)
				= (sx)(t).	
Die zu beweisende Identität gilt damit auch für tÎC, insgesamt also auf
C×T = T.
Nach (2) gilt
(3)					<a, a> = 2.
Wir haben noch zu  zeigen s = 1. Wegen
	s×x = x - <x,a>a
gilt
	sx	= s(x - <x,a>a)
		= x - <x,a>a - (<x - <x,a>a , a>a)
		= x - <x,a>a - <x, a>a + <x,a><a , a>a
		= x - <x,a>a - <x, a>a + <x,a>2a	(wegen (3))
		= x.
Zu (ii). Sei n’ Î N(T) - T ein weiteres Element wie n. Dann gilt
n’ = nt für ein tÎT,
also
	(n’)	= ntnt
		= nntnt
		= ntt		(wegen ntn = t)
		= n,
d.h. n ist unabhängig von der speziellen Wahl von n.
Wir haben noch die Formel für x(n),
(4)			x(n) = (-1) für xÎX,
zu beweisen. Sei
X := {xÎX | <x, y> = 0 }
Wegen Im(y: G®T) = T ist X gerade der Kern der Einschränkungsabbildung
X = X(T) ® X(T), c a c|.
Diese Einschränkungsabbildung ist surjektiv (vgl. Aufgabe 5.2.6 (3)), d.h.
X/X = X(T)
ist canonisch isomorph zur Charaktergruppe von T.
Sei zunächst xÎX. Dann ist x|der triviale Charakter und wegen nÎT ist die linke Seite von (4) gleich
LHS (4) = x(n) = 1.
Weil a  ein ganzzahliges Vielfaches von y: G ® T ist gilt weiter
<x, a> = 0
also
RHS (4) = (-1) = (-1) = 1.
Damit gilt (4) für xÎX. Wir haben außerdem gezeigt, beide Seiten von (4) ändern sich nicht, wenn man x um ein Element aus X abändert, d.h. beide Seiten hängen nur von der Einschränkung von x auf T ab. Zum Beweis von (4) können wir also T durch T und G durch (G,G) ersetzen, d.h. wir können annehmen,
	G = SL
	T = { | xÎk*}
	U = { | hÎk}
	n = 
	x: G ® U, h a 
	y: T ® G,  a x,
Wir haben die Relaton (4) in dieser Situation zu überprüfen (und die analoge Relation für G = PSL).
Bestimmen wir zunächst den Charakter a: T ® G.Die Multiplikation mit a(t), tÎT, entspricht bei x gerade der Konjugation mit t, d.h. es gilt
	x(a()h) = x(h)  
			= 
			= 
			= 
			= x(xh)
d.h. a ist die Abbildung
	a: T ® G ,  a x.
Als nächstes müssen wir
a: G ® T, x a 
bestimmen aus der Relation
	sx = x - <x, a>a für xÎX.
Sei x: T ® G der Charakter mit x() = x, d.h. mit
2x = la.
Dann ist sx der Charakter mit
(sx)(t) = x(st) = x(ntn) = x(t) = x(t)
d.h.
	sx = -x = x - 2x = x - l a.
Es folgt
	l = <x, a>
d.h.
	x = x(a(x)) = f(x)
Dies gilt für alle Charaktere xÎX, d.h. für alle ganzen Zahlen l. Damit ist f(x) = x, d.h. a ist die 1-Parameter-Untergruppe
	a: G ® T, x a .
Insbesondere ist mit den obigen Bezeichnungen
<x, a> = l
Damit gilt
	x(n) = x() = x() = (-1) = (-1),
d.h. es gilt (4).
Die analogen Rechnungen modulo {¶Id} liefern die Gültigkeit von (4) in der PSL. Genauer, wir haben die folgende Situation zu untersuchen (alle 2´2-Matrizen sind modulo {¶Id } zu nehmen).
	G = PSL = SL/{¶Id}
	T = { | xÎk*}
	U = { | hÎk}
	n = 
	x: G ® U, h a 
	y: T ® G,  a x,
	a: T ® G ,  a x.
Wie oben müssen wir 
a: G ® T, x a 
bestimmen aus der Relation
	sx = x - <x, a>a für xÎX.
Sei x: T ® G der Charakter mit x() = x, d.h. mit
x = la.
Dann ist sx der Charakter mit
(sx)(t) = x(st) = x(ntn) = x(t) = x(t)
d.h.
	sx = -x = x - 2x = x - 2la.
Es folgt
	2l = <x, a>
d.h.
	x = x(a(x)) = f(x)
Dies gilt für alle Charaktere xÎX, d.h. für alle ganzen Zahlen l. Damit ist f(x) = ¶x, d.h. a ist die 1-Parameter-Untergruppe
	a: G ® T, x a .
Insbesondere ist mit den obigen Bezeichnungen
<x, a> = 2l
Damit gilt
	x(n) = x() = x() = (-1) = (-1),
d.h. es gilt (4).
Zu (iii). Wir nehmen zunächst an, x: G®G ist ein Homomorphismus algebraischer Gruppen wie in (iii). Für tÎT und xÎk gilt dann
tx(x)tx(x) = x(a(t)x - x) = x((a(t)-1)x).
Insbesondere gilt somit
Im x Í (G,G).
Es reicht deshalb, die Existenz- und Eindeutigkeitsaussage für G = SL bzw. G = PSL zu beweisen.
Der Fall G = SL : Wie oben können wir annehmen
	G = SL
	T = { | xÎk*}
	U = { | hÎk}
	n = 
	x: G ® U, h a 
	y: T ® G,  a x,
	a: T ® G ,  a x.
Wir können
x = x
setzen, denn es gilt
x(h) =  =  = x(xh) = x(a()h)
und
Im(dx) = {dx(h)| hÎk} = { | hÎk }
Für die Vektoren dieses Vektorraums bewirkt Konjugation mit  gerade die Multiplikation von h mit x, d.h. dieser Raum liegt im Eigenraum von a. Letzterer ist aber 1-dimensional, d.h. Im(dx) ist der Eigenraum zu a.

Wir haben noch die Eindeutigkeitsaussage zu beweisen. Sei
x: G ® G, h a ,
irgendein homomorphismus algebraischer Gruppen mit
x(h) = x(a(x)h)
Dann gilt
 = 
also
	f(xh)		= f(h)
	g(xh)	= xg(h)
	u(xh)	= xu(h)
	v(xh)		= v(h).
Damit sind f und v konstant, g homogen vom Grad 1 und u homogen vom Grad -1:
	f = a, g(h) = bh, u(h) = ch, v = d
also
	x(h) = 
Nun ist x auf ganz G regulär, d.h. es ist c = 0. Weiter ist x ein Gruppenhomomorphismus, also x(0) = Id, d.h. a = d = 1. Damit ist
	x(h) =   = x(bh),
d.h. x ist von der behaupteten Gestalt.
Der Fall G = PSL : unterscheidet sich nur unwesentlich vom Fall G = SL .
Zu (iv). Es reicht, die Behauptung für G = SL bzw. für G = PSL zu überprüfen. Für diese Fälle ist die Behauptung aber trivial.
QED.
8.2.10 Eine Eigenschaft der SL
Seien gegeben
G := SL
und die Borel-Untergruppe
B := { | xÎk*, yÎk}
Die Kommutator-Untergruppe von B ist dann gerade die unipotente Gruppe
(B,B) = B = { | yÎk}.
Die rationalen Charaktere auf B haben die Gestalt
B ® G ,  a x .
Lemma
Sei fÎk[G] eine von Null verschiedene reguläre Funktion auf G = SL mit der Eigenschaft, daß es einen rationalen Charakter c: B ® G von B gibt mit
f(gb) = f(g)c(b) für gÎG und bÎB.
Dann ist c = x mit m≥0. Falls f nicht konstant ist, so gilt sogar m > 0.
Beweis. Es gilt in SL für z ¹ 0:
 = 
Es gibt also ein Polynom gÎk[T] und ein mÎZ mit
f() = f()c()
= zg(zx).
Insbesondere gilt
f() = zg(z)
für z ¹ 0. Da f auf ganz G regulär ist, muß diese Funktion auch für z = 0 definiert sein. Das ist nur möglich, wenn m ≥ 0 ist. Man beachte, falls f nicht konstant ist, so muß m > 0 sein.
QED.
8.2.11 Aufgaben
(1)	Man leite aus 8.2.10 ein ähnliches Ergebnis für G = PSL ab.
(2)	(a) Man zeige in der Situation von 8.2.10 daß die Funktionen f mit vorgegebenen m ≥ 0 einen Unterraum V von k[G] bilden der Dimension m+1, welcher stabil gegenüber Linkstranslationen ist.
	(b) Sei r die rationale Darstellung von G auf V durch Linkstranslationen. Man zeige, es gibt eine Basis e,...,e von V mit
			r()e		= xe		für xÎk*
			r() e		=  (-1)xe		für xÎk.
	(c) Sei p = char k. Ist p = 0 oder p > m, so ist r irreduzibel.
(3)	Seien (r, V) eine rationale Darstellung von G = SL und (r*, V*) die duale Darstellung, d.h. V* ist das Dual des Vektorraums V und
(r*(g)u)(v) = u(r(g)v)
	für vÎV, uÎV* und gÎG.
	(a) Man leite aus 6.7 ab, daß es ein vÎV - {0} gibt und ein mÎZ mit
r()v = xv.
	Sei f: V* ® k[G] die lineare Abbildung mit
(fu)(g) = u(r(g)v).
	Man zeige, es gilt m≥ 0.
	(b) Ist r irreduzibel, so ist f injektiv.
	(c) Jede irreduzible Darstellung von G ist äquivalent zu einer Faktordarstellung und ebenfalls zu einer Teildarstellung eines r.
	(d) Ist char k = 0, so ist jede irreduzible rationale Darstellung von G äquivalent zu einem r.
(4)	Die Bezeichnungen seien wie in den vorangehenden Aufgaben.
	(a) Der Raum V hat eine Basis e,...,e mit
			r()e		= xe		für xÎk*
			r () e		=  (-1)xe		für xÎk.
	Ist ,..., eine weitere Basis, für welche diese Identitäten gelten, so gibt es ein aÎk* mit  = e für alle i.
	(b) Sei (r,V) eine rationale Darstellung von G = SL mit folgenden Eigenschaften.
	1. Es gibt ein vÎV - {0} mit r() = xv.
	2. m ¹ 0.
	3. dim V = m+1
	4. Die Vektoren der Gestalt (r(g)-1)v mit gÎG erzeugen V.
	Dann ist r äquivalent zu r.
Lösungen
Zu (1).
Im Beweis des Lemmas ersetze man jede 2´2-Matrix durch deren Bild bei der natürlichen Abbildung
SL ® Aut(sl), g a (v a gvg).
Zu (2)(a).
Je zwei Funktionen f zum selben m untersheiden sich nur im Polynom g mit
(1)					f() = zg(zx),
sodaß insbesondere
f() = zg(z)
gilt. Aus der letzten Identität ergibt sich die Bedingung
deg g ≤ m,
wenn f auf ganz G definiert sein soll. Deshalb hat der von diesen Funktionen erzeugte Vektorraum eine Dimension ≤ m+1,
dim V ≤ m+1.
Zum Beweis der Behauptung genügt es deshalb zu zeigen, die Funktionen der Gestalt (1) mit deg g ≤ m genügen den Bedingungen des Lemmas 8.2.10, d.h. sie sind auf ganz G definiert und es gilt
f(gb) = f(g)c(b)
für b =  und c = x. Die Regularität von f auf ganz G ist trivial. Überprüfen wir die angegebene Relation. Seien dabei
g =  und b = 
d.h.
gb = 
Es gilt
f(gb) = (zu)g((zu)xu) = zg(zx)u = f(g)c(b).
Wir haben noch zu zeigen, der Raum der regulären Funktionen fÎk[G] mit
f(gb) = f(g)c(b)
mit fest vorgegebenen Charakter cÎX(B) ist invariant gegenüber Linkstranslationen. Sei
f’ := lf .
Dann gilt für gÎG und bÎB:
f’(gb) = f(g’gb) f(g’g)c(b) = f’(g)c(b),
d.h. f’ liegt wieder in diesem Raum.
Zu (2)(b).
Sei eÎV die Funktion f zu g(T) = T , d.h.
e := z(x/z) = zx    (i = 0,...,m).
Für t =  ist dann
	(le) = e() = e = (xz)(xx) = x zx
		= xe
d.h.
	le	= xe für t = .
Für u =  ist weiter
	(le) = e() = e = z(x-hz)
		=  x(-h)z z
		=  (-1)xhz
		=  (-1) he,
d.h.
	le	=  (-1) he		für u = .

Für spätere Verwendung beschreiben wir noch die Wirkung von einigen weiteren Matrizen:
Für n =  ist
	le = e() = e = (-x)z = (-1) e
d.h.
(2)	le = (-1) e
Für n’ =  ist
	le = e() = e = x(-z) = (-1) e
d.h.
(3)	le = (-1) e

Zu (2)(c).
Sei W Í V ein nicht-trivialer Unterraum minimaler Dimension, der gegenüber Linkstranslationen invariant ist. Die Darstellung von G auf W induziert eine Darstellung von T = { | xÎk*}. Diese Zerfällt in 1-dimensionale invariante Unterräume. Nach (b) werden die T-invarianten Unterräume von V gerade von den e erzeugt (und diese gehören zu paarweise verschiedenen Charakteren. Deshalb liegt mindestens ein e in W,
(4)				f  = (-1)e Î W für ein i.
und gewisse der f bilden eine Basis von W. Weiter: 
(*)	Liegt ein Linearkombination von f in W, so liegt jedes f , das mit einem von Null verschiedenen Koeffizienten vorkommt, ebenfalls in W.

Nach der Rechnung im letzten Teil des Beweises von (b) gilt weiter,

(**)	f Î W Þ f Î W.

Nach (b) gilt
rf =   xf	 Î W
für jedes xÎk. Nach (*) gilt damit
f Î W
und nach (**) auch
f Î W.
Wir können also annehmen i = m,
rf =   xf	 Î W
Wegen m < p im Fall der Charakteristik p sind aber alle  ¹ 0, d.h. es liegen alle f in W, d.h. W = V.
QED.
Zu (3)(a).
Seien T der maximale Torus
T := {  | xÎk*}
und B die Borel-Untergruppe
B := { | xÎk*, yÎk}
von G := SL . Die Operation von G auf V induziert eine Operation von G auf der Projektivierung P(V) und damit eine von B auf P(V). Nach dem Fixpunktsatz von Borel (7.2.5) besitzt B auf P(V) mindestens einen Fixpunkt, d.h. es gibt ein vÎV - {0} derart, daß
vK Í V
ein B-stabiler Unterraum ist. Insbesondere gibt es einen Charakter
c: B ® G
mit
rv = cv für alle ÎB.
Nach 8.2.10 haben die Charaktere von B aber die Gestalt
c:B ® G ,  a x ,
d.h. es gibt ein mÎZ mit
rv = xv für alle ÎB.

Damit ist der erste Teil von Aufgabe (3)(a) bewiesen.
Betrachten wir die Abbilung
f: V* ® k[G], l a (x a l(r(x)v)).
Diese Abbildung ist nach Konstruktion nicht identisch Null. Für gÎG und bÎB gilt
	f(l)(gb) = l(r(gb)v) = l(r(g)r(b)v) = l(r(g)c(b)v)
		= l(r(g)v)c(b)	(weil l eine lineare Funktion auf V ist)
		= f(l)(g)c(b).
Damit ist f(l) für jedes lÎV* eine Funktion wie im Lemma von 8.2.10. Insbesondere ist also m ≥ 0.
Bemerkung
Die Abbildung f ist äquivariant, wenn man V* mit der zu r dualen Operation r* versieht und k[G] mit der Operation durch Linkstranslationen:
	((l(f(l))(x) = f(l)(gx) = l(r(gx)v)) = l(r(g)r(x)v))
		= (l(l))(r(x)v)
		= f(l(l))(x)
		= f(r*(g)l)(x)
Mit anderen Worten, es gilt
l(f(l)) = f(r*(g)l) für alle lÎV*,
d.h.
l°f = f°r*(g)
Zu (3)(b).
Angenommen, f ist nicht injektiv. Dann gibt es ein l mit
0 ¹ l Î Ker(f) Í V*
und es gilt
0 = f(l)(g) = l(r(g)v))
für alle gÎG. Also ist der von den r(g)v erzeugte Unterraum von V ein (nicht-trivialer) echter Unterraum. Er ist nach Definition G-invariant. Dann ist die Darstellung
r: G ® Aut(V)
aber reduzibel.
Zu (3)(c).
Sei
r: G ® Aut(V)
eine irreduzible rationale Darstellung. Dann ist auch die auf dem dualen Raum induzierte (duale) Darstellung
G ® Aut(V*)
eine irreduzible rationale Darstellung, und das doppelte Dual von r ist r selbst. Es reicht also zu zeigen, das Dual von r ist von der behaupteten Gestalt.
Weil r irreduzibel ist, kann man mit Hilfe der Abbildung
f: V* ® k[G]
von (b) den Raum V* als k-linearen Unterraum von k[G] auffassen. Für lÎV* Í k[G], gÎG und bÎB gilt dann
	l(gb) = l(r(gb)v))
		= l(r(g)r(b)v)) = l(r(g)c(b)v))
		= l(r(g)v))c(b)
		= l(g)c(b)
Mit anderen Worten, es gilt
V* Í V ,
wenn V den Raum von Aufgabe (2) bezeichnet und m der den Charakter c definierende Exponent ist. Mit anderen Worten, V* ist eine Teildarstellung von V und V ist eine Faktordarstellung von V.

Zum Beweis der Behauptung reicht es zu zeigen, die Darstellung r von G auf V ist äquivalent zu der Darstellung r von G auf V.
Auf Grund der Formeln von (2)(b) operiert das Element  Î T Í G auf dem Basiselement eÎV durch Multiplikation mit x. Deshalb operiert  auf der dualen Basis (durch die transponierte Matrix also) ebenfalls durch Multiplikation mit x,
(5)			re = x e.
Damit folgt die Behauptung aus Aufgabe (4)(b), denn es ist
	re = x e
und die Vektoren der Gestalt
	(r - 1)e = (x -1)e mit xÎk*
	(r - 1)e + e =  xe mit xÎk
erzeugen den gesamten Raum V: für m+1 paarweise verschiedene Werte
x,...,x Î k
ist
det (x) ¹ 0
(es ist bis aufs Vorzeichen gerade die Vandermondesche Determinante).
Bemerkung
Ohne Verwendung der Aussage von Aufgabe (4) haben wir gezeigt: ist

r: G = SL ® Aut(V)
eine irreduzible Darstellung mit der Eigenschaft, daß die Matrizen
, xÎk*,
auf einem Vektor von V - {0} durch Multiplikation mit x operieren, so ist r eine Teildarstellung von V und eine Faktordarstellung von V .

Zu (3)(d).
Folgt aus (3)(c) und der Tatsache, daß die Darstellungen r (nach (2)(c) irreduzibel sind.

Zu (4)(a).
Diese Relationen von Aufgabe (2)(b) beschreiben die Matrizen der linearen Endomorphismen r und r bezüglich der Basis {e} von V. Die Matrizen bezüglich der dualen Basis sind gerade die zugehörigen transponierten Matrizen, d.h.
	re = xe
	re	=  (-1) xe
Speziel für i = 0 erhalten wir
	re	=  (-1)xe
Mit f := e erhalten wir
	rf = xf = xf
	rf	=  (-1)xf =  (-1)xf
Mit g  = (-1)f folgt
	rg =xg
(6)	rg =  xg
Damit ist die Existenzaussage von Aufgabe (4)(a) bewiesen. Die ersten Relationen sagen aus, die g sind Eigenvektoren bezüglich der Operation des maximalen Torus T = { | xÎk*} zu paarweise verschiedenen Charakteren. Jede andere Basis {h} mit den angegebenen Eigenschaften muß ebenfalls aus solchen Eigenvektoren bestehen, d.h.
h = c × g mit cÎk*.
Wir haben noch zu zeigen, die Koeffizienten c sind alle gleich. Zum Beweis multiplizieren wir (6) mit c und ziehen das Ergebnis von der entsprechenden Identität für die h ab. Wir erhalten:
0 =  x (c - c)g für alle xÎk*.
Da die g linear unabhängig sind, folgt x (c - c) = 0 für alle j und alle xÎk*, also c = c für alle j.
Zu (4)(b).
Wir betrachten die in Aufgabe (3) konstruierte Abbildung
f:V* ® k[G], l a ( g a l(r(g)v)).
Wie wir gesehen haben, ist diese Abbildung äquivariant, und ihr Bild liegt in V ,
f(V*) Í V .
Zeigen wir, unter den gegebenen Voraussetzungen ist f injektiv: sei lÎV* derart, daß gilt
f(l) = 0.
Wir haben zu zeigen, daß dann l = 0 ist. Es gilt für jedes gÎG
0 = f(l)(g) = l(r(g)v).
Insbesondere für g = e erhalten wir l(v) = 0, also
0 = l((r(g)-1)v) = 0 für alle gÎG.
Da nach Voraussetzung die Vektoren der Gestalt (r(g)-1)v den Raum V erzeugen, folgt l = 0. Wir haben gezeigt, f ist injektiv. Wir können V* mit dem Bild bei f identifizieren und erhalten
V* Í V .
Da beide Räume die Dimension m+1 besitzen, folgt V* = V . Wir haben gezeigt, es besteht eine Isomorphie von G-Räumen 
V @ V .
Da speziell der Raum V den an V gestellten Bedingungen genügt (mit v = e ), gilt insbesondere V @ V . Zusammen erhalten wir
V @ V .
QED.
Notes
Der Beweis des Klassifikationssatzes 8.2.5 für halbeinfache Gruppen des Rangs 1 ist vom üblichen Beweis verschieden. Wir benutzen das Lemma von Bruhat (8.2.3(i)). Das Argument für den Beweis von 8.2.5 stammt von Zassenhaus (vgl. [19, p. 393]). Es ist sehr angenehm, Satz 8.2.5 zu einem frühen Zeitpunkt zur Verfügung zu haben. So bekommt man zum Beispiel die Spiegelungen von 8.2.9.
9. Roots, the Weyl group
9.1 Wurzeln
9.1.1 Die Situation
G	eine zusammenhängende lineare algebraische Gruppe.
T	ein maximaler Torus von G.
X	:= X*(T) die Gruppe der Charaktere T ® G von T.
X	:= X(T) die Gruppe der 1-parametrigen Untergruppen G®T von T.

Zur Erinnerung: X und X sind Gitter, d.h. freie abelschen Gruppen endlichen Rangs, und die Komposition der Elemente dieser Gruppen definiert eine Paarung
X´X ® Z, (c, l) a <c, l>,
mit
x = c(l(x)) für alle xÎk.
Im folgenden werden wir uns mit den Teiltori S Í T der Kodimension 1 befassen.
9.1.2 Gewiche einer Torus-Operation auf einem Vektorraum.
Sei S ein Torus, welcher linear auf dem Vektorraum V operiere. Die Gewichte von S auf V sind dann definiert als diejenigen Charaktere cÎX*(X), für welche die Gewichtsräume
V := {vÎV | s×v = c(s)v}
nicht-trivial sind. Ein Vektor vÎV - {0} heißt Gewichtsvektor von S mit dem Gewicht c. Wir wissen, V ist die direkte Summe der Gewichtsräume, wobei c die Gewichte von S auf V durchläuft (vgl. im Original 2.5.2(c)).
9.1.3 Erzeugung von G durch die Zentralisatoren der Tori der Kodimension 1
Sei G eine zusammenhängende lineare algebraische Gruppe. Dann wird G wird erzeugt von den Zentralisatoren Z(S) wobei S Í T die Teiltori der Kodimension 1 des fixierten maximalen Torus T durchläuft.
Beweis. Die Untergruppen Z(S) sind nach 7.3.5(i) zusammenhängend. Seien
c , ... , c
die unterschiedlichen von Null verschiedenen Gewichte von T auf der Lie-Algebra L(G). Dann zerfällt L(G) in eine direkte Summe
(1)			L(G) = L(G)...L(G)L(G) ,
wobei L(G) gerade die Fixpunktmenge von Ad(T) ist. Sei
S := Ker(c : T ® G).
Die S sind Teiltori von T der Kodimension 1. Nach 4.4.7 enthält die Lie-Algebra L(ZS) sowohl L(G) als auch L(G) ,
(2)			L(G) , L(G) Í L(ZS).
Sei G die von den Z(S) erzeugte Untergruppe von G. Nach 6.1 ist G abgeschlossen und zusammenhängend. Die Lie-Algebra von G enthält wegen (2) die Unterräume L(G) und L(G) für alle i, also wegen (1) die gesamte Lie-Algebra von G. Deshalb gilt G = G, d.h. es gilt die Behauptung.
QED.
9.1.4 Reguläre und singuläre Tori
Sei G eine zusammenhängende lineare algebraische Gruppe mit dem maximalen Torus T. Ein Teiltorus S Í T der Kodimension 1 heißt regulär, wenn sein Zentralisator Z(S) auflösbar ist und ansonsten singulär.
9.1.5 Das zu einem singulären Torus gehörige Gewichtspaar
Seien G eine zusammenhängende lineare algebraische Gruppe mit dem maximalen Torus T und S Í T ein singulärer Teiltorus (der Kodimension 1). Dann gibt es ein Gewicht a von T auf Lie(G) mit
(i)	S = (Ker a).
(ii)	L(Z(S)/RZ(S)) @ L(T)kXkX.
Dabei sind X und X Gewichtsvektoren zu den Gewichten a bzw. -a. Das Gewicht a ist bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmt.
Der Zentralisator Z (S) hat den halbeinfachen Rang 1.
Beweis. 1. Schritt: Wir beweisen zunächst das

Lemma
Seien G eine zusammenhängende lineare algebraische Gruppe und N Í G ein zusammenhängender auflösbarer Normalteiler. Dann gilt:
1.	Die natürliche Abbildung G ® G/N bildet maximale Tori in maximale Tori ab.
2.	Ist G vom halbeinfachen Rang 1, so gilt dasselbe für G/N.
Beweis des Lemmas. Zu 1. Die natürliche Abbildung r : G ® G/N hat zusammenhängende Fasern. Sei T’ Í G/N ein maximaler Torus, der das Bild des maximalen Torus T Í G enthält. Dann ist r(T’) zusammenhängend und man hat eine exakte Sequenz
0 ® N ® r(T’) ® T’ ® 0.
Insbesondere ist r(T’) auflösbar, d.h.
r(T’)  = T× r(T’)	(halbdirektes Produkt).
Der zweite Faktor liegt vollständig im Kern von r, (weil T’ aus halbeinfachen Elementen besteht), d.h. r induziert eine Surjektion
T ® T’.
Zu 2. Das Bild von R(G) in G/N ist ein zusammenhängender auflösbarer Normalteiler, d.h. es gilt
rR(G) Í R(G/N).
Die obige Surjektion T ® T’ induziert also eine Surjektion
T mod R(G) ® T’ mod R(G/N),
d.h. es gilt
rk(T’ mod R(G/N)) ≤ rk(T mod R(G)) = 1,
d.h. G/N hat einen halbeinfachen Rang ≤ 1. Wäre der halbeinfache Rang von G/N gleich Null, so wäre jede Borel-Untergruppe von G/N unipotent, also gleich nilpotent, also gleich G/N, d.h. G/N wäre auflösubar. Wegen der exakten Sequenz
0 ® N ® G ® G/N ® 0
wäre dann aber auch G auflösbar, d.h.
G = R(G)
und rk G/R(G) = 0. Das steht im Widerspruch zu der Annahme, daß der halbeinfache Rang von G gleich 1 sein soll.
QED für das Lemma.
2. Schritt. Z := Z(S) hat den halbeinfachen Rang 1.
Wegen
S Í T = kommutativ
gilt
T Í Z(S),
d.h. T ist ein maximaler Torus von Z(S). Nach Definition liegt S im Zentrum von Z(S), d.h. S Í R(Z). Damit hat
T mod R(Z)  T/S
eine Dimension ≤ 1, also Z einen halbeinfachen Rang ≤ 1. Wäre der halbeinfache Rang gleich Null, so wären die Borel-Untergruppen von Z/R(Z) unipotent, also nilpotent, also gleich Z/R(Z), d.h.  Z/R(Z) wäre auflösbar. Wegen der exakten Sequenz
0 ® R(Z) ® Z ® Z/R(Z) ® 0
wäre dann auch Z = Z(S) auflösbar, im Widerspruch zur Wahl von S. Also ist der halbeinfache Rang von Z gleich 1.
3. Schritt.
Betrachten wir die reduktive Gruppe
Z/R(Z).
Nach den ersten beiden Schritten ist sie vom halbeinfachen Rang 1. Nach 8.2.7(vii) gilt
L(Z/R(Z)) = L(G)L(T’)L(G) 
mit einem maximalen Torus T’ von Z/R(Z), wobei die die Eigenräume zu a und -a eindimensionale sind,
L(Z/R(Z)) = kXL(T’)kX .
Für T’ können wir das natürliche Bild von T in Z/R(Z) verwenden (nach dem ersten Schritt). Da die Abbildung T ® T’ surjektiv und injektiv ist, handelt es sich um einen Isomorphismus, d.h.
L(Z/R(Z)) = kXL(T)kX .
Es gilt also (ii). Die Eindeutigkeit von a bis aufs Vorzeichen ergibt sich aus der Tatsache, daß jeder Eigenraume den zugehörigen Charakter eindeutig festlegt. Wegen
Z = Z(S)
induziert die Konjugation mit Elementen aus S auf Z und damit auch auf L(Z/R(Z)) die identische Abbildung. Insbesondere gilt damit
a(s)X = X für jedes sÎS,
also S Í Ker(a) (Í T). Nach Wahl von S hat aber S in T die Kodimension 1 (und a ist ein nicht-trivialer Charakter), d.h. es gilt
dim S = dim Ker(a),
also S = Ker(a). Damit ist auch Aussage (i) bewiesen.
QED.
9.1.6 Die Wurzeln von G und die Operation der Weyl-Gruppe auf den Wurzeln
Die Charaktere c von T, die in der in 9.1.5 beschriebenen Weise zu den singulären Teiltori S der Kodimension 1 gehören, heißen Wurzeln von G bezüglich des maximalen Torus T. Bezeichne
R(G,T)
die Menge aller Wurzeln von G bezüglich T. Bezeichne
W(G,T) := N(T)/Z(T)
die Weyl-Gruppe von G bezüglich T. Die Weyl-Gruppe operiert auf den Charakteren cÎX*(T) und den 1-parametrigen Untergruppen lÎX(T) nach den folgenden Vorschriften.
(×c)(t) := c(w×t×w)	für wÎN(T), tÎT
(×l)(x) = w×l(x)×w	für wÎN(T), xÎG.
Das in 9.1.1 definierte Skalarprodukt ist invariant bei diesen Operationen,
<×c, ×l> = <c,l>	für ÎW(G,T).
Die Operation der Weyl-Gruppe auf den Charakteren induziert eine Operation auf den Wurzeln.
Beweis. Durch Konjugation mit einem Element wÎN(T) wird ein gegebener singulärer Teiltorus S von T in einen singulären Teiltorus S’ überführt. Durch Anwenden dieser Konjugation in der Situation von 9.1.5 erhält man die analogen Aussagen mit S’ anstelle von S und ×a anstelle von a. Insbesondere ist ×a wieder eine Wurzel.
QED.
9.1.7 Die Endlichkeit der Menge der Wurzeln
Die Menge der Wurzeln R(G,T) von G bezüglich T ist endlich.
Beweis. Da der Faktorisierungshomomorphismus
ZS ® ZS/RZS
separabel ist, d.h.
Lie ZS ® Lie ZS/RZS
ist surjektiv, ist jede Wurzel auch ein Gewicht der Operation von T auf Lie ZS, also eines der endlich vielen Gewichte der adjungierten Operation von T auf Lie(G).
QED.
9.1.8 Die zu einer Wurzel gehörige Gruppe vom halbeinfachen Rang 1 und die zugehörige Spiegelung
Sei aÎR(G,T) eine Wurzel von G und
G := Z(Ker a)
die zugehörige Gruppe vom halbeinfachen Rang 1 (d.h. nach Faktorisieren nach dem unipotenten Radikal erhält man eine reduktive Gruppe vom Rang 1, vgl. 9.1.5). Nach Definition des Wurzelbegriffs (und des Begriffs des singulären Teiltorus) ist G nicht auflösbar. Insbesondere gilt
N(T) ¹ Z(T),
d.h. die Weyl-Gruppe W(G,T) ist nicht-trivial (nach 8.1.8(ii)). Nach 8.2.2(3) hat sie die Ordnung 2. Wir wählen ein Element
nÎN(T) - Z(T)
und bezeichnen mit
sÎW(G,T)
das durch n repräsentierte Element. Man beachte, die natürliche Inklusion
G ® G
induziert Inklusionen
Z(T) ® Z(T) und N(T) ® N(T)
und damit eine natürliche Abbildung
W(T, G) ® W(G,T).
Diese ist eine injektiver Gruppenhomomorphismus.
9.1.9 Die zu einer Wurzel gehörige Kowurzel, die Spiegelungseigenschaft von s
Sei aÎR(G,T) eine Wurzel von G bezüglich T. Dann gilt
(i)	Es gibt genau eine 1-parametrige Untergruppe a:G®T mit folgenden Eigenschaften
	    a)	<a, a> = 2.
	    b)	s×c = c - <c,a>a für alle cÎX*(T).
	    c)	s×l = l - <a, l>a für alle lÎX(T).
(ii)	s = s und s = 1.
(iii) a) w×s×w = s für alle wÎW(G,T).
	    b) w×a = (w×a) für alle wÎW(G,T).
Die 1-parametrigen Untergruppen der Gestalt a heißen Kowurzeln von G bezüglich T. Die Menge der Kowurzeln wird mit
R(G,T)
bezeichnet.
Beweis. Zu (i) und (ii). Nach Definition von G ist G/RG reduktiv vom halbeinfachen Rang 1. Dann gibt es nach 8.2.9(i) genau eine 1-Parameter-Untergruppe
a: G ® G/RG
mit der Eigenschaft, daß (i)b) gilt mit einem maximalen Torus
T’ Í G/RG
anstelle von T. Es gelten dann (nach 8.2.9(i)) auch (i)a) und die die zweite Identität von (ii).

Insbesondere können wir für T’ das Bild von T Í G in G/RG nehmen (vgl. das Lemma von 9.1.5). Da RG unipotent ist, ist die natürliche Projektion T ® T’ ein Isomorphismus, d.h. wir können T’ in natürlicher Weise mit T identifizieren. Wir bekommen so die entsprechenden Aussagen für T.

Wir haben noch (i)c) und die erste Identität von (ii) zu beweisen.
Zu (i)c). Nach Konstruktion ist s eine “orthogonale” Transformation, d.h.
<sx, sl> = <x, l> für xÎX und lÎX.
Da s selbst-invers ist, impliziert dies,
<sx, l> = <x, sl> für xÎX und lÎX.
d.h. s ist auch adjungiert. Insbesondere gibt es genau eine Abbildung s’ mit
(1)		<sx, l> = <x, s’l> für xÎX und xÎX,
nämlich s’ = s. Es reicht also zu zeigen, die letzte Identität besteht auch mit
s’×l = l - <a, l>a.
Es gilt
	LHS(1) = <x, l - <a, l>a> = <x, l> - <a, l><x, a>
			= <x - <x, a>a, l>
			= < sx, l>
			= RHS (1).
Zur ersten Identität von (ii). Nach Definition ist sÎW(G,T) das durch ein beliebiges Element
nÎN(T) - Z(T), G := Ker(a)
repräsentierte Element der Weyl-Gruppe W(G,T). Ersetzt man a durch -a, so ändert sich Ker(a) nicht, d.h. auch alle anderen Daten bleiben unverändert. Insbesondere ändert sich auch s nicht.
Zu (iii). Sie nÎN(T) ein Repräsentant von wÎW(G,T). Dann gilt
G = Ker(wa) = n×Ker(a)n = n×Gn.
Als Repräsentanten des nicht-trivialen Elements von W(G,T) können wir
n = n×nn
wählen und erhalten damit
s = n×s×n = w×s×w
Zur zweiten Identität von (iii): Sei cÎX(T). Wir verpflanzen c nacheinander entlang der Konjugation mit s = n×s×n und erhalten (nach (i)b)
	sc = s(s(s(c)) = s(s(c) - < s(c),a>a)
			= c - < s(c),a>s(a)
			= c - < c, sa>s(a)	(s is orthogonal)
			= c - <c , w a> wa.
Andererseits gilt nach (i)b) auch
	sc = c - <c, (wa)>wa .
Vergleich liefert
	<c , w a> = <c, (wa)>
für alle cÎX(T), also
	w a	= (wa)
wie behauptet.
QED.
9.1.10 Bezüglich der Weyl-Gruppe invariante Metriken
Seien G wie bisher eine zusammenhängende lineare algebraische Gruppe mit dem maximalen Torus T und der Charaktergruppe X = X(T). Wir bezeichnen mit  R die Menge der Wurzeln von G und mit
R := { a | aÎR }
die Menge der Wurzeln. Weiter sei
X := XR
Die Operation der Weyl-Gruppe
W = W(G,T)
auf T (durch Konjugation) induziert eine Operation von W auf X . Weil W endlich ist, gibt es eine positiv definite symmetrische Bilinearform
( , ): X´X ® X
welche invariant gegenüber der Operation von W ist. Bezüglich jeder solchen Form ( , ) sind die Abbildungen
s : X ® X , x a x - <x, a>a,
(aÎR)euklidische Spiegelungen. Es gilt
<x,a> = 2(a, a)(x,a)
für xÎX, aÎR. Benutz man die Form ( ,  ) um X mit seinem Dual zu identifizieren (und damit R mit einer Teilmenge von X) so gilt
a = 2(a,a)a
und
R = {a = 2(a,a)a | aÎR}
Beweis. Zur Existenz von ( , ). Sei
f: X´X ® X
irgendeine positiv definite symmetrische Bilinearform. Dann ist auch
(x,y) :=   f(wx,wy)
positiv definit und symmetrisch. Außerdem ist ( , ) nach Konstruktion W-invariant.
Die Relation <x,a> = 2(a, a)(x,a).
Es gilt s(x) = x - <x, a>a also
(1)	s(x) = x	für <x, a> = 0	(nach Definiton)
(2)	s(a) = - a.			(nach Bem.(i) von 9.1.10)
Die erste Identität bedeutet, s bildet eine die Hyperebene
H := {xÎX | <x, a> = 0}
von X punktweise in sich ab (dies ist eine Hyperebene, da < , > nicht entartet ist). Aus der zweiten Identität folgt für xÎH
	(x, a) = (s(x), s(a)) = (x, -a)	(wegen ( , ) W-invariant)
also
	2(x, a) = 0,
d.h.
(3)	a Ö H
Für beliebiges xÎX können wir
	x = h + ca mit hÎH und cÎR
schreiben. Dann gilt
	<x, a> = <h, a > + <c×a, a >
		= <c×a, a >	(wegen hÎH)
		= c×<a, a> = 2c	(nach 9.1.9(i))
und
	(x, a) = (h, a) + (ca, a)
		= (ca, a)		(wegen (3) und hÎH)
		= (a, a)c
Zusammen ist damit
(4)	<x, a> = 2(a, a) (x, a) für beliebige xÎX,
d.h. es besteht die behauptete Relation zwischen < , > und ( , ).
Die Spiegelungseigenschaft von s : X ® X.
Wir setzen (4) in die Formel für s ein und erhalten
s(x) = x - 2(a, a) (x, a)a ,
d.h. s ist gerade die Spiegelung an der zu a orthogonalen Hyperebene.

 Die Beschreibung der Menge R:
Die duale Wurzel a ist durch die Bedingung
	s(x) = x - <x, a>a für alle xÎX
eindeutig festgelegt. Vergleichen wir dies mit
	s(x)	= x - 2×(a, a)(x, a)a
		= x - (x , 2×(a, a)a)a
so hat a als Funktion auf X die Gestalt
	a(x) = (x , 2×(a, a)a)
Benutzen wir das Skalarprodukt ( , ) um die linearen Funktionen auf X mit den Elementen von X zu identifizieren, so bedeutet letztere Identität gerade
	a =  2×(a, a)a .
QED.
Bemerkung
Die obigen Betrachtungen gelten unverändert auch für den Körper Q der rationalen Zahlen anstelle von R.
9.1.11 Wurzel-Data
Ein Wurzel-Datum ist ein Tupel (X,R,X,R) bestehend aus 
1.	zwei freien abelschen Gruppen X und X endlichen Rangs, die mit einer nicht-entarteten Paarung
X´X ® Z, (x,x) a <x,x>,
	versehen sind, 
2.	zwei endlichen Teilmengen RÍX und RÍX, zu denen eine Bijektion
R ® R, a a a,
	gehört.

Für jedes aÎR setzen wir
sx	:= x - <x, a>a für jedes xÎX
sx	:= x - <a, x>a für jedes xÎX.
Die folgenden Axiome sollen erfüllt sein.
(RD1)	<a, a> = 2 für jedes aÎR.
(RD2)	s(R) Í R und s(R) Í R für jedes aÎR.

Bemerkungen.
(i)	Aus (RD1) folgt s = Id, s(a) = -a und s(a) = -a.
(ii)	Sei (X,R,X,R) ein Wurzel-Datum mit R¹Æ. Bezeichne Q die von R erzeugte Untergruppe von X und sei V := QR. Dann ist R ein Wurzelsystem im Sinne von N. Bourbaki: Algèbre de Lie, Hermann, Paris 1971-75, Ch. VI, no. 1, d.h. es gelten folgende Axiome.

(RS1)	R ist endlich und erzeugt V, 0{R.
(RS2)	Für jedes aÎR gibt es ein aÎV aus dem Dual V von V mit <a, a> = 2 und die zu a gehörige Spiegelung s stabilisiert R.
(RS3)	Für aÎR gilt a(R) Í Z.

	Der Rang des Wurzelsystems R ist definiert als die Dimension von V.
(iii)	Seien R := R(G,T) die Menge der Wurzeln der algebraischen Gruppe G bezüglich des maximalen Torus T,
X := X*(T), X:= X(T)
	und R := R(G,T) die in 9.1.9 eingeführte Menge der Kowurzeln. Dann ist (X,R, X,R) ein Wurzel-Datum. Dieses Wurzel-Datum wird mit
Y = Y(G,T)
	bezeichnet.

Beweis . Zu (i). Es gilt
	sx	= s(x - <x, a>a)
		= x - <x, a>a - < x - <x, a>a, a>a
		= x - <x, a>a - <x , a>a + <x, a>< a a>a
		= x - <x, a>a - <x , a>a + <x, a>2a		(wegen RD1)
		= x
Die Rechnung für die Elemente aus X ist analog. Weiter gilt
	s(a)	= a - <a, a>a	nach Definition von s
		= - a.
Die Rechnung für die duale Wurzel ist analog.
Zu (ii). (RS1). Die Endlichkeit von R gilt nach Voraussetzung und die Tatsache, daß R den Raum V erzeugt, nach Konstruktion. Die zweite Bedinung ist erfüllt wegen <a, a> = 2 für jede Wurzel.
(RS2). Folgt direkt aus (RD1) und (RD2). Die Paarung
< , >:X´X ® Z
erlaubt es, das Erzeugnis V von R mit dem Dual von V zu identifizieren.
(RS3). Kommt von der Tatsache, daß < , > über Z definiert ist.

Zu(iii). Die Endlichkeit von R und R folgt aus 9.1.7. Die Inklusion
s(R) Í R
aus 9.1.6. Schließlich folgt
s(R) Í R
aus der zweiten Identität von 9.1.9 (iii)(b). Wir haben noch die Bijektivität von
R ® R, a a a,
zu beweisen. Die Surjektivität ergibt sich aus der Definition von R. Seien a und b zwei Wurzeln mit
a = b.
Wir haben zu zeigen, es gilt a = b. Nach 9.1.10 können wir eine Metrik ( , ) auf X = XR einführen, mit
	<x, a> = 2(a, a) (x, a)
und
a = 2(a,a)a
für jedes xÎX und jede Wurzel a. Aus der letzten Identität ergibt sich insbesondere, daß a und b proportional sind und daß die Formeln
	s(x) = x - <x, a>a
	s(x) = x - <x, b>b
Spiegelungen an derselben Hyperebene beschreiben. Insbesondere gilt
	s(x) = s(x) für jedes xÎX,
d.h.
	x - <x, a>a = x - <x, b>b = x - <x, a>b
d.h.
	<x, a>(a - b) = 0
für jedes xÎX. Speziell für x = a folgt
	2(a - b) = 0
d.h. a = b.
QED.
9.1.12 Reduziertheit des Wurzel-Datums Y(G,T)
Sei (X,R, X,R) = Y(G,T) das Wurzel-Datum der algebraischen Gruppe G bezüglich des maximalen Torus T. Es gelte
aÎR und raÎR für ein rÎQ.
Dann ist r = ¶1. Ein Wurzel-Datum mit dieser zusätzlichen Eigenschaft heißt reduziert.
Beweis. Nach Definition gilt
G := (Ker a) = (Ker ra).
Nach Definition des Wurzelbegriffs gehören zu ¶ra auf
L(G/RG)
nicht-triviale Eigenräume bezüglich der adjungierten Operation von T. Und diese Eigenräume sind Eigenräumen zu nicht-trivialen Charakteren. Nach 9.1.5 ist ra dadurch bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmt, also gleich ¶a.
QED.

9.1.13 Erzeugbarkeit der Weyl-Gruppe durch die Spiegelungen s
Seien G eine zusammenhängende lineare algebraische Gruppe und T ein maximaler Torus von G. Dann wird die Weyl-Gruppe
W(G,T)
durch die Spiegelunge s mit aÎR(G,T) erzeugt.
Beweis. Wir führen den Beweis durch Induktion nach dim G. Der Fall dim G = 0 ist trivial. Falls W = W(G,T) trivial ist, ist nichts zu beweisen. Sei also
(1)						W ¹ {e}.
Falls R(G,T) leer ist, d.h. es gibt keine Wurzeln, so sind alle Teiltori
S Í T
der Kodimensions 1 regulär, d.h. Z(S) ist auflösbar. Nach 9.1.3 wird G von den Zentralisatoren Z(S) erzeugt (welche zusammenhängend sind nach 7.3.5). Nach 6.1 wird also G von endlich vielen auflösbaren Untergruppen erzeugt und ist damit selbst auflösbar. Nach 8.1.8 ist dann aber W trivial. Für den weiteren Beweis können wir also annehmen,
R(G,T) ¹ Æ.
Sei
e ¹ w Î W
und sei
n Î N(T)
ein Repräsentant von w. Wir betrachten den Morphismus
f: T ® T, t a ntnt .
Weil T abelsch ist, ist dies ein Homomorphismus algebraischer Gruppen. Wir unterscheiden jetzt die beiden Fälle, daß f surjektiv ist bzw. es nicht ist.
1. Fall: f ist nicht surjektiv.
Dann ist
S := Ker(f)
ein echter Teiltorus von T. Jedes Element s aus diesem Kern kommutiert mit n, d.h. Konjugation mit n induziert die identische Abbildung auf S.
Fall 1.1: S liegt im Zentrum von G.
Wir setzen
	G’ := G/S
	T’ := T/S
Dann ist T’ ein maximaler Torus von G’ (vgl. 1. Schritt im Beweis von 9.1.5). Bezeichne
r: G ® G’
die natürliche Abbildung. Für jeden Torus U mit
S Í U Í T
setzen wir U’:= U/S. Es gilt dann
(2)					r(N(U’)) = N(U)
und
(3)					r(Z(U’)) = Z(U)
Die Identität (2) ist einfach und in Inklusion ‘ ’ von (3) ebenfalls. Beweisen wir die Inklusion ‘Í’ von (3). Dazu betrachten wir den Morphismus affiner algebraischer Varietäten
F: V´U ® U, (z, u) a zuzu, mit V:= r(Z(U’)).
F ist korrekt definiert, denn für zÎV und uÎU liegt
r(zuz) = r(z)r(u)r(z)
in U’, d.h. zuz liegt in r(U’) = U. Dann liegt aber auch zuzu in U.
F(z, ?): U ® U ist ein Homomorphismus algebraischer Gruppen für jedes zÎV:
Zu mindest trifft dies zu für
U ® U, u a zuz, und U ® U, u) a u,
denn U ist kommutativ. Dann ist dies aber auch der Fall für das Produkt dieser beiden Homomorphismen (weil U kommutativ ist).
Nach dem Starrheitssatz 2.5.10 ist damit aber
F(z, u) unabhängig von zÎV,
d.h. es gilt
zuzu = F(z, u) = F(e, u) = e,
d.h.
zuz = u für z Î V und uÎU.
Mit anderen Worten, es gilt V Í Z(U), d.h. es besteht in (3) auch die Inklusion ‘Í’.

Aus (2) und (3) ergibt sich insbesondere
W(G’,T’) = r(N(T’))/r(Z(T’)) = N(T)/Z(T) = W(G,T).
Nach Induktionsvoraussetzung ist jedes Element von W(G’,T’) ein Produkt von Elementen der Gestalt s mit a’ÎR(G’,T’). Es reicht also zu zeigen, jedes s kommt von einer Wurzel aus R(G,T). Die Wurzel a’ von G’ ist insbesondere ein Charakter von T’,
a’: T’ ® G .
Sei a die Zusammensetzung von a’ mit der natürlichen Abbildung,
a: T  T’  G .
Es reicht zu zeigen, a ist eine Wurzel von G mit s = s. Seien
U’ := Ker(a’) bzw. U := Ker(a)
die zu a’ bzw. a gehörigen singulären Tori. Dann besteht eine exakte Sequenz
0 ® S ® U  U’
und es gilt
dim U = dim U’ + dim S,
d.h. das Bild von U in U’ hat dieselbe Dimension wie U’, d.h. man hat sogar eine exakte Sequenz
0 ® S ® U  U’ ® 0
und es gilt
U = r(U’).
Damit hat man auch eine exakte Sequenz
0 ® S ® Z(U)  Z(U’) ® 0 mit r’ =r|
(die Surjektivität der Abbildung rechts ergibt sich aus (3)). Weil U’ ein singulärer Torus ist, ist 
Z’ := Z(U’)
nicht auflösbar. Wegen der Exaktheit der letzten Sequenz ist dann aber auch
Z := Z (U)
nicht auflösbar, d.h. U ist ein singulärer Torus. Insbesondere haben wir Zerlegungen (vgl. 8.2.7(vii)):
	L(Z’/RZ’) = L(T’)kXkX
	L(Z/RZ) = L(T)kXkX für ein bÎR(G,T)
und die Surjektion r’ induziert eine Surjektion
	L(Z/RZ) ® L(Z’/RZ’)
Diese Surjektion ist äquivariant bezüglich der durch die Konjugation mit Elementen von G induzierten Operationen. Die Multiplikation mit den Charakteren b bzw. -b auf den Teilräumen kX bzw. kX geht bei dieser Surjektion über in die Multiplikation mit eben diesen Charakteren, d.h. b und -b faktorisieren sich über die natürliche Abbildung
T ® T’
wobei die zugehörigen Charaktere von T’ gerade a’ bzw. -a’ sein müssen. Es folgt
b = ¶a.
Insbesondere ist a eine Wurzel von G und für die Konjugation (auf T bzw. T’) mit den zugehörigen Elementen der Weyl-Gruppe gilt
s = s = s .
Fall 1.2: S liegt nicht im Zentrum von G.
Es gilt dann
(T Í ) Z(S) ¹ G.
Da n mit den Elementen von S kommutiert, gilt
n Î Z(S).
Die singulären Teiltori von T bezüglich Z(S) sind auch singuläre Teiltori bezüglich G. Deshalb gilt
R(Z(S), T) Í R(G, T).
Trivialerweise gilt
(wÎ) W(Z(S), T) Í W(G, T).
Wir wenden die Induktionsvoraussetzung auf Z(S) an und erhalten, daß w ein Produkt von Spielgelungen ist.

2. Fall: f ist surjektiv.
Die Induzierte Abbildung auf den Charakteren ist dann injektiv, d.h.
X ® X, x a (w - Id)x ,
ist injektiv. Dann ist aber auch die induzierte R-lineare Abbildung
X ® X
injektiv, also bijektiv. Sei aÎR(G,T) eine Wurzel.Dann gibt es einen Charakter cÎX mit
(w - Id)c = a.
Da a als Wurzel nicht trivial ist, ist auch c nicht trivial. Ist ( , ) wie bisher das W-invariante euklidische Skalarprodukt, so folgt
(c, c) = (w c, w c) = (c+a , c+a )
= (c, c) + 2(c,a ) + (a ,a ),
also
	2(c,a ) + (a ,a ) = 0,
also
	< c, a> = 2(a ,a ) (c,a ) = -1.
Damit ist
	s( c) = c - < c, a>a = c +a  = w c ,
d.h.
	ws( c) = c,
d.h. c bleibt fest bei
w’ := ws Î W.
Sei n’ÎN(T) ein Repräsentant für w’ und
f’: T ® T, t a n’tn’t .
die zu f analoge Abbildung. Wie oben betrachten wir die durch f’ auf den Charakteren induzierte Abbildung
X ® X, x a (w’ - Id)x ,
Wegen w’(c) = c ist diese nicht injektiv, d.h. w’ genügt nicht wie w den Bedingungen des 2. Falls. Damit ist w’ wie im ersten Fall und damit ein Produkt von zu Wurzeln gehörigen Spiegelungen. Wegen
w’ = ws
d.h. w = w’s gilt dann aber dasselbe für w.
QED.
9.1.13 Aufgaben
(1)	Seien F := (X,R,X,R) ein Wurzel-Datum und p der Gruppenhomomorphismus
p: X ® X , x a <x, a> a.
	(a)	Man leite aus der Identität
<a, b>a = <a, b>b + <a, s(b)>s(b)
			ab, daß gilt
p(a) =  <a, p(a)>a
			für jedes aÎR. Man zeige weiter
X := Ker(p) = {xÎX | <x, a> = 0 für alle aÎR}.
	(b)	Man zeige, es gilt
QÇX = {0} und [X: Q+X] < ∞.
	Dabei bezeichne wie bisher Q die von den Wurzeln erzeugte Untergruppe von X,
Q = <R>.
	(c)	Die Weyl-Gruppe W(F) ist definiert als die Gruppe der 			Endomorphismen von X, die von den s erzeugt wird. Man 		zeige, W(F) ist eine endliche Gruppe.

In den beiden nachfolgenden Aufgaben seien G und T wie in 9.1.1 und W = W(G,T),
d.h. G sei eine zusammenhängende lineare algebraische Gruppe und T sei ein maximaler Torus von G.

	(2)	Ist wÎW ein Element welches xÎX fest läßt, so ist w ein Produkt von Spiegelungen, welche x ebenfalls festlassen.
	(3)	Hat G den halbeinfachen Rang r, so ist jedes Element wÎW Produkt von höchstens r Spiegelungen s .
Lösungen
Zu (1)(a).
Zur ersten Identität:
Nach 9.1.9 gilt
s×l = l - <a, l>a für lÎX
also
<a, s(b)> s(b) = (<a, b - <a, b>a>)( b - <a, b>a)
	= <a, b> b - <a, b>a
			- < a, a><a, b> b+< a, a><a, b>< a, b>a
	= -<a, b> b + <a, b>a	(wegen < a, a> = 2 nach 9.1.9).
Dies ist die gesuchte erste Identität.
Zur Formel für p(a).
Es gilt nach Definition von p und der gerade bewiesenen Formel
	p(a) = <a, b> b
		= (<a, b>a - <a, s(b)>s(b))
Da s Kowurzeln in Kowurzeln abbildet und selbstinvers ist, folgt
p(a) = <a, b>a - <a, b> b) = <a, b>a  - p(a)
also
	p(a) =  ( <a, b><a, b>) a
		=  (<a, <a, b>b>)a
		=  < a, (<a, b>b)>a
		=  < a, p(a)>a
Zur Beschreibung des Kerns von p.
Wir setzen
X := {xÎX | <x, a> = 0 für alle aÎR}
und haben zu zeigen X = Ker(p). Für xÎX gilt nach Definition von p,
p(x) = <x, a> a = 0,
d.h. es ist
X Í  Ker(p).

Sei jetzt cÎKer(p). Wir haben zu zeigen,
<c, a > = 0 für jedes aÎR.
Beim Beweis können wir p durch die Q-lineare Abbildung
p: X ® X , x a <x, a> a,
mit derselben Abbildungsvorschrift ersetzen. Wir führen eine W-invariante positiv-definite und W-invariante symmetrische Bilinearform
( , ): X´ X ® Q
ein und benutzen diese um X mit X zu identifizieren. Nach 9.1.12 (und der anschließenden Bemerkung) wird dann
<x,a> = 2(a, a)(x,a)
a = 2(a,a)a für jedes aÎR.
Insbesondere bekommt dann die Abbildung p die Gestalt
p: X ® X , x a 4(a, a)(x,a)a.
Weiter sei wie bisher
Q := Qa
der von den Wurzel erzeugte Unterraum von X . Dann gilt
X = QQ
wobei das orthogonale Komplement bezüglich ( , ) zu nehmen ist. Für xÎQ gilt (x, a) = 0, also <x, a> = 0, also xÎ(X), d.h. es ist
Q Í (X) Í Ker(p).
Es reicht zu zeigen, es gilt überall das Gleichheitszeichen. Dazu reicht es zu zeigen,
 (dim X - dim Q) = dim Q = dim Ker(p) (= dim X - dim Im(p)),
d.h.
dim Q = Im (p).
Nach Definition gilt Im(p) Í Q. Es reicht zu zeigen, Im(p) = Q. Der Raum Q wird von den aÎR erzeugt. Es reicht also zu zeigen,
a Î Im(p) für jedes aÎR.
Wie wir oben gesehen haben, ist das Bild von a ein Vielfaches von a,
p(a) =  <a, p(a)>a =  <a, p(a)> 2(a,a)a.
Es reicht also, zu zeigen,
p(a) ¹ 0 für jedes aÎR.
d.h. es reicht zu zeigen,
(1)			p(a) =4(b, b)(a,b)b ¹ 0 für jedes aÎR.
Sei jetzt aÎR fest vorgegeben. Wir lassen in (1) alle Summanden weg, für welche b orthogonal zu a ist und betrachten einen der übrig gebliebenen Summanden (zum Beispiel den mit b = a). Es gilt
(a,b) ¹ 0.
Wir betrachten die Hyperebene der zu a orthogonalen Vektoren und wählen einen zu b proportionalen Einheitsvektor
v = r×b
der auf derselben Seite der Hyperebene liegt wie a. Dann gilt
(v , v) = 1 und (a, v) > 0
also
	4(b, b)(a,b)b = 4(v, v)(a, v) v = 4 (a, v) v.
Damit ist
p(a) = 4 (a, v) v
eine konvexe Linearkombination von Vektoren, die alle auf derselben Seite der zu a orthogonalen Hyperebene liegen. Da mindestens ein von Null verschiedener Summand vorkommt (der mit b = a), ist diese Summe ungleich Null.
Zu (1)(b).
Zum Beweis der ersten Identität reicht es zu zeigen, daß sogar
QÇ(X) = {0}.
gilt. Das folgt aber aus dem Beweis von (1)(a), denn dort haben wir gezeigt, es gilt
(X) = Q
bezüglich einer W-invarianten positiv definiten Bilinearform ( , ) auf dem Vektorraum X.
Zur zweiten Identität. Es gilt
X = QQ =  Q(X)
Es gibt also Elemente
x,...,x Î Q
und
x,...,x Î X
die zusammen eine Basis des Vektorraums X bilden. Jedes Element von X ist deshalb eine Q-Linearkombination der x . Mit anderen Worten, jedes Element von
X/(Q+X)
wird von einer natürlichen Zahl annulliert (dem Hauptnenner in der Darstellung eines Repräsentanten als Linearkombination der x). Die Faktorgruppe X/(Q+X) ist somit eine endlich erzeugte abelsche Gruppe ohne freie Bestandteile, d.h. sie ist endlich.
Zu (1)(c).
Jeder Automorphismus X ® X induziert einen Automorphismus auf den zugehörigen Q-Vektorräumen, d.h. wir haben einen Gruppenhomomorphismus
Aut(X) ® Aut(X) = Aut(QQ)
Da X eine freie abelsche Gruppe ist, können wir X als Teilmenge von X auffassen, d.h. dieser Homomorphismus ist injektiv,
Aut(X) Í Aut(QQ), s a s
Die Spiegelungen s bilden das Erzeugendensystem R von Q in sich ab,
s( Q) Í Q
und lassen außerdem jedes Element von Q = (X) fest,
s | Q = Id.
Deshalb ist der Gruppenhomomorphismus
W(F) ® Aut(Q), s a (s)|
injektiv, d.h. wir können Aut(X) als Untergruppe von Aut(Q) auffassen,
W(F) Í Aut(Q), s a (s)|.
Außerdem bilden die Elemente von W(F) das Erzeugendensystem R von Q in sich ab und sind durch ihre Wirkung auf R bereits eindeutig festgelegt. Damit ist sogar die Abbildung
W(F) ® Aut(R), s a (s)|.
Die Automorphismengruppe der endlichen Menge R ist aber endlich. Also ist auch W(F) endlich.
Zu (2).
Wir wiederholen den Beweis von 9.1.12. Alle Argumente lassen sich für die hier behandelte Frage verwenden. Die Behandlung des zweiten Falls vereinfacht sich: da es nach Voraussetzung ein xÎX gibt mit w(x) = x ist die durch
f: T ® T, t a ntnt .
auf den Charakteren induzierte Abbildung
X ® X, x a (w - Id)x ,
niemals injektiv, d.h. f ist nicht surjektiv, d.h. der zweite Fall tritt nicht auf.
Zu (3).
Man wiederhole die Argumente des Beweises von 9.1.12. Nur im zweiten Fall vergrößert sich die Anzahl der Faktoren der Zerlegung von w in Spiegelungen s (und zwar um 1). Dieser zweite Fall wird aber auf den ersten zurückgeführt, und bei letzterem verkleinert sich der halbeinfache Rang: auch im Fall, daß S nicht im Zentrum von G liegt und man von G zu Z(S) übergehen muß. Dann S liegt im Zentrum von Z(S) und man kann weiter von Z(S) zu Z(S)/S übergehen.
QED.

9.2 Die gegenseitige Lage der Wurzeln zueinander
In diesem Abschnitt leiten wir Aussagen zur gegenseitigen Lage der Wurzeln zueinander her, wie wir sie später benötigen.
9.2.1 Die Situation
F := (X, R, X, R)
sei ein Wurzel-Datum. Die Gruppe
W = W(F),
die von den Spiegelungen s mit aÎR erzeugt wird, ist endlich (siehe Aufgabe 9.1.13 (1)(c). Bezeichne
( , ): X´ X ® R
eine positiv definite Bilinearform auf X, welche W-invariant ist.
9.2.2 Lemma: Eine Schranke für |<a, b>|
Seien a, bÎR zwei linear unabhängige Wurzeln. Dann gilt:
(i)	0 ≤ <a, b><b, a> ≤ 3
	|<a, b>| Î {0, 1, 2, 3}
	Ist |<a, b>| > 1 so gilt |<b, a>| = 1.
(ii)	<a, b> = 0 Û <b, a> = 0.
Beweis. Zu (i). Es gilt
	ss(a) = s(a - <a, b>b)
		= (a - <a, b>b) - < a - <a, b>b, a>a
		= (1 - < a, a> + <a, b>< b, a>)a - <a, b>b
		= (<a, b>< b, a> - 1)a - <a, b>b
und
	ss(b) = s(b - <b, b>b)
		= s(-b)
		= -b + <b, a>a
Die Abbildung ss stabilisiert den von a und b aufgespannten Unterraum und hat bezüglich der Basis a, b auf diesem Unterraum die Matrix
M := 
Nun hat ss als Element der Weylgruppe endliche Ordnung, d.h. die Eigenwerte von M sind Einheitswurzeln (welche komplex konjugiert sind, da M eine reelle Matrix ist). Deshalb ist der Absolutbetrag der Spur von M höchstens 2,
|<a, b>< b, a> - 2 | ≤ 2 .
Die Wurzeln a und b sind durch die zugehörigen Spiegelungen bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmt. Deshalb gilt s ¹  s, d.h. ss ist nicht die identische Abbildung. Die Eigenwerte von M können nicht beide gleich 1 sein. Deshalb gilt sogar
-2 ≤ <a, b>< b, a> - 2 < 2,
d.h.
0 ≤ <a, b>< b, a> ≤ 3.
Damit gilt (i) mit eventueller Ausnahme der zweiten Aussage. Zum Beweis letzterer genügt es zu zeigen, daß (ii) gilt.
Zu (ii). Es gilt
<a, b> = 0 Û M ist obere Dreiecksmatrix
< b, a> = 0 Û M ist untere Dreiecksmatrix
Die Behauptung folgt deshalb aus der Tatsache, daß M endliche Ordnung hat: eine Dreiecksmatrix über Q (mit Einheitswurzeln auf der Hauptdiagonalen hat genau dann endliche Ordnung, wenn es sich um eine Diagonalmatrix handelt).
QED.
9.2.3 Systeme positiver Wurzeln
Eine Teilmenge R Í R heißt System von positiven Wurzeln in R, wenn sie die folgenden Eigenschaften besitzt.
(a)	Keine positive Linearkombination
na mit n > 0 und a Î R,
	von Elementen aus R ist gleich Null.
(b)	R = (R)È(-R).
Bemerkungen
(i)	Solche Systeme existieren: man wähle ein xÎX mit
(x, a) ¹ 0 für jedes aÎR
	und setze
R := {aÎR | (x, a)> 0}.
(ii)	Wir werden später sehen (» 10.1.6) daß man in der in (i) beschriebenen Weise jedes System positiver Wurzeln finden kann.
(iii)	Wir nehmen in folgenden an, daß wir ein System positiver Wurzeln fixiert haben und schreiben
a > 0 Û aÎR
a < 0 Û -aÎR 
(iv) Ist eine Wurzel a positive Linearkombination positiver Wurzeln,
a = na mit n > 0,
	so ist sie selbst auch positiv.
9.2.4 Lemma: Überführung von Wurzel-Paaren in positive Wurzeln durch die Weylgruppe
Seien a, bÎ R linear unabhängige Wurzeln. Dann gibt es ein Element der Weylgruppe wÎW mit
wa > 0 und wb > 0.
Beweis.

Wir setzen
a := <a, b><b, a>.
Nach Lemma 9.2.2 gilt dann
a Î {0, 1, 2, 3}.
1. Fall a = 0.
Nach 9.2.2 ist dann
<a, b> = <b, a> = 0,
also
	s(a) = -a , s(b) = b
	s(a) =  a , s(b) = -b
d.h. s ändert das Vorzeichen von a und läßt das von b unverändert und be s ist es umgekehrt. Dann gilt aber die Behauptung.
2. Fall a ¹ 0.
Sind beide Wurzeln positiv, so können wir w = e wählen. Sei also o.B.d.A.
a < 0.
Dann gilt
s(a) = -a > 0
und
s(b) = b - <a, b>a.
Ist s(b) > 0, so gibt es nichts weiter zu beweisen. Wir können also annehmen, s(b) < 0.

Wir ersetzen a und b durch s(b) und -a, und können annehmen, es gilt
(1)				a < 0,    b > 0,   s(b) < 0.
Nach 9.2.3 Bemerkung (iv) muß dann
<a, b> < 0
sein.

Es gilt
	ss(a) = s(a - <a, b>b)
		= a - <a, b>b - < a - <a, b>b, a>a 
		= (a -1)a - < a, b>b 
	ss(b) = s(-b)
		= -b + <b, a>a 
Der zweite Ausdruck ist positiv (nämlich gleich - s(b).
Fall 2.1: a = 1.
In diesem Fall ist auch der ersten Ausdruck positiv:
ss(a) = - < a, b>b
(als positives Vielfaches einer positiven Wurzel), d.h. wir können
w = ss
setzen.
Fall 2.2: a ¹ 1 (d.h. a = 2 oder a = 3).
Wir betrachten die Matrix
M := 
der Einschränkung von 

Dann gilt ss auf den von a und b erzeugten reellen Vektorraum (vgl. den Beweis von 9.2.2). Für diese Matrix gibt es in unserer Situation nur die folgenden Möglichkeiten.
	,  (a=2=(-2)(-1)=(-1)(-2))
	,  (a=3=(-1)(-3)=(-3)(-1))
Es gilt
	 =  = -Id und analog für 
und
	 =  =  = -Id und analog für 
Zusammen erhalten wir
(ss) = -1.
Anwenden von (ss) überführt die Wurzeln a und b in deren Negatives. Wir können bei Bedarf a und b ersetzen durch -b und -a . Die Bedingungen von (1) bleiben dabei erhalten. Insbesondere können wir annehmen
<a, b> = -1 und  <b, a> = -a.
Fall 2.2.1: a = 2.
Es gilt
	s(a) = -a,		s(a) = a+b, ss(a) = a+b 
	s(b) = 2a+b,	s(b) = -b,    ss(b) = -2a-b 
Im Fall 2a+b > 0 setzen wir w = s.
Im Fall a+b < 0 setzen wir w = - s.
Im Fall 2a+b < 0 und a+b > 0 setzen wir w = ss.
Fall 2.2.2: a = 3.
Es gilt:
sa= -a,	sa= a+b,ssa=2a+b,ss(a)=-a-b,    sssa=-2a-b
sb= 3a+b,sb = -b,  ssb=-3a-b,ss(b)=3a+2b,sssb=3a+2b
Im Fall 3a+b> 0 setzen wir w = s.
Im Fall a+b < 0 setzen wir w = - s.
Im Fall 3a+b < 0 und 2a+b > 0 setzen wir w = ss.
Im Fall a+b > 0 und 3a+2b < 0 setzen wir w = - ss.
Im Fall 2a+b < 0, 3a+2b > 0 setzen wir w = sss.
QED.
9.2.5 Aufgaben
Seien a, bÎR linear unabhängige Wurzeln und sei wie oben
a := < a, b>< b, a>.
Wir nehmen an, es gilt
a > 0
< a, b> = -1, d.h. < b, a> = -a.
Dann ist die nachfolgend definierte Teilmenge S von R stabil bei s und s .
Falls a = 0 ist: S := { ¶a, ¶b}
Falls a = 1 ist: S := { ¶a, ¶b, ¶(a+b)}
Falls a = 2 ist: S := { ¶a, ¶b, ¶(a+b), ¶(2a+b)}
Falls a = 3 ist: S := { ¶a, ¶b, ¶(a+b), ¶(2a+b), ¶(3a+b), ¶(3a+2b)}

9.3 Borel-Gruppen, Systeme positiver Wurzeln, das unipotente Radikal
Bisher sind Wurzeln in Paaren (a, -a) aufgetreten. Wir benutzen jetzt die Borel-Untergruppen, um in einem gegebenen Paar, die eine Wurzel als ‘positiv’ auszuzeichnen.
9.3.1 Begriff der positiven Wurzel
Seien G eine zusammenhängende lineare algebraische Gruppe,
T Í G
ein maximaler Torus und
S Í T
ein singulärer Teiltorus (der insbesondere die Kodimension 1 besitzt). Dann gibt es für jede Borel-Untergruppe B, die den Torus T enthält, eine Wurzel
aÎR(G,T)
mit
L(BÇZS/RZS) = L(T)kX,
wobei X einen Gewichtsvektor zur Wurzel a bezeichne. Eine Wurzel mit dieser Eigenschaft heißt positiv bezüglich B. Bezeichne
R(B)
die Menge der bezüglich B positiven Wurzeln (d.h. die Menge der verschiedenen a zu den unterschiedlichen singulären Teiltori S von T.
Beweis der Existenz positiver Wurzeln.
Nach 7.3.5(ii) ist
BÇZ(S)
eine Borel-Untergruppe von Z := Z(S). Nach 9.1.5 gibt es ein Gewicht a von T auf  Lie(G) mit
(1)	S = (Ker a).
(2)	L(Z/RZ) @ L(T)kXkX.
Dabei sind X und X Gewichtsvektoren zu den Gewichten a bzw. -a, und Z/RZ ist reduktiv vom halbeinfachen Rang 1. Insbesondere ist a eine Wurzel von G,
aÎR(G,T).
und nach 8.2.9 (iii) und (iv) gibt es einen Homomorphismus algebraischer Gruppen
x: G ® Z/RZ
derart, daß T und Im(x) eine Borel-Untergruppe B’ von Z/RZ erzeugen mit der Lie-Algebra
L(B’) = L(T)L(Z/RZ)  = L(T)kX.
Das natürliche Bild von ZÇB in Z/RZ ist eine Borel-Untergruppe. Wir können annehmen, das Vorzeichen von a wurde so gewählt daß
B’ = ZÇB mod RZ
gilt. Dann ist a im oben beschriebenen Sinne eine bezüglich B positive Wurzel.
QED.
9.3.2 Proposition: R(B) als System positiver Wurzeln
Seien G eine zusammenhängende lineaere algebraische Gruppe, TÍG ein maximaler Torus und B Í G eine Borel-Untergruppe, die den Torus T enthält. Dann ist
R(B)
ein System positiver Wurzeln im Sinne von 9.2.3.
Beweis. Sei a eine Wurzel. Wir setzen
G := Z(Ker(a)).
Dann ist BÇG eine Borel-Untergruppe von G , welche den Torus T enthält, d.h. L(BÇG) wird von L(T) und einem von zwei Gewichtsvektoren X bzw. X erzeugt. Mit anderen Wort a oder -a liegt in R(B). Wir haben gezeigt, für die Menge der Wurzeln R gilt
(1)					R = R(B) È - R(B),
Axiom (b) von 9.2.3 ist somit erfüllt.
Zum Nachweis der Gültigkeit von Axiom (a) wählen wir auf dem reellen Vektorraum
X
eine positiv definite W(G,T)-invariante Bilinearform
( , ): X´ X ® R
(vgl. 9.1.10) und konstruieren einen Charakter x derart ,daß die Elemente von R(B) sämtlich auf derselben Seite der Hyperebene x liegen. Daraus ergibt sich dann die Gültigkeit von Axiom (b) (nach Bemerkung (i) von 9.2.3).

Man beachte, wegen (1) liegen dann die übrigen Wurzeln auf der anderen Seite.

Zur Konstruktion von x wählen wir eine rationale Darstellung
r: G ® GL(V)
und einen Vektor vÎV-{0} mit
B = {gÎG | r(g)v Î kv }
(vgl. 5.1.3). Dann gibt es einen Charakter
cÎX(B)
mit
r(b)v = c(b)v für jedes bÎB.
Wir fixieren eine Basis
e,..,e Î V mit e = v
und schreiben
r(g)e =  a(g)e
Weiter sei
F(g) := a(g).
Dann gilt
F Î k[G], F(e) = 1
Weiter ist
	a(gb)e + ... + a(gb)e
			= r(gb)e
			= r(g)r(b)e
			= r(g)c(b)e
			= a(g) c(b)e + ... + a(g) c(b)e
Durch Vergleich der Koeffizienten von e = v folgt
	F(gb) = F(g)c(b) für gÎG und bÎB.
Wir können annehmen
B ¹ G
denn andernfalls ist G auflösbar, d.h. die Weylgruppe ist trivial und die Menge der Wurzeln ist leer. Es gilt dann
c ¹ 0
ist verschieden vom trivialen Charakter, denn andernfalls wäre
B = {xÎG | r(x)v = v }
d.h.
G/B @ Orbit von v bei r Í V.
Die vollständige zusammenhängende Varietät G/B wäre Teilvarietät von V, was nicht möglich ist (außer im Fall G/B = { ein Punkt }). Damit ist also c ein nicht-trivialer Charakter.
Es reicht zu zeigen,
(c, a) > 0 für jedes aÎR.
Sei also aÎR. Wie oben sei
G := Z(Ker(a)).
Dann ist B := GÇB eine Borel-Untergruppe von G und dieselbe Argumentation wie oben zeigt,
(2)						c| ¹ 0.
Auf dem unipotenten Radikal von G ist der Charakter c: B ® G trivial,
c(RG) = 1.
Also gilt
F(gb) = F(g)c(b) = F(g) für gÎ G und bÎ RG .
Also definiert F eine reguläre Funktion auf der Gruppe G/ RG und damit auch auf deren Kommutator-Untergruppe
H Í G/ RG ,
welche isomorph ist zu SL oder PSL (nach 8.2.5). Es gilt
L(G/ RG) = L(T)kXkX
und die Lie-Algebra der halbeinfachen Gruppe H enthält die beiden Gewichtsvektoren (vgl. 8.2.7):
 X, X ÎL(H),
d.h. a ist eine Wurzel von H. Sei a Î X(H) Í X(T) die zu a gehörige Kowurzel. Dann gilt nach Definition von F,
F(ha(x)) = F(h)c(a(x)) = xF(h) für hÎH und xÎk*.
Dasselbe Argument wie für (2) zeigt, c ist nicht konstant auf BÇH, d.h. ist F nicht konstant auf H. Nach 8.2.10 und Aufgabe 8.2.11(1) ist dann aber
<x, a > > 0.
QED.
Bemerkung
Unser nächstes Ziel ist eine neue Beschreibung des unipotenten Radikals der zusammenhängenden linearen algebraischen Gruppe G. Dazu führen wir zunächst eine Bezeichnung ein.
9.3.3 Bezeichnung: H für aÎR(G,T)
Bezeichne

V := (Ç B)
die Einskomponente des Durchschnitts aller Borel-Untergruppen, die den maximalen Torus T von G enthalten. Für jede Wurzel aÎR(G,T) setzen wir
H := (Ç B)
Bemerkungen
(i)	Nach Konstruktion ist H zusammenhängend und besteht aus unipotenten Elementen. 
(ii)	Insbesondere ist H also nilpotent.
9.3.4 Lemma: V ist Normalteiler in H
Sei aÎR(G,T) eine Wurzel. Dann gilt V Í H und V ist ein abgeschlossener Normalteiler in H.
Beweis. Die Inklusion
V Í H
ist trivial.
Nach Definition von B bildet die Konjugation mit Elementen aus T jede Borel-Untergruppe von B in sich ab. Insbesondere wird dabei auch H in sich abgebildet. Mit anderen Worten, T operiert auf V und H durch Konjugation. Bezüglich dieser Operation zerfallen L(V) und L(H) in direkte Summen von Gewichts-Unterräumen. Es gilt
L(H) = L(V)kXkX...kX
mit gewissen Gewichtsvektoren b,...,b: T ® G .
Behauptung:
Die Gewichtsvektoren b sind sogar Wurzeln von G mit der folgenden Eigenschaft:
(1)		bÎ R(B) für jedes BÎB mit aÎ R(B).

Zeigen wir zunächst, die Aussage des Satzes folgt aus dieser Behauptung. Dazu fixieren wir eine Borel-Untergruppe B von B. Für jedes wÎW mit
waÎ R(B)
gilt dann aÎ R(wB). Nach (1) gilt also bÎR(wB), und damit
wbÎ R(B).
Wir haben gezeigt, es gibt ein System positiver Wurzeln (nämlich das System R(B)) mit
(2)			wb > 0 für jedes wÎW mit wa > 0.

Wären die Wurzeln a und -b linear unabhängig, dann gäbe es nach 9.2.4 ein wÎW mit wa > 0 und w(-b) > 0 im Widerspruch zu (2). Die Wurzeln a und b sind also proportional. Da das Wurzel-Datum von G nach 9.1.12 reduziert ist, folgt
b = ¶a .
Wegen (2) ist damit sogar b = a. Die Anzahl der b in der obigen Zerlegung der Lie-Algebra L(H) ist also s = 1. Insbesondere gilt
dim H/V ≤ 1.
Nach Aufgabe 6.6 (3) ist dann aber V ein Normalteiler in H.

Wir haben noch die obige Behauptung zu beweisen, d.h. wir haben zu zeigen, L(H) wird modulo L(V) von Wurzeln erzeugt, die positiv sind bezüglich jeder Borel-Untergruppe B mit aÎR(B).

Sei B eine Borel-Untergruppe mit aÎ R(B). Dann gilt HÍB, also
L(H)ÍL(B).
Es reicht also zu zeigen, für jede Borel-Untergruppe B von G, wird
L(B)
modulo L(V) von B-positiven Wurzeln erzeugt. Wegen T Í B operiert T durch Konjugation auf B, d.h. es gilt
(3)				L(B) = L(B)...L(B)L(B)
mit gewissen von 0 verschiedenen Gewichten
c: T ® G
Betrachten wir die zugehörigen Teiltori der Kodimension 1,
S := Ker(c).
Nach 4.4.7 gilt
	L(Z( S)) = {XÎL(G) | sX = X für alle sÎS}
		  L(G)
(da S im Kern von c liegt, operieren die sÎ S trivial auf L(G)). Wir sehen also,
(4)	c ist Gewicht von T auf  L(Z( S)) (i=1,...,r).
Für jede Borel-Untergruppe B’ÎB ist B’ÇZ(S) eine Borel-Untergruppe von Z(S), d.h. es gilt
R Z(S) Í B’ÇZ(S) Í B’,
Da dies für alle B’ÎB gilt, folgt
R Z(S) Í (Ç B’) = V.
Die Gewichtsvektoren der Zerlegung (3), welche nicht in L(V) liegen, gehören somit sogar zu den Gewichten von
L(Z(S)/ R Z(S)) = L(T)kXkX
d.h. die zugehörigen Gewichte sind Wurzeln von G. Man beachte, dies ist die Lie-Algebra einer Gruppe mit genau zwei Borel-Untergruppen, die T enthalten, und die Gewichtsvektoren X und X sind tangential zu jeweils genau einer dieser Borel-Untergruppen. Eine dieser Borel-Untergruppen ist
BÇZ(S)/ R Z(S).
Wegen L(H)ÍL(B) gilt damit
(5)				L(H) = L(H)...L(H)L(V)
mit
L(H) Í L(BÇZ(S)/ R Z(S))
mit anderen Worten, die Gewichte c in der Zerlegung von (5) sind B-positive Wurzeln.
QED.
9.3.5 Theorem: Beschreibung des unipotenten Radikals
Seien G eine zusammenhängende lineare algebraische Gruppe mit dem maximalen Torus T. Dann ist die 1-Komponente
V = (Ç B)
des Durchschnitts der unipotenten Radikale der Borel-Untergruppen B, welche T enthalten, gleich dem unipotenten Radikal von G,
V = RG .
Beweis. Für jede Borel-Untergruppe BÎB gilt
RG	Í B
also ist
RG	Í Ç B
also
RG Í V.
Zum Beweis der umgekehrten Inklusion reicht es zu zeigen, V ist ein Normalteiler von G. Da G von den Borel-Untergruppen BÎ B erzeugt wird (nach 8.1.8(iv)), reicht es zu zeigen, jede Borel-Untergruppe
B   T
normalisiert V. Nun wird die Borel-Untergruppe B erzeugt von den Zentralisatoren
(1)					Z(S) = BÇZ(S),
wobei S die Teiltori der Kodimension 1 von T durchläuft (nach 9.1.3). Es reicht also zu zeigen, jede der Untergruppen (1) normalisiert V.
1. Fall: S ist ein regulärer Torus.
Dann ist Z(S) auflösbar. Nach 7.3.5 ist für jede Borel-Untergruppe B’, welche S enthält, B’Ç Z(S) eine Borel-Untergruppe von Z(S). Es folgt
Z(S) = B’Ç Z(S) Í B’
d.h.
Z(S) Í Ç B’ .
Da Z(S) nach 7.3.5(i) zusammenhängend ist, folgt
Z(S) Í V.
Nun ist Z(S) auflösbar, also nach 6.11
Z(S) = T× Z(S) Í T×V.
Nun wird V von sich selbst und von T normalisiert, also auch vom Zentralisator Z(S).
2. Fall: S ist ein singulärer Torus.
Dann gibt es eine Wurzel aÎR(G,T) mit
S = (Ker a)
und mit den Bezeichnungen von 9.1.8 ist
Z(S) = G .
Außerdem ist
B :=  BÇG
eine Borel-Untergruppe von G und für jede Borel-Untergruppe B’ von G mit aÎR(B’) gilt
B Í B’.
Dann gilt aber
(B) Í Ç   B’ ,
also
(B) Í  H
also
B = T×(B) Í T×H.
Weil nun V von  T und von H normalisiert wird (vgl. 9.3.4), gilt dasselbe von B = BÇG = BÇ Z(S).
Wir haben gezeigt, für jede Borel-Untergruppe B von G mit TÍB normalisiert der Durchschnitt BÇ Z(S) die Untergruppe V, d.h. die Borel-Untergruppen von Z(S) normalisieren V (vgl. 7.3.5(ii)). Nun wird die Gruppe Z(S) von ihren Borel-Untergruppen erzeugt (vgl. 7.3.3 (i)), d.h. Z(S) normalisiert V.
QED.
9.3.6 Folgerung: der Zentralisator eines Torus im reduktiven Fall
Seien G eine zusammenhängende reduktive lineare Gruppe und T ein maximaler Torus von G. Dann gilt:
(i)	Für jeden Teiltorus S von T ist Z(S) zusammenhängend und reduktiv.
(ii)	Z(T) = T, d.h. die Cartan-Untergruppen von G sind gerade die maximalen Tori von G.
(iii)	Das Zentrum von G liegt ganz in T, Z(G) Í T.
Beweis. Zu (i).Das unipotente Radikal von Z(S) liegt in jeder Borel-Untergruppe, und damit sogar in deren unipotenten Anteil. Nachnach 7.3.5(ii) gilt damit
R Z(S) Í Ç (Z(S)ÇB) Í ÇB
also nach 9.3.5
R Z(S) Í (ÇB) = RG = {e},
d.h. Z(S) ist reduktiv. Nach 7.3.5(i) ist Z(S) zusammenhängend.
Zu (ii). Nach 7.2.10 ist die Cartan-Untergruppe
C := Z(T) ( = Z(T) nach (i))
nilpotent, also auflösbar. Nach 6.11 zerfällt sie in ein halbdirektes Produkt aus dem maximalen Torus T und dem unipotenten Teil C. Nun ist C ein maximaler zusammenhängender unipotenter Normalteiler von C, also gleich dem unipotenten Radikal von C. Da C nach (i) reduktiv ist, folgt C = {e}. Also ist
T = C = Z(T).
Zu (iii). Sei g Î Z(G) im Zentrum von G. Dann kommutiert g auch mit jedem Element von T. Nach (ii) gilt damit
g Î Z(T) = T.
QED.
Vereinbarung
Von jetzt an sei G eine zusammenhängende reduktive lineare algebraische Gruppe mit dem maximalen Torus T und dem Wurzelsystem R = R(G,T).
9.3.7 Proposition: die Untergruppen X
Sei G eine zusammenhängende reduktive lineare algebraische Gruppe mit dem maximalen Torus T und dem Wurzelsystem
R = R(G,T).
Dann gilt
(i)	Für jede Wurzel aÎR gibt es einen Isomorphismus
x: G ® X
	von G mit einer eindeutig bestimmten Untergruppe X von G mit
tx(x)t = x(a(t)x) für tÎT und xÎk.
	Es gilt
L(X) = Im(dx) = L(G).
(ii)	T und die X erzeugen zusammen die Gruppe G.
(iii)	L(T) und die L(X) erzeugen (als Vektorräume) zusammen die Lie-Algebra L(G)
Beweis. Zu (i). Für reduktive Gruppen vom halbeinfachen Rang 1 haben wir diese Aussage bereits bewiesen (vgl. 8.2.9(iii)).

Betrachten wir die Untergruppe (vgl. 9.1.8 )
G = Z((Ker a))
Nach 9.3.6(i) ist G reduktiv und nach 9.1.5 hat G den halbeinfachen Rang 1. Die Existenzaussage von (i) folgt damit aus 8.2.9(iii). Ist x ein Isomorphismus mit der angegebenen Eigenschaft, so gilt
tx(x)t = x(x) für tÎ Ker(a),
d.h. x(x)ÎZ( Ker(a)) = G. Das Bild von x liegt also in G. Die Eindeutigkeitsaussage folgt damit ebenfalls aus 8.2.9.
Zu (ii) und (iii). Nach 9.1.3 wird G von den Zentralisatoren
Z(S)
erzeugt, wenn S die Teiltori von G der Kodimension 1 durchläuft. Ist S ein regulärer Torus, d.h. ist Z(S) auflösbar, so gilt nach 6.11
Z(S) = T×RZ(S).
Nach 9.3.6(i) ist Z(S) reduktiv, d.h. das unipotente Radikal ist trivial,
Z(S) = T.
Damit wir G erzeugt von T und den Zentralisatoren
Z(S) mit S singulär,
d.h. G wird erzeugt von T und den Gruppen G mit aÎR. Da die G reduktiv von halbeinfachen Rang 1 sind, d.h.
L(G) = L(T)kXkX
mit Gewichtsvektoren X und X zu a bzw. -a (vgl. 8.2.7(vii)), wird damit L(G) von L(T) und den Gewichtsvektoren X, X mit aÎR erzeugt. Erst recht wird damit L(G) erzeugt von L(T) und den Gewichtsräumen
L(G) mit aÎR.
Sei G die von T und den  X erzeugte Untergruppe. Dann gilt
L(T) Í L(G) und L(G) Í L(G)
(denn nach (i) gilt L(X)=L(G) ). Damit ist aber
L(T)+  L(G) Í L(G) Í L(G) Í L(T)+  L(G).
Also gilt überall das Gleichheitszeichen,
L(G) = L(G) = L(T)+  L(G),
und insbesondere ist
G = G.
QED.
9.3.8 Folgerung: Die Gewichtsräume von T auf L(G) im reduktiven Fall
Sei G eine zusammenhängende reduktive lineare algebraische Gruppe mit dem maximalen Torus T und dem Wurzelsystem
R = R(G,T).
Dann gilt
(i)	Die Wurzeln von G bezüglich T sind gerade die von Null verschiedenen Gewichte von T auf L(G),
L(G) = L(G)(L(G))
	mit L(G) = L(T).
(ii)	Für jedes aÎR gilt dim L(G) = 1.
Beweis. Nach 9.3.7 wird G von T und den X erzeugt und es gilt
L(G) = L(T)+L(X).
Wegen
L(T) Í L(G) und L(X) = L(G)
(nach 9.3.7) folgt
L(G) = L(T)+L(X) Í L(G)(L(G)) Í L(G).
Damit gilt überall das Gleichheitszeichen und die Summe links ist direkt,
L(G) = L(T)(L(X)),  L(X) = L(G)
Insbesondere gilt
dim L(G) = dim L(X) = dim X = 1.
QED.
9.3.9 Folgerung: Kriterium für positive Wurzeln, die Dimensionen von G und B 
Sei G eine zusammenhängende reduktive lineare algebraische Gruppe mit dem maximalen Torus T und dem Wurzelsystem
R = R(G,T).
Weiter seien B   T eine Borel-Untergruppe von G und aÎR eine Wurzel. Dann gilt:
(i)	Die folgenden Aussagen sind äquivalent.
	(a) aÎR(B).
	(b) XÍB.
	(c) L(G) Í L(B).
(ii)	dim B = dim T +  # R.
(iii)	dim G = dim T + # R.
Beweis. (i). (a) Þ (b). Auf Grund der Definition von R(B) in 9.3.1 der Konstruktion der X in 9.3.7 ist
(1)		L(BÇZS/RZS) = L(T)L(X) mit S := Ker(a).
Da X aus unipotenten Elementen besteht, liegt das Bild von X in einer der beiden Borel-Untergruppen von
ZS/RZS.
Die Lie-Algebra der einen Borel-Untergruppe ist (1), die der anderen ist
(2)					L(T)L(X).
Da L(X) nicht in (2) liegt, kann das Bild von X nicht in der zugehörigen Borel-Untergruppe liegen, d.h, es gilt
X Í BÇZS.
Damit gilt (b).
(i). (b) Þ (c). Trivial, denn nach 9.3.7 ist L(X) = L(G).
(i). (c) Þ (a). Angenommen (a) ist falsch. Dann gilt -aÎ R(B),also auf Grund der bereits bewiesenen Implikation (a) Þ (b) auch
X Í B.
Insgesamt liegen also beide Gruppen X und X ganz in B. Nach 9.3.7 liegen beide Gruppen auch ganz in
G := ZS , S := Ker(a),
und sogar in (G,G) (vgl. 8.2.7) und haben damit nicht-triviale
 Bilder in
(3)				G/R G = ZS/RZS.
Diese Bilder liegen beide ganz in der Borel-Untergruppe
(4)					BÇZS/RZS.
Die Lie-Algebren L(X) = L(G) und L(X) = L(G) sind damit beide tangential zu (4). Dasselbe gilt trivialerweise für L(T). Damit haben also (3) und (4) dieselbe Lie-Algebra, d.h. die Gruppe (3) stimmt mit einer ihrer Borel-Untergruppen überein und ist damit auflösbar. Das steht im Widerspruch dazu, daß a eine Wurzel, d.h. S ein singulärer Torus sein soll.
(ii). Nach 9.3.8 gilt
L(G) = L(G)(L(G))
also
dim G = dim L(G) = dim L(G) +  dim L(G).
Die Räume L(G)haben nach 9.3.7 die Dimension 1. Also gilt
dim G = dim L(G) + #R.
Weiter ist,
L(G) = L(Z(T)) = L(T),
also
dim G = dim T + #R.
Damit ist di e erste Identität von (ii) bewiesen. Zum Beweis der zweiten beachten wir, daß L(B) in  Eigenräume bezüglich der Operation von T zerfällt, d.h. L(B) ist die direkte Summe von L(T) und derjenigen Räume L(G) welche in L(B) liegen. Nach (i) folgt
L(B) = L(T) (L(G)),
also
dim B = dim T + #R(B) = dim T +  #R.
QED.
9.3.10 Aufgaben
Seien G eine zusammenhängende reduktive lineare algebraische Gruppe und T ein maximaler Torus von G.
(1)	Ist X eine 1-dimensionale zusammenhängende unipotente Untergruppe von G, welche normalisiert wird durch T, so gibt es ein aÎR = R(G,T) mit X = X (wie in 9.3.7).
(2)	(a) Sei tÎT. Dann wird der zusammenhängende Zentralisator
Z(t)
	erzeugt von  T und den Untergruppen X mit a(t) = 1. (Hinweis: man benutze 4.4.4(ii)).
	(b) Der Zentralisator eines halbeinfachen Elements von G ist reduktiv.
(3)	Das Wurzelsystem A. Seien G = GL und T = D (vgl. 2.1.3).
	(a) Wir setzen
a  := xx für 1≤ i,j ≤ n, i¹ j.
	Man zeige, die a sind Wurzeln, d.h. aÎR(G,T).
	(b) L(G) = gl ist die direkte Summe aus L(T) und den L(G) mit i ¹ j. Man zeige, G ist reduktiv.
	(c) Das Wurzel-Datum F(G,T)  is isomorph zu (X,R,X,R) mit
X = X = Z
	(wobei die Paarung gerade das Standard-Skalarprodukt sei) und
R = R = { e - e | i ¹ j }.
	Die e  seien die Standard-Einheitsvektoren.
	(d) Seien G’ := SL und T’ := TÇG’. Dann ist G’ eine zusammenhängende halbeinfache Gruppe und T’ ein maximaler Torus von G. Das Wurzel-Datum F(G’,T’) ist isomorph zu (X’,X’,R’, R’)  mit
			X’ = X/Z×(e+...+e)
			X’ = { (x,...,x)ÎX | x+...+x = 0}
			R’ = πR,
			R’ = R.
	Dabei sei π: X®X’ die natürliche Abbildung.
	(e) Sei Z Í GL  die Untergruppe der skalaren Vielfachen der Einheitsmatrix (d.h. das Zentrum von GL). Wir setzen
G” := G/Z, T” :=  T/Z.
	Dann ist G” eine zusammenhängende halbeinfache Gruppe mit dem maximalen Torus T” und das Wurzel-Datum F(G”,T”) ist isomorph zum Wurzel-Datum F(G’,T’) von (d).
(4)	Das Wurzelsystem B. Sei char k ¹ 2. Wir setzen
V := k
	und bezeichnen mit ( ,  ) die symmetrische Bilinearform
( , ): V´V ® k, (,) a xh +  (xh + xh).
	Weiter bezeichne G die Einskomponente der Gruppe
{ tÎGL(V) | (tv,tw) = (v,w) für v,wÎV}
	der Elemente aus GL(V), die diese Bilinearform invariant lassen. 
	(a) Man zeige, G ist isomorph zu SO und die Gruppe T der Transformationen
 a  mit xÎk* für alle i
	ist ein maximaler Torus von G. Die Abbildungen
 a x  und  a xx mit i ¹ j , n = ¶1, e = ¶1 
	definieren Wurzeln von R(G,T).
	(b) Die Lie-Algebra L(G) ist die Menge der tÎEnd(V) mit
(tv, w) + (v, tw) = 0 für alle v,wÎV
	(Hinweis: man verwende 4.4.4(ii)). L(G) ist die direkte Summe aus L(T) und den L(G) mit a wie in (a). Man zeige, G ist halbeinfach.
	(c) Das Wurzel-Datum F(G,T) ist isomorph zu (X,R,X,R) mit
				X = X = Z
				R = { ¶e , ¶e ¶e | i ¹ j }
				R= { ¶2e , ¶e ¶e | i ¹ j }
(5)	Das Wurzelsystem D. Sei char k ¹ 2. Wir setzen
V := k.
Bezeichne ( , ) die symmetrische Bilinearform
( , ): V´V ® k, (,) a (xh + xh).
	Wie in der vorigen Aufgabe bezeichne G die Einskomponente der Gruppe
{ tÎGL(V) | (tv,tw) = (v,w) für v,wÎV}
	der Elemente aus GL(V), die diese Bilinearform invariant lassen und T die Untergruppe der Transformationen
 a  mit xÎk* für alle i.
	Man zeige, G ist halbeinfach (und isomorph zu SO und T ist ein maximaler Torus von G. Das Wurzeldatum Y(G,T) ist isomorph zu 
(X,R,X,R)
	mit
X = X = Z, R = R = {¶e¶e | i¹j}.
(6)	Das Wurzelsystem C. Sei
V = k
	und ( , ) die alternierende Bilinearform
( , ) : V´V ® k, (,) a (xh - xh).
	Sei G die symplektische Gruppe Sp , d.h. die (nach 6.6.(2) zusammenhängende) Gruppe
G  = { tÎGL(V) | (tv,tw) = (v,w) für v,wÎV}.
	Weiter sei T wie in (5) die Untergruppe der Transformationen
 a  mit xÎk* für alle i.
	Man zeige, T ist ein maximaler Torus von G und G ist halbeinfach. Das zugehörige Wurzeldatum Y(G,T) ist isomorph zu 
(X,R,X,R)
	mit
					X = X = Z,
					R = {¶2e , ¶e¶e | i¹j}.
					R = {¶e , ¶e¶e | i¹j}.

Lösungen
Zu (1)
Nach dem Struktursatz 2.2.6 für 1-dimensionale lineare algebraische Gruppen gibt es einen Isomorphismus linearer algebraischer Gruppen
x: G ® X .
Nach Voraussetzung ist die Abbildung
X ® X, g a tgt,
für jedes tÎT ein wohldefinierter Automorphismus linearer algebraischer Gruppen. Mit Hilfe von x induziert dieser einen Automorphismus
(1)					G®G ,
der seinerseits einen Automorphismus von k[G] = k[T] induziert. Letzterer ist (wie jeder Morphismus von Varietäten) durch ein Polynom definiert (das Bild von T). Da es sich um einen Automorphismus handelt, ist dieses Polynom linear. Da der Automorphismus von einem Gruppenhomomorphismus kommt, ist das Polynom additiv, d.h. es ist ein lineares homogenes Polynom in T. Der Automorphismus (1) hat damit die Gestalt
G ® G , x a a(t)x,
mit a(t) Î k*. Damit gilt
(2)			tx(x)t =  x(a(t)x)	für tÎT, xÎG.
Insbesondere ist a(t) = x(tx(x)t)/x von x unabhängig und als Funktion von t eine reguläre Funktion. Weiter gilt
a(tt’) = a(t)a(t’) für t,t’ÎT,
d.h.
a: T ® G
ist ein Charakter. Seien
					S := Ker(a)
					Z := Z(S).
Nach 9.3.6 (i) ist Z zusammenhängend und reduktiv. Wäre a trivial, so wäre S = T und nach 9.3.6 T = Z. Wegen (2) wäre damit
Im(x) Í Z (T) = Z(S) = Z = T,
d.h. jedes x(x), xÎG, wäre sowohl unipotent als auch halbeinfach, d.h. x(x) = e.  Das steht im Widerspruch dazu, daß x ein Isomorphismus sein sollte. Also ist
a: T ® G nicht trivial.
Insbesondere ist S ein Torus der Kodimension 1 in T. Nach (2) gilt
X = Im(x) Í Z(S) = Z,
denn a(t) = 1 für tÎS. Wir haben nocht zu zeigen, a ist eine Wurzel, d.h. Z ist nicht auflösbar. Angenommen, Z ist auflösbar. Für jede Borel-Untergruppe BÎB ist dann S Í T Í B, d.h. BÇZ ist eine Borel-Untergruppe von Z (vgl. 7.3.5(ii)), d.h.
Z = BÇZ Í B.
Nach (2) gilt aber X = Im(x) Í Z, d.h. es ist X Í B für jedes BÎB . Wegen X @ G gilt damit sogar
X Í B für jedes BÎB ,
also
X Í Ç B
also nach (9.3.5) sogar X Í RG. Das unipotente Radikal von G ist aber trivial, da G nach Voraussetzung reduktiv sein soll. Also ist X trivial. Das steht aber im Widerspruch zur Voraussetzung dim X = 1. Also ist Z nicht auflösbar, d.h. S ein singulärer Torus, d.h. a eine Wurzel von G.
Zu (2)(a).
Nach (9.3.8) ist L(G) die direkte Summe von L(T) und den L(G) mit aÎR = R(G,T) und nach 9.3.7 gilt L(G) = L(X). Insbesondere sind die letzteren Räume 1-dimensional. Die Teil-Lie-Algebra
(1)				L(Z) Í L(G), Z := Z(t))
zerfällt in eine direkte Summe von T-invarianten Unterräumen (weil T diagonalisierbar ist) und enthält L(T) (wegen T Í Z). Jeder invariante direkte Summand der Dimension 1 der Lie-Algebra L(Z() ist auch ein solcher von L(G). Deshalb ist L(Z) eine direkte Summe aus L(T) und denjenigen L(X), die ganz in L(Z():
L(Z) = L(T) ( L(X)).
Nun gilt nach (4.4.4(ii))
L(Z) = L(G) = L(G) = {XÎL(G) | Ad(t)X = X }
Die Bedingung L(X) Í L(Z) ist daher äquivalent zu
Ad(t)X = X für alle XÎL(X),
d.h. zu
a(t)X = X für alle XÎL(X),
d.h. zu a(t) = 1. Die obige direkte Zerlegung von L(Z) bekommt damit die Gestalt
(2)			L(Z) = L(T) ( L(X)).
Sei jetzt Z’ die von T und den X mit a(t) = 1 erzeugte Untergruppe von G. Nach 6.1 ist Z’ abgeschlossen und zusammenhängend. Wegen
(3)				T Í Z und X Í Z für a(t) = 1
gilt Z’ Í Z also Z’ Í Z. Es reicht also, zu zeigen, dim Z’ ≥ dim Z. Dazu wiederum reicht es, zu zeigen
L(Z’)   L(Z).
Wegen (2) reicht es zu zeigen
L(Z’)   L(T) und L(Z’)   L(X) für a(t) = 1.
Letzteres ergibt sich aber aus den Inklusionen (3).
Zu (2)(b).
Sei tÎG ein halbeinfaches Element. Wir zeigen, der zusammenhängende Zentralisator
Z := Z(t)
ist der Zentralisator eines Torus S. Nach (9.3.6)(i) ist damit Z reduktiv.

Nach (7.3.3)(ii) gibt es einen maximalen Torus T Í G mit tÎT. Wir setzen
R(t) := { aÎR(G,T) | a(t) = 1}
Nach Aufgabe (2)(a) hängt Z nur von R(t) (und nicht von t) ab, d.h. für alle t’ÎT mit R(t’) = R(t) ist der zusammenhängende Zentralisator von t’ gleich Z, d.h. es gilt
Z(t’) = Z falls a(t’) = 1 für alle aÎR(t) und a(t’) ¹ 1 für alle aÎR - R(t)
Sei
D(t) := Ç Ker(a)
Dann kann man die letzte Aussage in der folgenden Gestalt aufschreiben:
(4)	Z(t’) = Z für jedes t’Î D(t) mit a(t’) ¹ 1 für alle aÎR - R(t).
Nach Konstruktion ist D(t) eine abgeschlossene Untergruppe des maximalen Torus T, also insbesondere diagonalisierbar. Sei
aÎR - R(t)
Dann ist
(5)					Ker(a)ÇD(t)
eine abgeschlossene Untergruppe von D(t). Insbesondere haben alle Komponenten von dieser Untergruppe dieselbe Dimension, d.h. (5) ist entweder gleich D(t) oder eine Hyperfläche von D(t). Der erste Fall kann nicht eintreten, weil t in D(t) liegt aber nicht in Ker(a). Insbesondere hat (5) eine kleinere Dimension als D(t) und es gilt
S := D(t)  Ker(a) für aÎR - R(t).
Weil S irreduzibel ist, folgt
S   È Ker(a),
d.h.
U(t) := S - È Ker(a)
ist eine nicht-leere offene Teilmenge von S und wegen (4) gilt
(6)			Z(t’) = Z für jedes t’Î U(t).
Falls man t’ aus der größeren Menge S Í D(t) wählt so gilt nach Definition von D(t) wenigstens a(t’) = 1 für alle aÎR(t), d.h.
R(t) Í R(t’),
d.h. die Menge der zu t’ gehörigen X ist eventuell größer als die Menge der X die zu t gehören. Nach Aufgabe (2)(a) ist damit
Z Í Z(t’).
Wir haben gezeigt,
(7) 			Z(t’)   Z für jedes t’Î S.
Nach (6) und (7) gilt mit damit
(8)		Z = Ç Z(t’) Í Ç Z(t’) = Z(S),
Nun ist S eine zusammenhängende diagonalisierbare Gruppe, also ein Torus. Nach (9.3.6)(i) ist Z(S) zusammenhängend und reduktiv. Insbesondere gilt
Z(S) Í Z(t’) für jedes t’ÎS.
Wählt man ein t’ aus der offenen dichten Teilmenge U(t) von S, so sieht man auf Grund von (6), daß sogar Z(S) Í Z  gilt. Zusammen mit (8) ergibt sich
Z = Z(S).
Insbesondere ist Z reduktiv.
QED.
Zu (3).
1 Schritt. T = D ist ein maximaler Torus von G.
Nach Aufgabe 7.2.11 (4) bilden die oberen Dreiecksmatrizen in G eine Borel-Untergruppe
B = T.
Der unitpotente Anteil der Gruppe ist gerade
B = U
die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und B/B hat die Dimension eines maximalen Torus von B (also von G). Wegen
dim B/B = n
ist damit die Gruppe der Diagonalmatrizen
D Í G
ein maximaler Torus von G. 
2 Schritt. Die a sind Wurzeln von G.
Offensichtlich sind die a: D ® G Charaktere. Zum Beweis der Wurzeleigenschaft können wir annehmen i = 1 und j = 2 (andernfalls permutiere man die Basis von k). Wir schreiben a = a. Es gilt
S := Ker(a) = { | x = x } = Ker(a)
Berechnen wir den Zentralisator des Torus S in G. Für s =  Î S und g = (g) ist der Eintrag in der Position von (i,j) der Matrix tgt gleich xgx. Deshalb gilt
gÎZ(S) Û xgx = g für alle i und j und alle x mit x = x.
	Û g(xx-1) = 0 für alle i und j und alle x mit x = x.
Für (i,j) ¹ (1,2), (2,1) ist das nur möglich falls i = j gilt oder g = 0. Daraus ergibt sich
(*)			Z(S) = { | AÎGL , BÎD} @ GL´D
Wegen
SL Í GL
ist GL und damit auch Z(S) nicht auflösbar, d.h. S = Ker(a) ist ein singulärer Torus. Dann ist aber a eine Wurzel von G.
3. Schritt: die Zerlegung der Lie-Algebra von G.
Da die a Wurzeln sind, sind die Gewichtsräume
L(G)
mindestens 1-dimensional. Gewichtsvektoren ´zu verschiedenen Gewichten sind stets linear unabhängig, d.h. die Summe
L(D)+  L(G)
ist direkt und damit von der Dimension
dim D + dim L(G) ≥ n + n(n-1) = n.
Damit gilt dim L(G) = 1 für i ¹ j und
L(G) = L(D)  ( L(G)).
4. Schritt. G ist reduktiv.
Das Radikal R(G) liegt in einer, also in jeder Borel-Untergruppe von G. Insbesondere gilt
R(G) Í T (obere Dreiecksmatrizen).
Das Unipotente Radikal besteht also aus lauter oberen Dreicksmatrizen mit Einsen auf der Hauptdiagonale:
R(G) Í U.
Aus Symmetriegründen gilt  dann aber auch
R(G) Í U’
wenn U’ die unteren Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Hauptdiagonale bezeichnet.  Wege U Ç U’ = {e} folgt R(G) = {e}, d.h. G ist reduktiv.
5. Schritt. Das Wurzeldatum (X,R,X,R) von G.
Bezeichne
c: D ® G
die Projektion auf den i-ten Eintrag der Hauptdiagonalen. Dann ist X die  von  den c erzeugte freie abelsche Gruppe,  d.h. die Z-lineare Abbildung
Z ® X, e a c ,
ist ein Gruppen-Isomorphismus. Die Menge der Wurzeln a wird dabei in die oben angegebene Menge R abgebildet. Sei weiter
c: G ® D 
die Abbildung, welche tÎk* abbildet in die Diagonalmatrix, deren i-ter Eintrag auf der Hauptdiagonalen gleich t ist und die sonst mit der Einheitmatrix übereinstimmt. Dann ist X die von den c erzeugte freie abelsche Gruppe, d.h. die Z-lineare Abbildung
Z ® X, e a c ,
ist ein Gruppen-Isomorphismus. Die Paarung
X´X ® Z, (c, c) a <c, c>,
entspricht bei den obigen Isomorphismen gerade dem Standard-Skalarprodukt
( , ) :Z´Z ® Z, (,) a  xy ,
(wegen < c, c> = d ).
Wir haben noch zu zeigen, die Menge R der Kowurzeln ist gerade die oben angegebene Menge. Dazu reicht es zu zeigen, die Kowurzel zur Differenz c - c ist gerade c - c, d.h. die Spiegelung an der zu c - c orthogonalen Hyperebene ist gerade
s(x) = x - <x, c - c>( c - c).
Wir benutzen die obigen Isomorphismen um X und X mit Z zu identifizieren. Die Abbildung s bekommt dann die Gestalt
s(x) = x - (x, e - e) (e - e)
Sei n ein Vektor der Länge 1 in Richtung e - e , d.h.
n =  (e - e)
mit e = ¶1. Dann gilt
s(x) = x - 2 (x, n)n , 
d.h. s ist tatsächlich die erwähnte Spiegelung.
6. Schritt. Beschreibung von SL (Aussage von (3)(d)
6.1: SL ist zusammenhängend.
Jedes xÎ SL ist konjugiert zu einer oberen Dreieksmatrix:
gxg Î T für eine gÎ G.
Weil k algebraisch abeschlossen ist kann man g in der Gestalt g = l×g’ schreiben mit lÎk* und g’ÎSL. Damit ist
g’xg’ = gxg Î T , g’Î SL.
Mit anderen Worten die Untergruppen der Gestalt
gB’g mit B’ := TÇ SL und gÎSL
überdecken SL und erzeugen also SL. Nach (6.1) reicht es zu zeigen, B’ ist zusammenhängend. Offensichtlich ist T zusammenhängend (als zariski-offene Menge des k). B’ ist in T definiert durch die Gleichung
1 = det  = xx×...×x
Wir haben zu zeigen, der Koordinatenring von B’,
	k[B’] = k[T]/(f)
		= k[T,...,T, weitere Unbestimmte]/(f)
mit g = TT×...×T und f = g -1, ist nullteilerfrei.
Dazu reicht es zu zeigen,
k[T,...,T,...]/(f) @ k[T,...,T] mit h = TT×...×T,
denn dann ist k[B’] ein iterierter Quotientenring eines nullteilerfreien Rings (nämlich von k[T,...,T, ... ]). Allgemeiner reicht es zu zeigen, für kommutative Ringe R mit 1 und Elemente rÎR gilt
R[T]/(Tr - 1) @ R .
Das ist aber der Fall, weil die linke Seite die Universatitätseigenschaft der rechten hat.
6.2 : B’ := TÇ SL ist Borel-Untergruppe von SL
Wie in 6.1 gezeigt ist B’ zusammenhängend. Die Untergruppe ist auflösbar, weil T es ist. Wir haben noch zu zeigen, B’ ist maximal bezüglich dieser Eigenschaften. Dazu reicht es zu zeigen, B’ enthält eine Borel-Untergruppe. Um letzteres zu zeigen, reicht es wenn wir zeigen, B’ ist parabolisch (vgl. 7.2.6(i)). Nun ist T der Stabilisator der Standard-Fahne
V Ì V Ì ... Ì V = k , V = erzeugt von e, ... , e
in G. Deshalb ist B’ der Stabilisator dieser Fahne in SL. Genau wie G operiert SL transitiv auf den vollständigen Fahnen (weil jedes Element von G ein k*-Vielfaches eines Elements von SL ist). Deshalb gilt
SL/B’ @ { vollständige Fahnen von k} @ G/T.
Der Faktor ist also eine projektive Varietät, d.h. B’ ist parabolisch.
6.3 : T’ := DÇ SL ist maximaler Torus von SL.
Es reicht zu zeigen, T’ ist maximaler Torus der Borel-Untergruppe B’. Das ist aber der Fall, denn die natürliche Abbildung induziert eine Bijektion T’ ® B’/B’.
6.4: Jeder Normalteiler von SL ist auch Normalteiler von G = GL.
Jedes Element gÎG hat die Gestalt g = l×g’ mit g’Î SL. Die Konjugation mit g ist also gleich der Konjugation mit g’.
6.5.: SL ist halbeinfach.
R(SL) ist nach 6.4 ein zusammenhängender auflösbarer Normalteiler in G. Deshalb gilt
R(SL) Í R(G)
also R(SL) Í R(G) = {e} (da G reduktiv ist). Deshalb ist
S := R(SL)
ein Torus. Er liegt in einem maximalen Torus und als Normalteiler damit in jedem maximalen Torus. Insbesondere gilt
S Í T’Í D.
Nun ist S ein Normalteiler in SL , also nach 6.4 auch einer in G. Für sÎS ist also insbesondere gsg eine Diagonalmatrix für jedes gÎG. Das ist aber nur möglich, wenn s ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist. Damit gilt
S Í {l×Id | lÎk*}.
Wegen S Í SL folgt sogar
S Í {l×Id | lÎk* und l = 1}.
Rechts steht eine endliche Menge und S ist zusammenhängend. Deshalb gilt
R(SL) = S = {e},
d.h. SL ist halbeinfach.
6.6.: Vergleich der Charaktergruppen X und X’ von G und G’.
Wir betrachten die exakte Sequenz von Tori
1 ® T’ ® T ® T/T’ ® 1.
Sie induziert eine exakte Sequenz der Charaktergruppen
0 ® X(T/T’) ® X ® X’ ® 0
(vgl. Aufgabe ...). Die Charaktere von T/T’ kann man mit den Charakteren cÎX von T identifizieren,
c = x×...×x,
die auf T’ trivial sind, d.h. für x = 1/(x×...×x) ist der obige Ausdruck Null, d.h.
x×...×x = 1 für beliebige x,...,xÎk*.
Das ist nur möglich, falls alle Exponenten gleich sind,
n = ... = n .
Identifiziert man jeden Charakter mit dem Tupel der zugehörigen Exponenten, X = Z , so bekommt die obige exakte Sequenz die Gestalt
0 ® Z×(e+...+e) ® Z ® X’ ® 0,
d.h. X’ hat die behauptete Gestalt,
X’ = Z/Z×(e+...+e).
Bezeichne π: X ® X’ die natürliche Abbildung.
6.7.: Die Einschränkungen a’ := a|: T’ ® G = π(a) der Wurzeln von G auf T’ sind Wurzeln von G’ = SL , es gibt keine weiteren.
O.B.d.A. sei i = 1 und j= 2. Nach dem zweiten Schritt gilt
S’ := (Ker a’) = T’ÇS = { | x = x , xx×...×x = 1}.
Man beachte, die Menge rechts ist zusammenhängend (auf Grund desselben Arguments wie für die Irreduzibilität von T in 6.1). Weiter ist
Z(S’) = {g’ÎG’ | g’t’=t’g’ für t’ÎS} = G’ÇZ(S)
(weil jedes Element von G skalares Vielfaches eines Elements von G’ ist und analog für S und S’). Nach dem zweiten Schritt ist damit
Z(S’) = SLÇ(GL´D)   SL´{e},
d.h. Z(S’) ist nicht auflösbar und S’ damit ein singulärer Torus. Dann ist aber a’ eine Wurzel von G’. Analog sind die a’ Wurzeln von G’. Wir haben noch zu zeigen, es gibt keine weiteren.

Weil G’ halbeinfach, also reduktiv ist, kennen wir  nach 9.3.8 die Zerlegung der Lie-Algebra von G’,

L(G’) = L(T’)  (L(G)) ???,
wobei die weiteren direkten Summanden eventuellen weiteren Wurzeln entsprechen. Nun ist aber
	dim L(G’) = dim SL = n - 1.
	dim L(T’) = n - 1
und die Anzahl der a ist gerade n - n. Aus Dimensionsgründen kann es also keine weiteren direkten Summanden geben. Die Menge der Wurzeln von G’ ist damit gleich der Menge der a , d.h.
R’ = π(R).
6.8.: die 1-Parameter-Untergruppen von T’.
T’ hat in T die definierende Gleichung
x×...×x = 1.
Eine 1-Parameter-Untergruppe h: G®T,
h(x) = 
ist genau dann eine solche von T’, wenn das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen für alle x gleich 1 ist, d.h. wenn die Summe der Exponenten 0 ist:
X’ = {(x,...,x)ÎX | x + ... + x = 0}
6.9.:  Die Kowurzeln von G’.
Die oben konstruierten Kowurzeln von GL haben die Gestalt
a (x) = diag(1,...,x,...,x,...,1)
wobei die von 1 verschiedenen Koordinaten gerade die i-te bzw. j-te Koordinate sind. Insbesondere liegen die Werte der Kowurzeln sogar in T’, d.h. es sind Elemente von X’. Schließlich liefern die definierenden Identitäten für die Kowurzeln von G durch Einschränken der Charaktere auf T’ gerade die definierenden Identitäten für die Kowurzeln von G’.
7. Schritt. Die Aussage von (3)(e).
Man verwende Argumente, die in gewisser Weise dual zu den Argumenten des 6. Schritts sind.
Zu (4).
9.4 Halbeinfache Gruppen
Wir beenden dieses Kapitel mit einigen Eigenschaften der halbeinfachen Gruppen.
Vereinbarung
Wie bisher sei G eine zusammenhängende reduktive lineare algebraische Gruppe mit dem maximalen Torus T und dem Wurzelsystem R = R(G,T).
9.4.1 Theorem: Die zusammenhängenden abgeschlossenen Normalteiler einer halbeinfachen Gruppe
Sei G eine halbeinfache zusammenhängende lineare algebraische Gruppe. Dann gilt:
(i)	Die Untergruppen X mit aÎR (vgl. 9.3.7) erzeugen G.
(ii)	G = (G,G).
(iii)	Sei N’ Í G ein zusammenhängender abgeschlossener Normalteiler. Dann ist N’ halbeinfach. Es gibt einen zusammenhängenden abgeschlossenen Normalteiler N” mit
(N’, N”) = {e} und N’ÇN” endlich, G = N’N”.
(iv)	Die Anzahl der minimalen nicht-trivialen zusammenhängenden abgeschlossenen Normalteiler von G ist endlich. Sind
N,...,N
	diese Normalteiler, so gilt
(N , N) = {e} , N Ç (G) endlich, G = N×...×N .
	Die N besitzen keine abgeschlossenen Normalteiler positiver Dimension.
Beweis. 1. Schritt: die Halbeinfachheit der Gruppe N’ von (iii).
Das Radikal R(N’) von N’ ist zusammenhängend, auflösbar, abgeschlossen in G und ist ein Normalteiler in G. Also liegt R(N’) im Radikal von G und ist damit trivial. Also ist N’ auflösbar.
2. Schritt. Beweis von (i).
Sei G’ die von den X  erzeugte Untergruppe von G,
G’ := Erzeugnis der X.
Wir haben zu zeigen, G’ = G. Nach 6.1 ist
G’ abgeschlossen und zusammenhängend.
Die X erzeugen zusammen mit T die Gruppe G (nach (9.3.7)(ii)). Es reicht also zu zeigen,
T Í G’.

 Die X normalisieren G’. Also ist
(1)				G’ Normalteiler in G.
Der Durchschnitt
(Ç Ker(a))
ist ein Torus von G und liegt im Zentrum von G. Damit liegt der Durchschnitt im Radikal von G, ist also trivial,
(Ç Ker(a)) = {e}.
Das bedeutet insbesondere, die aÎR erzeugen ein Gitter in X mit endlichem Index
[X : <a | aÎR> ] < ∞.
Außerdem wird T von den Bildern der Kowurzeln erzeugt,
T = < a(G) | aÎR>.
Es reicht also zu zeigen,
a(G) Í G’ für aÎR.
(wegen 9.3.7(ii)). Dazu wiederum reicht es zu zeigen,
a(G) Í <X , X >
Nach Definition gilt
a(G) Í  T Í G := Z(Ker(a)).
Nach 9.3.5(i) ist G reduktiv und zusammenhängend und hat nach (9.1.5) den halbeinfachen Rang 1. Nach 8.2.7(iv) ist (G, G) halbeinfach vom Rang 1, d.h. (G, G) ist isomorph zu SL oder PSL und insbesondere gilt
dim (G, G) = 3.
 Die Kowurzel a ist definiert durch die Bedingung
s(x) = x - <x, a>a für xÎX(T)
wobei s die Konjugation mit dem nicht-trivialen Element der Weyl-Gruppe von G  bezeichnet. Sei T ein maximaler Torus von (G, G), welcher ganz in T liegt. Dann ist a auch die Kowurzel der Einschränkung a| von a auf T. Insbesondere gilt
a(G) Í T Í(G, G).
Die Untergruppen X und X erzeugen in der Gruppe (G, G) einen 
zusammenhängenden (vgl. 6.1) Normalteiler einer Dimension ≥ 2 (weil der Tangentialraum mindestens 2-dimensional ist), also die ganze Gruppe (da die Gruppe außer den trivialen Normalteilern nur noch endliche Normalteiler besitzt). Es folgt
		a(G) Í T Í (G, G) = < X , X>.
3. Schritt. Beweis von (ii).
Für aÎR und tÎT gilt
(2)		tx(x)tx(-x) = x((a(t)-1)x).
Diese Formel zeigt, es gilt
X Í (G,G).
Da nach dem zweiten Schritt die X die Gruppe G erzeugen, folgt
G = (G,G),
d.h. es gilt (ii).
4. Schritt. Beweis von (iii).
Sei N’ÍG zusammenhängender abgeschlossener Normalteiler. Wir haben im ersten Schritt bereits gezeigt, daß N’ dann halbeinfach ist. Wir charakterisieren als nächstes die Wurzeln aÎR, für welche X in N’ liegt. Sei
T’ Í N’
ein maximaler Torus von G’ mit T’ Í T. Dann gilt
(3)		X Í N’ Û a| ¹ 0.
Beweis von ‘Þ’: 
Angenommen a| = 0. Nach (2) sind dann die Kommutatoren der Elemente von X mit denen von T’ trivial, d.h. die Elemente von T’ kommutieren mit denen von X. Da nach Voraussetzung X Í N’ gilt, folgt
X Í Z(T’).
Nach dem ersten Schritt ist aber N’ halbeinfach, also reduktiv. Also ist in N’ der Zentralisator des maximalen Torus T’ gleich T’ (nach 9.3.6(ii)),
X Í Z(T’) = T’.
Das ist aber unmöglich: X besteht aus unipotenten Elementen und T’ aus halbeinfachen.
Beweis von “Ü”. 
Wir betrachten (2) mit tÎT’ (Í N’). Das Produkt der letzten drei Elemente der linken Seite liegt in N’ (weil N’ ein Normalteiler ist). Also liegt die linke Seite in N’, also gilt
x((a(t)-1)x) Î N’ für alle tÎT’ und alle xÎk.
Da a nach Voraussetzung nicht identisch 1 ist auf T’, folgt
X = Im(x) Í N’.
Damit ist (3) bewiesen. Zeigen wir, es gilt sogar
(4)		X Í N’ Û a| ¹ 0 Û a| ist Wurzel von N’.
Es ist nur noch die letzte Implikation zu beweisen. Die Richtung “Ü" ist trivial (der triviale Charater auf T’ kann keine Wurzel sein). Die Richtung “Þ” wird wie folgt bewiesen: ist a| ¹ 0, so ist nach (3) auch
X Í N’,
d.h. X ist eine 1-dimensionale zusammenhängende unipotente Untergruppe von N’. Nach Aufgabe 9.3.10(1) gibt es eine Wurzel bÎR(N’,T’) mit
X = X
Nach Definition von X bzw. X operiert T’ auf dieser Gruppe durch Multiplikation mit den Charakter a bzw. b. Deshalb gilt a| = b. Insbesondere ist a’ := a| eine Wurzel von N’. Damit ist (4) bewiesen. Wir setzen jetzt
	R’ := { aÎR | a| ist Wurzel von N’ }
	R” := R - R’.
Ist R’ = Æ, so gilt nach (4) und dem zweiten Schritt
T’ Í (Ç Ker(a)) = {e}.
Nach (9.3.9)(iii) ist
 dim N’ = dim T’ + # R’ = 0, d.h. N’ =  {e},
d.h. wir können N” = G setzen.
Ist R” = Æ, so gilt N’ = G (nach (4) und (i)) und wir können N” = {e} setzen. In beiden Fällen gilt also die Aussage von (iii). Sei jetzt
R’ ¹ Æ und R” ¹ Æ.
Wir definieren N” als die von den X mit aÎR” erzeugte Untergruppe,
N” := < X | aÎR” >.
Dann ist N” abgeschlossen und zusammenhängend (nach (6.1)). Zeigen wir, es gilt
(5)				(N’, N”) = {e}.
Sei a’ÎR’ und a”ÎR”. Wir setzen
x(x) = x(h)x(x)x(-h).
Dann gilt x(x)ÎN’ (weil N’ Normalteiler ist und Im(x) nach (4) in N’ liegt) und
tx(x)t = x(a’(t)x) für tÎT’
(weil a” nach (4) auf T’ trivial ist). Nach Aufgabe (9.3.10)(1) gibt es eine Wurzel aÎR(N’,T’) Í R(G,T) mit
x(x) = x(f(h)x)
mit einem Homomorphismus algebraischer Gruppen
f: G ® G .
Da G aus unipotenten und G aus halbeinfachen Elementen besteht, folgt f(h) = 1 für alle h, d.h. x(x) hängt nicht von h ab. Es folgt
x(h)x(x)x(-h) = x(x),
d.h. die Elemente von X kommutieren mit denen von X . Nun erzeugen die X (wegen (i)) den Normalteiler N’ und die X erzeugen N” (nach Definition von N”). Also gilt (5). Außerdem erzeugen die X und X zusammen die gesamte Gruppe G (nach (i)) und normalisieren N”. Deshalb ist N” Normalteiler in G und es gilt
(6)					N’N” = G.
Schließlich ist (N’ÇN”) ein abgeschlossener zusammenhängender Normalteiler von G und jedes aÎR ist trivial auf einem passend gewählten maximalen Torus, d.h. die Menge der Wurzeln ist leer (vgl. (4)), d.h. die Menge der X, die diesen Normalteiler (nach (i)) erzeugen ist leer. Es folgt (N’ÇN”) = {e}, d.h.
(7)				N’ÇN” ist endlich. 
Mit (5), (6) und (7) ist Aussage (iii) des Satzes bewiesen.
5. Schritt. Beweis von (iv).
Die Endlichkeitsaussage folgt aus (i) und der Tatsache, daß die Menge der Teilmengen von
{ X | aÎR}
endlich ist. Die übrigen Aussage ergeben sich durch wiederholtes anwenden von (iii) (und der Tatsache, daß der Durchschnitt von zwei minimalen N trivial sein muß.
QED.
9.4.2 Definitionen: Wurzel- und Gewichtsgitter, fundamentale Gruppe eines Wurzeldatums
Sei G eine zusammenhängende halbeinfache Gruppe mit dem Wurzeldatum (X,R,X,R). Dann heißt die von den Wurzeln aÎR = R(G,T) erzeugte Untergruppe von X Wurzelgitter von R und wird mit 
Q := Q(R,T) := { na | n ÎZ, aÎR }
bezeichnet. Sei
V := QR
wie in 9.1.11 Bemerkung (ii). Dann heißt
P := P(G,T) := {vÎV | <v, a> Î Z für aÎR}
Gewichtsgitter von R. Nach Definition gilt
Q Í X Í P.
Die halbeinfache Gruppe G heißt adjungiert im Fall X = Q und einfach zusammenhängend im Fall X = P. Die Gruppe
P/Q
heißt fundamentale Gruppe von R.
Bemerkungen
(i)	Q hat auf Grund des Beweises von 9.4.1 (vgl. 2. Schritt) endlichen Index in X,
[X: Q] < ∞.
(ii) Die natürliche Einbettung
Q Í X
	einen Isomorphismus V = QR  XR und die Paarung
X´X ®Z, (x, x) a < x, x>
	induziert eine Paarung
V´V ®R, (x, x) a < x, x> mit V := XR,
	welche X mit dem zu X dualen Gitter identifiziert, d.h.
V ® Hom (V, R), x a < ? , x>,
	ist bijektiv und das Bild von X ist gerade Hom(X, Z).
(iii)	Durch Einführung eines symmetrischen Skalarproduktes auf V (das invariant gegenüber der Operation der Weyl-Gruppe ist) kann man V mit V identifizieren (vgl. 9.1.10). Dabei wird gerade
a = 2(a,a)a.
	Insbesondere gibt es eine Basis von V über R, die aus Kowurzeln besteht (da dasselbe nach (i) für die Wurzeln gilt). Das bedeutet aber, die von den Kowurzeln erzeugte Untergruppe
Q := < a | aÎR>
	hat endlichen Index in X,
[X: Q] < ∞.
(iv)	Als Untergruppe der freien abelschen Gruppe X ist Q eine freie abelsche Gruppe (nach dem Elementarteilersatz). Seien
e,...,eÎ Q Í V = Hom(V, R)
	eine (Z-linear unabhängige) Basis von Q und e,...,eÎV die duale Basis, d.h.
<e , e> = d .
	Dann gilt eÎP für jedes i und jedes x = me+...+meÎP hat ganzzahlige Koordinanten
m = <x, e> Î Z
	bezüglich der e. Mit anderen Worten, P ist der von den e erzeugte Z-Modul in V, d.h. P ist ein Gitter.
(v)	Da, wie wir gerade gesehen haben Q und P Gitter sind und die Inklusionen 
Q Í X Í P
	bestehen, gibt es zu gegebenen Wurzelsystem R nur endlich viele Möglichkeiten für X.

9.4.3 Aufgaben
(1)	(a) Man definiere den Begriff der direkten Summe zweier Wurzelsysteme.
	(b) Ein Wurzelsystem heißt reduzibel, wenn es eine nicht-triviale direkte Summe ist und ansonsten irreduzibel. Man zeige, das Wurzelsystem R einer halbeinfachen zusammenhängenden linearen algebraischen Gruppe G ist genau dann reduzibel, wenn G einen echten zusammenhängenden abgeschlossenen Normalteiler besitzt. Man zeige, die Wurzelsystem der Gruppen N von 9.4.1 (iv) sind irreduzibel.
(2)	Sei (X,R,X,R) das Wurzelsystem einer reduktiven Gruppe G und sei
X := { xÎX | <x, R > = 0 }.
	Bezeichne wie bisher Q die von den Wurzeln in X erzeugte Untergruppe.
	(a) (G,G) ist genau dann adjungiert, wenn X = QX.
	(b) (G,G) ist genau dann einfach zusammenhängend, wenn gilt
P Í X + (XQ).
(3)	Man bestimme Wurzelgitter, Gewichtsgitter und fundamentale Gruppe für jedes der Wurzelsysteme A , B , C , D der Aufgaben von 9.3.10.
Lösungen
Zu (3). Das Wurzelsystem A
Nach 9.3.10 (3)(d) ist das Wurzeldatum A = (X’,X’,R’, R’) der Gruppe G’= SL gegeben durch
			X’ = X/Z×e, e := e+...+e
			X’ = { (x,...,x)ÎX | x+...+x = 0}
			R’ = πR,
			R’ = R.
mit X = X = Z und R = R = { e - e | i ¹ j }.
Bestimmung des Wurzelgitters.
Wir können X’ mit der Untergruppe des reellen Vektorraums
V’ = R/R×e = e = R(e-e)+...+R(e-e)
identifizieren, welche von den Restklassen  πe erzeugt wird. Die Identifikation mit dem orthogonalen Komplement von e geschieht mit Hilfe der natürlichen Abbildung. Dem Erzeuger πe von X’ entspricht bei dieser Identifikation der Vektor e -  e . Die Charaktergruppe entspricht dabei gerade der von diesen Vektoren erzeugten abelschen Gruppe,
X’ = < e -  e , ... , e -  e>
(diese bilden keine freie Basis).
Für das Wurzelgitter erhalten wir
Q’ = < e-e ,... ,e-e>,
d.h. es ist die freie abelsche Gruppe, die von den angegebenen Differenzen erzeugt wird. 
Bestimmung des Wurzelgitters.
Das Gewichtsgitter besteht aus allen
v = r(e-e)+...+r(e-e)ÎV’
mit
(v, e - e) Î Z für alle i und alle j.
Für i = 1 < j = b erhalten wir
r + r Î Z für b = 2,...,n.
Für 1 < i = a < b = j erhalten wir
r - r Î Z,
r = r + g mit gÎZ.
Einsetzen liefert
v = g(e-e)+...+g(e-e) + r (ne - e).
Damit gilt
vÎP’ Û rn <e - e, e - e > Î Z für alle i und j. .
Das Skalarprodukt rechts ist Null falls i und j beide > 1 sind. Für 1=i<j hat das Skalarprodukt den Wert 1 -  +  = 1. Damit gilt
vÎP’ Û r Î Z,
d.h.
P’ = Q’ + (e - e)Z Í X’.
Die umgekehrt Inklusion gilt stets, d.h. es ist
P’ = X’.
Die Gruppe SL ist insbesondere adjungiert.
Bestimmung der fundamentalen Gruppe.
Die Z-lineare Abbildung
Z ® X’, (x,...,x) a Restklasse von (x,...,x,0),
ist ein Gruppen-Isomorphismus. Das Wurzelsystem R’ bei diesem Ismorphismus entspricht der Teilmenge
	{ e - e | i ¹ j } Í Z mit e := - e - e - ... - e.
Das Wurzelgitter wird von den Vektoren e-e mit j = 2,...,n erzeugt,
Q := < e-e , ... , e-e , 2e + e + ... + e>
	= < e-e , ... , e-e, ne>
es hat den Rang n-1 und den Index n in X’ = Z, d.h.
P’/Q’ = X’/Q’ @ Z/nZ.

9.4.4 Notes
10. Further properties of reductive groups
In diesem Kapitel ist
G
eine zusammenhängende reduktive lineare algebraische Gruppe,
T Í G
ein maximaler Torus von G und
B   T
eine Borel-Untergruppe von G. Wir bezeichnen mit
R := R(G,T)
das Wurzelsystem von G bezüglich T und schreiben
R := R (B).
Der Begriff der positiven Wurzel soll ist stets auf das System R beziehen (vgl. 9.2.3). Die Weyl-Gruppe bezeichnen wir wie bisher mit
W := W(G,T) = N(T)/Z(T) = N(T)/T
(vgl. 9.3.6(ii)). Für aÎR seien x und X wie in 9.3.7.
10.1 Borel-Gruppen und Systeme positiver Wurzel
Wir beginnen mit der Untersuchung von Eigenschaften der 1-parametrischen Untergruppen x: G® X, aÎR.
10.1.1 Proposition: Erzeuger für Borel-Untergruppen
Seien G eine zusammenhängende reduktive lineare algebraische Gruppe mit der Borel-Untergruppe B und den n positiven Wurzeln a, ... , a , d.h.
R = {a, ... , a}.
Dann ist der Morphismus
F; G ® B, (x,...,x) a (x(x), ... , x(x)),
ein Isomorphismus algebraischer Varietäten. Insbesondere wird B erzeugt von den Untergruppen X mit a>0.

Zum Beweis benötigen wir die folgende allgemeinere Aussage.
10.1.2 Lemma: Erzeuger für auflösbare Gruppen
Seien H eine zusammenhängende auflösbare lineare algebraische Gruppe, S Í H ein maximaler Torus und
U := H .
Weiter existiere eine endliche Familie
x: G ® X , i = 1,...,m,
von Isomorphismen mit abgeschlossenen Untergruppen XÍH, sodaß die folgenden Bedingungen erfüllt sind.
(a)	Es gibt paarweise verschiedene Charaktere b (i=1,..,m) von S mit
sx(x)s = x(b(s)x) für sÎS und xÎk.
(b)	L(U) ist die direkte Summe der Gewichtsräume L(U) (i=1,...,m) und diese Gewichtsräume sind sämtlich 1-dimensional.
Dann ist der Morphismus
y: G ® U, (x,...,x) a x(x)× ... × x(x),
ein Isomorphismus algebraischer Varietäten.
Beweis von 10.1.2 durch Induktion nach m.
Der Fall m = 1. Es existiert genau eine Isomorphismus 
x: G® X Í H
mit einer abgeschlossenen Untergruppe. Weil G aus unipotenten Elementen besteht, gilt sogar
x: G® X Í U
Nach (b) induziert x einen Isomorphismus
L(G) ® L(U).
Insbesondere ist dim U = 1 = dim X, d.h. es gilt X = U und F = x ist der behauptete Isomorphismus.
Der Fall m > 1. Wir wählen einen Normalteiler
N Í U,
welcher im Zentrum von U liegt und isomorph ist zu G. Ein solcher Normalteiler existiert nach (6.10). Nach (b) ist dann L(N) einer der Gewichtsräume von L(U), sagen wir L(U). Die Konjugation mit Elementen des maximalen Torus S Í H auf N entspricht dann beim Isomorphismus
N @ G
gerade der Multiplikation mit dem Charakter b . Insbesondere operiert Ker(b) trivial auf N,
N Í Z(Ker(b))  (  Im x).
Wir gehen zu den unipotenten Teilen über und erhalten
(1)			N Í UÇZ(Ker(b)) = Z(Ker(b)) (  Im x),
Nach 4.4.7 ist
L(Z (Ker(b))) = { XÎL(U) | Ad(s)X = X für sÎ Ker(b)} Í L(U).
Der Vektorraum rechts ist 1-dimensional nach Vorausetzung. Also gilt sogar das Gleichheitszeichen, d.h. die Gruppe in der Mitte von (1) ist 1-dimensional und auch in (1) gilt überall das Gleichheitszeichen. Insbesondere ist
(2)			N = Im (x)
Wir wollen jetzt die Induktionsvoraussetzung auf die Gruppe H/N anwenden. Dazu müssen wir zeigen, die Voraussetzungen des Satzes sind auch für H/N erfüllt. Das ist der Fall, ausgenommen eventuell die Aussage, daß die Zusammensetzungen  der Isomorphismen
G  X
mit der natürlichen Abbildung H ® H/N wieder Isomorphismen sind. Um letzteres zu beweisen, müssen wir zeigen, XÇN = {e} für i ¹ j. Es reicht zu zeigen, je zwei X haben nur das Element e gemeinsam. Das folgt aus der Tatsache daß die X bezüglich der Operation von S durch Konjugation in die zwei Orbits
{e} und X - {e}
zerfällt. Hätten zwei X einen Punkt x ¹ e gemeinsam, so hätten sie das gesamte Orbit von x gemeinsam, d.h. die beiden X wären gleich. Damit können  wir die Induktionvoraussetzung auf H/N anwenden und erhalten, daßdie Abbildung
y’: G ® U/N, (x,...,,...,x) a x(x)× ... × x(x)×... ×x(x),
ein Isomorphismus ist. Betrachen wir jetzt die Abbildung
y: G ® U, (x,...,x) a x(x)× ... × x(x),
Surjektivität von y. Die Zusammensetzung mit der natürlichen Abbildung U®U/N ist surjektiv, weil das Bild der Zusammensetzung das Bild von y’ enthält. Damit gilt
U Í Im(y)×N = Im(y).
Das Gleichheitszeichen rechts gilt wegen N Í Im(y).
Injektivität von y. Aus y (x,...,x) = y (x',...,x') folgt
y (x,...,x) º y (x',...,x') mod N,
also
y’ (x,...,,...,x) = y’ (x',...,’,...,x'),
also wegen der Injektivität von y’ sogar
x = x' für alle i ¹ j.
Aus
	x(x)× ... × x(x) = y (x,...,x) = y (x,...,x’,...,x)
		= x(x)× ... × x(x')×... × x(x)
erhalten wir durch Kürzen der äußeren Faktoren
x(x) = x(x')
also auch x = x'.
Damit ist die Bijektivität von y bewiesen.

Insbesondere ist
y:G ® U
ein dominanter Morphismus irreduzibler Varietäten, dessen Fasern sämtlich aus genau einem Punkt bestehen, d.h. es gilt (vgl. 4.1.6)
dim G = dim U,
d.h. k[G] ist algebraisch über k[U] und der Separabilitätsgrad ist 1,
[k(G): k(U)] = 1.

Nach (3.2.20)(i) ist y separabel, denn wegen (b) ist das Differential dy bijektiv, also surjektiv. Damit gilt [k(G): k(U)] = 1, d.h. y ist ein birationaler Morphismus, d.h. auf einer offenen Mengen induziert y einen Isomorphismus.
Nach dem Hauptsatz von Zariki zerfällt y in eine Zusammensetzung
G  U’ U
aus einer offenen Einbettung f’ und einem endlichen Morphismus g. Wir können annehmen U’ ist zusammenhängend. Dann ist f’ birational, also auch g. Nun ist U glatt (also ganz abgeschlossen). Der endliche Morphismus muß  deshalb ein Isomorphismus sein. Wir erhalten,
y = f’: G ® U
ist eine offene Einbettung (d.h. ein Isomorphismus von G mit einer offenen Teilmenge von U). Da y surjektiv ist, ist damit y sogar ein Isomorphismus.
QED.
Beweis von 10.1.1. Wir haben zu zeigen, unter den Voraussetzungen von 10.1.1 sind die Bedingungen von 10.1.2 erfüllt (mit B anstelle von H).
Offensichtlich ist B zusammenhängend und auflösbar. Als Isomorphismen
x: G® X (Í B)
verwenden wir die x: G® X mit aÎR. Nach Definition der x (in 9.3.7) ist dann Bedingung (a) von 10.1.2 erfüllt.

Nach 9.3.8 gilt
L(G) = L(G)(L(G))
mit L(G) = L(T) und L(G) = L(X). Nach 9.3.9(i) gilt
aÎR(B) Û XÍB ( Û XÍB),
also
(1)				 L(X) Í L(B)
Außerdem ist
	dim B = dim B - dim T
		= (dim T +  # R) - dim T	(nach 9.3.9(ii))
		= #R
In (1) gilt deshalb das Gleichheitszeichen. Wegen L(X) = L(G) ist damit aber gerade die Forderung (b) von 10.1.2. erfüllt.
QED.
10.1.3 Lemma: die Konstanten c
Seien G eine zusammenhängende reduktive lineare algebraische Gruppe mit dem maximalen Torus TÍG und n ÎN(T) ein Element. Wir setzen
w := nT Î W := W(G,T).
Dann gibt es Konstanten cÎk* mit
nx(x)n = x(cx) für alle xÎk.
Beweis. Nach 9.3.7 (i) sind die Untergruppen X = im x durch die folgende Bedingung definiert.
(1)	tx(x)t = x(a(t)x) für tÎT und xÎk
und nach 9.1.6 ist die Operation der Weyl-Gruppe auf dem Charakter a wie folgt definiert.
(w×a)(t) := a(n×t×n)	für tÎT.
Damit gilt für xÎk und tÎT:
	ntn x(x)ntn = (ntn)x(x)(ntn)
		= x((wa)(ntn)x)
		= x(a(t)x)
also
	tn x(x)nt = nx(a(t)x)n
Vergleich mit (1) zeigt, die Abbildung
	G ® nXn, x a n x(x)n,
genügt der definierenden Bedingung für X. Sie unterscheidet sich also nur um einen Isomorphismus von x ,
	n x(j(x))n = x(x)
mit einem Automorphismus j: G ® G. Ein solcher Automorphismus besteht aber gerade in der Multiplikation mit einem cÎk, d.h.
	x(cx) = nx(x)n
Das ist aber gerade die Behauptung.
QED.
10.1.4 Proposition: die Kommutatoren der x
Sei G eine zusammenhängende reduktive lineare algebraische Gruppe. Dann  gibt es Konstanten cÎk mit der Eigenschaft, daß für je zwei Wurzeln a,bÎR mit a¹¶b gilt
(x(x), x(h)) =         x(cxh)
Das Produkt rechts ist über alle Linearkombinationen von a und b zu erstrecken, die wieder in R liegen, wobei eine beliebige Reihenfolge der Faktoren vorgegeben werden kann.
Beweis. Nach 9.2.4 können wir auf a und b ein Element der Weyl-Gruppe anwenden und so erreichen, daß gilt
a > 0 und b > 0.
Nach Lemma 10.1.3 reicht es, die Behauptung für den Spezialfall, daß beide Wurzeln positiv sind, zu beweisen. Nach 9.3.9 gilt dann
X , X Í B.
Nach 10.1.1 wird B von den X mit gÎR erzeugt, d.h.
(x(x), x(h)) =   x(P (x,h))
mit eindeutig bestimmten Elementen P(x,h)Îk. Wegen der Isomorphie-Aussage von 10.1.1 sind die P reguläre Funktionen in x und h, d.h. es sind Polynome PÎk[T’,T”]. Die Reihenfolge der Faktoren im obigen Produkt kann dabei vorgegeben werden. Wir konjugieren die obige Identität mit tÎT, vergleichen einander entsprechende Argumente rechts und erhalten:
P (a(t)x,b(t)h) = g(t) P (x,h) für alle x, hÎk und alle tÎT.
Wir schreiben P in der Gestalt P(T’,T”) =  c T’T”. Die Identität nimmt dann die folgende Gestalt an.
g(t)  c xh =  c a(t)b(t) xh.
Auf Grund der linearen Unabhängigkeit der Charaktere können auf der linken Seite nur solche Charaktere g auftreten, die auch auf der rechten Seite zu finden sind, d.h. nur Charaktere der Gestalt ia+jb. Wegen a¹¶b sind die Wurzeln a und b in X linear unabhängig (vgl. 9.1.12). Eine Wurzel der Gestalt ia+jb tritt deshalb rechts höchstens einmal auf. Zum Abschluß des Beweises reicht es zu zeigen, daß für alle Wurzeln der Gestalt
g = ia+jb
die rechts wirklich auftreten, die Koeffizienten i und j beide von Null verschieden sein müssen, d.h.
 i > 0 und j > 0.
Angenommen, wir hätten eine Formel der behaupteten Art,
(1)			(x(x), x(h)) =         x(cxh)
wobei rechts tatsächlich ein Glied mit j = 0 auftritt. Es kann nur ein solches Glied geben, denn der zugehörige Koeffizient i muß gleich 1 sein (nach 9.1.12). Die Formel hat somit die Gestalt
(x(x), x(h)) = x(cx)         x(cxh)
mit c¹0. Doch dann würde eine ähnliche Formel für alle iterierten Kommutatoren gelten:
((x(x), x(h))..., x(h)) = x(dx)         x(dxh)
mit d ¹ 0. Insbesondere ist der Ausdruck rechts stets ungleich e. Das widerspricht jedoch der Tatsache, daß der unipotente Teil B der Borel-Untergruppe B nilpotent ist.
QED.
10.1.5 Theorem: Transitivität der Operation von W auf den positiven Wurzelsystemen
Seien G eine zusammenhängende reduktive lineare algebraische Gruppe mit dem maximalen Torus T, der Borel-Untergruppe B Î B , dem Wurzelsystem R = R(G,T) und der Weyl-Grupep W = W(G,T). Weiter sei  irgendein System positiver Wurzeln in R. Dann gilt:
(i)	T und die X mit aÎ erzeugen eine Borel-Untergruppe  von G mit R() = .
(ii)	Es gibt genau ein wÎW = W(G,T) mit  = w×R(B).
Beweis. Zu (i). Wir setzen
 := {aÎ | }
Für große n ist  leer, für n = 1 gilt  = . Weiter sei
U := <X | aÎ  >
die von den X mit aÎ erzeugte Untergruppe von G. Es reicht die folgende Aussage zu beweisen.
Behauptung:
(1)	U ist eine abgeschlossene zusammenhängende unipotente Untergruppe von G der Dimension 
dim U = # ,
	die von T normalisiert.
Für n = 1 ergibt sich dann nämlich dim U = #  =  #R . Die von U und T erzeugte Untergruppe hat wegen der Normalisierungseigenschat der U die Gestalt
 = T× U .
Sie ist auflösbar und zusammenhängend und die Multiplikationsabbildung
T´U ® 
ist ein bijektiver Morphismus. Damit ist aber
dim  = dim T +  #R.
Nach 9.3.9(ii) ist dies die Dimension einer Borel-Untergruppe, d.h. die von T und den X mit aÎerzeugte Untergruppe  ist eine Borel-Untergruppe. Außerdem gilt nach (9.3.9)(i)
aÎR() Û X Í  ( Ü aÎ  )
d.h.  Í R(), also = R(). Damit ist der Beweis von (i) auf den Beweis der obigen Behauptung zurückgeführt.

Wir beweisen (1) durch absteigende Induktion nach n. Für große n ist  leer, U = {e} und die Behauptung trivial. Sei jetzt
1 ≤ n
und (1) für alle n > n bereits bewiesen. Die Gruppe U wird von T normalisiert, da dies für die erzeugenden Gruppen X gilt (nach Definition der X).

Es reicht also, die Unipotenz und die Dimensionsaussage zu beweisen. Dazu benutzen wir die Formel von 10.1.4: für je zwei Wurzeln a, bÎR gilt
(2)			(x(x), x(h)) =         x(cxh)
Im Fall aÎ und bÎ liegen die Wurzel ia+jb wegen
i×n + j(n+1) ≥ 2n+1 ≥ n+1
in  und das Produkt rechts ist ein Element von U:
x(x)x(h) x(x) Î U x(h) Í U
für beliebige aÎ und bÎ. Da die x(x) mit aÎ die Gruppe U und die x(h) mit bÎ die Gruppe U erzeugen, ist
(3)				U Normalteiler in U

Betrachten wir jetzt (2) für den Fall zweier verschiedener (also linear unabhängiger) Wurzeln a,b Î. Die Wurzeln der Gestalt ia+jb auf der rechten Seite liegen dann wegen
i×n + jn ≥ 2n ≥ n + 1
ebenfalls mindestens in , d.h. der Kommutator
x(x)x(h) x(x)x(h) 
liegt in U. Mit anderen Worten, die Elemente von X und X kommutieren modulo U und die Faktorgruppe U/ U besitzt ein Erzeugendensystem aus paarweise kommutierenden Elementen. Insbesondere ist
(4)					U/ U kommutativ
und die Abbildung
(5)	´X ® U/ U , (a) a a mod U,
	ist ein surjektiver Homomorphismus algebraischer Gruppen.
Aus der Surjektivität der letzten Abbildung folgt
dim U ≤ dim U + #( - )
also nach Induktionsvoraussetzung
(6)			dim U ≤ #
Aus (4) und der Unipotenz von U folgt, daß U auflösbar ist,
U = S×(U)
mit einem maximalen Torus S Í U. Die natürliche Abbildung induziert eine Abbildung
S ® U/ U.
Diese ist injektiv, weil U nach Induktionsvoraussetzung unipotent ist. Das Bild dieser Abbildung ist trivial, weil S aus halbeinfachen Elementen besteht und das Bild wegen (5) und (4) aus unipotenten Elementen. Damit ist S trivial, d.h.
U ist unipotent.
Wir haben nocht zu zeigen, in (6) gilt das Gleichheitszeichen. Nach Konstruktion gilt
L(X) Í L(U) für aÎ.
Die Summe der L(X) mit aÎ (Í ) ist aber direkt, da diese in Gewichtsräumen zu unterschiedlichen Gewichten liegen: L(X)ÍL(G) (vgl. 9.3.8). Also gilt in (6) auch “≥”.
 Zu (ii). Folgt aus (i) und der Transitivität der Operation der Weyl-Gruppe auf den Borel-Untergruppen von B (vgl. 8.1,7(ii)): durch ein Element wÎW können wir B ind  überführen, und damit R = R(B) in  = R().
QED.
10.1.6 Folgerung
Seien G eine zusammenhängende reduktive lineare algebraische Gruppe mit dem maximalen Torus T, der Borel-Untergruppe B Î B , dem Wurzelsystem R = R(G,T) und der Weyl-Grupep W = W(G,T). 

Wie in 9.1.10 fixieren wir eine positiv definite symmetrische Bilinearform
( , ) X´ X ® R
welche W-invariant ist.
Weiter sei  irgendein System positiver Wurzeln in R. Dann gibt es ein xÎX mit
 = {aÎR | (x, a) > 0}.
Wir können für x einen beliebigen Vektor aus X mit (x, a)> 0 für jedes aÎ wählen.
Beweis. Die Aussage ist richtig für das positive Wurzelsystem
R = R(B)
(vgl. Beweis von 9.3.2). Der erste Teil der Behauptung ergibt sich damit aus der Transitivität der Operation der Weyl-Gruppe auf den positiven Wurzelsystemen (vgl. 9.1.5(ii)). Der zweite Teil der Behauptung folgt wegen
R =  È - 
(nach Definition des Begriffs System positiver Wurzeln).
QED.
10.1.7 Benachbarte Borel-Untergruppen
Seien G eine zusammenhängende reduktive lineare algebraische Gruppe mit dem maximalen Torus T. Zwei der Borel-Untergruppen B’ und B” von G, die den Torus T enthalten,
B’, B” Î B ,
heißen benachbart (adjacent), wenn gilt
dim B’ÇB” = dim B’ - 1 = dim B” - 1.
Bemerkung
Sind a , ... , a die Wurzeln von G mit X Í B’ÇB”, so gilt
	R(B’) = { a,  a , ... , a}
	R(B”) = { -a, a , ... , a}
Dabei ist a die eindeutig bestimmte Wurzel von G, welche nicht positiv bezüglich beider Borel-Untergruppen ist.

10.1.8 Verbindung von Borel-Untergruppen durch Ketten benachbarter
Seien G eine zusammenhängende reduktive lineare algebraische Gruppe mit dem maximalen Torus T und B’ und B” Borel-Untergruppen von G, die den Torus T enthalten,
B’, B” Î B ,
Dann gibt es eine Kette von Borel-Untergruppen
B , ... ,  B Î B
mit folgenden Eigenschaften.
	1. B’ = B.
	2. B und B sind benachbart für i = 0,...,h-1.
	3. B = B”.
Beweis. Wir können annehmen,
B’ ¹ B”.
Wie in 9.1.10 fixieren wir eine positiv definite symmetrische Bilinearform
( , ) X´ X ® R
welche W-invariant ist. Nach 10.1.6 gibt es Vektoren  x’, x”ÎX mit
	R’ := R(B’) = {aÎR | (c , x’) > 0 }
	R” := R(B”) = {aÎR | (c , x” > 0 }
Dabei bilden die x’, x” mit diesen Eigenschaften eine offene Teilmenge des reellen Vektorraums X. Indem wir x’ und x” geeignet abändern, erreichen wir, daß gilt
(a, x’)(b, x’) ¹ (a, x”)(b, x”) für je zwei a, bÎR mit a ¹ ¶b.
Betrachten wir jetzt die Strecke, welche x’ und x” verbindet:
x(t) := (1-t)x’ + tx”, 0≤ t ≤ 1.
Das Skalarprodukt <x(t), a> kann als Funktion von t nicht für alle a ein konstantes Vorzeichen haben, denn dann wäre R’ = R”, also B’=B”. Falls das Skalarprodukt für ein a das Vorzeichen wechselt, so gibt es ein t mit
(1)			0 = (x(t), a) = (1-t)<x’, a> + t<x”, a>
d.h. <x’, a> entgegengesetztes Vorzeichen,
<x’, a> - <x”, a> ¹ 0
und
t = t = (<x’, a> - <x”, a>)<x’, a >
Wegen (1) gilt t¹ t für a ¹ ¶b , d.h. die Vorzeichenwechsel der Funktionen (x(t), a) finden an verschiedenen Stellen statt (für nicht-proportionale a). Es gibt also Zahlen t (aus der Menge der t) mit
0 = t < t < ... < t = 1
mit
1.	Alle Funktionen (x(t), a) haben konstantes Vorzeichen auf jedem der Intervalle I = (t , t).
2.	Die Vorzeichen der Funktionen (x(t),a) auf I und auf I unterscheidet sich für genau ein aÎR’.
Wir setzen
R := {aÎR | (x(t), a) > 0 auf I}
und sei
B Î B
die Borel-Untergruppe mit
R(B) = R
(vgl. 10.1.5). Dann entsteht R aus R indem man genau eine Wurzel durch ihr Negatives ersetzt, d.h. B entsteht aus B , indem man eine der erzeugenden Untergruppen Xdurch X ersetzt. Dann wir aber B modulo BÇ B von nur einem X erzeugt, d.h.
dim B/BÇ B ≤ 1,
Die umgekehrte Ungleichung ist trivial, weil B verschieden sind B und B zusammenhängend ist. Also sind Bund B benachbart.
QED.
10.1.9 Lemma
Seien G eine reduktive lineare algebraische Gruppe, T Í G ein maximaler Torus und
B’,B”ÎB
zwei benachbarte Borel-Untergruppen. Dann gibt es genau eine Wurzel aÎR(B’) mit
B” = sB’.
Dabei bezeichen sÎW(G,T) wie bisher die zu a gehörige Spiegelung.
Bemerkungen
(i)	Die Wurzel a ist die eindeutig bestimmte Wurzel mit
aÎR(B’) und - aÎR(B”)
(ii)	Die von B’ und B” erzeugte parabolische Untergruppe P ist vom halbeinfachen Rang 1, hat a und -a als einzige Wurzeln und für
 = P/RG
	gilt
G() = ,
Beweis. Es gilt
(B’ÇB”) = T×(B’ÇB”)
und
(1)		(B’ÇB”) hat die Kodimension 1 in B’ und B”
und ist deshalb ein Normalteiler in diesen beiden Gruppen (nach Aufgabe 6.6(3)). Sei
P = < B’, B”>
die von B’ und B” erzeugte parabolische Untergruppe. Weil (B’ÇB” ) ein Normalteiler in B’ und B” ist, gilt dasselbe auch für P:
(2)				(B’ÇB” ) ist Normalteiler in P.

Beweis-Idee:	Wir zeigen P ist eine der Gruppen G mit einer Wurzel a, und es gilt B” =  sB’.
Nach Konstruktion von P liegen B’ und B” ganz in P, sind also Borel-Untergruppen von P. Betrachten wir die Borel-Untergruppen
				’ := B’/R(P), ” := B”/R(P)
der reduktiven Gruppe
				 := P/R(P).
Nach 9.3.9(ii) gilt
dim ’ = dim T +   # R(,T)
Andererseits besteht wegen (2) die Inklusion (B’ÇB” ) Í R(P), d.h. es gilt
dim ’ ≤ dim B’/(B’ÇB”) ≤ dim T + dim B’/(B’ÇB”) ≤  dim T + 1
Die letzte Abschätzung besteht wegen (1). Zusammen erhalten wir
# R(,T) ≤ 2.
Da  mindestens zwei verschiedene Borel-Untergruppe besitzt, nämlich ’ und ”, ist  nicht auflösbar. Nach 8.1.8 ist deshalb
W(, T) ¹ {e}.
Nach 9.1.13 wird W(, T) von den Spielgelungen s mit ÎR(, T) erzeugt. Also gilt R( , T) ¹ Æ, d.h. R( , T) enthält mindestens zwei Elemente  und -. Insgesamt sehen wir, daß R( ,T) aus genau zwei Elementen besteht,
(3)					R( , T) = {, - }
Wie oben bemerkt wird W(, T) von der Spiegelung s = s erzeugt, d.h.
W(, T) = { 1, s}
Nach 8.1.7(ii) operiert W(, T) einfach transitiv auf den Borel-Untergruppen von B(), d.h. es gilt
# B() = 2.
Nun liegt R(P) in einer, also in jeder Borel-Untergruppe von P. Deshalb gilt
# B(P) = # B() = 2,
d.h.
B(P) = {B’, B”}.
Wegen der einfachen Transitivität der Operation von W(P,T) auf B(P) (vgl. 8.1.7(ii)) folgt
# W(P,T) = 2,
und da W(P,T) von Spiegelungen s mit aÎR(P,T) erzeugt wird (vgl. 9.1.13),
W(P,T) = { 1, s } mit aÎR(P,T) ( Í R(G,T)).
Nach 8.1.7(ii) operiert die Weyl-Gruppe von P einfach transitiv auf den Borel-Untergruppen von P, d.h.
B” = wB’
mit einem eindeutig bestimmten w. Wege B’ ¹ B” mußt w das nicht-triviale Element sein,
B” = sB’.
Wir haben noch die Aussagen der Bemerkung zu beweisen.
Zu (i). Wie wir gerade gesehen haben, vertauscht s die Borel-Untergruppen B’ und B”. Da s außerdem auch a und -a vertauscht, kann a nicht positiv bezüglich beider Borel-Untergruppen sein. Damit gilt die erste Aussage (eventuell mit -a anstelle von a).
Zu (ii). Nach Definition ist  = P/RP reduktiv, d.h. es gilt
dim  = dim T + # R(,T) = dim T + 2.
und für die beiden Borel-Untergruppen von  erhält man die Dimension
dim ’ = dim ” = dim T +  # R(,T) = dim T +1.
Insbesondere sind deren unipotente Teile 1-dimensional, d.h.
’ = X und ” = X
(a und -a sind die einzigen Wurzeln von ). Nach Definiton von X und X operiert
S := Ker(a)
trivial auf ’ und ” , d.h. es gilt
G() = Z(T)   ’ , ”
und damit
G() = Z(T)   ’ , ”
nun wird aber  (nach Definition von P) von ’ , ” erzeugt, d.h. es gilt
G() = .
Insbesondere ist  vom halbeinfachen Rang 1.
QED.
10.1.10 Die Basis eines Systems positiver Wurzeln, einfache Wurzeln
Sei G eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, T Í T ein maximaler Torus und BÎB eine Borel-Untergruppe, die den Torus T enthält. Dann heißt die Menge
D(B) := { aÎ R(B) | sB und B sind benachbart }
die Basis von R(B). Die Elemente von D(B) heißen einfache Wurzeln von R(B). Wir setzen weiter
S(B) := { s | aÎ D(B) }
Bemerkung
Für wÎW(G,T) gilt
D(wB) = wD(B) und S(wB) = wS(B)w.
Beweis. Mit
sB und B benachbart
gilt auch
wsB = swB und wB benachbart
(denn nach 9.1.9(iii) a) ist wsw = s. Entsprechend ist
	S(wB)	= { s | aÎ D(wB) }
			= { s | swB und wB benachbart }
			= { s | wswB und B benachbart }
			= { wsw | sB und B benachbart }
			= { wsw | sÎ S(B) }
			= wS(B)w.
QED.
10.1.11 Lemma: Operation von s im Fall einfacher Wurzeln a
Sei G eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, T Í T ein maximaler Torus und BÎB eine Borel-Untergruppe, die den Torus T enthält. Dann gilt:
(i)	Ist aÎD(B), so permultiert s die Elemente von R(B) - {a}.
(ii)	Sind a, bÎD(B) verschieden, so gilt (a, b) ≤ 0.
Beweis. Zu (i). Es gilt
sR(B) = R(sB).
Da B und sB benachbart sind, entsteht sR(B) aus R(B) indem man eine Wurzel durch ihr Negatives ersetzt. Wegen s(a) = -a ist dies gerade die Wurzel a. Das Komplement von {a} in R(B) bleibt also beim Anwenden von s unverändert.

Zu (ii). Seien ( , ) eine positiv definite W-invariante Bilinearform (wie in 9.1.10) und xÎX ein Vektor mit
R(B) = {aÎR(G,T) | (x, a) > 0}
(vgl. 10.1.6). Nach 9.1.10 gilt dann
(*)			<y,a> = 2(a, a)(y,a)
für alle Wurzeln a und alle yÎX.

Sei x wie im Beweis von ..., dann gilt
	(x, <a , b>sb + sa) = <a , b> (x, sb) + (x, sa)
		= <a , b> (x, b - <b , a>a) + (x, a - <a , b>b)
		= <a , b> (x, b) - <a , b><b , a>(x, a) + (x, a) 
				- <a , b> (x, b)
		= - <a , b><b , a>(x, a) + (x, a) 
		= ( 1 - <a , b><b , a>(x, a).

Angenommen (a , b) > 0. Dann ist der ursprüngliche Ausdruck > 0, denn sb  und sa liegen nach (i) beide in R(B). Man beachte, wegen (*) ist dann auch (a , b) > 0.

Andererseits gilt nach Lemma 9.2.2
(i)	0 ≤ <a, b><b, a> ≤ 3
(ii)	<a, b> = 0 Û <b, a> = 0,
d.h. auch <a, b> ist > 0, d.h. der Ausdruck (**) ist ≤ 0. Dieser Widerspruch zeigt, es gilt die Ungleichung (a, b) ≤ 0.
QED.
10.1.12 Theorem: die Haupteigenschaften der einfachen Wurzeln
Sei G eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, T Í T ein maximaler Torus und BÎB eine Borel-Untergruppe, die den Torus T enthält. Dann gilt:
(i)	S(B) erzeugt die Weylgruppe W := W(G,T).
(ii)	R(G,T) = W×D(U).
(iii)	(a) Die einfachen Wurzeln sind linear unabhängig.
	(b) Jedes Element von R(B) ist eine ganzzahlige Linearkombination
    n×a mit n ≥ 0.
	Die beiden Eigenschaften (a) und (b) charakterisieren die Menge der einfachen Wurzeln.
Beweis. 1.Schritt: Beweis von (i). Sei wÎW. Nach 10.1.8 gibt es eine Kette benachbarter Borel-Untergruppen
B , ... , B Î B mit B = B und B = wB.
Wir haben zu zeigen, w ist das Produkt von Elementen aus S(D). Wir führen den Beweis durch Induktion nach h.

Im Fall h = 1 sind wB und B benachbart, d.h. es gibt nach Lemma 10.1.9 eine einfache Wurzel aÎD(B) mit
wB = sB.
Weil W einfach transitiv auf B operiert (nach 8.1.7(ii)), folgt
w = s.
Sei jetzt h > 1. Weil W einfach transitiv auf B operiert, können wir B in der Gestalt
B = w’B mit w’ Î W
schreiben. Nach Induktionsvoraussetzung ist w’ Produkt von Elementen aus S(D),
(1)			w’ Î <S(D)> := die von S(D) erzeugte Untergruppe.
Da
w’B = B und wB = B
benachbart sind, gilt dasselbe auch für
B und w’wB.
Nach 10.1.9 gilt deshalb
w’w Î S(D),
also w Î w’×S(D). Wegen (1) gilt damit die Behauptung.
2. Schritt: Beweis der linearen Unabhängigkeit der einfachen Wurzeln. Angenommen, es gibt eine nicht-triviale Relation
    n×a = 0.
Wir können annehmen, wenigstens ein n ist positiv, d.h.
D := { aÎD(B) | n > 0 } ¹ Æ.
Wir schreiben die Relation in der Gestalt
(2)	t :=  n×a =  m×a mit n > 0 und m ≥ 0.
Dann gilt
(t, t) =  n× m <a, b> ≤ 0
(nach 10.1.11 (ii)). Deshalb gilt t = 0. Ist nun xÎX ein Vektor, welcher R(B) definiert, d.h.
R(B) = {aÎR | (a , x) > 0 },
so gilt wegen (2) auch
(t, x) > 0
im Widerspruch zu t = 0. Dieser Widerspruch beweist die lineare Unabhängigkeit der einfachen Wurzeln.
3. Schritt. Für jedes aÎR(B) gibt es ein bÎD(B) mit <a, b> > 0.
Sei  aÎR eine Wurzel mit
< a , b > ≤ 0 für alle bÎD(B).
Es reicht zu zeigen, aÎ - R(B). Wir zerlegen X in eine orthogonale direkte Summe bezüglich des W-invarianten Skalarprodukts ( , ),
X := X’X’ mit X’ :=    Rb ,
und schreiben
a = x’ + x’ mit x’ÎX’ und x’ÎX’.
Betrachten wir a’ ÎD(B) die zugehörige Spiegelung
s(c) = c  - < c , a’> a’
Sie überführt X’ in sich (da die Erzeugenden bÎD(B) in Elemente von X’ abgebildet werden) und läßt die Elemente aus X’ fest. Nach der bereits bewiesenen Aussage (i) erzeugen die s mit a’ÎD(B) die gesamte Weyl-Gruppe, d.h. es gilt
w(X’) Í X’ und w| = Id für alle wÎW.
Wir wenden dies speziell für w = s auf die obige orthogonale Zerlegung von a an und erhalten

Speziell für w = s erhalten wir durch Anwenden auf die direkte Zerleung von a,
x’ = 0.
Wir können also a in der Gestalt
a =    xb mit xÎR
schreiben. Sei
u := a -  xb.
Dann gilt
	(u, u) = (a -  xb,  xb)
		= (a ,  xb) - ( xb,  xb)
		≤ 0
(denn nach Wahl von a ist der erste Summand ≤ 0 und nach Lemma 10.1.11(ii) gilt dasselbe für den Zweiten Summanden). Damit gilt aber u = 0, d.h.
a =  xb.
Mit anderen Worten, a ist eine negative Linearkombination der Elemente von D(B) (Í R(B)), d.h. die Wurzel a liegt in - R(B).
4. Schritt. Beweis von (ii) und der zweiten Aussage von (iii).
Wir wählen xÎX derart, daß gilt
R(B) = { aÎR(G,T) | (x , a) > 0 }
(vgl. 10.1.6). Es reicht zu zeigen, für jedes
aÎR(B) - D(B)
gilt:
1.	aÎ W×D(B).
2.	a ist eine positive ganzzahlige Linearkombination von Elementen aus D(B).
Die Menge der Werte
{ (x, a) | aÎ R(B)}
ist endlich. Wir können deshalb den Beweis durch “Induktion” nach (x, a) führen, d.h. wir können beim Beweis von 1. und 2. annehmen, daß für alle a’Î R(B) mit
(x, a’) < (x , a)
die Aussagen 1. und 2. gelten. Nach dem dritten Schritt gibt es ein bÎD(B) mit
(3)			<a, b> > 0.
Es gilt s(a) = a - <a, b>b , d.h.
(4)			a	= s(a) + <a, b>b
und
(5)			(x, a)	= (x, s(a)) + <a, b>(x, b)
Wegen bÎD(B) und aÎR(D) gilt a¹b also nach 10.1.11(i) auch
s(a) Î R(B).
Es reicht zu zeigen, die Aussagen 1 und 2 gelten mit s(a) anstelle von a, denn trivialerweise liegt dann auch
a = s s(a) in W×D(B)
und wegen (3) und (4) ist dann auch a ein positive Linearkombination von Elementen aus D(B). Die Aussagen 1 und 2 gelten trivialerweise für s(a), falls s(a) in D(B) liegt. Wir können also annehmen,
s(a) Î R(B) - D(B).
Wegen (3) und (5) ist
(x, s(a)) < (x, a),
d.h. s(a) genügt den Bedinungen der Induktionsvoraussetzung, d.h. 1 und 2 gelten für s(a).
Damit sind alle Aussagen des Satzes bewiesen, außer der folgenden:
5. Schritt: durch die Bedingungen (a) und (b) von (iii) sind die einfachen Wurzeln eindeutig festgelegt.
Aus (a) und (b) ergibt sich, daß eine Wurzel genau dann einfach ist, wenn sie positiv ist und nicht als Summe zweier positiver Wurzeln geschrieben werden kann:

Die Bedingung ist notwendig.
Ist a einfache Wurzel, so ist a  (trivialerweise) positiv. Außerdem kann a sich Summe positiver Wurzeln sein, weil es sonst zwei verschiedene Darstellungen von a als Linearkombination einer Wurzeln gäbe.
 
Die Bedingung ist hinreichend.
Sei a positive Wurzel, die nicht als Summe positiver Wurzeln geschrieben werden kann. Dann ist a wenigstens eine positive ganzzahlige Linearkombination einfacher Wurzeln. Von den Koeffizienten müssen dann aber alle bis auf einem Null sein, und der eine von Null verschiedene Koeffizient muß 1 sein.
QED.
10.1.13 Folgerung
Seien G eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, T ein maximaler Torus von G und BÎB eine Borel-Untergruppe von G. Dann wir G von T und den Untergruppen
X mit aÎD(B)
erzeugt.
Beweis. Sei G’ die von T und den X mit aÎD(B) erzeugte Untegruppe von G,
(1)						G’ := < T, X | aÎD(B)>.
Es reicht zu zeigen,
(2)						X Í G’ für alle aÎR(G,T),
denn dann liegen alle Borel-Untergruppen von G in G’ (nach 10.1.1), d.h. es ist G Í G’. Zum Beweis von (2) reicht es zu zeigen,
(3)			X Í G’ und aÎD(B) Þ X Í G’,
denn die s mit aÎD(B) erzeugen die Weylgruppe W:= W(G,T) (nach 10.1.12(i)). d.h. mit (3) gilt auch
			X Í G’ und wÎW Þ X Í G’.
Da nun alle X mit aÎD(B) in G’ liegen (wegen (1)) und
W×D(B) = R(G,T)
gilt (nach 10.1.12(ii)), so gilt mit (3) auch (2). Zum Beweis von (3) reicht es zu zeigen,
(4)			Jede Wurzel aÎD(B) ist auch eine Wurzel von G’
denn dann gibt es ein nÎN(T) Í G’, welches die Spiegelung s zu aÎD(B) repräsentiert und nach Lemma 10.1.3 gilt für b wie in (3)
X = nXn  Í G’.
Beweisen wir (4). Sei a: T ® G ein Wurzel aus D(B). Wir haben zu zeigen,
S := Ker(a)
ist eine singulärer Torus von G’. Zumindest gilt
S Í T Í G’.
Nach Definition von X und wegen (1) gilt
X , T Í Z(S).
Wegen S Í T Í B ist BÇZ(S) ein Borel-Untergruppe von Z(S) (vgl. 7.3.5(ii)). Wäre Z(S) auflösbar, so wäre
BÇZ(S) = Z(S)
d.h.
X Í Z(S) Í B.
Insbesondere wären die Wurzeln a und -a beide positiv bezüglich B (nach 9.3.9(i)), was nicht möglich ist (nach Definition des Begriffs “System positiver Wurzeln”, vgl. 9.2.3). Also ist Z(S) nicht auflösbar, d.h. S ist ein singulärer Torus von G’, d.h. a ist eine Wurzel von G’.
QED.
10.1.14 Aufgaben
Seien G eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, T Í G ein maximaler Torus, BÎB ,
R := R(G,T), W := W(G,T), D = D(B).
(1)	Sei R eines der Wurzelsysteme A, B, C, D wie in 9.3.10. Dann gilt:
(a)	Die Basis von R(B) hat die folgende Gestalt.
	Fall R = A: D = {e-e, e - e ,... , e-e}
	Fall R = B: D = {e-e, e - e , ... , e-e , e}
	Fall R = C: D = {e-e, e - e , ... , e-e , 2e}
	Fall R = D: D = {e-e, e - e , ... , e-e , e+ e}.
(b)	R ist irreduzibel.
(c)	Die Weyl-Gruppe hat die folgende Gestalt.
	Fall R = A: W = S, S operiert durch Permutieren der Basis e , ... , e.
	Fall R = B oder C:
	W ist die Gruppe der linearen Transformationen
(*)		R ® R . e a he mit sÎS und h = ¶1.
	Fall R = D: W ist die Gruppe der lineare Transfomationen (*) mit
h = 1.
(2)	R ist genau dann irreduzibel (vgl. Aufgabe 9.4.3 (1)), wenn sich D in der Gestalt
D = D’ È D”
	schreiben läßt mit (a, b) = 0 für aÎD’ und bÎD”.
(3)	Sei P das Gewichtsgitter (vgl. 9.4.2). Man zeige, P hat eine Basis
{w}
	mit (w , b) = d (Kronecker-Symbol). We gilt
s(w) = w - da
	(die w’s heißen fundamentale Gewichte).
10.2 Das Lemma von Bruhat
10.2.1 Voraussetzungen und Bezeichnungen, Länge eines Elements der Weyl-Gruppe
Wie bisher sei G eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, T Í G ein maximaler Torus und BÎB eine Borel-Untergruppe von G. Weiter sei
	R	:= R(G,T)
	W	:= W(G,T)
	R	:= R (B)
	D	:= D(B)
	S	:= S(B)
Für wÎW schreiben wir
	R(w) := {aÎR | waÎ - R}
für die Menge der positiven Wurzeln, die durch w in negative Wurzeln abgebildet werden.
Insbesondere gilt
	R(s) = {a} falls aÎD
nach 10.1.11(i). Deshalb gilt
(1)	Für aÎD, wa > 0 gilt R(ws) = sR(w) È {a} (disj. Vereinigung).
(2)	Für aÎD, wa < 0 gilt R(ws) = s(R(w) - {a}).
Schreiben wir wÎW in der Gestalt
(3)			w = s×...×s mit sÎS für alle i
(vgl. 10.1.12(i)). Ist h so klein wie möglich, so heißt (3) kürzeste Zerlegung von w und h heißt Länge von w und wird mit
l(w) := h
bezeichnet (bezüglich S, D, bzw. R). 
Bemerkung
Es gilt l(w) = l(w).
10.2.2 Lemma: Eigenschaften der Länge
Seien G eine reduktive lineare algebraische Gruppe, TÍ G ein maximaler Torus und BÎB eine Borel-Untergruppe. Weiter sei wÎW(G,T) und
w = s×...×s
eine kürzeste Zerlegung mit s = s und aÎ D(B). Dann gilt
(i)	R(w) = {a , sa , ssa , ... , ss...sa}
	(rechts stehen paarweise verchiedene Elemente)
(ii)	l(w) = # R(w).
(iii)	Sei aÎD(B). Dann gilt
l(ws) =  und l(sw) = 
(iv)	Sei aÎD(B) eine einfache Wurzel mit wa < 0. Dann gibt es eine kurzeste Zerlegung
w = s’×...×s’ mit s’ = s .
(v)	Ist
w = s’×...×s’
	eine kürzeste Zerlegung, so gibt es ein i mit 1≤ i ≤ h und
s×...×s s×...×s = s’×...×s’ .
Beweis. Zu (i). Im Fall h = 1 ist die Behauptung richtig (vgl. 10.2.1). Sei jetzt h > 1. Wir setzen
w’ := s×...×s
Nach Induktionsvoraussetzung gilt
R(w’) = {a , sa , ... , ss...sa}.
1. Fall: w’a > 0.
Wir wenden Formeln (1) von 10.2.1 an und erhalten die Behauptung.
2. Fall: w’a < 0. Wir zeigen, daß dieser Fall unmöglich ist. Ist er es doch, so liegt a in R(w’), d.h. es gilt
a = ss...sa
für ein i. Damit ist
s = s = (ss...s)s( ss...s)
			= (ss...s)s(ss...s).
Einsetzen in die Zerlegung von w liefert
	w = s×...×s = s×...×s s×...×s.
Der letzte Ausdruck steht aber im Widerspruch zur Minimalität von h. Der zweite Fall ist somit nicht möglich.
Zu (ii). Folgt aus (i).
Zu (iii). Die erste Formel folgt aus (ii) und den Identitäten (1) und (2) von 10.2.1. Zum Beweis der zweiten Formel benutzen wir die gerade bewiesene Formel
l(ws) = 
und beachten, daß l(w) = l(w) gilt. Genauer ist
l(sw) = l(ws) = 
Zu (iv). Wegen aÎD(B) und wa < 0 gilt aÎR(w), nach (i) also
a = s...sa
für ein i. Die Transformation s...s identifiziert daher die Spiegelung s mit der Spiegelung s, d.h.
s = (s...s)s(s...s).
Wegen w = s×...×s ist damit
ws = s×...×ss...s
also
w = s×...×ss...ss.
Dies ist ein kürzelste Zerlegung der behaupteten Gestalt.
Zu (v). Sei
w = s’×...×s’
eine weitere kürzeste Zerlegung. Sei aÎD(B) derart, daß gilt
s’ = s .
Nach (i) liegt dann a in R(w), d.h.  es gilt  wa < 0. Mit anderen Worten, die Voraussetzung von (iv) ist erfüllt. Wie wir gerade beim Beweis von (iv) gesehen haben, gilt
s×...×ss...ss = w ( = s’×...×s’).
Multiplikation von rechts mit s = s’  liefert die Behauptung.
QED.
10.2.3 Bezeichnung: m(s,t) für s,tÎS(B)
Seien G eine lineare algebraische Gruppe, T ein maximaler Torus von G und B Î B ein Borrel-Untergruppe. Für je zwei Spiegelungen
s, t Î S(B)
einfachen Wurzeln mit
s¹ t
bezeichne m(s,t) die Ordnung von st in der Weylgruppe W(G,T),
m(s,t) = # <st >.
Für je zwei einfache Wurzeln a, b Î W(G,T) mit
a¹ b
setzen wir
m(a , b) := m(s , s).
Bemerkungen
(i)	Es gilt
m(s, t) = m(t, s).
(ii)	Ein multiplikatives Monoid M ist eine nicht-leere Menge mit assoziativer Operation
M ´ M ® M, (a,b) a a×b.

10.2.4 Proposition: Funktionen auf W mit Werten in multiplikativen Monoiden
Seien G eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, T ein maximaler Torus von G und BÎ B ein Borel-Untergruppe. Weiter sei M ein multiplikatives Monoid mit 1 und
m: S(D) ® M
eine Abbildung, mit der folgenden Eigenschaft.
Für s,tÎS(D), s¹ t gilt
m(s)m(t)m(s)... = m(t)m(s)m(t)...
wobei die Produkte auf beiden Seiten aus m(s,t) Faktoren bestehen.

Dann gibt es genau eine Fortsetzung
 : W(G, T) ® M
von m auf die Weyl-Gruppe mit
(1)		(w) = m(s)×...×m(s)
für jedes wÎW(G, T) mit der kürzesten Zerlegung
w = s×...×s .
Beweis. Wir haben zu zeigen, die rechte Seite von (1) ist unabhängig von der speziellen Wahl der kürzesten Zerlegung. Wir führen den Beweis nach Induktion nach
h := l(w).
Für h = 1 ist nichts zu beweisen.
Sei h > 1. Seien
w = s×...×s = s’×...×s’.
zwei kürzeste Zerlegungen. Nach 10.2.2 (v) gibt es ein i mit
(2)			s×...×s s×...×s = s’×...×s’.
1. Fall: i > 1.
Nach Induktionsvoraussetzung gilt
m(s’)×...× m(s’) = m(s)×...× m(s) m(s)×...× m(s).
Wir multiplizieren von rechts mit m(s) und erhalten
(3)	m(s’)×...× m(s’)× m(s’) = m(s)×...× m(s) m(s)×...× m(s)× m(s’)
Nun gilt aber
s×...×ss’ = s×...×s
und dies sind zwei kurzeste Zerlegungen einer Länge < i (wegne i > 1). Deshalb ist die rechte Seite von (3) gleich
			m(s)×...× m(s) m(s)×...× m(s),
d.h. es gilt die Behauptung.
2. Fall: i = 1.
Nach (2) gilt
w = s×...×ss’
und es ist
	m(s’)×...× m(s’) = m(s’)×...× m(s’)× m(s’)
			= m(s)×...× m(s) m(s’) 	(nach (2) und Ind. vor.).
Aus Symmetriegründen können wir auch annehmen, es gilt
w = s’×...×s’s
und
m(s)×...× m(s) = m(s’)×...× m(s’) m(s).
Wir haben damit den Beweis auf den Fall reduziert, daß w von der Gestalt
w = w’s’s = w”ss’
ist mit
l(w’) = l(w”) = h - 2
und
s,s’Î S(D), s ¹ s’.
Indem wir die obigen Schlüsse mit den neuen kürzesten Zerlegungen wiederholen, reduzieren wir den Beweis auf den Fall
(4)				w = w’(s’s) = w”(ss’)
mit
l(w’) = l(w”) = h - 2i.
Wir müssen zeigen, aus den Zerlegungen (4) kann man Zerlegungen derselben Art gewinnen mit i+1 anstelle von i. Dabei können wir annehmen, die beiden kürzesten Zerlegungen von (4) genügen nicht den Annahmen des oben behandelten Falls 1, d.h. Kürzen des letzten Faktors rechts hat dieselbe Wirkung wie das Kürzen des ersten Faktors links (und analog mit links und rechts vertauscht), d.h.
(*)	        w’(s’s)s’ = ”(ss’)  und w”(ss’)s = ’(s’s)
mit ’’ = w’ und ”” = w” (identische Ausdrücke). Wir erhalten aus (4) und (*) die kürzesten Zerlegungen
(**)				w = ’(s’s) s’ = ” (ss’)s

Dabei gilt
m(w’)(m(s’)m(s)) = m(w’)(m(s’)m(s))m(s’)m(s) (identische Ausdr.)
		= m(”)(m(s) m(s’)) m(s)

nach Induktionsvoraussetzung (angewandt auf den ersten Ausdruck von (*)). Analog sieht man

m(w”)(m(s)m(s’)) = m(w’)(m(s’)m(s))s’

Wiederholung der Argumentation mit (**) liefert (4) mit i+1 anstelle von i.

Für i groß reduziert das den Beweis auf den Fall
w = s’ss’... = ss’s... mit s,s’ÎS, s ¹ s’,
d.h.
(5)					w = w’(s’s) = w”(ss’)
wobei entweder w’ = s und w” =s’ gilt oder w’ = w’ = 1. Multiplikation von rechts mit (s’s) liefert
w’(s’s) = w”
Im Fall w’ ¹ 1 multiplizieren wir noch von links mit s und von rechts mit s’s und erhalten insgesamt
(s’s) = 1,
wobei m die Anzahl der Faktoren auf beiden Seiten von (5) ist. Für letztere Anzahl gilt also
m(s, s’) | m.
Mit anderen Worten, der Fall (5) wird gerade durch die Voraussetzung des Satzes abgedeckt.
QED.
10.2.5 Propositon: Beschreibung der Weyl-Gruppe durch Generatoren und Relationen
Seien G eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, T ein maximaler Torus von G und BÎB eine Borel-Untergruppe von G. Dann definiert die Menge
S(B)
der Spiegelungen zu den einfachen Wurzeln zusammen mit den Relationen
s = 1 und (st) = 1 für s,tÎ S(B) und s ¹ t
eine Darstellung der Weyl-Gruppe W(G, T).
Beweis. Sei  die Gruppe
 = < | sÎS(D)>,
die von den Symbolen  erzeugt wird, welche den Relationen
 = 1 und () = 1 für s,t Î S(D) mit s ¹ t
genügen. Dann existiert ein surjektiver Homomorphismus
π:   W ,  a s,
denn W wird von den Spiegelungen S(D) erzeugt (vgl. 10.1.12(i)).
Nach 10.2.4 gibt es weiter eine Abbildung
m: W ® 
mit
m(w) = ×...×
für jedes wÎW mit der kürzesten Zerlegung
w = s×...×s .
Nach Konstruktion gilt
(1)						π°m = Id.
Zeigen wir, m ist ein Gruppenhomomorphismus,
(2)						m(w’)m(w”) = m(w’w”) für w’,w”ÎW.
Wir führen den Beweis durch Induktion nach h := l(w”).
Im Fall h = 1 ist w” = s mit aÎD(B). Nach 10.2.2 (iii) gilt
l(w’s) = 
Im ersten Fall erhält man aus einer kürzesten Zerlegung von w’ eine solche von w’s , indem man mit s multipliziert, d.h. es gilt
m(w’s) = m(w’)m(s ).
Im zweiten Fall erhält man aus einer kürzesten Zerlegung von w’s eine solche von w’ , indem man mit s multipliziert, d.h. es gilt
m(w’) = m(w’s)m(s).
Wir multiplizieren von rechts mit m(s) =  und erhalten
m(w’) m(s) = m(w’s).
Im Fall h > 1 schreiben wir w” in der Gestalt
w” = s mit l() = h-1.
Dann gilt
	m(w’w”) = m((w’ s)) = m(w’ s) m()		(Induktionsvor.)
		= m(w’) m( s) m()				(der Fall h = 1)
		= m(w’) m( s)					(Induktionsvor.)
		= m(w’) m(w”).
Damit ist (2) bewiesen. Da nach Kostruktion von m das Bild von m ein Erzeugendensystem von  enthält, ist m surjektiv. Wegen (1) ist m injektiv.
QED.
10.2.6 Bezeichnung: das Element w = w(B)
Seien G eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, T ein maximaler Torus on G und BÎ B eine Borel-Untergruppe.
Sei
w = w(B) Î W(G,T)
das Element mit
wR(B) = - R(B).
Bemerkungen
(i)	w existiert und ist eindeutig bestimmt (vgl. 10.1.5(i)).
(ii)	w ist das eindeutig bestimmte Element maximaler Länge (vgl. 10.2.2 (ii)).

10.2.7 Lemma: Zerlegungen von U := B
Seien G eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, T ein maximaler Torus on G und BÎ B eine Borel-Untergruppe. Wir setzen
U := B
Dann gilt:
(i)	Für jedes aÎW(G,T) erzeugen die Gruppen X mit aÎR(w) eine abgeschlossene Untergruppe
U := <X | aÎR(w)>
	von U, die durch T normalisiert wird. Die Multiplikation von G induziert einen Isomorphismus von Varietäten
u: ´ X ® U 
(ii)	Der Produkt-Morphismus
U´U ® U
	ist ein Isomorphismus von Varietäten.
Beweis. Zu (i). Folgt aus (6.1) und 10.1.4.
Die Surjektivitiät von u beweist man durch dieselbe Art von Argument wie im Beweis von 10.1.4: seien zwei Elemente aus dem Bild von gegeben,
			x =    x(x) und y =    x(h).
Nach 10.1.1 kann man dann das Produkt in der folgenden Gestalt schreiben,
   x(x) ×    x(h) =   x(P(x , h))
mit eindeutig bestimmten Polynomen PÎk[x, h]. Wir konjugieren mit einem Element tÎT und erhalten durch Vergleich
g(t) P(x , h) = P(a(t)x , a(t)h).
Dabei steht a(t)x für das Tupel (a(t)x | aÎR(w)) und analog ist a(t)h zu interpretieren. Auf der linken Seite der Gleichung können nur Wurzeln stehen, die auch rechts vorkommen, d.h. nur solche g mit
g = (n+m)a,
d.h. nicht-negative Linearkombination von Wurzeln aus R(w). Nun sind Wurzeln der Gestalt
wg = (n+m)wa
nicht-negative Linearkombinationen negativer Wurzeln, also negativ. Auf der rechten Seite kommen also nur gÎR(w) vor. Ein Produkt von Elementen aus dem Bild von u liegt also wieder im Bild. Damit ist das Bild von u eine Untergruppe von U und damit gleich U. Mit anderen Worten, u ist surjektiv.
Die Tatsache, daß u ein Isomorphismus ist, ergibt sich aus dem nachfolgenden Beweis von (ii).
Zu (ii). Nach Definition überführt w jede positive Wurzel in eine negative und jede negative in eine positive. Deshalb liegt eine positive Wurzel genau dann in R(w), wenn sie nicht in R(ww) liegt,
(1)		R(B) = R(w) È R(ww) (disjunkte Vereinigung).
Betrachten wir die Multiplikationsabbildungen
		u: ´ X ® U 
		v: ´ X ® U
Nach 10.1.1 ist die Zusammensetzung
(2)			´  U´U ® U
ein Isomorphismus von Varietäten.Weil u und v surjektiv sind (nach (i)) hat man für die affinen Koordinatenringe
k[´]   k[U´U] ¬ k[U].
Da die Komposition bijektiv ist, gilt daselbe für alle Teilabbildungen.
Also sind alle Abbildungen von (2) Isomorphismen.
QED.

10.2.8 Die Doppelnebenklassen c(w), wÎW
Seien G eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, T ein maximaler Torus on G und BÎ B eine Borel-Untergruppe.
Für jedes wÎW(G,T) bezeichne
 Î N(T)
einen Repräsentanten von w. Wir setzen
C(w) := BB = {b’b” | b’,b”Î B }.
Eine Menge dieser Gestalt heißt Bruhat-Zelle von G.
Bemerkungen
(i)	C(w) ist unabhängig von der Wahl des Repräsentanten  von w.
(ii)	C(w) ist eine lokal abgeschlossene Teilvarietät von G.
(iii)	Je zwei Bruhat-Zellen von G sind identisch oder disjunkt.
Beweis. Zu (i). Ist  ein zweiter Repräsentant, so gilt
 = z mit zÎZ(T) = T
(vgl. 9.3.6(ii)), also
BB Í BTB = BB.
Aus Symmetriegründen besteht auch die umgekehrte Inklusion.
Zu (ii). C(w) ist das Orbit von  bei einer Operation von B´B auf G, und als solches lokal abgeschlossen (vgl. (4.3.1)(i)).
Zu (iii). sei C(w’) Ç C(w”) nicht leer. Dann gibt es Elemente 
b’,b”, ’, ”ÎB
mit
b’’’ = b”””.
Damit ist aber
B’B = Bb’’’B = Bb”””B = B”B.

QED.

10.2.9 Lemma: Struktur der C(w) als algebraische Varietäten
Seien G eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, T ein maximaler Torus on G und BÎ B eine Borel-Untergruppe.
Seien weiter wÎW(G,T),
w = s×...×s
eine kürzeste Zerlegung,
s = s mit a Î D(B)
und ÎN(T) ein Repräsentant von s.
Dann ist der Morphismus
F:A´B ® C(w),(x,...,x , b) a x(x)x(x) ×...×x(x)×b
ein Isomorphismus von Varietäten.
Bemerkungen
Es gilt insbesondere
C(w) = XC(w’) mit w’ = s×...×s
C(w) = UB und U = F(A´{e})
Beweis. Wir führen den Beweis durch Induktion nach der Länge
h = l(w).
Im Fall h = 0 ist  w = 1, also C(w) = B1B = B und die Behauptung ist trivial.
Sei jetzt h > 0. Es gilt mit U := B
	C(w) = BB = UB		(wegen B= UT und  Î N(T))
		= UUB	(vgl. 10.2.7(ii)).
		= U(U)B
Nach 10.1.3 ist X = X für alle aÎR, also
	U = < X | aÎR(ww)>
		= < X | aÎR(ww)>
		= < X | aÎ R - R(w)>	   (denn wR = - R)
		Í B
Aus der obigen Darstellung für C(w) ergibt sich damit
(1)	C(w) = UB
Nach 10.2.2(i) ist
	R(w) = { a, sa , ... , s...sa}.
Nach 10.2.7 ist
	U =   X
(2)		= X×X×X×...×X
		= X( X×X×...×X)
		= XU
mit w’ = s×...×s. Nach Induktionsvoraussetzung können wir annehmen, die Behauptung des Satzes ist richtig für w’. Es gilt
	C(w) = UB = XUB
		= XC(w’)	(nach (1) mit w’ anstelle von w).
Insbesondere gelten die die Identitäten der obigen Bemerkung und die Abbilung f ist surjektiv. Aus der Beschreibung (2) von U und 10.2.7(i) ergibt sich, daß F einen Isomorphismus
A ® U
induziert. Wegen
UÇB = {e}
ist die Multiplikationsabbildung
U´B ® C(w)
bijektiv, d.h. F ist bijekiv. Durch Betrachtung der induzierten Abbildung der Tangentialräume im Ursprung sieht man, daß F sogar ein Isomorphismus ist.
QED.
10.2.10 Theorem: Lemma von Bruhat
Sei G ein reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, T Í G ein maximaler Torus und BÎB eine Borel-Untergruppe. Dann gilt:
(i)	G die disjunkte Vereinigung der Weyl-Kammern
C(w) = BB, wÎW(G,T).
(ii)	C(w) ¹ C(w’) für w,w’Î W(G,T) verschieden.
Beweis. Zu (i). Wir setzen
G’:= È C(w)
und
G” := {gÎG | gG’ = G’ }.
Offensichtlich ist G” eine Untergruppe von G. Es reicht zu zeigen,
(1)						G” = G,
denn dann ist G’ stabil bei Linksmultiplikation mit Elementen aus G, also auch G’ = G. Nach 10.1.3 wird G von T und den X mit aÎD(B) erzeugt. Es reicht also zu zeigen,
(2)	  		T Í G” und XÍG” für jedes aÎD(B).
Nach Definition von C(w) gilt B×C(w) = C(w), also auch BG’ = G’, also B Í G”, also
T ÍG” und X Í G” für alle aÎR.
Es reicht also, zu zeigen,
(3)				X Î G” für alle aÎD(B).
Nach 10.1.3 ist
X = X = X.
Es reicht also  zu zeigen,
(4)				G’ = G’ für jedes aÎD(B).
Es reicht zu zeigen,
(5)				G’ Í G’ für jedes aÎD(B).
Weil nämlich sÎW selbstinvers ist, ist  ebenfalls ein Repräsentant von s , d.h. mit (5) gilt auch G’ Í G’ also G’ Í G’, d.h. es besteht auch die zu (5) umgekehrte Inklusion.
Es reicht zu zeigen,
(6)			C(w) Í G’ für jedes aÎD(B) und jedes wÎW.
1. Schritt. XC(w) = C(sw) falls l(sw) = l(w) + 1.
(Insbesondere gilt also (6) im Fall l(sw) = l(w) + 1). 
Wir wählen eine kürzeste Zerlegung
w = s×...×s
und erhalten eine kürzeste Zerlegung
sw = ss×...×s .
Nach 10.2.9 gilt damit
C(sw) = X X×X× ×...×X×B = XC(w),
Wir haben noch den folgenden Fall zu behandeln (vgl. 10.2.2(iii)).
2. Schritt. C(w) Í C(sw) È C(w) falls l(sw) = l(w)  -  1
(Insbesondere gilt also (6) im Fall l(sw) = l(w) - 1). 

Wir wählen eine kürzeste Zerlegung
sw = s×...×s
und erhalten eine kürzeste Zerlegung
w (= ssw) = ss×...×s
Nach 10.2.9 gilt damit
(7)		C(w) = X X×X× ×...×X×B = XC(sw)
also
C(w) = XC(sw) = XC(sw).
Das letzte Gleichheitszeichen ergibt sich dabei aus 10.1.3. Man beachte  unterscheidet sich von  nur durch einen Faktor aus dem Zentralisator Z(T) = T (vgl. 9.3.6(ii)). Damit ist
(8)		C(w) = XC(sw) Í G×C(sw)
Nun ist
G := Z(Ker a)
eine Untergruppe vom halbeinfachen Rang 1 (vgl. 9.1.5). Nach 8.2.3 (i) ist G Vereinigung von zwei Doppelrestklassen,
	G	= (GÇB) È (GÇ( BB))
		Í (GÇB) È (GÇC(s))
		=  (GÇB) È (GÇ (UB))
Man beachte, nach Formel (1) von 10.2.9 gilt C(w) = UB. Nach Definition ist U = <X | bÎR(s)> = X , also
		X Í G Í (GÇB) È (GÇ (XB)) Í B È XB,
also
		XB Í B È XB
Zusammen mit (8) erhalten wir
	C(w) = XC(sw) Í C(sw) È XC(sw)
und mit (7)
	C(w) = XC(sw) Í C(sw) È C(w)

Zu (ii). Es reicht zu zeigen:
(10)		Mit w,w’ÎW , l(w) ≤ l(w’) und C(w)= C(w’) gilt w = w’.
Wir beweisen diese Aussage durch Induktion nach h = l(w).
Der Fall h = 0. Es gilt w = 1, also
B = C(w) =  C(w’) = BB,
also
’ Î BÇN(T) = Z(T)
(Nach 6.12(ii) ist die Weyl-Gruppe im auflöbarem Fall trivial). Mit anderen Worten, das durch ’ repräsentierte Element w’ von W ist das neutrale Element, w’ = 1 = w.
Der Fall h > 0. Wir schreiben w in der Gestalt
w = sw mit l(w) = l(w) - 1 = h-1.
Wie wir oben gesehen haben (vgl. die Argumente nach Formel (6)) gilt dann
C(w)   C(w).
Damit gilt
C(w) Í C(w) = C(w) = C(w’)
Im Fall l(sw’) = l(w’) + 1 ist C(w’) Í C(sw’), also C(w)= C(sw’),  und nach Induktionsvoraussetzung folgt
w = sw’.
Multiplikation von links mit s liefert die Behauptung w = w’. Wir können also annehmen,
					 l(sw’) = l(w’) - 1.
In dieser Situation haben wir oben gesehen (vgl. 2. Schritt)
C(w’) Í C(sw’) È C(w’),
zusammen also
C(w) Í C(sw’) È C(w’).
Wir wenden die Induktionsvoraussetzung auf w an und erhalten
w = sw’ oder w = w’.
Der zweite Fall ist nicht möglich, denn es gilt l(w) < l(w) ≤ l(w’). Also gilt

w = sw’.
Multiplikation von links mit s liefert die Behauptung w = w’.
QED.
10.2.11 Folgerung: das Produkt von Zellen
Sei G ein reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, T Í G ein maximaler Torus, BÎB eine Borel-Untergruppe und
a Î D(B)
eine einfache Wurzel. Dann gilt für jedes w Î W(G,T):
1.	C(s)×C(w) = C(sw) falls l(sw) = l(w) +1 .
2.	C(s)×C(w) Í C(sw) È C(w) falls l(sw) = l(w) - 1 .
Beweis. Im Beweis von 10.2.10 haben wir gesehen , es gilt
(1)	X×C(w) = C(sw) falls l(sw) = l(w) +1
und
(2)	×C(w) Í C(sw) È C(w) falls l(sw) = l(w) - 1.
Multiplikation von links mit B liefert die Behauptung.
QED.
10.2.12 Folgerung: Je zwei Borel-Untergruppen enthalten einen gemeinsamen maximalen Torus
Sei G eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe. Dann liegt im Durchschnitt von je zwei Borel-Untergruppen von G ein maximaler  Torus von G.
Beweis. Seien B und B’ gegebene Borel-Untergruppen. Dann gilt
B’ = gBg mit g Î G.
Nach dem Lemma von Bruhat (10.2.10) kann man g in der Gestalt
g = bb’
schreiben mit b,b’ÎB und wÎW(G,T). Dann ist
T’ := bTb
ein maximaler Torus, der sowohl in B als auch in B’ liegt:
B’ = (bb’)B(bb’) = bBb   bTb = bTb.
Man beachte, ÎN(T).
QED.
10.2.13 Folgerung: der Rand einer Zelle
Seien G eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, T ein maximaler Torus von G und B ÎB eine Borel-Untergruppe. Weiter sei wÎW(G,T) das Element maximaler Länge.
(i)	Jedes C(w) mit wÎW ist eine lokal abgeschlossene Teilvarietät von G. Deren Rand  - C(w) ist Vereinigung von C(w’) mit l(w’)<l(w).
(ii)	C(w) ist eine affine offene dichte Untermenge von G.
(iii)	C(w)È (ÈC(sw)) ist eine offene Teilmenge von G. Alle Komponenten des Komplements dieser Teilmenge haben eine Dimension < dim G - 2.
Beweis. Zu (i). Die lokale Abgeschlossenheit wurde bereits bewiesen (vgl. Bemerkung (ii) von 10.2.8)). Aus dieser lokalen Abgeschlossenheit und der Irreduzibilität von C(w) (vgl. 10.2.9) folgt, daß C(w) offen ist in seiner Abschließung. Insbesondere ist
∂C(w) =  - C(w).
Da C(w) bei der Operation von B´B auf G stabil ist, gilt dasselbe für die Abschließung  und für die Differenz  - C(w). Ein Element dieser Differenz hat nach dem Lemma von Bruhat (10.2.10) die Gestalt
bb’ Î  - C(w).
Wegen der B´B-Stabilität gilt dann aber
C(w’) Í  - C(w).
Die Differenz ist also Vereinigung von Bruhat-Zellen. Diese müssen eine kleinere Dimension haben als C(w), d.h. es gilt
l(w’) = dim C(w’) - dim B < dim C(w) - dim B = l(w)
(vgl. 10.2.9).
Zu (ii). Nach 10.2.9 ist C(w) affin und die einzige Zelle mit derselben Dimension wie G, d.h.
C(w)   G - endlich viele Teilvarietäten kleinerer Dimension.
Deshalb gilt
(w) = G.
Zusammen mit (i) erhalten wir
C(w) = (w) - ∂C(w) = G - ∂C(w).
Insbesondere ist C(w) eine offene Teilmenge von G.
Zu (ii). Nach (ii) ist
G - C(w) = (w) - C(w)
und nach (i) ist die Differenz rechts Vereinigung von Zellen einer Dimension < dim G. Die Zellen der Gestalt C(sw) mit aÎD(B) sind gerade die Zellen der Dimension dim G - 1. Also ist das Komplement der Menge von (iii) gerade die Vereinigung aller Zellen mit einer Dimension ≤ dim G - 2. Nach (i) ist diese Menge abgeschlossen.
QED.
Bemerkungen
(i)	Die offene Menge C(w) nennt man die große Zelle von G bezüglich T und B.
(ii)	Das Lemma von Bruhat (10.2.10) liefert auch eine Beschreibung der geometrischen Struktur von
G/B,
	der projektiven Varietät aller Borel-Untergruppen von G (vgl. 7.3.10).
(iii)	Für jedes wÎW(G,T) bezeichne
X
	das Bild von C(w) bei der natürlichen Abbildung G ® G/B. Wir nennen die X Bruhat-Zellen von G/B und deren Abschließungen Schubert-Zellen.
10.2.14 Folgerung: Zell-Zerlegung von G/B
Seien G eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, T ein maximaler Torus von G und B ÎB eine Borel-Untergruppe. 
(i)	Für jedes wÎW(G,T) ist X eine lokal abgeschlossene Teilvarietät von G/B und als solche isomorph zu A.
(ii)	G/B ist die disjunkte Vereinigung der X mit wÎW(G,T).
Beweis. Folgt aus dem Lemma von Bruhat (10.2.10) und der Gestalt der C(w) = BB.
QED.
10.2.14 Folgerung: eine Produkt-Zerlegung der Elemente von G
Seien G eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, T ein maximaler Torus von G und B ÎB eine Borel-Untergruppe. 
Dann läßt sich jedes Element gÎG auf genau eine Weise in der Gestalt
g = ub mit wÎW, uÎU, bÎB
schreiben.
Beweis. Folgt aus dem Lemma von Bruhat (10.2.10) und (10.2.9).
QED.
10.2.15 Aufgaben
Gruppe, T ein maximaler Torus von G und B ÎB eine Borel-Untergruppe. Wir setzen
	W	:= W(G,T)
	R	:= R(B)
	D	:= D(B)
	S	:= S(B)
 (1) Aufgabe
	(a) Sei w = s×...×s eine kürzeste Zerlegung von wÎW. Für jedes sÎS mit l(sw) < l(w) gibt es ein i mit
sw = s×...×s×s×...×s.
	(b)	Seien wÎW das Element maximaler Länge und
w = s×...×s
	eine kürzeste Zerlegung. Dann gibt es für jedes wÎW mit l(w) = h eine Teilfolge
i < i < ... < i
	von { 1 , ... , N } derart, daß gilt
w = s×...×s.
	(c)	Ist w = s×...×s eine kürzeste Zerlegung von wÎW, so gibt es eine kürzeste Zerlegung der Gestalt
w = s×...×s×s×...×s .
(2) Aufgabe
Sei X := G/B. Man betrachte X als die Menge der Borel-Untergruppen von G. Die Gruppe G operiert auf X´X durch
(g, xB, x’B) a (gxB,  gx’B).
	(a) Bezeichne O(w) Í X´X das Orbit von (B,wB), für wÎW. Dann ist durch
W ® { G-Orits in X´X}, w a O(w),
eine Bijektion definiert. (Hinweis: man zeige, dies ist  eine Reformulierung des Lemmas von Bruhat).
(b) Man sagt von zwei Borel-Untergruppen B’,B” von G, sie sind in der Position w, wenn gilt (B’, B”) Î O(w). Man sagt, B’ und B” sind entgegengesetzt, wenn B’ÇB” ein maximaler Torus ist. Man zeige, B’ und B” sind genau dann entgegengesetzt, wenn sid in der Position w. Dabei bezeichne wÎW das Element maximaler Länge.
(3) Aufgabe
Sei C(w) die große Zelle von G. Dann gilt
G = È C(w)
(Hinweis: Man gehe über zu X = G/B. Ist X’:= È X und ist X-X’ ¹ Æ, so würde es einen T-invarianten Punkt  in X - X’ geben, was zu einem Widerspruch führt).
(4) Aufgabe
Sei w = s×...×s eine kürzeste Zerlegung von wÎW mit s = s und aÎD. Bezeichne P die parabolische Untergruppe
P := <B, X , X>       (1≤ i ≤ h).
(a) Die P×...×P ist eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge von G, welche disjunkte Vereinigung von Bruhat-Zellen C(w’) ist (Hinweis: man leite dies aus 7.2.11(9) ab durch Induktion nach h).
(b) Sei S := {s×...×s | 1≤i≤...≤i≤h} . Man zeige, es gilt
P×...×P = È C(w’)
(Hinweis: man verwende P = BÈBB).
(c) S hängt nicht von der spezielle Wahl der kürzesten Zerlegung von w ab. Es gilt
 = È C(w’) und  = È X
(d) Wir schreiben w’≤w für w’ÎS . Dann definiert ≤ eine Halbordnung auf W (die Bruhat-Ordnung).
(5) Aufgabe
Seien w,w’ÎW Elemente der Weyl-Gruppe mit l(w) ≤ l(w’).
	(a) Gilt w ¹ w’, so ist  Ç  = Æ (Hinweis: sei Y der Durchschnitt. Ist Y ¹ Æ, so enthält Y einen Punkt ”B, der bei T fest bleibt. Nach 4(c) gilt dann l(w”) ≤ l(w), l(ww”) ≤ l(ww’), wobei die Gültigkeit des Gleichheitszeichens äquivalent ist zu w”=w bzw. w” = w’. Man zeige, dies führt zu einem Widerspruch).
	(b)  Ç  =  B (Hinweis: man leite aus (a) ab, daß es reicht zu zeigen, es gilt XÇX = B. Man leite letzteres von 10.2.7 (iii) ab).
(6) Aufgabe
Seien wie in (2) X := G/B und O(w) Í X´X die Menge alle Paare der Gestalt (B, wB) (wÎW).
(a)	Man zeigen  = È O(w’) (Hinweis: man verwende 4(c)). (b)	Sei
w = s×...×s
	eine kürzeste Zerlegung. Wir definieren
O(s, ... ,s) := { (B, ... ,B)ÎX | (B,B)Î für i = 1,...,h }
	Man zeige, dies ist eine abgeschlossene Teilvarietät von X. Die Projektionsabbildung
O(s, ... ,s) ® O(s, ... ,s)
	ist ein surjektiver Morphismus, dessen Fasern sämlich isomorph sind zu P.
(c)	Die Abbildung
π: O(s, ... ,s) ® X´X , (B, ... ,B) ® (B,B),
	ist ein Morphismus mit dem Bild . Die Einschränkung von π auf π(O(w)) ist ein Isomorphismus. (Man kann zeigen, π ist eine “Auflösung” von  , vgl. [13, no. 3])
(7) Aufgabe
Seien G = GL (vgl. 7.2.11(4)) und
(V,...,V) und (V’,...,V’).
zwei vollständige Fahnen von V = k. Es existiere genau eine Permutation sÎS derart, daß es eine Basis e,...,e von V gibt mit
	V	= ke+...+ke
	V’	= ke+...+ke
für i = 1, ... , n-1. Man gebe in diesem Spezialfall einen anderen Beweis des Lemmas von Bruhat (vgl. Aufgabe (2) und 7.3.11(6)).

 (8) Aufgabe
Seien tÎT und g = ubÎG wie in 10.2.14. Liegt g außerdem im Zentralisator Z(T), so liegen u, b,  in Z(t). Man zeigen Z(t) wird erzeugt von Z(t) und den  mit wÎW und w×t = t.
(9) Aufgabe
Sei G definiert über F und sei F der Frobenius-Morphismus (3.3.15). Wir nehmen an, es gilt
FB = B.
Dann operiert F auch auf der Menge X = G/B der Borel-Untergruppen von G.
(a)	Für wÎW setzen wir
X(w) := {B’ÎX | B’ und FB’ sind in der Position w}.
Dann ist X(w) eine lokal abgeschlossene Teilmenge von X, auf welcher die Gruppe G der Fixpunkte des Frobenius operiert.
(b)	Seien G = GL und B = T (obere Dreiecksmatrizen). Es gilt
W @ S
(vgl. 10.1.14(1)). Bezeichne w die zyklische Permutation (1,2,...,n). Unter Verwendung von Aufgabe (7) zeige man, X(w) ist die Menge der Fahnen (V,...,V) in V = k , für welche es ein vÎV gibt mit der Eigenschaft, daß v, Fv, ... , Fv eine Basis von V ist. Man definiere eine Bijektion
X(w) ® Y (ÍA)
auf das Komplement der Vereinigung Y aller rationalen Hyperebenen des A (d.h. der Hyperebenen, die durch eine Gleichung mit Koeffizienten in F  gegeben sind). Man zeige, es gibt eine Bijektion von X(w) auf die Menge aller x = [x,...,x]ÎP mit
det  ¹ 0.

Zu (1) (a).
Sei sw = s’×...×s’ ein kürzeste Zerlegung. Dann ist
w = s×s’×...×s’
eine kürzeste Zerlegung, also sind auch
w = s’×...× s’×s = s×...×s
kürzeste Zerlegungen. Nach 10.2.2 (v) entspricht das Kürzen von s auf der linken Seite dem Weglassen irgendeines Faktors rechts:
s’×...× s’ = s×...×ss×...×s
Wir gehen zum Inversen über und erhalten
sw = s’×...×s’ = s×...×s×s×...×s .
Zu (1)(b).
Wir führen den Beweis durch Induktion nach N - l(w). Im Fall l(w) = N gilt w = w und die Behauptung ist trivial. Sei jetzt
l(w) < N.
Es reicht zu zeigen, daß es ein sÎS gibt mit
l(sw) = l(w) + 1,
denn dann gibt es nach Induktionsvorsaussetzung eine Teilfolge
i < i < ... < i
von { 1 , .. , N} mit
sw = s×...×s.
Nach (1)(a) entspricht dann das Weglassen von s auf der linken Seite gerade dem Weglassen eines Faktor rechts, d.h. es gilt die Behauptung.

Beweisen wir also die Existenz eines sÎS mit l(sw) = l(w) + 1. Nach 10.2.2. (iii) ist die Längenbedingung äquivalent zur Existenz eines aÎD mit
wa  >  0.
Letztere Bedingung ist nach 10.2.2 (ii) äquivalent zu
aÎ D - R(w).
Wegen
# R(w) = l(w) = l(w) < N = # R
gibt es zumindest eine positive Wurzel
aÎR - R(w).
Wir schreiben a als nicht-negative Linearkombination einfacher Wurzeln a ,
a = na + ... + na mit n > 0 und a Î D
(vgl. 10.1.12 (iii)). Wäre w(a) < 0 für jedes i, so wäre auch w(a) < 0 im Widerspruch zur Wahl von a. Also gibt es ein i mit
a Î D - R(w).
Zu (1)(c).
Betrachten wir die kürzeste Zerlegung
w = s×...×s
Beim Beweis von (1)(b) hat sich ergeben, daß es im Fall
l(w) = l(w) < N
ein sÎS mit
l(s w) = l(w) + 1.
Durch wiederholtes Anwenden dieser Tatsache finden wir Elemente
s,...,s ÎS
derart, daß
s×...×s×s×...×s
die maximale Länge N hat. Dann hat aber auch das inverse Element
s×...×ss×...×s
diese maximale Länge. Da es genau ein Element maximaler Länge gibt, folgt
w = s×...×ss×...×s.
10.3 Parabolische Untergruppen
10.3.0 Voraussetzungen und Bezeichnungen
Seien G eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, T Í G ein maximaler Torus und B eine Borel-Untergruppe von G, welche T enthält.

Das Lemma von Bruhat gestattet es uns auch, eine explizite Beschreibung der parabolischen Untegruppen von G, welche B enthalten, anzugeben.
Sei I Í D(B) eine Menge von einfachen Wurzeln und bezeichne
W Í W(G,T)
die Untergruppe der Weyl-Gruppe, welche erzeugt wird von den Spiegelungen s mit aÎI,
	W	:= < s | aÎI >.
Weiter sei
	R	:= { aÎ R | aÎ Qb}
	R	:= RÇR(G,T)
	S	:= (Ç Ker a)
	L	:= Z(S)
Dann ist L ein zusammenhängende reduktive lineare Untergruppe von G (vgl. 9.3.6(i)) mit dem maximalen Torus T und der Borel-Untergruppe BÇL (vgl. 7.3.5 (ii)).
10.3.1 Proposition: die Wurzeln von L
Seien G eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, T Í G ein maximaler Torus, B eine Borel-Untergruppe von G, welche T enthält und I Í D(B) eine Menge von einfachen Wurzeln. Dann gilt:
	R(L , T)	= R
	W(L, T)	= W
	R(BÇL)	= R
	D(BÇL)	= I
Beweis. 1. Schritt: die Wurzeln von L .
Die Wurzeln der reduktiven Gruppe L bezüglich T sind gerade die von Null verschiedenen Gewichte von T in L(L) (vgl. 9.3.8(i)). Die Lie-Algebra L(L) ist gerade die Fixpunktmenge von S in L(G) (vgl. 4.4.7), d.h.
L(L) = L(T) +  L(G) .
Die Summe wird erstreckt über alle Wurzeln von G, die im Kern der Einschränkungsabbildung
X(T) ® X(S) , c a c| 
liegen. Dieser Kern ist gerade die Charaktergruppe von T/S  und ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang
rk X(T/S) = rk X(T) - rk X(S) = dim T - dim S ≤ #I .
Weil die Elemente von I Í X(T) auf S identisch Null sind, kann man sie sogar als Element von des Kern auffassen,
I Í X(T/S).
Nun sind die Elemente von I einfache Wurzeln von G, also linear unabhängig (vg. 10.1.12(iii)), d.h. es gilt rk X(T/S) ≥ #I. Zusammen gilt also
rk X(T/S) = #I
und die linear unabhängigen Wurzeln von I erzeugen die rationale Charaktergruppe,
X(T/S) =  Qa ( = Ker(X(T) ® X(S))
Die Menge der Wurzeln von L besteht damit gerade aus denjenigen Wurzeln von G, die rationale Linearkombinationen der Elemente von I sind,
R(L , T) = R Ç  Qa = R .
2. Schritt: die positiven und die einfachen Wurzeln von L.
Da die Wurzeln von L Linearkombinationen der einfachen Wurzeln von G aus I sind, sind sie sogar ganzzahlige Linearkombinationen der Elemente von I (vgl. 10.1.12(iii)), wobei entweder alle Koeffizienten ≥ 0 oder alle Koeffiziente ≤ 0 sind. Insbesondere ist
R(L , T) = R(L , T)ÇR = R.
Es handelt sich um einfache Wurzeln von L, wenn sie sich nicht als echte positive Linearkombinationen positiver Wurzeln schreiben lassen, d.h.
D(BÇL) = I.
3. Schritt: die Weyl-Gruppe.
Nach 10.1.12(i) ist
W(L , T) = < s | aÎI> = W
QED.
Bemerkung
Nach Konstruktion gilt
W Í W(G,T).
Die Länge eines Elements wÎ W kann man also in W und in W(G,T) berechnen. In beiden Fällen erhält man denselben Wert.
Beweis. Seien
w = s×...×s
eine kürzeste Zerlegung in W und
(1)					a,...,a
die positiven Wurzeln von R. Die Spiegelungen zu den einfachen Wurzeln sind gerade die Elemente der Länge 1, d.h. derart. daß beim Anwenden von s auf die Wurzeln (1) genau eine Wurzel ihr Vorzeichen wechselt (vgl. 10.1.11(i)). Wir wenden jetzt nacheinander die Spiegelungen s , s, ... , s auf die Wurzeln (1) an. Bei jedem Schritt erhöht sich die Anzahl der negativen Wurzeln um höchstens 1. Wenn sie sich nicht um 1 erhöht so sinkt sie um 1 (d.h. eine negative Wurzel wird in eine positive überführt und alle anderen Wurzeln behalten ihr Vorzeichen).

 Da die obige Zerlegung minimal in W ist, kann der zweite Fall nicht eintreten und alle Vorzeichenänderungen treten bereits bei den positiven Wurzeln von L auf. Die Wurzeln, welche nicht zu L gehören behalten also ihr Vorzeichen bei. Also ist h auch die Länge von w, wenn man sie in W(G,T) berechnet.
QED.
10.3.2 Theorem: die parabolischen Untergruppen von G
Seien G eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, T Í G ein maximaler Torus, B eine Borel-Untergruppe von G, welche T enthält und I Í D(B) eine Menge von einfachen Wurzeln.
(i)	P := È C(w) ist eine abgeschlossene Untergruppe von G, welche B enthält, mit der Weylgruppe W und dem Wurzelsystem R , d.h.
W(P. T) = W.
 R(P. T) = R.
 (ii)	RP = <X | aÎR - R >
(iii)	L Ì P and der Produkt-Morphismus  L´RP ® P ist ein Isomorphismus von Varietäten.
(iv)	Für jede Parabolische Untergruppe von G, welche B enthält, gibt es genau eine Menge von einfache Wurzeln I Í S mit P = P.
Beweis. Zu (i). Zeigen wir, P ist eine Untergruppe von G. Dazu reicht es zu zeigen,
(1)			C(w)C(w’) Í P für beliebige w,w’ÎW
Wir führen den Beweis durch Induktion nach der Länge von w (in W). Nach 10.2.11 gilt
1.	C(s)×C(w) = C(sw) falls l(sw) = l(w) +1 .
2.	C(s)×C(w) Í C(sw) È C(w) falls l(sw) = l(w) - 1 .
Insbesondere gilt also (1) für den Fall, daß w die Länge 1 hat. Sei jetzt w = sw” mit aÎI und einem Element w”ÎW , dessen Länge kleiner ist als die von w. Dann gilt
	C(w)C(w’)  Í C(s)C(w”)C(w’)	(nach 1)
			Í C(s)P			(nach Induktion)
			Í P				(Induktionsanfang)
Damit ist gezeigt, daß P eine Gruppe ist. Nach Konstruktion enthält P die Borel-Untergruppe B,
B Í C(e) Í P.
Wir haben noch die Abgeschlossenheit von P zu beweisen. Nach 2.2.4(ii) reicht es zu zeigen, P enthält eine nicht-leere offene Teilmenge von .
Da W die Weyl-Gruppe von L bezüglich T ist, gibt es in W ein Element w’ maximaler Länge. Auf Grund der Beschreibung 10.2.13 (i) des Randes einer Bruhat-Zelle liegt der Rand von P in einer Vereinigung von Bruhat-Zellen C(w’) mit l(w’) < l(w’), d.h. das Innere von  ,
Int  =  - ∂
ist gerade C(w’) und damit eine offene Teilmenge von , die ganz in P liegt.
Wir haben noch zu zeigen, R ist das Wurzelsystem und W ist die Weyl-Gruppe von P. Sei aÎR. Dann ist a eine Wurzel von L (vgl. 10.3.1), also Ker(a) ein singulärer Torus in L. Bezeichne C(w) für wÎW die Zelle von w in L. Nach dem Lemma von Bruhat (10.2.10) gilt dann
L = È C(w) Í È C (w) Í P
Damit ist Ker(a) auch ein singulärer Torus in P , d.h. a ist eine Wurzel von P. Wir haben gezeigt,
R(P , T)   R = R(L,T),
also
W(P , T)   W = W(L,T),
Es reicht zu zeigen, in der letzten Inklusion gilt  das Gleichheitszeichen. Angenommen  nicht. Wir werden dann zeigen, in W(P , T) gibt es ein Element von einer Länge, die größer ist als die aller Elemente von W(L,T) und leiten daraus einen Widerspruch ab. Sei
w Î W(P , T) - W(L,T).
und
w = s×...×s
eine kürzeste Zerlegung in W(G,T). Falls w(a) < 0 ist für ein aÎI, so kann man die Zerlegung nach 10.2.2(iv) so wählen, daß das entsprechende s in der Zerlegung ganz rechts steht. Man kann in diesem Fall von rechts mit s multiplizieren und so die Länge von w  verkleinern. Wir können daher annehmen,
w(a) > 0 für alle aÎI,
d.h. w läßt die Vorzeichen der Wurzeln aus R unverändert. Umgekehrt läßt jedes s mit aÎI die Vorzeichen der Elemente aus
R- R
unverändert (vgl. 10.1.11). Sei jetzt w’ ein Element maximaler Länge aus W. Dann verändert w’ nur die Vorzeichen der Elemente aus R und w nur die Vorzeichen der Elemente aus R- R. Insbesondere hat
w”  = ww’ Î W(P , T)
eine größere Länge als jedes Element aus W,
l(w”) > l(w’).
Es gilt

	dim P = max { dim C(w) | wÎW}		(nach Definiton von P)
		= max { l(w) + dim B | wÎW}	(vgl. 10.2.9)
		= l(w’) + dim B		
		< l(w ”) + dim B			(nach Konstr. von w”)
		= dim C(w”)				(vgl. 10.2.9)
		= dim BB					(Definition von C(w))
		≤ dim P
Die letzte Ungleichung gilt wegen BÍ P und Î P , also BB Í P. Damit erhalten wir den gewünschten Widerspruch.
Zu (ii). Nach 9.3.5 ist
RP = (Ç B’).
Man beachte,  T Í B Í P , d.h. T ist ein maximaler Torus von P. Nach 8.1.7 operiert die Weyl-Gruppe einfach transitiv auf den Borel-Untergruppen, d.h.
RP = (ÇB).
Wir setzen
U := B .
und erhalten
(2)					RP = (Ç U)
Weiter schreiben wir
	U	:= UÇL = (BÇ L)
	U’	:= <X| aÎ R - R>
Für aÎI gilt X Í L , weil a eine Wurzel von L ist (nach 10.3.1), und es gilt X Í B, weil a eine positive Wurzel von G ist. Damit ist
X Í UÇL = U für aÎI.
Nach 10.1.1 ist die Produktabbildung
´ X ® U
ein Isomorphismus von Varietäten und analog ist die Produktabbildung
´ X ® U
ein Isomorphismus, denn R ist gerade die Menge der positiven Wurzeln von L (vgl. 10.3.2) und U ist der unipotente Anteil der Borel-Untergruppe BÇ L von L (vgl. 10.3.1). Dieselbe Argumentation wie in 10.1.4 zeigt, daß die Multiplikationsabbildung
´ X ® U’
surjektiv (also ein Isomorphismus) ist. Insbesondere gilt
(3)				U = U× U’  und UÇU’ = {e}
und die zugehörige Produktzerlegung der Elemente von U ist eindeutig.
Durch Einsetzen in (2) erhalten wir
(4)			RP = (Ç  U× U’)
Untersuchen wir die Operation von W auf U’. Für aÎR - R gilt
a =   nb mit n>0 für ein bÎD-I.
(vgl. 10.1.12(iii)). Dann gilt aber auch
s(a) =   n s(b) Î R - R
für alle gÎI (vgl. 10.1.11(i)). Da die s mit gÎI die Weyl-Gruppe W erzeugen (vgl. 10.3.0), sehen wir, die Menge R - R ist stabil unter der Operation von W. Nach Definition ist dann aber auch U’ stabil unter dieser Operation, U’ = U’ . Damit bekommt (4) die Gestalt
(5)	RP = (Ç  U× U’)
		= ((Ç  U)× U’)
		Í (Ç  U)× U’
Nun ist (Ç  U) (nach 9.3.5) das Radikal der reduktiven Gruppe L also gleich {e}. Also ist Ç  U endlich. Damit liegt das Radikal RP in der Vereinigung von endlich vielen Restklassen modulo U’. Da das Radikal irreduzibel ist, liegt es ganz in einer von ihnen. Da das Radikal e enthält liegt es in U’ ,
	RP Í U’ .
Die umgekehrte Inklusion ergibt sich direkt aus (5), d.h. es gilt
	RP = U’ .
Zu (iii). Für wÎW bezeichne
C(w) bzw. C(w)
die Bruhat-Zelle von w in G bzw. in L . Es gilt
	C(w) = C(w)U’	(wegen (3))
		= C(w)R(P)
für alle wÎW. Nach dem Lemma von Bruhat (10.2.10) für G und L folgt
	P = È C(w) = È C(w)R(P) = L× R(P),
d.h. die Produkt-Abbildung
(6)	L ´ R(P) ® P
ist surjektiv. Beweisen wir als nächstes die Injektivität von (6).

Nach 7.3.5 (ii) ist B = TU eine Borel-Untergruppe von L , d.h. die Untergruppe B und deren Konjugierte überdecken L (nach 7.3.3). Jedes Element der Faser über e von (6) liegt also bereits in einer Untergruppe der Gestalt
g Bg´ R(P).
Es reicht also, die Injektivität der Einschränkung von (6) auf dieser Untergruppen zu beweisen. Da alle Borel-Untergruppen von L gleichberechtigt sind, können wir annehmen, g = e. Wie wir oben gesehen haben, gilt R(P) = U’ , d.h. es reicht, die Injektivität der Produkt-Abbildung
TU´ U’ ® P
zu beweisen. Aus
suu’ = tvv’
mit s,tÎT, u,vÎ U und u’,v’Î U’ folgt
ts = vv’u’u.
Dieses Element ist sowohl halbeinfach als auch unipotent, also gleich e. Es folgt
s = t und uu’ = vv’.
Wegen (3) ist damit aber auch u = v und u’ = v’. Damit ist die Bijektivität  von (6) bewiesen. Zum Beweis der Isomorphie-Eigenschaft, reicht es zu zeigen, der Morphismus ist separabel. Dazu reicht es  zu  zeigen, die induzierte Abbildung der Tangentialvektorräume
	L(L) ´ L(R(P)) ® L(P)
im “Ursprung” ist bijektiv. Diese Abbildung wird aber gerade von der Addition von L(G) induziert. Die Bijektivität der Abbildung ergibt sich aus der folgenden Zerlegung der beteiligten Raum in Gewichtsräume bezüglich der Operation von T.
	L(L) = L(T) +  L(X)	(vgl. 10.3.0, 10.3.1, 9.3.8)
	L(R(P)) =      L(X)	(weil ´ X ® U surjektiv ist)
	L(P)	= L(T) +  L(X) +       L(X)
Zum Beweis der letzten Identität beachte man, es gilt “ ” (weil (6) wohldefiniert ist). Außerdem ist
	dim L(P) = dim P = dim C(w’) (Dimension der großen Zelle)
		= dim B + l(w’)
		= dim B + #R
		= dim T + #R + #R
		= dim L(T) + 2#R + (#R - #R)
		= dim L(T) + #R + #(R - R)
Also gilt sogar das Gleichheitszeichen.
Zu (iv). 
1. Schritt.	Die Parabolischen Untergruppen P von G mit B Í P und
dim P = dim B +1
	sind gerade die Untergruppen der Gestalt P mit aÎD.
Für jede einfache Wurzel aÎD setzen wir
P := P.
Nach 10.3.1 hat L das Wurzelsystem R = {¶a}, also das positive Wurzelsystem R , d.h. es gilt
dim P = dim B + #R = dim B + 1.
Sei umgekehrt P   B eine parabolische Untergruppe mit
dim P = dim B + 1.

Die Anzahl der Wurzeln der reduktiven Gruppe
 := P/RP
ist dann gleich
#R() = 2(dim P - dim B) = 2
(vgl. 9.3.9(ii)) d.h.
R() = {¶a}.
Insbesondere ist
 vom halbeinfachen Rang 1.
Da die Weyl-Gruppe von den Spiegelungen zu den Wurzeln erzeugt wird (vgl. 9.1.13), folgt
W() = {1, s},
d.h. die Weyl-Gruppe besteht aus 2 Elementen. Nach 8.2.3 ist

P = B È UnB
mit einem Repräsentanten n des nicht-trivialen Elements von
W() = N(T)/T.
Da die Weyl-Gruppe einfach transitiv auf den Borel-Untergruppen operiert (vgl. 8.1.7(ii)), besitzt  (und damit P) genau zwei Borel-Untergruppen, welche T enthalten, d.h.
B(P) = {B , B’ }.
Das Element n Î N(T) genügt der Bedingung
B’ = nBn.
Die beiden Borel-Untergruppen von  (und damit die von P) sind nach  10.1.8 benachbart. Nach 10.1.8 gibt es genau eine positive Wurzel von R(P), sagen wir a, mit
B’ = sB.
d.h. n repräsentiert s. Damit gilt
P = B È UnB = C(e) È C(s) = P.
2. Schritt. Der allgemeine Fall.
Sei P eine abgeschlossene Untergruppe von G, welche B enthält. Nach 7.3.8 ist sie zusammenhängend. Wir setzen
I := { aÎD | P Í P }.
Nach dem ersten Schritt sind die P mit aÎI gerade die abgeschlossenen Untergruppen Q von P, welche B enthalten und für welche gilt
dim Q = dim B + 1.
Wenden wir die Aussage des ersten Schritts auf die reduktive Gruppe 
 := P/RP
und das natürliche Bild von B in  an, so sehen wir, daß die Elemente von I ein System einfacher Wurzeln für  bilden. Nach dem Lemma von Bruhat (vgl. 10.1.10) gilt damit
 = È (w),
also
P = È C(w) = P
QED.

10.3.3 Aufgaben
Bezeichne G eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe.
(1) Aufgabe
Sei P eine parabolische Untergruppe von G. Eine Levi-Untergruppe L von P ist eine abgeschlossene Untergruppe von P mit der Eigenschaft, daß die Produkt-Abbildung
L´RP ® P
ein Isomorphismus von Varietäten ist. Man zeige, ist T ein maximaler Torus von P, so gibt es genau eine Levi-Untergruppe von P, welche den Torus T enthält.
(2) Aufgabe
Seien T ein maximaler Torus von G und H eine abgeschlossene Untergruppe von G, die den Torus T enthält. Bezeichne
R = R(G,T)
das Wurzelsystem und 
R’:= {aÎ R | X Í H}.
Man zeige, H ist genau dann parabolisch, wenn R = R’ È -R’ gilt (Hinweis: die eine Implikation folgt aus 10.3.2. Zum Beweis der anderen wähle man eine Borel-Untergruppe B’   T von H und eine Borel-Untergruppe B von G mit  BÇH = B’ und setze
R = R(B).
Für  aÎR und X  B’ gilt dann X Í H. Unter Verwendung der reduktiven Gruppe  H/RH führt dies zum Widerspruch XÍ HÇB = B’. Also ist B=B’).
(3) Aufgabe
Seien P und Q zwei parabolische Untergruppen von G. Man zeige that auch (PÇQ)R(P) eine parabolische Untergruppe ist (Hinweis: man benutze Aufgabe (2)).
(4) Aufgabe
Sei l: G ® G eine “multiplikative 1-Parameter-Untergruppe” von G. Für gÎG, tÎk* setze man
q(t) := l(t)gl(t)
und
P(l) := { gÎG | q ist fortsetzbar zu einem Morphismus A®G }.
Dann ist P(l) eine abgeschlossene Untergruppe von G (vgl. 2.5.5(2)). Man zeige, P(l) ist eine parabolische Untergruppe (Hinweis: man wählen einen maximalen Torus T   S := l(G) und verwende (2)).
(5) Aufgabe
Wir verwenden die Bezeichnungen von 10.3.2. Seien I,J Í D und bezeichne A eine Menge von Darstellungen in W der Doppelnebenklassen WwW . Dann ist G die disjunkte Vereinigung der Doppelnebenklassen PP mit wÎA.
(6) Aufgabe
Sei G = GL und V = k mit der natürliche Operation von G. Weiter seien
F = (V,...,V)
eine beliebige Fahne in V (vgl 7.2.11(4)) und e,...,e eine Basis von V mit
V = ke+ ... + ke
für h = 1, ... , s. Bezeichne B die Borel-Untergruppe von G, deren Elemente die Fahne
ke Ì ke+ke Ì ...
fest lassen und T den maximalen Torus von G, dessen Elemente alle Unterräume ke fest lassen.
(a)	Die Untergruppe P  von G, deren Elemente die Fahne F fest lassen, ist eine parabolische Untergruppe, welche B enthält.
(b)	Sei D die Basis des Wurzelsystems R(G,T) bezüglich B (vgl. 10.1.14 (1)). Man beschreibe die Teilmenge I Í D mit P = P (vgl. 10.3.2).
(c)	Jede parabolische Untergruppe von G ist von der Gestalt P mit einer Fahne F.
(d)	Man diskutiere die entsprechenden Aussage im Fall der speziellen orthogonalen Gruppe (char k ¹ 2) und der symplektischen Gruppe (7.2.11 (5) und (6)).
----------- Continue here --------------:

Notes
Das meiste Material in diesem Kapitel ist ebenfalls Standard. Wir haben bei den Aufgaben von 10.2.15 zusätzliches Material eingefügt, zum Beispiel zu den Schubert-Varietäten.
Die Varietäten X(w) von 10.2.15(9) wurden von Deligne und Lusztig [15] eingeführt und sind ziemlich wichtig für die Darstellungstheorie endlicher Chevalley-Gruppen
11. The uniqueness theorem
Wir benutzen die Bezeichnungen des vorigen Kapitels. Sei G eine  reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, T ein maximaler Torus von G und
Y := Y(G,T) = (X, X, R, R)
das zugehörige Wurzeldatum (9.1.11). Eines der Hauptergebnisse dieses Kapitels (vgl. 11.4.2) ist die Aussage, daß Y die Gruppe G bis auf Isomorphie bestimmt.

Um ein solches Eindeutigkeitsergebnis zu beweisen, müssen wir in allen Einzelheiten untersuchen, wie sich die Gruppe G aus dem Torus T und den 1-Parameter-Untergruppen X mit aÎR aufbaut. Im Verlauf dieser Untersuchungen benötigen wir Informationen über die Wurzelsysteme vom Rang 2. Diese werden wir als erstes diskutieren.
11.1 Die Wurzelsysteme vom Rang 2
11.1.1 Beschreibung der Wurzelsysteme vom Rang 2
Wir beginnen mit der Klassifikation der Wurzelsysteme vom Rang 2. Sei R ein solches Wurzelsystem. Wir nehmen an,
R Í V := R.
Bezeichne e , e die Standard-Einheitsvektoren von V und sei
( , ): V ´ V ® R
die symmetrische Bilinearform mit
(e  , e ) = 2d für i, j Î {1,2}.
Wir beschreiben hier die reduzierten Wurzelsysteme (vgl. 9.1.12) und geben die zugehörigen Basen
D = {a, b}
an. W bezeichne die Weyl-Gruppe.
11.1.1.1 Das Wurzelsystem A´A
a = e , b = e. R = {¶a, ¶b}, W = V (Kleinscher Vierergruppe)

11.1.1.2 Das Wurzelsystem A
a = e , b =  e + e.
R = {¶a, ¶b , ¶(a+b)},
W @ S (symmetrische Gruppe)

11.1.1.3 Das Wurzelsystem B
a = e , b = - e + e.
R = {¶a, ¶b , ¶(a+b), ¶(2a+b)},
W @ D (Diedergruppe der Ordnung 8)

11.1.1.4 Das Wurzelsystem G
a = e , b = - e + e.
R = {¶a, ¶b , ¶(a+b), ¶(2a+b), ¶(3a+b), ¶(3a+2b)},
W @ D (Diedergruppe der Ordnung 8)

11.1.2 Proposition: Klassifikation
Ein reduziertes Wurzelsystem vom Rang 2 ist isomorph zu A´A, A, B oder G.
Beweis.
QED.
11.2.3 Aufgabe: die nicht-reduzierten Wurzelsysteme vom Rang 2
Ein nicht-reduziertes Wurzel-System vom Rang 2 ist isomorph zu einem der folgenden
	{¶e, ¶e, ¶2e}
	{¶e, ¶e, ¶2e, ¶2e}
	{¶e, ¶e, ¶e¶e,¶2e, ¶2e}

11.2. 4 Voraussetzungen und Bezeichnungen
Als nächstes beweisen wir einige Tatsachen über allgemeine Wurzelsystem, die später benötigt werden und im Zusammenhang mit Wurzelsystemen des Rangs 2 stehen.
Sei R ein Wurzelsystem im reellen Vektorraum V. Bezeichne W die Weyl-Gruppe.
11.2.5 Lemma: Fortsetzung von zwei Wurzeln zu einem System positiver Wurzeln
Seien a, bÎR linear unabhängige Wurzeln. Dann gibt es ein System positiver Wurzeln R derart, daß a eine einfache Wurzel ist und b eine nicht-negative Linearkombination von a und einer einfachen Wurzel.
Beweis.
QED.
11.2.6 Lemma
Seien a, bÎR linear unabhängige Wurzeln. Dann besteht die Menge
{ i Î Z | b + ia Î R }
gerade aus den ganzen Zahlen eines Intervalls
[-c, b]
mit b - c = - <a , b> und b + c ≤ 3, welches die 0 enthält.
Beweis.
QED.
11.2.7 Definition: a-String durch b
Seien a, bÎR zwei Wurzeln. Dann heißt die Menge
{ i Î Z | b + ia Î R }
von 11.2.6 a-String durch b. Die Zahl b+c von Lemma 11.2.6 heißt Länge des a-Strings durch b.
11.2.7 Bezeichnungen
Sei R ein System positiver Wurzeln und D die zugehörige Basis. Die Weyl-Gruppe W wird dann von der Menge
S := { s | aÎD }
der Spiegelungen zu den einfachen Wurzeln erzeugt. Für a, b Î D bezeichne R das Wurzelsystem
R := R Ç (Ra + Rb).
Dann bilden a, b eine Basis von R. Die Weyl-Gruppe W von R wird von s und s erzeugt,
W = < s, s>.
11.2.8 Lemma
Seien a, b Î D und wÎW derart, daß gilt wa = b. Dann gibt es einfache Wurzeln
b, ... , b Î D
und Elemente der Weyl-Gruppe
w, ... , w Î W
mit den folgenden Eigenschaften.
(a)	w = ww×...×w .
(b)	b = a, b = b und wb = b für i = 1,...,s.
(c)	Ist b ¹ b , so gilt
w Î W ,
	und ist b = b, so gilt
w Î W für ein b’ Î D
	(i = 1, ... , s).

Dieses Lemma besagt, daß eine Bewegung von a nach b, welche durch ein wÎR definiert wird, durch Zusammensetzung von einfachen solchen Bewegungen innerhalb eines Wurzelsystems der Gestalt R mit g, dÎD entsteht.
Beweis.
QED.
11.2. Die Strukturkonstanten
Wir erinnern daran, daß man für jedes aÎR einen Isomorphismus algebraischer Gruppen
x: G ® X (Í G)
wählen kann im Werten in einer T-stabilen abgeschlossenen Untergruppe, auf der T über den Charakter a operiert. Die Wahl von x ist nicht eindeutig. Eine erste Normalisierung ergibt sich aus dem folgenden Ergebnis.
11.2.1 Proposition: eine Normalisierung für die x
(i)	Für jedes aÎX - {e} gibt es genau ein a’ÎX - {e} mit
aa’a Î N(T).
(ii)	Die Isomorphismen x können so gewählt werden, daß für jedes aÎR das Element
n := x(1)x (-1)x(1)
	in N(T) liegt und als natürliches Bild in W = N(T)/T die Spiegelung s hat. Es gilt
(1)		x(x´)x(-x)x(x) = a(x)n für alle xÎk*.
(iii)	Das Element n = t liegt in T und es gilt t = a(-1). Außerdem ist
n = tn und t = t.
(iv)	Ist (x’) ein zweite Familie von Isomorphismen, die der Bedingung von (ii) genügt, so gibt es cÎk* mit
x’(x) = x(cx) , cc = 1
	für alle aÎR und alle xÎk.
Beweis.
QED.
Bemerkung
Falls nÎN(T) das Element wÎW(G,T) repräsentiert, so gilt
ntn = t
für jedes aÎR.
Das nachfolgende Ergebnis über die n werden wir in Kapitel 12 benötigen.
11.2.2 Bezeichnungen
Seien G eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, T Í G ein maximaler Torus und B eine Borel-Untergruppe, die T enthält. Wir setzen
	R	:= R(B)
	D	:= D(B)
	U	:= B
Dann gilt
B = TU und U =  X .
Ist
u =  x(x)
und ist aÎD eine einfache Wurzel, so ist der Wert von x eindeutig bestimmt, d.h. unabhängig von der Wahl der Reihenfolge der Faktoren in der Produktdarstellung von u.

Denn nach 10.1.4 bildend die Produkte, in denen alle Faktoren zu nicht-einfachen Wurzeln gehören, einen Normalteiler in U und die zugehörige Faktorgruppe ist abelsch. Das ändern der Reihenfolge der Faktoren verändert also nur Faktoren zu nicht-einfachen Wurzeln. 

Wir schreiben
		x(u) := x
für einfache Wurzeln a. Wir bezeichnen mit
		W := TUaU, aÎN(T),
die große Zelle von G. Dabei repräsentiert a das Element maximaler Länge von W(G,T). Wir schreiben weiter
Y := UaU.
Für x = tuau’ Î W schreiben wir
		x(x) := x(u)  für aÎD(B).
Weiter sei
		Y := {yÎY | x(y) ¹ 0 }.
		W := TY.
Yist eine offene Teilmenge von Y.  
11.2.3 Lemma
Für jede einfache Wurzel a gibt es einen Morphismus
F: W ® W
mit
n(ty) = (st)a(-xy)F(y)
für alle tÎT und alle yÎY. Es gilt
x(Fy) = - xy und F = Id.
Beweis.
QED.
11.2.4 Realisierungen und Strukturkonstanten
Eine Familie (x) von Isomorphismen mit den Eigenschaften von 11.2.1(ii) heißt Realisierung von R in G.
Bemerkungen
(i)	Nach Formel (1) von 11.2.1 sind die Kowurzeln durch eine Realisierung festgelegt.
(ii)	Für lineare unabhängige Wurzeln a, bÎR (d.h. a¹¶b) gelten Formeln
(2)	x(x)x(h)x(x) = x(h)       x(cxh)
	(vgl. 10.1.4) wobei die Produkte in einer beliebig vorgegebenen Reihenfolge zu nehmen sind. Die Elemente
c Îk
	heißen Strukturkonstanten von G zur gegebenen Realisierung.
(iii)	Ist (c’) eine Familie von Strukturkonstanten zu einer anderen Realisierung, so gibt es Konstanten cÎk* (nach  11.2.1(iv)) mit cc = 1 und
c’ = cc cc .
	Die Familie (c’) heißt dann äquivalent zur Familie (c).
(iv)	Wir setzen
c = c := 1.
	Aus (2) leitet man ab, daß gilt
c = - c
	und daß die c durch die c eindeutig bestimmt sind.

Wir müssen jetzt die Strukturkonstanten in allen Einzelheiten untersuchen. Die erste Ergebnisse dazu finden sich in der nächsten Proposition.
11.2.5 Proposition
Seien a und b linear unabhängige Wurzeln und bezeichne
(b-ca, ... , b + ba) den a-String durch b (vgl. 11.1.5). Dann gilt:
(i)	nx(x)n = x(dx) für alle xÎk.
	Dabei ist dÎk* durch die folgende Formel gegeben.
d :=     (-1) cc
	Außerdem gilt
		d 		= (-1) d
		dd		= (-1)
		d d		= 1
		d d	= (-1)
		d			= -1
(ii)	nnn			= s(b)(d)n
Dabei bezeichne n das Element von 11.2.1.
Beweis.
QED.
11.2.6 Lemma
Seien b, gÎR linear unabhängig und ib+jgÎR mit i ≥ 0 und j≥ 0. Dann gilt
c = dddc
wobei die d wie in 11.2.5 sind. Für jedes wÎW gilt
cc = cc
Beweis.
QED.
11.2.7 Proposition
Sei rk R = 2. Dann gilt
(i)	Die Strukturkonstanten c mit ia+jbÎR sind ungleich Null. die anderen Strukturkonstanten c sind durch erstere eindeuitg festgelegt.
(ii)	Es gelte stets c = 1 für alle a,b,i,j mit ia+jbÎR und i,j ≥ 0. Dann sind alle Strukturkonstanten von der Gestalt n×1 mit nÎZ. Falls gilt
g, d, g+dÎR ,  g - cdÎR , g - (c+1)d { R
	so ist c = ¶ (c+1).
Beweis.
QED.
11.2.8 Proposition
Sei rk R = 2 und seien a und b einfache Wurzeln. Dann gilt
nnn ... = nnn ...
wobei auf jeder Seite die Anzahl der Faktoren gleich der Ordnung m(a,b) von ss in W ist.
Beweis.
QED.
11.2.9 Beliebiger Rang: die Abbildung f: W ® N(T).
Wir nehmen jetzt an, der Rang des Wurzelsystems R ist beliebig. Wir verwenden weiter die oben eingeführten Bezeichnungen.
Sei wÎW und sei w = s×...×s eine kürzeste Zerlegung mit einfachen Wurzeln a . Es folgt aus 11.2.8 und 10.2.4 daß
f(w) := n×...×n Î N(T)
nur von w und nicht von der speziellen Wahl der kürzesten Zerlegung von w abhängt. Das Element
f(w)
ist ein Repräsentant von wÎW in N(T), und es gilt f(s) = n.
11.2.10 Aufgabe
(a)	Sei f(w) wie in 11.2.9. Man zeige,
f(ww’) = f(w)f(w’)c(w,w’)
für alle  w,w’ÎW mit c(w,w’)ÎT und c(w,w’) = e. Es gilt
c(w,w’) = 1 falls l(ww’) = l(w) + l(w’).
(b)	Sei  die von den n mit aÎD erzeugte Gruppe. Dann ist  eine Erweiterung von W durch eine elementare abelsche 2-Gruppe (Mehr Einzelheiten über  findet man in [35]).
11.2.11 Proposition
Seien g,dÎD und wÎW derart, daß gilt wg = d. Dann gilt
f(w)x(x)f(w) = x(x) für alle xÎk.
Beweis.
QED.
11.3. G als abstrakte Gruppe
11.3.1 Konstruktion
Ausgangsdaten:
Seien
G
eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe,
T Í G
ein maximaler Torus und
Y = (X, X, R, R)
das Wurzel-Datum von G bezüglich T.
Wir werden zeigen, G ist durch Y vollständig bestimmt. Als Vorbereitung diskutieren wir jetzt eine Darstellung von G als abstrakte Gruppe.
Bezeichnungen:
R	ein System positiver Wurzeln in R.
D	Basis der einfachen Wurzeln von R
R	das durch die Wurzeln a,bÎD definierte Wurzelsystem (Ra+Rb)ÇR . Im Fall a¹b ist R vom Rang 2 und hat {a , b} als Basis (einfacher Wurzeln).
R	:= È R
(x)	eine Realisierung von R in G (vgl. 11.2.4)
c	die Strukturkonstanten zur gegebenen Realisierung
Die Gruppe :
Wir geben jetzt eine Darstellung einer Grupp  an. Diese wird nur vom Körper k, von Y und den Strukturkonstanten c von je zwei Wurzeln a, b ÎD abhängen, die beide in einem R liegen. Die Bestandteile der Darstellung sind die folgenden.
(a)	 := Hom(X,k*), die Gruppe der Gruppenhomomorphismen.
	Wir definieren einen Homomorphismus
π:  ® T
	durch die Bedingung
x(π) := (x) für xÎX.
	Aus unserer Diskussion algebraische Tori in 2.5 ergibt sich, daß π wohldefiniert und ein Isomorphismus ist (man überprüfe das, indem man T = (k*) annehme). Die zu π gehörige Umkehrabbildunge ist gegeben durch
πt(x) = x(t) für tÎT und xÎX-
	Für jedes xÎX definieren wir einen Homomorphismus
 :  ® k*,  a (x).
	Für jedes uÎX definieren wir einen Homomorphismus
 : k* ®  , x a (x a x ).
	Die Weyl-Gruppe W = W(G,T) operiert auf  durch
W´ ®  , (w, ) a (x a (wx)).
(b)	Für jedes gÎRund jedes xÎk fixieren wir einen Erzeuger
(x)
	von  (zusammen mit den Elementen von ). Wir unterwerfen diese Erzeuger den folgenden Relationen.
(1)	(x+h) = (x) (h)
	für x,hÎk
(2)	(x) (h) (x) = (h)      (cxh)
	für x,hÎk , falls g,dÎD linear unabhängig sind und beide in einem R liegen.
(3)	(x) = (()x)
	für xÎk, Î.
(c)	Für jedes gÎR setzen wir
 := (1)(-1) (1).
	Dann operiert  auf  durch
  (x) = (sx).
	Wir unterwerfen die Erzeuger (x) weiterhin den folgenden Relationen.
(4)	(x) = (-x)	für xÎk
(5)	 =  Î  mit (x) := (-1) für xÎX.
(6)	×... = ×...
	mit m(a,b) Faktoren auf beiden Seiten, a,bÎD, a¹b. Dabei sei m(a,b) die Ordnung von ss in W(G,T).
(7)	(x) (-x)(x) = (x)n für xÎk*.

Sei  die von  und den (x) mit gÎR und xÎk erzeugte Gruppe, die den obigen Relationen (1), ... , (7) genügen.
Da die entsprechenden Relationen in G gelten, kann der Homomorphismus
π :  ® T
zu einem Homomorphismus
π :  ® G
fortgesetzt werden.
11.3.2 Theorem: Bijektivität des Homomorphismus π
Der in 11.3.1 konstruierte Homorphismus
π :  ® G
ist ein Isomorphismus abstrakter Gruppen.
Bemerkung
Die angegebenen Relationen sind nicht unabhängig. Einige von ihnen kann man weglassen (vgl. 11.3.3(2)).
Beweis.
QED.
11.3.3 Aufgaben
11.3.4 Dynkin-Diagramme
Als eine erste Konsequenz des Strutursatzes 11.3.2 werden wir eine Eindeutigkeitsaussage für die Strukturkonstanten ableiten.

Vorher erinnern wir an die Definition des Dynkin-Diagramms eines Wurzelsystems R mit der Basis D. Dies ist ein Graph D, dessen Ecken die Elemente von D sind,
Menge der Ecken von D := D.
 Je zwei verschiedene Ecken a und b werden durch
<a, b><b, a>
Kanten verbunden. Falls die Wurzeln unterschiedliche Länge haben, so sollen die Kanten von der längeren zu kürzeren Wurzel verlaufen.

Zwei Wurzeln sind also genau dann nicht durch eine Kante verbunden, wenn sie senkrecht aufeinander stehen bezüglich einer W-invarianten positiv definiten symmetrischen Bilinearform.

Wir erinnern an einige Eigenschaften der Dynkin-Diagramme. Die Beweise findet man in [8, Ch. VI].

(a)	Das Wurzelsystem R heißt irreduzibel, wenn es nicht Vereinigung von zwei  paarweise aufeinander senkrecht stehenen Teilsystemen ist. Jedes Wurzelsystem ist Vereinigung von paarweise orthogonalen irreduziblen Wurzelsystemen (vgl. Aufgaben 9.4.3).

Im folgenden sei R irreduzibel.

(b)	D ist zusammenhängend und ist ein Baum, d.h. D enthält keine Zyklen.
(c)	Tritt in D eine dreifache Kante auf, so ist R vom Type G
(d)	Tritt in D eine doppelte Kante auf, so ist D  eine Kette (linear geordnet) und es gibt nur eine solche doppelte Kante. Die Menge
{(a,a) | aÎD}
	enthält dann nur zwei Elemente.

Die möglichen Dykin-Diagramme irreduzibler Wurzelsysteme sind in [8, Ch. VI, p. 197] aufgezählt.

Wir sagen D bzw. R ist einfach verknüpft, wenn mehrfache Kanten nicht auftreten. In der Situation von (d) spricht man von langen und kurzen Wurzeln von R.

11.3.5 Lemma:
Es gibt eine Zerlegung
D = D È D
von D in zwei disjunkte Teilmengen mit der Eigenschaft, daß je zwei verschiedenen Wurzeln aus demselben D senkrecht aufeinander stehen.
Beweis.
QED.
11.3.6  Theorem: Vergleich von Systemen normierter Strukturkonstanten
Seien
G
eine reduktive zusammenhängende lineare algebraische Gruppe,
T Í G
ein maximaler Torus und
Y = (X, X, R, R)
das Wurzel-Datum von G bezüglich T.
Weiter seien D eine Basis von R und D = D È D eine Zerlegung wie in 11.3.5. Dann gilt:
(i)	Es gibt ein eindeutig bestimmtes System von Strukturkonstanten c  (für eine geeignete Realisierung von G) mit den folgenden Eigenschaften.
	(a) Haben aÎD und bÎD dieselbe Länge und liegt a+b in R, so gilt c = 1.
	(b) Ist aÎD eine kurze Wurzel und bÎD ein lange mit a+bÎR , so gilt
c = 1 für alle i,j>0 mit ia+jbÎR.
(ii)	Es gibt eine Realisierung (x) mit der Eigenschaft, daß die zugehörigen Strukturkonstanten die Bedingungen von (i) erfüllen und daß außerdem gilt

f(w)x(x)f(w) = x(¶x)
	für gÎR, wÎW, xÎk (f : W ® N(T) sei wie in 11.2.9). In dieser Situation sind alle Strukturkonstanten von der Gestatl n×1 mit nÎZ.  Für
g, dÎR, g+dÎR, g-cdÎR, g - (c+1)d { R
	ist
c = ¶ (c+1) und cc = - (c+1).
(iii)	Ist (x’) eine weitere Realisierung mit den Eigenschaften von (ii), so gibt es Vorzeichen e = ¶1 (gÎR) mit e = e und
x’(x) = x( ex)
für gÎR und xÎk.
Beweis.
QED.

11.3.7 Folgerung: Eindeutigkeit der Strukturkonstanten
Die Strukturkonstanten c (zu einer festen Ordnung von R) sind bis auf Äquivalenz im Sinne von 11.2.4 durch das Wurzelsystem R eindeutig festgelegt.
Beweis.
QED.
11.3.8 Eine Variante des Isomorphie-Satzes von 11.3.2
Wir beenden dieses Kapitel mit einer Variantes des Satzes 11.3.2.

Der Torus  sei wie in 11.3.2 definiert. Für jede positive Wurzel g und jedes xÎk sei ein Symbol
’(x)
gegeben, so daß die Analoga (1)’, (2)’, (3)’ von (1), (2) und (3) erfüllt sind. Weiter sei für jedes aÎD ein Symbol
’
gegeben, so daß die Analoga (5)’, (6)’ von (5) und (6) erfüllt sind und außerdem gelte
(7)’		’(x)’’(x)’’(x) = (x)’ für aÎD, xÎk*.
Sei ’ die von  , den ’(x) (g>0 , xÎk) und den ’ (aÎD) erzeugte Gruppe mit den Relationen (1)’-(7)’ und außerdem
(8)’		’’ = s() für Î, aÎD.
Dann gibt es einen offensichtlichen Gruppen-Homomorphismus
π’: ’ ® G.
11.3.9 Der Satz
Der in π’ konstruierte Gruppen-Homomorphismus ist bijektiv.
Beweis.
QED.

 11.4. The isomorphism theorem
11.4.1 Lemma: Kriterium für Morphismen
Seien G und G’ algebraische Gruppen und y: G ® G’ ein Homomorphismus abstrakter Gruppen. Es existiere eine nicht-leere offene Teilmenge
U Í G
derart, daß die Einschränkung von y auf U ein Morphismus von Varietäten ist. Dann ist y ein Homomorphismus algebraischer Gruppen.
Beweis.
QED.
11.4.2 Die Situation
Seien G und G’ zwei zusammenhängende reduktive lineare algebraische Gruppen mit den maximalen Tori T bzw. T’ und den Wurzel-Data
Y = (X,X,R,R) und Y’ = (X’,X’,R’,R’).
Sei weiter
y: G ® G’
ein surjektiver Homomorphismus algebraischer Gruppen mit endlichem Kern. Ein solcher Homomorphismus heißt Isogenie.
Bemerkungen
(i)	Der Kern Ker(y) ist eine zentrale Untergruppe von G (vgl. 2.2.2(3)), liegt also in T (vgl. 9.3.6(iii)). Weiter folgt
dim G = dim G’.
(ii)	y definiert einen Homomorphismus der Charaktergruppen
f := X(y): X’ = X(T’) ® X := X(T)
	und einen Homomorphismus
f: X ® X’
	der 1-Parameter-Untergruppen mit fu = f°u. Es gilt
(x’, fu) = (fx’, u) für x’ÎX’, uÎX.
(iii)	Sei aÎR. Ist X die wie in 9.3.6 definierte Untergruppe, so ist yX eine zusammenhängende 1-dimensionale Untergruppe von X’, welche von T’ normalisiert, aber nicht zentralisiert wird. Nach 9.3.10 (1) gibt es  eine Wurzel a’ÎR’ mit
yX = X
	Ist umgekehrt a’ÎR’, so ist (y(X) eine zusammenhängende unipotente 1-dimensionalen Untergruppe von G, die durch T normalisiert wird, also gleich einer der Gruppen X. Damit gibt es eine Bijektion
u: R ® R’ mit yX = X für jedes aÎR.
(iv)	Sei jetzt y: G ® G’ ein Isomorphismus algebraischer Gruppen. Es ist dann klar, daß f(u(a)) = a gilt für aÎR. Also definiert f einen Isomrophismus
Y’ ® Y
	der Wurzelsysteme, d.h. einen Isomorphismus X’ ® X, welcher R’ auf R abbildet, wobei der duale Isomorphismus X ® X’ die Kowurzeln R auf die Kowurzeln R’ abbildet. Wir schreiben
f = f(y).
11.4.3 Theorem (Isomorphiesatz)
Sei f: Y’ ® Y ein Isomorphismus. Dann gibt es einen Isomorphismus algebraischer Gruppen y: G ® G’ mit yT = T’ und f = f(y). Ist y’ ein zweiter solcher Isomorphismus, so gibt es ein tÎT mit
y’(x) = y(txt)
für alle xÎG.
Beweis.
QED.
11.4.4 Wurzelsysteme mit Automorphismus, die die Zerlegung D = D’ÈD” respektiert
Zur späteren Verwendung diskutieren wir eine Anwendung des Isomorphie-Satzes 11.4.3. Wir fixieren ein System
R
positiver Wurzeln und bezeichnen mit
D
die zugehörige Basis, mit
D
das zugehörige Dynkin-Diagramm. Sei
D = D’ÈD”
eine Zerlegung von D wie in 11.3.5. Wir machen die folgende Annahmen.
(a)	G ist halbeinfach und vom adjungierten Typ (vgl. 9.4.2). Das bedeutet, X = Q (d.h. die Wurzeln erzeugen die Charaktergruppe).
(b)	D ist einfach verknüpft (vgl. 11.3.4), d.h. es gibt keine mehrfachen Kanten.
(c)	Es gibt einen Automorphismus f von D mit f(D’) = D’ und f(D”) = D”.
Da D eine Basis von Q ist (nach (a)), läßt sich f zu einen Automorphismus von Q fortsetzen, der auch mit f bezeichnet wird. Es ist klar, daß f einen Isomorphismus des Wurzeldatums
Y(G) = (Q,Q,R,R)
mit sich selbst definiert. Sei h die Ordnung von f (als Element der Endlichen Automorphismengruppe Y).

11.4.5 Folgerung: ein Automorphismus von G
In der Situation von 11.4.4 gibt es einen Automorphismus algebraischer Gruppen
f: G ® G
mit f(f) = f. Dieser Automorphismus f hat dieselbe Ordnung h wie f.
Beweis.
QED.
11.4.6 Die Dynkin-Diagramm der irreduziblen Wurzelsysteme
Bis jetzt haben wir die Klassifikation der Dynkin-Diagramme irreduzibler Wurzel-Systeme nicht benutzt. In dieser Stelle ist es nützlich, diese Klassifikation zu rekapitulieren (um das letzte Ergebnis zu illustrieren). Wir verweisen auf [8, Chap. VI, p. 250-275] bezüglich der Einzelheiten in Hinsicht auf die Klassifikation.

Die Dynkin-Diagramme der einfach verknüften irreduziblen Wurzel-Systeme sind die folgenden. Die Pfeile weisen auf den Automorphismus f der Ordnung 2 von 11.4.2 hin.
A mit l≥1:  

D mit l ≥ 4:
E : 
E : 
E : 
Außer den angegebenen Automorphismen gibt beim Typ D einen Automorphismus der Ordnung 3 (wie man am Diagramm direkt abliest). 

Weitere Automorphismen, die die Bedingunge (c) von 11.4.4 erfüllen, gibt es nicht. Ausgenommen A mit l gerade.

Die Dynkin-Diagramme mit mehrfachen Kanten sind die folgenden:
B mit l≥2: 	
C mit l≥2:
F :		
G :		
Diese kann man aus den einfach verknüpften Diagrammen durch Zusammenfalten mit Hilfe eines Automorphismus f erhalten. Wir werden uns damit mit nächsten Kapitel (vgl. 12.17) beschäftigen. Dort werden wir diese Art von Verheftung benutzen, den Existenzsatz (für Wurzel-Daten zu gegebenen Wurzelsystemen) auf den einfach verknüpften Fall zurückzuführen.

11.4.7 p-Morphismen von Wurzel-Systemen
Es gibt eine Verallgemeinerung des Isomorphie-Satzes, welche Aussagen über Isogenien macht. Wir werden diese Aussagen kurz diskutieren.

Sei
f: G ® G’
eine Isogenie von zusammenhängenden reduktiven linearen algebraischen Gruppen.Wir benutzen die Bezeichnungen von 11.4.2 (für maximale Tori ,  Wurzelsysteme, ... der beteiligten Gruppen). Man beachte, die induzierte Abbildung
f: X’ ® X
der Charaktergruppen ist ein injektiver Homomorphismus und das Bild fX’ hat endlichen Index in X (denn der Index ist gleich der Ordnung des Kerns). Seien
(x) und (x’)
Realisierungen von G bzw. G’. Dann gilt
fx(x) = x’(h(x))
mit hÎk[T], u geeignet und
h(x+h) = h(x) + h(h).
Falls die Charakteristik von p von k gleich Null ist, so gilt
h(x) = ax
mit einem aÎk*. Ist die Charakteristik p > 0, so ist h ein p-Polynom (vgl. 2.6.3). Außerdem gilt
tx(x)t = x(a(t)x).
Wir erhalten damit
h(a(t)x) = h((ua)(f(t)x)) für tÎT und xÎk.
Es folgt im Fall p>0 die Existenz von p-Potenzen q(a) mit
f(ua) = q(a)a
und
f(a) = q(a)(ua)
(man verwende 11.2.1). Im Fall p = 0 definieren wir
q(a) := 1
für jedes aÎR. Die obigen Formel gelten dann auch in diesem Fall.

Definition
Wir sagen, f: X’®X , u: R ®R’ und die Funktion q: R ® {p | n=1,2,3,...} definieren einen p-Morphismus
Y’ ® Y
falls die oben angegebenen Eigenschaften bestehen, d.h.
	f: X’ ® X ist injektiv mit endlichem Kokern
	u: R ® R’ ist bijektiv
	f(ua) = q(a)a und f(a) = q(a)(ua) für alle aÎR.
Bezeichnungen
Falls ein p-Morphismus (f,u, q) in der oben beschriebenen Art aus einer Isogenie f: G®G’ entsteht, so schreiben wir
f = f(f) , u = u(f), q = q(f).
Beispiel
Ein Beispiel eines p-Morphismus im Fall p > 0 ist der Frobenius-Morphismus mit
Y’ = Y, f = q×Id, q := eine p-Potenz.
11.4.8 Lemma: Eigenschaften von q-Morphismen
(i)	Für a,bÎR gilt	q(b) < ua, (ub)> = q(a)< a, b>
(ii)	Für a,bÎR gilt	u(sb) = s(ub)
(iii)	Für aÎR und wÎW gilt q(wa) = q(a)
(iv)	Für a,bÎR, <a, b > > 0 und q(a) < q(b) gilt p=2 oder
p=3 und <a, b> = p, <ua, (ub)> = 1
Beweis.
QED.
11.4.9 Theorem (Isogenie-Satz)
Sei (f,u,f) ein p-Morphismus Y’®Y. Dann gibt es eine Isogenie
f: G ® G’
mit
fT = T’ , f(f) = f, u(f) = u, q(f) = q.
Ist f’ eine zweite solche Isogenie, so gibt es ein tÎT mit
f’x = f(txt) für alle xÎG.
Beweis.
QED.
11.4.10 Aufgabe
Man vervollständige die Details im Beweis von von 11.4.9.
Notes
12. The existence theorem
Das letzte Kapitel ist dem Beweis des folgenden Satzes gewidmet.
12.1 Theorem (Existenzsatz)
Sei Y = (X,R,X,R) ein Wurzeldatum. Dann gibt es eine zusammenhängende reduktive lineare algebraische Gruppe G mit einem maximalen Torus T derart, daß das Wurzeldatum Y(G,T) isomorph ist zu Y.
12.2 
Notes
Bibliography
For a more complete bibliography about linear algebraic groups, see [23].

[1]	Azad, H., Structure constants of algebraic groups, preprint.
[2]	Borel.A., Groups linéarires algébriques, Ann. Math. 64(1956)20-82.
[3]	A. Borel, Linear algebraic groups, Benjamin, New York, 1969
[4]	Borel, A.: Automorphic L-functions, Proc. Symp. Pure Math. 33, Part 2, Amer. Math. Soc.. 1979
[6]	Borel, A., et al: Algebraic groups and related finite groups, Lecture Notes in Math 131, Springer-Verlag 1970.
[7]	Bourbaki, N.: Algèbra commutative, Hermann, Paris, 1961-1965
[8]	Bourbaki, N.: Algèbre de Lie, Hermann, Paris 1971-1975
[11]	Chevalley, C., Classification des groupes de Lie algébriques, Séminaire Ecole Normale Supérieure, Paris 1956- 1958
[13]	Demazure, M.: Désingularisation des variétés de Schubert, Ann. Ec. Norm. Sup. (4) 7 (1974) 53-88
[15]	Deligne, P., Lusztig, G.: Representations of reductive groups over finite fields, Ann. Math. 103 (1976) 103-161
[21]	Hartshorne,R. Algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer, New York 1977.
[23]	Humphreys, J.E., Linear algebraic groups, Graduate Texts in Math. 21, Springer-Verlag 1975.
[26]	Lang, S., Algebra, Addison-Wesley, 1965
[27]	Lazard,M., Sur les groupes de Lie formels à un paramètre, Bull. Soc. Math. France 83(1955), 251-274.
[28]	Mumford,D., Introduction to algebraic geometry, Notes Harvard University.
[29]	Mumford,D., Abelian varieties, Oxford University Press, 1970
[35]	Tits, J.: Normalisateurs de tores I. Groupes de Coxeter étendus, J. Alg. 4 (1966)96-116
[36]	Weil,A,, Foundations of algebraic geometry, revised ed., Amer. Math. Soc., Providence 1962.

Index

—A—
action of a group by automorphisms, 97
additive group, 5
adjoint representation, 66
affine variety, 111
algebraic group, 4
algebraic torus, 26
algebraically dependent, 38
—B—
Borel subgroup, 146
—C—
Cartan subgroup, 148
center, 117
centralizer, 33
centralizer, 97
commutator map, 74
commutator subgroup, 117
complete, 139
conjugacy class, 97
connectedness, 7
cotangent space, 59
—D—
defined over a field, 77; 78
derivation, 48
diagonalizable, 26
differential, 49; 69
differentials, 52
direct product, 4
dominant, 59
—E—
elliptic curves, 6
equivariant, 9
equivariant affine embedding of a torus, 35
—F—
faithfull representation, 12
fiber, 58
field of definition, 77
finite, 85
first basic exact sequence, 54
fixed points, 90
Frobenius morphism, 78
—G—
G-morphism, 9
G-space, 9
G-variety, 9
—H—
higher commutator groups, 117
homogeneous space, 9
homomorphism of algebraic groups, 4
—I—
integral, 85
integral closure, 85
irreducibility, 7
isomorphism of algebraic groups, 4
—J—
Jordan decomposition, 16
—K—
k-morphism, 78
k-structure, 77
k-variety, 77
—L—
linear algebraic group, 4
locally finite, 10; 18
locally nilpotent, 18
—M—
maximal torus, 125; 146
multiplicative 1-parameter subgroup, 26
multiplicative Jordan decomposition, 18
—N—
nilpotent, 15
nilpotent, 117
nilpotent part, 18
non-singular, 51
normal, 86
normal, 86
normalizer, 33
—O—
open, 107
—P—
parabolic subgroup, 144
p-dependent, 38
perfect, 55
p-Lie algebra, 64
principal homogeneous space, 9
projectivation, 105
purely transcendental, 55
—Q—
quotient, 107
—R—
radical, 135
rational character, 25
rational representation, 9
reductive, 135
regulär, 161
restricted, 64
—S—
semi-simple, 15; 18; 24; 135
semi-simple part, 18; 19
separable, 54; 59
separable degree, 82
separably generated, 55
simple point, 51
smooth, 51
solvable, 117
—T—
tangent space, 49
torus, 26
transcendence degree, 55
—U—
unipotent, 15; 24
unipotent part, 18; 19
unipotent radical, 135
universal derivation, 52