Einführung in die algebraische Topologie
B. Herzog
Sommersemester 2006
Bezeichnungen
Ens	Kategorie der Mengen, vgl. 1.1.4
Ab	Kategorie der abelschen Gruppen, vgl. 1.1.4
B	n-dimensionale abgeschlossene Vollkugel, vgl. 4.1.1
	n-dimensionale offene Vollkugel, vgl. 4.1.1
B	Baryzentrum des Standardsimplex ∆, vgl. 3.6.1
B×s	Der Kegel mit der Spitze B über dem (q-1)-Simplex s von ∆, vgl. 3.6.1.
K	Gruppe der n-Ränder des Komplexes K, vgl. 2.1.1
	die baryzentrische Unterteilung SX ® SX der singulären q-Ketten eines topologischen Raums X, vgl. 3.6.1.
Cf	der Kegel über dem Komplex-Morphismus f, vgl. 2.1.6
CK	der Kegel über dem Komplex K, vg. 2.1.6
∆	die simpliziale Kategorie, vgl. 1.1.4
	q-dimensionale Standard-Simplex im , vgl. 1.1.18 und 3.1.2
	Kategorie der abstrakten Simplizialkomplexe, vgl. 1.1.18 und 5.1.1
	Kategorie der geordneten Simplizialkomplexe, vgl. 1.2.12 bzw. 5.1.1.
	Kategorie der simplizialen Paare , vgl. 5.1.1
	Kategorie der geordneten simplizialen Paare, vgl. 1.2.12 bzw. 5.1.1
	Randoperator auf den singulären q-Ketten, vgl. 3.2.2
e	i-ter Standard-Einheitsvektor, i-te Ecke des Standdard-Simplex, vgl. 3.1.2
e	j-te Seiten-Abbildung des q-dimensionalen Standard-Simplex, vgl. 3.1.4
h = h	die Augmentation des singulären Komplexes SX zum topologischen Raum X, vgl. 3.4.4
g = g	die Augmentation des  nicht-leeren topologischen Raumes X, d.h. die Projektion auf den einpunktigen Raum, vgl. 3.4.2
GAb	Kategorie der graduierten abelschen Gruppen, vgl. 2.1.4
K	n-te Homologie des Komplexes K, vgl. 2.1.1 und 2.1.3
HX	die singuläre Homologie des Raumes X,  vgl. 3.3.1
H(X,A)	die singuläre Homologie des topologischen Paares (X,A), vgl.  3.3.1
H(K,L)	die geordnete Homologie des simplizialen Paares (K.L), vgl.  5.1.2(iii).
X	die reduzierte Homologie des topologischen Raumes X, vgl. 3.4.2
Hom(C,D)	Kategorie der Funktoren C ® D, vgl. 1.1.12
K(Ab)	Kategorie der Komplexe abelscher Gruppen, vgl. 2.1.2
K’(Ab)	Homotopie-Kategorie über der Kategorie der Komplexe, vgl. 2.3.3
	das 0-Horn des Standard-n-Simplex, vgl. 4.2.1
P	der einpunktige topologische Raum, vgl. 3.4.1
Q	Basispunkt der n-Sphäre, vgl. 4.1.1
S	n-dimensionale Sphäre, vgl. 4.1.1
SX	Komplex der singulären Ketten auf dem topologischen Raum X, vgl. 3.2.3
SK	Komplex der geordneten Ketten auf dem abstrakten Simplizialkomplex, vgl. 5.1.1
S(K,L)	Komplex der relativen geordneten Ketten auf dem simplizialen Paar (K.L), vg. 5.1.1
X	Gruppe der singulären q-Ketten des topologischen Raums X, vgl. 3.2.2
SU	Komplex der singulären U-kleinen Ketten zu einer Familie U von Teilmengen eines topologischen Raumes, vgl. 3.7.2
S(U,UÇA)	Komplex der relativen singulären U-kleinen Ketten zu einer Familie U von Teilmengen eines topologischen Paars (X, A), vgl. 3.7.2
Top	Kategorie der topologischen Räume, vgl. 1.1.4
Top’	Die Homotopie-Kategorie der topologischen Räume, vgl.  1.2.6
Top	Kategorie der topologischen Paare, vgl. 1.2.7
Top’	Homotopie-Kategorie der topologischen Paare, vgl. 1.2.10
V(K)	Menge der Ecken des abstrakten Simplizialkomplexs K, vgl. 1.1.18 und 5.1.1
K	Gruppe der n-Zyklen des Komplexes K, vgl. 2.1.1
Z	die Menge der nicht-negativen ganzen Zahlen, vgl. 1.1.4

|| x ||	= 	 , Norm von x=(x,...,x)Î, vgl. 4.1.1

	direkte Summe der Komplexe , vgl. 2.1.5
[z]	Homologie-Klasse des Zyklus z, vgl. 2.1.1
C	die zur Kategorie C duale Kategorie, vgl. 1.1.5
C´D	das Produkte der Kategorien C und D, vgl. 1.1.6
G[i]	die graduierte Gruppe G mit der um i verschobenen Graduierung, vgl. 2.1.4
	Suspension über dem Komplex K, vgl. 2.1.6
p×s	der Kegel mit der Spitze pÎR über dem Simplex s: ∆®R, vgl. 3.4.5
s:f  g	Homotopie von stetigen Abbildungen oder Komplex-Abbildungen, vgl. 1.2.3 bzw. 2.3.1
||x||	Länge  des Vektors x = ÎR
||s||	Durchmesser des Simplex s: ∆ ® R, vgl. 3.6.2
X£Y	das Bukett der punktierten topologischen Räume X, Y, vgl. 3.7.6
1. Vorbereitungen
1.1 Kategorien und Funktoren
1.1.1 Vorbemerkung
Der Begriff der Kategorie systematisiert das Phenomen, daß es zu den meisten mathematischen Objekten in natürlicher Weise zugeordnete Abbildungen gibt.
Beispiele solcher Paare von Objekten und Abbildungen sind

Vektorräume - lineare Abbildungen
Gruppen - Gruppenhomomorphismen
Ringe - Ringhomomorphismen
metrische Räume - abstandstreue Abbildungen, bzw. kontrahierende Abbildungen
topologische Räume - stetige Abbilungen

1.1.2 Der Begriff der Kategorie
Eine Kategorie C besteht aus
(i)	einer Klasse von Objekten |C|
(ii)	einer Menge
Hom(X,Y) = Hom(X,Y) = C(X,Y)
	von Morphismen von X nach Y für je zwei Objekte X,YÎ|C|. 
(iii)	einer Abbilung
Hom(X,Y)´Hom(Y,Z) ® Hom(X,Z), (f,g) a g°f,
	für je drei Objekte X,Y,ZÎ|C|, welche Morphismenkomposition heißt.
Man fordert außerdem, daß die folgenden Bedingungen erfüllt sind.
1.	Assoziativgesetz der Morphismenkomposition. Für je vier Objekte X,Y,Z,W Î |C| und je drei Morphismen  fÎHom(Z,W), gÎHom(Y,Z), hÎHom(X,Y) gilt
f°(g°h) = (f°g)°h.
2.	Existenz der identischen Morphismen. Für jedes Objekt XÎ|C| enthält die Menge Hom(X,X) einen sogenannten identischen Morphismus idÎHom(X,X) derart, daß für je zwei Objekte X,YÎ|C| und jeden Morphismus fÎHom(X,Y) die folgenden beiden Relationen bestehen.
f°id = f und id°f = f
1.1.3 Bemerkungen zur Definition
(i)	Man sieht leicht, daß es in jeder der Mengen Hom(X,X) genau einen identischen Morphismus gibt. Sind nämlich id, id’ÎHom(X,X) zwei solche Morphismen, so gilt
id = id°id’ = id’.
(ii)	Seien X und Y Objekte der Kategorie C. Ein Morphismus f: X®Y ist dann ein Element der Menge Hom(X,Y). Das Objekt X heißt auch Quelle des Morphismus X und Y heißt Ziel von f.
(iii)	Die Klasse, welche durch Vereinigung aller Hom-Mengen einer Kategorie C entsteht heißt Klasse der Morphismen von C und wird mit Mor(C) bezeichnet.
1.1.4 Beispiele für Kategorien
(i)	Die Kategorie der Mengen wird mit Ens bezeichnet. Ihre Objekte sind die Mengen, d.h. |Ens| ist die Klasse aller Mengen. Die Morphismenmenge Hom(X,Y) besteht aus allen Abbildungen X®Y.
(ii)	Die Kategorie der abelschen Gruppen wird mit Ab bezeichnet. Ihre Objekte sind die abelschen Gruppen, d.h. |Ab| ist die Klasse aller abelschen Gruppen. Die Morphismenmenge Hom(X,Y) besteht aus allen Gruppenhomomorphismen X®Y.
(iii)	Die Kategorie der topologischen Räume wird mit Top bezeichnet. Ihre Objekte sind die topologischen Räume. Die Morphismenmenge Hom(X,Y) besteht aus allen stetigen Abbildungen X®Y.
(iv)	Im nächsten Abschnitt werden wir die Homotopiekategorie Top’ definieren. Ihre Objekte sind dieselben wie die von Top. Ihre Morphismen sind im allgemeinen keine Abbildungen mehr, sondern Äquivalenzklassen stetiger Abbildungen.
(v)	Sei C eine quasigeordnete Menge, d.h. C sei eine Menge, die mit einer reflexiven und transitiven Relation ’≤’ versehen sei. Dann definiert C eine Kategorie, die ebenfalls mit C bezeichnet werde. Die Objekte der Kategorie seien die Elemente von C,
|C| = C.
	Die Menge Hom(X,Y) bestehe aus genau einem Element, wenn X≤Y gilt und ist andernfalls leer. Ist umgekehrt C ein Kategorie, für welche |C| eine Menge ist und deren Hom-Mengen aus jeweils höchstens einem Element besteht, so besitzt dadurch |C| die Struktur einer quasigeordneten Menge.
(vi)	Sei G eine Gruppe. Dann definiert G eine Kategorie, die ebenfalls mit G bezeichnet wird. Die Kategorie besteht aus nur einem Objekt, sagen wir, dem Einselement der Gruppe,
|G| = {e},
	und die einzige Hom-Menge Hom(e,e) besteht aus den Elementen der Gruppe,
Hom(e,e) = G.
	Die Morphismenkomposition sei gerade durch die Multiplikation der Gruppenelemente gegeben.
Hom(e,e)´Hom(e,e)®Hom(e,e), (g,g’) a g’×g.
(vii)	Die simpliziale Kategorie ∆ hat als Objekte die Mengen
[n] := {0,1,...,n}, n Î Z := NÈ{0},
	d.h.
|∆| := {[n] | nÎZ}.
	Die Morphismen sind die schwach monoton steigenden Funktionen, d.h.
Hom([m], [n]) = {f:[m] ® [n] | f(i) ≤ f(j) für i,jÎ[m] und i≤j}.
	Die Morphismenkomposition ist die gewöhnliche Zusammensetzung von Abbildungen. 
(viii)	Vergleiche 5.1.1 für weitere Kategorien.
1.1.5 Die duale Kategorie
Sei C eine Kategorie. Die zu C duale Kategorie wird mit C bezeichnet und ist wie folgt definiert. Die Objekte von C sind dieselben wie die von C,
|C| := |C|.
Die Morphismen von C sind ebenfalls dieselben wie die von C, werden aber in anderer Weise den Paaren von Objekten zugeordnet. Es gelte
Hom(X,Y) := Hom(Y,X)
für je zwei Objekte X,YÎ|C|. Ein Morphismus f:X®Y von C ist also als Morphismus von C aufgefaßt ein Morphismus mit dem Ziel X und der Quelle Y. Morphismenkomposition von C ist ebenfalls dieselbe, wie die von C,
f°g := g°f
1.1.6 Das Produkt von Kategorien
Seien C und D Kategorien. Das Produkt von C und D wird mit C´D bezeichnet und ist die in folgender Weise definierte Kategorie. Die Objekte von C´D ist die Paare (X,Y) mit XÎ|C| und YÎ|C|. Die Menge Hom((X,Y),(X’,Y’)) besteht aus den Paaren (f,g) mit fÎHom(X,X’) und gÎHom(Y,Y’). Die Komposition ist schließlich koordinatenweise definiert.
(f,g)°(f’,g’) := (f°f’, g°g’).
1.1.7 Teilkategorien
Sei C eine Kategorie. Eine Kategorie D heißt Teilkategorie von C, falls folgende Bedingungen erfüllt sind.
(i)	|D| Í |C|.
(ii)	Hom(X,Y) Í Hom(X,Y) für beliebige Objekte X,Y von D.
(iii)	Die Komposition von Morphismen von D ist dieselbe wie die der entsprechenden Morphismen von C.
(iv)	Die identischen Morphismen der Mengen Hom(X,X) mit XÎ|D| sind auch identische Morphismen von C.
Eine volle Teilkategorie ist eine Teilkategorie, für welche in (ii) stets das Gleichheitszeichen gilt. 
Beispiele
(i)	Die Kategorie der endlichen abelschen Gruppen ist ein Beispiel einer vollen Teilkategorie von Ab.
(ii)	Die simpliziale Kategorie ∆  ist eine Teilkategorie von Ens, die nicht voll ist.
(iii)	Die Kategorie der metrischen Räume und abstandstreuen Abbildungen ist eine Teilkategorie in der Kategorie der metrischen Räume und kontrahierenden Abbildungen. Beide Kategorien haben dieselben Objekte. Die erstere ist keine volle Teilkategorie in der zweiten. Beide sind Teilkategorien von Ens.
1.1.8 Spezielle Morphismen
Seien C eine Kategorie und f:X®Y, g:Y®X zwei Morphismen von C mit
f°g = id.
Dann heißt f linksinvers zu g und g rechtsinvers zu f. Der Morphismus g heißt dann auch Schnitt von f und der Morphismus f heißt Retraktion von g. Ein Isomorphismus ist ein Morphismus, zu welchen ein linksinverser und ein rechtsinverser Morphismus existiert. Zwei Objekte X,Y heißen isomorph,
X @ Y,
falls ein Isomorphismus X®Y existiert. Ein Monomorphismus ist ein Morphismus f:X®Y mit der Eigenschaft, daß für beliebige Morphismen u,v mit dem Ziel X gilt
f°u ¹ f°v falls u ¹  v.
Ein Epimorphismus ist ein Monomorphismus der dualen Kategorie.

Beispiele
1.	Ein Isomorphismus in Ens ist einfach eine bijektive Abbildung.
2.	Ein Isomorphismus in Top ist eine auch topologische Abbildung (auch Homöomorphismus genannt).
3.	Sie C eine Kategorie, deren Morphismen Abbildungen sind (und deren Komposition die gewöhnliche Zusammensetzung von Abbildungen ist). Zum Beispiel
C = Ab, Top, ∆.
	In dieser Kategorie sind injektive Abbildungen monomorph und surjektive Abbildungen epimorph. Die Umkehrung dieser Aussage ist im allgemeinen nicht richtig (Aufgabe!).
1.1.9 Funktoren
Seien C und D Kategorien. Ein Funktor F: C®D (oder auch kovarianter Funktor) besteht aus
(i)	einer Abbildung F: |C|®|D| der Objekte, die ebenfalls mit F bezeichnet wird.
(ii)	einer Abbildung F: Mor(C)®Mor(D) der Morphismen, die ebenfalls mit F bezeichnet wird.
Dabei wird gefordert, daß folgende Bedingungen erfüllt sind.
1.	F(Hom(X,Y)) Í Hom(F(X),F(X)) für beliebige X,YÎ|C|.
2.	F(f°g) = F(f)°F(g) für beliebige Morphismen, welche f°g definiert ist.
3.	F(id) = id für beliebige Objekte XÎ|C|.
Ein Kofunktor F von C nach D (oder auch kontravarianter Funktor) ist ein Funktor
F:C®D,
der auf der zu C dualen Kategorie definiert ist. Ein Bifunktor ist ein Funktor der Gestalt
F: C´C’ ® D,
wobei C, C’ und D Kategorien seien.
Bemerkung
Ist F:C®D ein (Ko-)Funktor und f:X®Y ein Isomorphismus, so ist auch F(f) ein Isomorphismus. Ist nämlich g zu f invers, so ist F(g) zu F(f) invers. Zum Beispiel gilt im Funktorfall
F(g)°F(f) = F(g°f) = F(id) = id
1.1.10 Beispiele für Funktoren
(i)	Sei C eine Kategorie. Der identische Funktor Id:C®C bildet jedes Objekt von C und jeden Morphismus von C auf sich selbst ab.
(ii)	Seien C eine Kategorie und AÎ|C| ein Objekt. Der zu A gehörige kovariante Hom-Funktor ist der Funktor
h = Hom(A,?): C ® Ens, X a Hom(A,X),
	d.h. für Objekte XÎ|C| gelte h(X) := Hom(A,X). Auf den Morphismen f:X®X’ von C ist h durch die Morphismenkomposition definiert.
h(f): Hom(A,X) ® Hom(A,X’), g a f°g.
(iii)	Seien C eine Kategorie und AÎ|C| ein Objekt. Der zu A gehörige kontravariante Hom-Funktor ist der Funktor
h = Hom(?,A): C ® Ens, X a Hom(X,A),
	d.h. für Objekte XÎ|C| gelte h(X) := Hom(X,A). Auf den Morphismen f:X®X’ von C ist h durch die Morphismenkomposition definiert.
h(f): Hom(X’,A) ® Hom(X,A), g a g°f.
(iv)	Seien C eine Kategorie. Dann ist der zu C gehörige Hom-Funkter definiert als der 
Bifunktor
Hom: C´C ® Ens, (X,Y) a Hom(X,Y),
	welche kontravariant im ersten und kovariant im zweiten Argument ist. Auf den Morphismen (f,g):(X,Y) ® (X’,Y’) ist Hom durch die Morphismenkomposition definiert.
Hom(f,g): Hom(X,Y) ® Hom(X’,Y’), a a g°a°f
	Man beachte, als Morphismen von C haben f bzw g die Gestalt f:X’®X und g:Y®Y’.
(v)	Wenn wir die Gruppen G und H als Kategorien auffassen, so ist ein Funktor F:G®H gerade ein Gruppenhomomorphismus und Kofunktor ein Antihomomorphismus (d.h. eine Abbildung mif F(g×g’) = F(g’)×F(g)).
(vi)	Die Funktoren
∆ ® Ens, Ab ® Ens, Top ® Ens,
	welche jedes Objekt und jeden Morphismus in sich abbilden (d.h. die Einschränkungen des identischen Funktors sind), sind Beispiele für sogenannte Vergiß-Funktoren.
(vii)	Funktoren der Gestalt
F: ∆ ® C
	mit irgendeiner Kategorie C heißen simpliziale Objekte der Kategorie C. Im Fall C = Ens spricht man von simplizialen Mengen, im Fall C = Ab von simpliziale abelsche Gruppe, im Fall C = Top von simplizialen topologischen Räumen usw. Ein solcher Funktor ordnet jeder nicht-negativen ganzen Zahl n ein Objekt
F := F([n])
	und jeder schwach monoton steigenden Abbildung
f: [n] ® [m]
	einen Morphismus
F ® F
	einen Morphismus von C. Wir werden später sehen, daß es genügt, diese Morphismen für ganze spezielle Abbildungen f zu definieren.
(viii)	Vergleiche 5.1.2 für weitere Funktoren.
1.1.11 Komposition von Funktoren
Seine F:C®D und G:D®E zwei Funktoren. Dann ist die Zusammensetzung von F und G ein Funktor
G°F: C ® E,
der wie folgt definiert ist. Für jedes Objekt X von C gilt
G°F(X): = G(F(X))
und für jeden Morphismus f:X®Y von C gilt
G°F(f) := G(F(f)).
Die Kategorie der Kategorien wird mit Cat bezeichnet. Ihre Objekte sind die Kategorien, ihre Morphismen sind die Funktoren und als Komposition nimmt man die eben beschriebene Zusammensetzung von Funktoren. Die Kategorie ist mit Vorsicht zu verwenden, da sie anfällig gegenüber den Widersprüchen der Mengenlehre ist.
1.1.12 Natürliche Transformationen
Seien F, G: C®D zwei Funktoren mit derselben Quelle und demselben Ziel. Eine natürliche Transformation x:F®G ist eine Familie
{x(X):F(X)®G(X)}
von Morphismen aus D mit der Eigenschaft, daß für jeden Morphismus f:X®X’ von C das folgende Diagramm kommutativ ist.

Sind die Morphismen x(X) sämtlich Isomorphismen, so heißt x auch natürliche Äquivalenz. Die Inversen der x(X) definieren dann ebenfalls eine natürliche Äquivalenz. Sind x:F®G und h:G®H zwei natürliche Transformtionen, so ist durch
(x°h)(X) := x(X)°h(X)
eine natürliche Transformation x°h: F®H definiert, die Zusammensetzung der natürlichen Transformationen x und h.
Die Kategorie der Funktoren aud C mit Werten in D wird mit Hom(C,D) bezeichnet. Ihre Objekte sind die Funktoren C®D, ihre Morphismen sind die natürlichen Transformationen und die Morphismenkomposition ist eben definierte Zusammensetzung natürlicher Transformationen.
1.1.13 Beispiele natürlicher Transformationen
(i)	Für jeden Funktor F:C®D definiert die Familie der identischen Morphismen von D eine natürliche Transformation id:F®F, die identische Transformation von F.
(ii)	Seien C eine Kategorie und AÎ|C| ein Objekt. Weiter seien F:C®Ens ein Funktor und aÎF(A) ein Element. Dann kann man wie folgt eine natürliche Transformation
F:h ® F
	konstruieren. Wie oben bezeichne h: C®Ens, XaHom(A,X) den kovarianten Hom-Funktor. Für jedes XÎ|C| sei F(X) die Abbildung
F(X): Hom(A,X) ® F(X), (AX) a F(f)(a).
	Man beachte, F(f) ist eine Abbildung F(f):F(A)®F(X). Die Kommutativität der obigen qudratischen Diagramme ist eine Folge der Funktoreigenschaft von F.
F(X)(f) := F(f)(a).
(iii)	Seien C eine Kategorie und AÎ|C| ein Objekt. Weiter seien F:C®Ens ein Kofunktor und aÎF(A) ein Element. Dann kann man wie folgt eine natürliche Transformation
F:h ® F
	konstruieren. Wie oben bezeichne h: C®Ens, XaHom(X,A) den kontravarianten Hom-Funktor. Für jedes XÎ|C| sei F(X) die Abbildung
F(X): Hom(X,A) ® F(X), (XA) a F(f)(a).
	Man beachte F(f) ist eine Abbildung F(f):F(A)®F(X). Die Kommutativität der obigen qudratischen Diagramme ist eine Folge der Funktoreigenschaft von F.
Das nachfolgende Lemma von Yoneda besagt, es gibt keine weiteren natürlichen Transformationen h ® F neben den eben beschriebenen.
1.1.14 Lemma von Yoneda
Seien F: C ® Ens ein Funktor, AÎ|C| ein Objekt und x: h®F eine natürliche Transformation.  Dann gibt es genau ein Element aÎF(A) mit x = F . Es gilt
a = x(A)(id).
Bemerkungen
(i)	Eine natürliche Transformation h®F ist also bereits eindeutig durch ihren Wert im Element idÎh(A) bestimmt, und als Bild kann man ein beliebiges Element von F(A) vorgeben.
(ii)	Eine analoge Aussage gilt auch für Kofunktoren F:C®ens und natürliche Transformationen h ® F. (Man ersetze C durch C).
Beweis des Yoneda-Lemmas. Für jeden Morphismus f:A®X von C hat man ein kommutatives Diagramm

Insbesondere erhält man für das Bild von idÎh(A) bei den beiden möglichen Kompositionen:

Dabei haben wir a:= x(A)(id) gesetzt. Es gilt also x = F.
Zum Beweis der Eindeutigkeit von a nehmen wir an, es gilt
F = F , a,a’ÎF(A).
Dann ist aber a = F(id)(a) = F(A)(id) = F(A)(id) =  F(id)(a’) = a’.
QED.
1.1.15 Darstellbare Funktoren
Seien F:C®Ens ein (Ko-)Funktor und AÎ|C| ein Objekt. Ein Element aÎF(A) heißt universell für F, wenn die zugehörige natürliche Transformation 
F:h ® F (bzw. F:h ® F)
ein Isomorphismus von Funktoren (d.h. eine natürliche Äquivalenz) ist. Das Objekt A heißt dann darstellendes Objekt für den Funktor F. Ein Funktor, der ein darstellendes Objekt besitzt, heißt darstellbar.
Nicht jeder Funktor ist darstellbar. Das Paar (A,a) ist, falls es existiert bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
1.1.16 Eindeutigkeit des darstellenden Paares
Sei F:C®Ens ein darstellbarer Funktor mit dem universellen Element aÎF(A). Dann gilt:
(i)	Zu jedem Objekt XÎ|C| und jedem Element xÎF(X) gibt es genau einen Morphismus f:A®X von C mit F(f)(a) = x.
(ii)	Ist x ebenfalls universell, so ist f ein Isomorphismus.
Beweis. (i). Nach Voraussetzung ist die Abbildung
F(X):Hom(A,X) ® F(X), f a F(f)(a),
bijektiv. Es gibt also genau ein f mit F(f)(a) = x.
(ii) Ist auch x universell, so gibt es außerdem noch genau ein g mit F(g)(x) = a. Dann ist aber
F(fg)(x) = F(f)F(g)(x) = F(f)(a) = x
Vergleich mit der Identität
F(id)(x) = x
zusammen mit der Universalität vom x liefert fg = id. Aus Symmetriegründen gilt dann aber auch fg = id, d.h. f ist ein Isomorphismus.
QED.
 1.1.17 Algebraische Konstruktionen in beliebigen Kategorien
Der Begriff des darstellbaren Funktors kann man benutzen um Konstruktionen der Mengelehre auf allgemeine Kategorien zu übertragen. Wir führen einige Beispiele an.
(i)	Direkte Summen. Seien A,BÎ|C| zwei Objekte und F der Funktor
F = h´h: C ® Ens, X a Hom(A,X)´Hom(B,X).
	Auf den Morphismen sei F wie folgt definiert. Für f:X®X’ÎMor(C) sei F(f) die Abbildung
F(f): Hom(A,X)´Hom(B,X) ® Hom(A,X’)´Hom(B,X’), (a,b) a (fa,fb).
	Ist F darstellbar und ist S ein darstellendes Objekt, so gilt für jedes XÎ|C|:
Hom(A,X)´Hom(B,X) @ Hom(S,X).
	Das Objekt SÎ|C| heißt dann direkte Summe von A und B (oder auch Koprodukt) und wird mit
S = AB
	bezeichnet. Ist
(p,q)ÎHom(A,S)´Hom(B,S)
	das universelle Element, so heißen p:A®AB und q:B®AB natürliche Einbettungen. Die direkte Summe S von A und B ist dadurch charakterisiert, daß es zu je zwei Morphismen a:A®X und b:B®X mit demselben Ziel X genau einen Morphismus f:S®X gilt mit a = fp und b = fq. Analog definiert man unendliche direkte Summen.
(ii)	Direkte Produkte sind die direkten Summen der dualen Kategorie. Man spricht dann von den natürliche Projektionen A´B®A und A´B®B.
Beispiele
Die direkten Summen in Ens und Top sind gerade die disjunkten Vereinigungen. In Ab sind es die gewöhnliche direkten Summen von Gruppen.
Die direkten Produkte in Ens, Top und Ab sind die Produktmengen, Produkträume bzw. die gewöhnlichen direkten Produkte.

1.1.18 Aufgaben
Kategorien
1.	Zeigen Sie, |Ens| ist keine Menge.
2.	 Sei g linksinvers zu f und h rechtsinvers zu f. Zeigen Sie g=h. “Der zu f inverse Morphismus”.
3.	Definieren Sie den Begriff des Epimorphismus ohne Verwendung des Begriffs der dualen Kategorie.
4.	Geben Sie Beispiele von Epimorphismen und Monomorphismen in verschiedenen Kategorien an. Untersuchen Sie die Beziehungen zu den Begriffen “injektiv” und “surjektiv”.
5.	Definieren sie den Begriff des kontravarianten Funktors ohne Verwendung des Begriffs der dualen Kategorie.
6.	Zeigen Sie, die Kategorie ∆ von 1.1.4 läßt sich mit einer Teilkategorie der Kategorie Top der topologischen Räume identifizieren, wobei man die Menge [n] mit dem Standard-Simplex
∆ := {(x,...,x) Î R |  x = 1, 0 ≤ x ≤ 1 für i = 0,...,n}
	der Dimension n identifiziert und den Morphismus f: [n] ® [m] von ∆ mit der Einschränkung der linearen Abbildung f: R ® R auf ∆, welche  den i-ten Standard-Einheitsvektor e abbildet in e. Beschreiben Sie diese Teilkategorie von Top und entscheiden Sie, ob es sich um eine volle Teilkategorie handelt.
Topologische Räume
7.	Wiederholen Sie die Begriffe des topologischen Raumes, insbesondere den des Hausdorff-Raumes.
8.	Zeigen Sie, eine stetige bijektive Abbildung eines kompakten Raumes in einen Hausdorff-Raum ist ein Homöomorphismus. Kann man die Bedingung, daß der eine Raum ein Hausdorff-Raum sein soll, weglassen?

9.	Ein T-Raum ist ein topologischer Raum, in welchem es zu jedem Punktpaar (x,y) eine offene Menge gibt, welche x aber nicht y enthält. Versehen Sie die reelle Gerade mit einer Topologie derart, daß diese ein T-Raum und trotzdem kein Haussdorff-Raum wird.

10.	Seien X und Y zwei topologische Räume die als Mengen identisch sind. Die Topologie von X heißt schwächer als die von Y, wenn jede offene Menge von X auch offen in Y ist und die Topologien nicht gleich sind. Sei jetzt {X} ein Familie von Teilmengen von X. Beschreiben Sie die schwächste Topologie von X, bei der alle Mengen X offen sind. Man nennt diese Topologie die von den X erzeugte Topologie.
11.	Ermitteln Sie, wieviele topologisch nicht-äquivalente Räume es gibt, welche genau drei Punkte besitzen. Wieviele davon sind Hausdorff-Räume?

12.	Faktortopologie. Seien X ein topologischer Raum und @ eine Äquivalenzrelation auf der Menge X. Bezeichne X/@ die Menge der Äquivalenzklassen bzgl. @. und
g: X ® X/@
	die natürliche Abbildung, welche jedes Element auf seine Äquivalenzklasse abbildet.
	(a) Zeigen Sie, die Teilmengen von X/@, deren vollständige Urbilder in X offen sind, geben der Menge X/@ die Struktur eines topologischen Raumes. Die entsprechende Topologie heißt Faktortopologie von X/@. Der Raum X/@ mit dieser Topologie heißt Faktorraum von X modulo @.
	(b) Geben Sie durch eine geeignete Definition der folgenden Aussage einen exakten mathematischen Gehalt. Die Faktortopologie von X/@ ist die “stärkste” Topologie der Menge X/@, bei der die natürliche Abbildung g: X ® X/@ stetig ist.
	(c) Charakterisieren Sie den Faktorraum X/@ (bis auf Isomorphie) durch eine Universalitätseigenschaft.

13.	Verheftung topologischer Räume. Sei {X} eine Familie von topologischen Räumen. Für je zwei Räume X und X der Familie seien Unterräume
AÍX und AÍX
	und Homöomorphismen
f:A® A
	gegeben. Für je drei Elemente i, i, iÎI der Indexmenge gelte
f°f°f = Id
	auf der Teilmenge AÇA von Xund für jedes iÎI gelte f=Id. Konstruieren Sie einen Raum mit X mit folgenden Eigenschaften.
	a. Jedes X der Familie läßt sich mit einem Unterraum von X identifizieren (d.h. es gilt XÍX für die Mengen und die Topologie von X ist gerade die Unterraumtopologie).
	b. X ist die Vereinigung der Unterräume X. Zwei Punkte xÎX und xÎX entsprechen genau dann demselben Punkt von X, wenn sie bei der Abbildung fineinander übergehen. Man sagt auch, der Raum X entsteht durch Verheften der Räume X entlang der Teilmengen A.
	(Hinweis: beschreiben Sie X als Faktorraum der disjunkten Vereinigung der X mit Hilfe einer geeigneten Äquivalenzrelation).
	c. Beschreiben sie den Rand eines Tetraeders als das Ergebnis einer Verheftung von mehreren Kopien eines Standarddreiecks entlang von dessen Seiten.
Zusammenhängende topologische Räume
14.	Ein topologischer Raum X heißt zusammenhängend, wenn er nicht in die Vereinigung von zwei disjunkten und nicht-leeren offenen Teilräumen zerlegt werden kann. Eine Teilmenge von X heißt heißt zusammenhängend, wenn sie als Unterraum zusammenhängend ist. Zeigen Sie, eine beliebige Familie von zusammenhängenden Teilmengen von X, von denen je zwei einen gemeinsamen Punkt besitzen, hat eine zusammenhängende Vereinigung.
15.	Zeigen Sie, die Abschließung einer zusammenhängenden Teilmenge A des topologischen Raumes X ist zusammenhängend.
16.	Zeigen Sie, zu jedem Punkt x des topologischen Raumes X gibt es genau eine zusammenhängende Teilmenge C(x)ÍX, welche den Punkt x enthält und außerdem noch die folgende Eigenschaft hat: Jede zusammenhängende Teilmenge von X, welche den Punkt x enthält, ist ganz in C(x) enthalten. Diese Menge C(x) heißt Zusammenhangskomponente von x in X.
17.	Zeigen Sie, die Zusammenhangskomponente jedes Punktes eines topologischen Raumes X ist abgeschlossen in X.
18.	Geben Sie einen topologischen Raum X an mit einer Zusammenhangskomponente, die nicht offen ist in X.

Simplizialkomplexe
19.	Ein (abstrakter oder kombinatorischer) Simplizialkomplex K mit der Ecken-Menge V(K) ist eine Menge von endlichen Teilmengen der Menge V(K), deren Elemente Ecken von K heißen. Die Elemente von K heißen Simplexe von K. Die Teilmengen eines Simplex s von K heißen auch Seiten von s.

	Dabei wird gefordert, daß die folgenden Bedingungen erfüllt sind.

	(a) Für jede Ecke vÎV(K) ist {v} ein Simplex von K.
	(b) Jede Seite eines Simplex von K ist ein  Simplex von K.
	(c) Für je zwei Simplexe s und s’ von K mit einer gemeinsamen Ecke ist sÇs’ ein Simplex von K.

	Eine simpliziale Abbildung ist eine Abbildung f: V(K) ® V(L) der Ecken-Menge eines Simplizialkomplexes K in die Ecken-Menge eines Simplizialkomplexe K’ mit f(s) Î K’ für jedes sÎK.
	
	Zeigen Sie
	(a) Die Simplizial-Komplexe bilden mit den simplizialen Abbildungen eine Kategorie .
	(b) Die endlichen Simplizialkomplexe K (d.h. diejenigen mit V(K) endlich) bilden eine volle Teilkategorie von .

20.	Für jeden Simplizialkomplex K besteht die Realisierung |K| von K aus der  Menge aller Abbildungen
a:V(K) ® [0,1],
	welche den folgenden beiden Bedingungen genügen.
	(a)	   a(v) = 1 
	(b)	Der Trager Supp(a) := {vÎV(K) | a(v) ¹ 0} von a ist ein Simplex des 
			Simplizialkomplexes K.

	Wir identifizieren die Menge V(K) mit einer Teilmenge von |K|, indem wir der Ecke vÎV(K) die Funktion a mit dem Träger Supp(a) = {v} zuordnen,
V(K) Í |K|.
	
	Zeigen Sie

	(b) |K| ist mit der Abstandsfunktion d(x,y) := 
	ein metrischer Raum (d.h. es gilt d(x,y)=0 Û x=y, d(x,y)=d(y,x), d(x,y)+d(y,z)≥d(x,z)), also insbesondere ein topologischer Raum. Die entsprechende Topologie von |K| heißt metrische Topologie.

	(a) Es gibt genau einen Funktor
| |:  ® Top
	welcher jedem Simplizialkomplex dessen Realisierung zuordnet, wobei die folgenden Bedingungen erfüllt sind.

	(c)	Für jede simpliziale Abbildung f: K ® L ist die Einschränkung von 
|f|:|K|®|L|
		auf auf die Teilmenge V(K) gerade f,
|f| | = f.
	(d)	Für jede simpliziale Abbildung f: K ® L ist die zugehörige Abbildung
|f|: |K| ® |L|
		R-linear in dem Sinne, daß für je zwei Punkte
a,bÎ |K|
		der Realisierung und je zwei reelle Zahlen
l, mÎ[0,1] mit l+m = 1
		gilt
|f|(la + mb) = l×|f|(a) + m×|f|(b).
21.	Sei K ein Simplizialkomplex. Ein Simplex s Î K, welches aus q+1 Elementen besteht heißt auch q-Simplex oder q-dimensionales Simplex und die Zahl
dim s := q
	heißt Dimension von s. Zeigen Sie
	(a) Für jedes q-Simplex von K bilden die nicht-leeren Teilmengen von s einen Simplizialkomplex, dessen Realisierung
|s|
	homöomorph ist zur Teilmenge
∆ := {(x,...,x) Î R |  x = 1, 0 ≤ x ≤ 1 für i = 0,...,q}
	des R, welche q-dimensionales Standard-Simplex heißt. Durch diese Identifizierung wird |s| zum topologischen Raum.
	(b) Es gilt
|K| = È |s|.
	(c) Es  gibt genau eine Topologie auf |K| mit der Eigenschaft, daß eine Teilmenge
U  Í |K|
	genau dann offen ist, wenn UÇ|s| offen ist in |s| für jedes sÎK. Diese Topologie heißt schwache Topologie von |K|. Wenn nicht explizit anders erwähnt, werden wir |K| stets mit der schwachen Topologie versehen.
	(d) Für endliche Simplizialkomplexe K stimmt die metrische mit der schwachen Topologie überein.
	(e) Für jeden endlichen Simplizialkomplex läßt sich der metrische Raum |K| mit einem  Unterraum eines eines  identifizieren (d.h. es gibt eine injektive Abbildung |K| ® , die den Abstand erhält).
22.	Geben sie ein Simplizialkomplex K an, dessen Realisierung homöomorph ist
	(a)	zum einpunktigen Raum.
	(b)	zum Einheitsintervall [0, 1] (ÍR).
	(c)	zu einem (abgeschlossenen) Dreieck.
	(d)	zu einer Kreislinie.
	(e)	zu einem Tetraeder.
	(f)	zu einem Oktaeder.
	(g)	zu einem Torus.
	(h)	zu einem Möbiusband.

	(i)	zu einer Handel (-Oberfläche).

Simpliziale Objekte
23.	Eine simpliziale abelsche Gruppe, ein simplizialer topologischer Raum, ein simpliziales Objekt einer Kategorie C ist ein Funktor
F: ∆ ® C,
	wobei C die Kategorie der abelschen Gruppen, bzw. der topologischen Räume, bzw. irgendeine Kategorie ist.
	(a) Zeigen Sie, jede simpliziale Menge
F: ∆ ® Ens,
	definiert eine simpliziale abelsche Gruppe
<F>: ∆ ® Ab,
	deren Werte freie abelsche Gruppen sind.
.
	(b) Zeigen Sie allgemeiner, zu jeder simplizialen Menge
F: ∆ ® Ens
	und jeden Funktor G: Ens ® C gibt es ein simpliziales Objekt G°F von C. Beschreiben Sie die simpliziale Gruppe von a) auf diese Weise.
1.2 Homotopie
1.2.1 Vorbemerkungen
(i)	Sei f:X®Y eine stetige Abbildung. Die Homotopietheorie interessiert sich für Eigenschaften von f, die sich bei kleinen Veränderungen von f auch nur wenig ändern.
(ii)	Die Physik zum Beispiel muß im allgemeinen davon ausgehen, daß dies bei allen physikalisch interessanten Eigenschaften der Fall ist (weil jede Messung mit Fehlern behaften ist, also nur Eigenschaften erfaßt werden, die sich bei geringen Meßfehlern nur unwesentlich abändern).
(iii)	Läßt sich eine Eigenschaft der angegebenen Art durch eine diskrete Größe beschreiben, zum Beispiel durch eine natürliche Zahl, so bleibt diese Eigenschaft überhaupt völlig invariant auch bei großen Veränderungen, sobald sich diese nur aus vielen kleinen zusammensetzen.
(iv)	Letzteres ist die Grundlage des sogenannte Prinzips der Homotopie-Invarianz. Der Begriff der Homotopie ist eine Formalisierung des beschriebenen Phänomens.
1.2.2 Der Begriff der Homotopie
Seien X,Y topologische Räume und I=[0,1] das Einheitsintervall. Eine Homotopie oder auch Deformation von X nach Y ist eine stetig Abbildung
F: X´I ® Y.
Für jedes tÎI ist dann insbesondere die Abbildung
F : X®Y, x a F(x,t),
stetig. Wir werden im folgenden auch von der zugehörigen Familie
{F : X®Y}
 als von einer Homotopie sprechen, bzw. mit dem Begriff der Homotopie immer die Vorstellung einer solchen Familie von stetig variierenden Abbildungen verbinden. Statt von einer Homotopie werden wir auch von einer stetigen Familie
F : X®Y, tÎI,
von Abbildungen sprechen.
Bemerkung
Wenn man xÎX festhält und tÎI variiert, so kann man sich F(x) als einen sich mit der Zeit im Raum Y bewegenden Punkt vorstellen. Analog stellt man sich F(X) als ein sich mit der Zeit deformierendes Gebilde vor.
1.2.3 Homotope Abbildungen
Zwei stetige Abbildungen f,g:X®Y heißen homotop, falls es eine stetige Familie von Abbildungen
F : X®Y, tÎI,
gibt mit f = F und g = F. Wir schreiben dann
f  g oder F:f  g
 und sagen, F ist eine Deformation der Abbildung f in die Abbildung g.
Sei AÍX ein Teilraum. Falls die Einschränkung F| auf A unabhängig von t ist, so heißt F auch relative Homotopie bzgl. A. Wir schreiben dann
f  g rel A oder F:f  g rel A.
Ist g = F eine konstante Abbildung, so heißt F auch Nullhomotopie und f = F heißt nullhomotop.
1.2.4 Homotopieklassen
Die Homotopierelation  ist eine Äquivalenzrelation. Die zugehörigen Äquivalenzklassen heißen Homotopieklassen. Die Homotopieklasse der stetigen Abbildung f:X®Y wird mit [f] bezeichnet.
Beweis. Reflexivität. Die konstante Homotopie F(x) = f(x) zeigt, es gilt F:f  f.
Symmetrie. Ist
F : X®Y, tÎI,
eine Deformation von f in g, so ist
F : X®Y, tÎI,
eine Deformation von g in f.
Transitivität. Seien Homotopien
F:f  g und G:g  h
gegeben Wir setzen
H(x,t) := 
Dann ist H eine Deformation von f in h.
QED.
1.2.5 Verträglichkeit mit Kompositionen
Seien f,f’:X®Y und g,g’:Y®Z stetige Abbildungen mit
f  f’ und g  g’.
Dann gilt g°f  g’°f’.
Beweis. Mit F:f  f’ und G:g  g’ gilt H: g°f  g’°f’, wenn man H := G°F setzt.
QED.
Bemerkung
Nach Aussage 1.2.5 ist die Homotopieklasse [f°g] nur von den Homotopieklassen [f] und [g] abhängig und nicht von den einzelnen Repräsentanten. Man kann also
[f]°[g] := [f°g]
setzten und auf diese Weise die Komposition von Homotopieklassen definieren.
1.2.6 Die Homotopiekategorie
Die Homotopiekategorie wird mit Top’ bezeichnet. Ihre Objecte sind die topologischen Räume und ihre Morphismen die Homotopieklassen stetiger Abbildungen. Die Morphismenkomposition ist die oben definierte Komposition von Homotopieklassen.
Bemerkungen
(i)	Top’ hat dieselben Objekte wie Top.
(ii)	Der Übergang zu den Homotopieklassen definiert einen Funktor
π: Top ® Top’, X a X, f a [f],
den sogenannten Homotopiefunktor.
Bemerkungen
(i)	Die wichtigste Methode der algebraischen Topologie besteht in der Konstruktion von gewissen Funktoren F: Top ® A, wobei A eine der algebraischen Kategorien ist (Gruppen, Ringe, ...). Meistens sind diese Funktoren homotopieinvariant, d.h. aus f  g in Top folgt stets F(f) = F(g). Mit anderen Worten, F faktorisiert sich über den Homotopiefunktor π, d.h. hat die Gestalt
Top  Top’  A.
	Der Funktor F vernachlässigt alle Informationen, welche auch von π vernachlässigt werden. Deshalb interessiert man sich in der algebraischen Topologie mehr für die Kategorie Top’ als für Top. 
(iii)	Insbesondere macht man oftmals keinen Unterschied zwischen topologischen Räumen, die in Top’ isomorph sind. Das sind Räume X und Y, zu denen es stetige Abbildungen
f:X®Y und g:Y®X
	gibt mit f°g  id und g°f  id. Solche Abbildungen heißen Homotopieäquivalenzen. Die Räume X und Y, zwischen denen es Homotopieäquivalenzen gibt, heißt homotopieäquivalent, symbolisch,
X Y.
(iv)	Homotopieinvariane Funktoren haben dieselben Werte auf homotopieäquivalenten Räumen, genauer
X Y Þ F(X) @ F(Y).
1.2.7 Topologische Paare
Unter einem topologischen Paar wollen wir im folgenden ein Paar (X,A) verstehen, wobei X ein topologischer Raum ist und A ein Unterraum von X. Eine Abbildung von Paaren,
f: (X,A) ® (Y,B),
soll eine stetige Abbildung f:X®Y sein mit f(A)ÍB. Die topologischen Paare und ihre Abbildungen bilden bzgl. der gewöhnlichen Komposition eine Kategorie, die mit
Top
bezeichnet wird. Mit Hilfe des Funktors
Top ® Top, X a (X,Æ),
identifizieren wir im folgenden Top mit einer vollen Teilkategorie von Top.
1.2.8 Die direkte Summe von Paaren
Sei der topologische Raum X disjunkte Vereinigung der Familie {X} , d.h. X ist die direkte Summe dieser Räume in Top,
X = X .
Weiter sei A Í X ein Unterraum und es sei A = AÇX . Dann ist das Paar (X,A) in Top die direkte Summe der Paare (X, A),
(X,A) = (X , A).
1.2.9 Ein Produkt von Paaren
Für Paare (X,A) und (Y,B) setzen wir
(X,A)´(Y,B) := (X´Y, X´B È A´Y)
Dies ist nicht das direkte Produkt der beiden Paare in Top.
1.2.10 Homotopie von Paaren
Zwei Abbildungen f,g:(X,A)®(Y,B) heißen homotop, falls es eine Homotopie H:fg gibt, für welche alle H Abbildungen  (X,A)®(Y,B) von Paaren sind. Man schreibt dann wieder fg. Die Relation  ist eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklassen werden wieder mit [f] bezeichnet. Man erhält auf diese Weise eine Kategorie Top’ und einen Funktor
π:Top® Top’, (X,A)a(X,A), f a [f].
1.2.11 Tripel von topologischen Räumen
Unter einem topologischem Tripel wollen wir ein Tripel (X,A,B) von topologischen Räumen verstehen mit
BÍAÍX.
Falls nur AÍX B gilt sprechen wir von einer Triade. 
Beide Begriffe führen zu gewissen Kategorien, welche Top enthalten und sogar zu entsprechenden homotopischen Begriffen und Kategorien.
1.2.12 Aufgaben
1.	Definieren Sie die Kategorie  der simplizialen Paare  (vgl. 5.1.1).
2.	Definieren Sie die Kategorie  der geordneten Komplexe (vgl. 5.1.1)
3.	Definieren Sie die Kategorie  der geordneten simplizialen Paare (vgl. 5.1.1).
4.	Definieren Sie in der Kategorie  der Simplizialkomplexe den Begriff der Homotopie zweier Morphismen.

2. Homologie von Komplexen
2.1 Komplexe
2.1.1 Die Homologie eines Komplexes
Ein Komplex K ist eine Familie
{:®}
von aufeinanderfolgenden Homomorphismen abelscher Gruppen mit der Eigenschaft, daß die Zusammensetzung von je zwei aufeinanderfolgenden Homomorphismen Null ist,
° = 0.
Schreibweise:
K: ...®...
Die Elemente von  heißen n-dimensionale Ketten oder auch n-Ketten von K. Die Elemente der Untergruppe
K := Ker()
heißen n-dimensionale Zyklen oder auch n-Zyklen von K. Die Elemente der Untergruppe
K := Im()
heißen n-dimensionale Ränder oder auch n-Ränder von K. Wegen ° = 0 besteht die Inklusion KÍK. Man kann also die Faktorgruppe
K := K/K.
bilden. Diese heißt n-te Homologie des Komplexes K. Ihre Elemente heißen n-dimensionale Homologieklassen. Zwei Zyklen z,z’ heißen homolog, wenn sie in derselben Homologieklasse liegen. Symbolisch:
zz’ Û z-z’ÎK Û z-z’ = ∂c für eine cÎ.
Dies ist eine Äquivalenzrelation. Die Homologieklasse eines Zyklus z wird mit
[z]
bezeichnet. Die Abbildungen  heißen auch Randabbildungen oder Differentiale des Komplexes.
Ein Komplex heißt exakt, wenn Im() = Ker() gilt für jedes n. Das ist äquivalent zu den Bedingungen
K = 0 für nÎZ.
Die Homologiegruppen kann man als ein Maß für die Abweichung von der Exaktheit auffassen.
2.1.2 Komplexabbildungen
Seien K := {:®} und K’  := {:®} Komplexe. Eine Komplexabbildung f:K®K oder auch Kettenabbildung oder auch Komplexmorphismus ist eine Familie
f := {:®}
von Gruppenhomomorphismen, welche mit den Randabbildungen der Komplexe verträglich sind. Das bedeutet, die folgenden Diagramme sollen kommutativ sein.

Sind f:K®K’ und f’:K’®K” zwei Komplexabbildungen, so ist durch
(f’°f) := f’°f 
eine Komplexabbildung K®K” definiert, welche Komposition von f und f’ heißt und mit f’°f bezeichnet wird.
Die Komplexe bilden zusammen mit den Komplexabbildungen und der eben beschriebenen Komposition eine Kategorie, die Kategorie der Komplexe abelscher Gruppen oder auch Komplexkategorie über Ab. Diese wird mit
∂Ab
bezeichnet. Die Isomorphismen in ∂Ab sind diejenigen Komplexabbildungen f, deren Komponenten  Isomorphismen in Ab sind.
2.1.3 Der Homologiefunktor
Sei f:K®K’ eine Komplexabbildung. Aus der Kommutativität des obigen Diagramms, d.h. aus der Bedingung 
∂’° f  = f ° ∂
ergeben sich die Inklusionen 
(K) Í K’ und (K) Í K’.
Nach dem Homomorphiesatz induziert   einen Homorphismus
f: K ® K’, [z] a [(z)].
Trivialerweise ist (id) die identische Abbildung. Für je zwei Komplexabbildungen f:K®K’ und f’:K’®K” gilt (f’°f) = H(f’)°H(f). Mit anderen Worten, für jedes nÎZ ist  ein Funktor
: ∂Ab ® Ab. 
Bemerkung
Die Funktoren der algebraischen Topologie sind typischerweise von der Gestalt
Top®∂Ab®Ab,
d.h. sie setzen sich aus zwei Funktoren zusammen, wobei der zweite Funktor der gerade konstruierte Homologiefunktor ist. Für den ersten Funktor gibt es recht unterschiedliche Möglichkeiten (vielleicht soviele wie Mathematiker). Wir betrachten hier also zunächst den formalen, allen Homologietheorien gemeinsam Teil der algebraischen Topologie (der manchmal auch als “general nonsense” bezeichnet wird).
Vereinbarungen
Wenn keine Verwechslungen möglich sind, werden wir anstelle von , , (f) auch ∂, f, f schreiben.
Alle Gruppen seien, wenn nicht ausdrücklich anderes erwähnt, abelsch.
2.1.4 Graduierte Gruppen
Eine (Z-)graduierte Gruppe ist eine Gruppe G, welche in eine direkte Summe von Untergruppen  zerfällt,
G = 
Die Untergruppe  heißt n-ter homogener Bestandteil von G. Ein Morphismus f:G®G’ graduierter Gruppen ist ein Gruppenhomomorphismus mit f()Í für jedes n. Die graduierten Gruppen bilden mit den angegebenen Homomorphismen die Kategorie der graduierten Gruppen. Diese wird mit
GAb
bezeichnet. Ist G eine graduierte Gruppe, so bezeichnet G[i] die graduierte Gruppe mit
G[i] := G[n+i].
Beispiele.
(i)	Einen Komplex K kann man als graduierte Gruppe
K :=  
	betrachten, zusammen mit einem Morphismus ∂:K®K[-1], welcher der Bedingung
∂°∂ = 0
	genügt.
(ii)	Kern und Bild der Randabbildung ∂ sind dann graduierte Gruppen
ZK = Ker(∂) = K
BK = Im(∂) = K
	deren n-te homogene Bestandteile aus den n-Zyklen bzw. n-Rändern bestehen.
(iii)	Die Homologie von K ist die graduierte Gruppe
HK := ZK/BK.
	Dies ist eine graduierte Gruppe 
HK  = K
	deren n-ter homogenere Bestandteil aus den n-dimensionalen Homologieklassen von K gebildet werden.
Der Übergang zur Homologie definiert einen Funktor
H: ∂Ab ® Gab.
Jeder abelschen Gruppe AÎAb und jeder ganzen Zahl kÎZ kann man einen Komplex (A,k) zuordnen mit
(A,k) = 
wobei die Randabbildungen sämtlich Null sind.  Diese Konstruktion definiert für jedes k einen Funktor
Ab ® GAb, A a (A,k).
2.1.5 Direkte Summen von Komplexen
Sei {} eine Familie von Komplexen (die wir hier als graduierte Gruppen betrachten wollen). Dann heißt der Komplex
K := 
mit der Randabbildung ∂ :=  direkte Summe der Familie {}. Es gilt
 =  
({}) = {()}
also
ZK = Z
BK = B
HK = H
Analoge Konstruktionen bestehen für das direkte Produkt.
2.1.6 Der Kegel einer Komplexabbildung
Das ist ein technisch wichtiger Begriff, der mit dem Kegel über einem topologischen Raum zusammenhängt.
Sei f:(K’,∂’)®(K”,∂”) eine Komplexabbildung. Der Kegel Cf über f ist dann definiert als Komplex mit
(Cf) := .

Die n-te Randabbildung ist wie folgt definiert.
∂(c”,c’) = (∂”c”+fc’, -∂’c’).
Betrachtet man die Elemente von (Cf) als zweizeilige Spaltenvektoren, so besteht ∂ gerade in der “Multiplikation” mit der Matrix
∂ = .
Insbesondere ist
∂°∂ = ° = 
die Nullabbildung, d.h. Cf ist tatsächlich ein Komplex.
Spezialfälle
(i)	Im Fall K=K’, K”=0, f=0 schreibt man auch
 := Cf.
	Es gilt dann  = ,  = - , also  = K, also
H() = (HK)[-1].
	 heißt Suspension über K.
(ii)	Im Fall K=K’=K”, f=id schreibt man auch
CK = Cf.
	CK heißt Kegel über K.
2.1.7 Die kurze exakte Sequenz zum Abbildungskegel
Sei f:K’®K” eine Komplexabbildung. Dann besteht eine kurze exakte Sequenz von Komplexabbildungen
0®K”CfK’[-1]®0.
mit i(c’) = (0,c’) und k(c”,c’) = c’. Es ist leicht zu sehen, daß i und k Komplexabbildungen sind. Offensichtlich gilt Im(i) = Ker(k), d.h. die Sequenz ist tatsächlich exakt.
Diese Sequenz zerfällt als Sequenz graduierter Gruppen, jedoch im allgemeinen nicht in der Komplexkategorie (Nehme K = K = (Z,0) und f = id).
2.1.8 Aufgaben
Diagramm-Lemmata
1.	Fünferlemma.Die Zeilen des folgenden kommutativen Diagramms von abelschen Gruppen und Gruppenhomomophismen seien exakt.

	Weiter seien a,b,d,e Isomorphismen. Zeigen Sie, dann ist auch g ein Isomorphismus.
2.	3´3-Lemma. Folgendes Diagramm von abelschen Gruppen und Gruppenhomorphismen sei kommutativ.

	Die Komposition von je zwei zusammensetzbaren Homomorphismen in derselben Richtung sei Null. Sämtliche Zeilen und sämtliche Spalten mit einer Ausnahme seien exakt. Zeigen Sie, auch die verbleibende Zeile bzw. Spalte ist dann exakt.

3.	Schlangenlemma. Die Zeilen des folgenden kommutativen Diagramms von abelschen Gruppen und Gruppenhomomophismen seien exakt.

	Außerdem seien a surjektiv und e injektiv. Zeigen Sie, es gibt eine exakte Sequenz der folgend Gestalt.
Ker(b) ® Ker(g) ® Ker(d)  Coker(b) ® Coker(g) ® Coker(d)
	Hier bezeichne Ker(f) den Kern des Homomorphismus f:X®Y und Coker(f) = Y/Im(f) seinen Kokern.
	Hinweis zur Konstruktion von ∂. Seien K := Ker(C®D’) und K’= Coker(B®C’). Zeigen Sie, es gibt eine surjektiven Homomophismus K®Ker(d) und einen injektiven Homomorphismus Coker(b)®K’. Zeigen Sie weiter, es gibt genau einen Homomorphismus ∂:Ker(d)®Coker(b) derart, daß die beiden folgenden Kompositionen übereinstimmen.
K®CC’®K’
K®Ker(d)Coker(b)®K’
4.	Für je zwei Komplexe abelscher Gruppen K und L definieren wir einen Komplex
	Hom(K,L) indem wir für jedes nÎZ setzen
Hom(K,L) := ´ Hom(K,L),
	d.h. ein Element von Hom(K,L) ist eine Familie
f = {f:K ® L}
	von Gruppenhomomorphismen. Der Rand von f sei durch
∂(f) := {∂°f- (-1)f°∂}
	gegeben.
(i)	Zeigen Sie, auf diese Weise ist tatsächlich ein Komplex definiert.
(ii)	Beschreiben Sie die Zyklen ZHom(K,L).
(iii)	Beschreiben Sie die Ränder BHom(K,L).
5.	Zeigen Sie, der Kegel C(K) über einem beliebigen Komplex K ist homologisch trivial, d.h. H(C(K)) = 0.
6.	Zerfallende exakte Seqenzen. Zeigen Sie, für eine kurze exakte Sequenz 
0®ABC®0
	von abelschen Gruppen sind die folgenden Bedingungen äquivalent.
	(i)   (*) zerfällt.
	(ii)  Es gibt einen zu a linksinversen Homomorphismus.
	(iii) Es gibt einen zu b rechtsinversen Homomorphismus.
	(iv) Es gibt Homomorphismen a’:B®A und b’C®B mit
a’°a = id, b°b’ = id, a°a’ + b’°b = id.
7.	
Simplizialkomplexe
8.	Geordneter simplizialer Kettenkomplex. Sei K ein Simplizialkomplex. Ein geordnetes q-Simplex von K ist ein (q+1)-Tupel (e,...,e) derart, daß {e,...,e} ein q-Simplex von K ist. Für jeden Simplizialkomplex K bezeichne S(K) die von den geordneten q-Simplexen erzeugte freie abelsche Gruppe.
	(a) Zeigen Sie, die Familie der S(K) bildet mit den Randhomomorphismen
∂:S(K)®S(K), (e,...,e) a (-1) (e,...,e,e,...,e)
	einen Kettenkomplex S(K). Dieser heißt geordneter simplizialer Kettenkomplex von K.
	(b) Sei K der Simplizialkomplex, welcher aus allen echten Teilmengen der Dreiermenge {A,B,C} besteht (d.h. |K| ist der Rand eines Dreiecks). Bestimmen Sie S(K) und H(S(K)). Ändern Sie die Definition von S(K) so ab, daß S(K) die ‘richtige’ Homologie bekommt (d.h. die Homologie eines Dreiecksrandes).
 	(c) Setzen sie die Zuordnung K a S(K) fort zu einen Funktor
S:  ® K(Ab)
	von der Kategorie der Simplizialkomplexe in die Kategorie der Kettenkomplexe.
9.	Orientierter Kettenkomplex. Sei K ein abstrakter Simplizialkomplex, dessen Eckenmenge mit einer linearen Ordnung versehen ist (d.h. einer Halbordnung ≤, bezüglich welcher je zwei Ecken vergleichbar sind). Ein geordnetes Simplex 
(e,...,e)
	von K heißt orientiert, wenn gilt
e < ... < e.
	
	(a) Zeigen Sie, die von den orientierten Simplexen erzeugte freie abelsche Gruppe hat die Struktur eines Teilkomplexes
C(K) Í S(K)
	des geordneten simplizialen Kettenkomplexes (welcher orientierter simplizialer Kettenkomplex von K heißt). Zeigen Sie weiter, diese Inklusionen definieren eine natürliche Transformation
C ® S :  ® K(Ab)
	Funktoren auf der Kategorie der geordneten Simplizialkomplexe  mit Werten in der Kategorie K(Ab) der Komplexe abelscher Gruppen.

	(b) Für jedes geordnete Simplex (e,...,e) mit paarweise verschiedenen Ecken setzen wir
[e,...,e] := sign(s) (e , ... , e),
	wobei s die Permutation bezeichne mit e < ... < e. Falls das geordnete Simplex mehrfache Ecken hat, setzen wir
[e,...,e] := 0.
	Zeigen Sie, durch
S(K) ® C(K), (e,...,e) a [e,...,e],
	ist eine Komplex-Abbildung definiert.

	(c) Geben Sie eine Definition von C(K) an, die unabhängig von der Wahl einer linearen Ordnung auf der Eckenmenge ist. Zeigen Sie, die Komplex-Abbildungen S(K)  ® C(K) definieren eine  natürliche Transformation
S ® C :  ® K(Ab)
	von Funktoren auf der Kategorie der Simplizialkomplexe  mit Werten in der Kategorie K(Ab) der Komplexe abelscher Gruppen.

	(d) Setzen sie die in (a) -.(c) definierten Funktoren und natürlichen Transformationen auf die jeweiligen Paar-Kategorien  bzw.  fort.

Simpliziale Objekte
16.	Sei F: ∆ ® Ab eine simpliziale Gruppe. Zeigen Sie, F definiert einen Komplex
K(F)
	mit
K(F) = 
	und den Randabbildungen
K(F) ® K(F), x a (-1)F(e)(x)
17. 	Wir betrachten die Kategorie ∆ von 1.1.4 wie in Aufgabe 6 von 1.1.18 als Teilkategorie von Top und fixieren einen topologischen Raum XÎ|Top|. Sei
F = h|: ∆ ® Ens, [n] a Hom(∆, X),
	die Einschränkung des kontravarianten Hom-Funktors auf h auf die Teilkategorie ∆. Beschreiben Sie den Komplex
K(<F>) = K(<h|>)
	zur simplizialen abelschen Gruppe <F>  von 1.1.18 Aufgabe 23.

2.2 Die lange exakte Homologiesequenz
2.2.1 Teilkomplexe und Faktorkomplexe
Seien K und K’ zwei Komplexe. Falls Í für jedes n und die Randabbildungen von K’ die Einschränkungen der Randabbidlungen von K sind, so heißt K’ Teilkomplex von K. Es gilt dann  ()Í , d.h. die Randabbildung : ® induziert einen Homomorphismus
: / ® /, cl(c) a cl((c)),
wobei cl(c) die Restklasse von c bezeichnet. Wir setzen
 := /
Dann ist das folgende Diagramm kommutativ,

und es gilt
° = 0
für jedes nÎZ. Letzteres bedeutet, die Familie
 := {:  ® }
ist ein Komplex. Auf Grund der Kommutativität der obigen Vierecke setzen sich die  natürliche Abbildungen
: ®
zu einer Kettenabbildung g:K® zusammen. Ein Komplex der Gestalt  heißt Faktorkomplex, und g:K® heißt wie üblich natürliche Abbildung. Bezeichnung:
 = K/K’.
2.2.2 Beispiele für Teil- und Faktorkomplexe
Sei f:K®K’ eine Kettenabbildung. Der Kern von f wird mit Ker(f) bezeichnet und ist ein Teilkomplex von K mit
Ker(f) := Ker(f).
Das Bild von f wird mit Im(f) bezeichnet und ist ein Teilkomplex von K’ mit
Im(f) := Im(f).
Auf Grund des Homomorphiesatzes für Gruppen ist der Faktorkomplex K/Ker(f) isomorph zu Im(f),
Im(f) @ K/Ker(f).
Eine Sequenz von Kettenabbildungen
...®K’KK”®...
heißt exakt an der Stelle K, wenn Im(a) = Ker(b) gilt. Sei heißt exakt, wenn sie an allen Stellen exakt ist. Zum Beispiel ist für jeden Teilkomplex LÍK die kurze Sequenz
0®L®K®K/L®0
exakt. Wie im Fall von abelschen Gruppen sind alle kurzen exakten Sequenzen isomorph zu einer Sequenz dieser Gestalt.
2.2.3 Die Halbexaktheit des Homologiefunktors
Sei
0®K’KK”®0
eine kurze exakte Sequenz von Kettenabbildungen. Dann ist die folgende Sequenz von Homomorphismen graduierter abelscher Gruppen ebenfalls exakt.
H(K’)H(K)H(K”).
Bemerkung. Diese Aussage ist bedeutet gerade, daß jedes der Sequenzen
H(K’)H(K)H(K”).

exakt ist.
Beweis von 2.2.3. Wir haben zu zeigen, Im(H(a)) = Ker(H(b)). Nach Voraussetzung ist Im(a) = Ker(b), insbesondere ist also
b°a = 0
die Nullabbildung. Da H ein Funktor ist, folgt H(b)°H(a) = 0, also
Im(a) Í Ker(b).
Zum Beweis der umgekehrten Inklusion nehmen wir an, wir hätten ein Element [c]ÎKer(H(b)) gegeben. Wir haben zu zeigen, [c] liegt im Bild von H(a).Es gilt
0 = H(b)(c) = [b(c)]
in H(K”). Das bedeutet, b(c) ist ein Rand,
b(c) = ∂”(d”)
für eine Kette d” von K”. Nun ist nach Voraussetzung die Kettenabbildung b surjektiv, d.h. es gibt eine Kette d von K mit
d” = b(d).
Nach Konstruktion gilt
b(∂d) = ∂”°b(d) = ∂”(d”) = b(c)
also
b(c-∂d) = 0.
Nun ist die gegebene Komplexsequenz aber exakt, d.h. es gibt eine Kette c’ von K’ mit
(*)					a(c’) = c-∂d.
Da auf der Rechte Seite eine Differenz von Zyklen steht, ist auch a(c’) ein Zyklus,
0 = ∂a(c’) = a(∂’c’).
Da a nach Voraussetzung injektiv ist, folgt ∂’c’ = 0, d.h. c’ ist ein Zyklus von K’. Berechnen wir das Bild der zugehörigen Homologieklasse bei H(a). Nach (*) gilt
H(a)[c’] = [a(c’)] = [c-∂(d)] = [c].
Insbesondere liegt [c] im Bild von H(a).
QED.
Bemerkungen.
(i)	Die obige exakte Sequenz von Homologiegruppen läßt sich im allgemeinen nicht zu einer kurzen exakten Sequenz erweitern. Um das einzusehen, kann man zum Beispiel
K’ = K” = (Z,0)
	setzen, d.h. für K’ und K” nehmen wir den im Grad 0 konzentrierten Komplex, dessen einzige von Null verschiedene Komponente Z ist. Als kurze exakte Komplexsequenz nehmen wir die zum Abbildungskegel der identischen Abbildung id:(Z,0)®(Z,0) gehörige.
0®(Z,0)®C(id)®(Z,1)®0.
	Die Differentiale der beiden äußeren Komplexe sind identisch Null. Der Komplex in der Mitte ist konzentriert in den Grad 0 und 1 und dort isomorph zu Z. Sein Differential im Grad 1 ist die identische Abbildung. Alle anderen Differentiale sind ebenfalls Null.
C(id): ...®0®ZZ®0®...
	Damit gilt
		H(Z,0)	= (Z,0)
		HC(id)		= 0
		H(Z,1)	= (Z,1)
	Die Sequenz
H(Z,0)®HC(id)®H(Z,1)
	ist somit nicht Teil einer kurzen exakten Sequenz.
(ii)	Unser nächstes Ziel ist es, ein Maß für die Abweichung des Homomorphismus
H(K)®H(K”)
	von der Surjektivität zu finden (bzw. ein Maß für die Abweichung von H(K’)®H(K) von der Injektivität). Etwas genauer, zu jedem h”ÎH(K”) wollen wir ein Element
h”ÎH(K’)
	 konstruieren, welches genau dann Null ist, wenn h” ein Urbild in H(K) besitzt. Man sagt auch, h” ist ein Hindernis für die Existenz eines Urbildes von h” in H(K). Man kann zeigen, durch diese Eigenschaft ist die Abbildung
: H(K”)®H(K’),
	die wir jetzt konstruieren werden, vollständig charakterisiert.
2.2.4 Konstruktion des Zusammenhangshomomorphismus
Sei eine kurze exakte Sequenz
0®K’KK”®0
von Kettenabbildungen gegeben. Betrachten wir die Homomorphismen
(K’)  ((K”))  (K”)
mit
	(c)	:= [b(c)]
	(c)	:= [°∂(c)]
Wir haben uns zunächst zu überzeugen, daß die Homomorphismen wohldefiniert sind.
Zur Korrektheit der Definition von . Für cÎ((K”)) gilt b(c)Î(K”), d.h. b(c) ist ein Zyklus und [b(c)] ein wohldefiniertes Element von (K”).
Zur Korrektheit der Definition von .Für cÎ((K”)) gilt b(c)Î(K”), also
0 = (∂”°b)(c) = (b°∂)(c),
d.h ∂(c)ÎKer(b) = Im(a). Da a nach Voraussetzung injektiv ist, gibt es genau eine Kette
c’:=(∂(c))ÎK’ mit a(c’) = ∂(c). Wir haben noch zu zeigen, c’ ist ein Zyklus. Zumindest gilt
a(∂’(c’)) = ∂(a(c’)) = ∂(∂(c)) = 0.
Da aber a injektiv ist, folgt ∂’(c’) = 0, d.h. c’ definiert ein Element
(c) := [c’]
von (K’).
Definition des Zusammenhangshomomorphismus.
: (K”)®(K’), [c”] a einziges Element der Menge (([c”]))
(mit anderen Worten, die Zuordnung hat die Gestalt [b(x)]a[a(∂x)]
Zur Korrektheit der Definition von . Wir haben zu zeigen, die Menge (([c”])) besteht aus genau einem Element. Zunächst beachten wir ,die durch b induziert Abbildung
((K”))®(K”)
ist surjektiv (da b surjektiv ist). Die Zusammensetzung mit der natürlichen Abbildung
(K”)®(K”)
ist also auch surjektiv. Mit anderen Worten,  ist eine Surjektion. Insbesondere ist also die Menge (([c”])) nicht-leer. Seien jetzt c,dÎ([c”]) zwei Elemente. Wir haben zu zeigen (c) = (d). 

Auf jeden Fall gilt (c) = [c”] = (d), d.h. b(c)-b(d) = ∂”e” ist ein Rand von K”. Sei e eine Kette von K mit b(e) = e”. Dann gilt
b(c-d-∂e) = b(c-d) - ∂”b(e) = 0,
d.h. c-d-∂eÎKer(b) = Im(a). Sei f’ eine Kette von K’ mit a(f’) = c-d-∂e. Dann gilt
a(∂’f’) = ∂(a(f’)) = ∂c - ∂d - ∂∂e = ∂c - ∂d,
also ∂’f’ = (∂c) - (∂d). Übergang zu den Homologieklassen liefert c = d.
QED.
Bemerkung. Als nächstes zeigen wir, der Zusammenhangshomomorphismus ist eine natürliche Transformation
: (K”) ® (K’)
wenn man  und  als Funktoren auf der Kategorie der kurzen exakten Sequenzen von Komplexen auffaßt.
		:	0®K’®K®K”®0	a	(K”)
		:	0®K’®K®K”®0	a	(K’)
2.2.5 Funktorialität des Zusammenhangshomomorphismus
Sei

ein kommutatives Diagramm von Kettenabbildungen, dessen Zeilen exakt sind. Dann ist das folgende Diagramm kommutativ.

Beweis. Die beiden bei der Konstruktion von  auftretenden Abbildungen sind natürliche Transformationen, d.h. liefern kommutative Diagramme des obigen Typs. Diese setzen sich zu dem gesuchten kommutativen Diagramm zusammen.
QED.
2.2.6 Die Exaktheit der langen Homologiesequenz
Sei
0®K’KK”®0
eine kurze exakte Sequenz von Kettenabbildungen. Dann ist die zugehörige Sequenz
...H(K’)H(K)H(K”)H(K’)...
ebenfalls exakt.
Beweis. Nach 2.2.3 genügt es, die Exaktheit an den Stellen H(K’) and H(K’’) zu beweisen. Das führt auf die nachfolgend bewiesenen vier Inklusionen.
1. Schritt. Im()ÍKer(). Ein Element aus dem Bild von  hat die Gestalt
[a(∂x)] mit [b(x)]ÎH(K”).
Anwenden von  liefert
([a(∂x)]) = [∂x] = 0.

2. Schritt. Ker()ÍIm(). Liege [z’]ÎH(K’) im Kern von , d.h sei
0=[z’] = [az’].
Mit anderen Worten, az’ soll ein Rand sein: az’ = ∂c mit einer Kette cÎK. Es gilt
∂”bc = b∂c = baz’ = 0,
d.h. bc definiert eine Homologieklass [bc]ÎH(K”). Ihr Bild bei  ist
[bc] = [a(∂c)] = [a(az’)] = [z’],
d.h. [z’] liegt im Bild von .
3. Schritt. Im()ÍKer(). Für [z]ÎH(K) gilt (([z])) = ([bz]) = [a(∂z)] = 0 (da z ein Zyklus ist).
4. Schritt. Ker()ÍIm(). Liege [z”]ÎH(K”) im Kern von , d.h. es gibt ein cÎK mit
[z”] = [bc] und [a(∂c)] = 0 in H(K’).
Die zweite Bedingung bedeutet, a(∂c) ist ein Rand, d.h es gibt ein c’ÎK’ mit
a(∂c) = ∂’c’.
Damit ist aber
∂(c-ac’) = ∂c - a∂’c = 0,
d.h. c-ac’ definiert eine Homologiegruppe [c-ac’]ÎH(K). Deren Bild bei  ist
([c-ac’]) = [bc - bac] = [bc] = [z”],
d.h. [z”] liegt im Bild von .
QED.
2.2.7 Quasi-Isomorphismen
Sei

ein kommutatives Diagramm von Kettenabbildungen, dessen Zeilen exakt sind. Falls zwei der drei vertikalen Kettenabbildungen einen Isomorphismus der Homologiegruppen induziert, so gilt dies auch für die dritte.
Beweis. Dies ergibt sich aus den beiden langen Homologiesequenzen zu den Zeilen den Diagramms und dem Fünferlemma.
QED.
2.2.8 Zerfallende Sequenzen
Sei
(*)				0®A’AA”®0
eine kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen. Die Sequenz heißt zerfallend, wenn wenn sie zu einer Sequenz der Gestalt
(**)				0®A’A’A”A”®0
mit i(a’) = (a’,0) und p(a’,a”) = a” isomorph ist (in der Kategorie der kurzen exakten Sequenzen). Mit anderen Worten, es gebe ein kommutatives Diagramm

dessen vertikale Homomorphismen Isomorphismen sind. Zerfällt die Sequenz (*), so existierte ein zu a linksinverse Abbildung a’ und eine zu b rechtsinverse Abbildung b’ mit
a°a’+b’°b = id.
(Für (**) gilt das trivialerweise). Durch diese Bedingung ist das Zerfallen der Sequenz charakterisiert.
Man sagt, ein Komplex von Kettenabbildungen
0®K’®K®K”®0
zerfällt in jeder Dimension, wenn für jedes nÎZ die zugehörige Sequenz abelscher Gruppen
0®K’®K®K”®0

zerfällt. In dieser Situation ist die Beschreibung des Zusammenhangshomomorphismus besonders einfach.
2.2.8 Komplexsequenzen die in jeder Dimension zerfallen
Sei
(*)				0®K’KK”®0
eine kurze exakte Sequenz von Kettenabbildungen, welche in jeder Dimension zerfällt. Weiter seien für jedes n Homorphismen  a’, b’ gegeben mit
a’°a = id,  b°b' = id, a°a’+b’°b = id.
Dann setzen sich die Homomorphismen
:= a’°∂°b’: K”®K’ = (K’)
zu einer Kettenabbildung
d:K”®K’
zusammen. Die von d auf der Homologie induzierte Abbildung
H(d): H(K”)®H(K’)
ist gerade der Zusammenhangshomomorphismus zu (*).
Beweis. Zeigen wir, d kommutiert mit den Randabbildungen. Es gilt
a∂’d = a∂’a’∂b’ = ∂aa’∂b’ = ∂(id-b’b)∂b’ = ∂∂b’ - ∂b’b∂b’ = - ∂b’∂”bb’ = - ∂b’∂”
	= -(aa’+b’b)∂b’∂” = -aa’∂b’∂” - b’b∂b’∂” = ad∂” - b’∂”bb’∂”
	 = ad∂” - b’∂”∂”
	= ad∂”
Also gilt ∂’d = d∂”, d.h. d ist eine Kettenabbildung.
Für z”ÎZ(K”) gilt weiter
∂[z”] = [a∂b’z”] = [a’∂b’z”] = [dz”].
QED.
2.2.9 Zusammenhangshomomorphismus eines Abbildungskegels
Seien f:K®K’ eine Kettenabbildung und
0®K’C(f)K[-1]®0
die exakte Sequenz zum Abbildungskegel von f. Der zugehörige Zusammenhangshomomorphismus ist dann gerade die von f induzierte Abbildung 
H(f):H(K)®H(K’)
der Homologiegruppen.
Beweis. Die Sequenz zerfällt in jeder Dimension. Einen Schnitt von b kann man durch
b’(c) = (0,c)
definieren und eine Retraktion von a durch
a’(c’,c) = c’.
Nach 2.2.8 wird der Zusammenhangshomorphimus induziert durch die Abbildung
K®K’, c a  a  =  a fc,
induziert, d.h. durch f.
QED.
2.2.10 Kriterium für Quasi-Isomorphie
Sei f:K®K’ eine Kettenabbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
(i)	H(f):H(K)®H(K’) ist ein Isomorphismus.
(ii)	H(Cf) = 0.
Beweis. Ergibt sich aus der langen Homologiesequenz zum Abbildungskegel über f und der Interpretation 2.2.9 für deren Zusammenhangshomomorphismus.
QED.
Bemerkung
Im nächsten Abschnitt untersuchen wir das Analogon des Homotopie-Begriffs in der Kategorie der Komplexe.
2.3 Kettenhomotopie
2.3.1 Homotope Kettenabbildungen
Seien f,g: K®K’ zwei Kettenabbildungen. Eine Homotopie s von f nach g ist eine Familie 
{:K®K’}
von Homomorphismen mit
∂’°s + s°∂ = f - g
für alle nÎZ. Man schreibt in dieser Situation
s:f  g
und sagt, f und g sind homotop. Homotopie von Kettenabbildungen ist eine Äquivalenzrelation.
Reflexivität:	0:ff
Symmetrie:	s: f  g Þ -s:g  f
Transitivität:	s:f  g und t:gh Þ s+t:fh.
Die Äquivalenzklassen homotoper Abbildungen heißen Homotopieklassen. Die Homotopieklasse von f wird mit
[f]
bezeichnet.
2.3.2 Verträglichkeit mit der Komposition
Seien f,f’:K®K und g,g’:K’®K” Kettenabbildungen mit ff’ und gg’. Dann gilt auch g°fg’°f’.
Beweis. Seien Homotopien
s: f  f’ und t: g  g’ 
gegeben.Dann gilt
f-f’ = ∂s+s∂ und g-g’ = ∂t+t∂.
Wir wenden g auf die erste Identität an und erhalten
gf - gf’ = g∂s+gs∂ = ∂gs+gs∂
also
gs: gf  gf’.
Analog liefert die zweit Identität
tf’: gf’  g’f’.
Die Behauptung folgt damit aus der Transitivität der Homotopierelation.
QED.
2.3.3 Die Homotopiekategorie über K(Ab)
Die Komplexe abelscher Gruppen bilden zusammen mit den Homotopieklassen von Kettenabbildungen und der Komposition
[f]°[g] := [f°g]
eine Kategorie, welche mit K’(Ab) bezeichnet wird. Analog zur topologischen Situation gibt es einen Funktor
[]:K(Ab) ® K’(Ab),
der jeden Komplex in sich und jeden Morphismus in dessen Homotopie-Klasse abbildet.
Eine Kettenabbildung f:K®K’, deren Homotopieklasse [f] ein Isomorphismus von K’(Ab) ist heißt Homotopieäquivalenz. Falls ein solches f existiert, so heißen K und K’ homotopieäquivalent. Ein Komplex K heißt kontrahiertbar, falls die identische Kettenabbildung id:K®K homotop zur Nullabbildung 0:K®K ist.
2.3.4 Die Homologie homotoper Abbildungen
Seien f,g:K®K’ homotope Abbildungen. Dann gilt H(f) = H(g): H(K)®H(K’).
Beweis. Sei s: f  g eine Homotopie, d.h. es gelte
f - g = ∂s + s∂.
Für jedes [z]ÎH(K) gilt dann,
H(f)[z] - H(g)[z] = [fz] - [gz] = [∂sz + s∂z] = [∂sz] = 0.
Die vorletzte Identität besteht, weil z ein Zyklus ist.
QED.
2.3.5 Die Homologie einer Homotopieäquivalenz
Sei f:K®K’ eine Homotopieäquivalenz. Dann ist H(f):H(K)®H(K’) ein Isomorphismus.
Beweis. Nach Voraussetzung gibt es eine Kettenabbildung g:K’®K mit
fg  id und gf   id.
Durch Anwenden des Homologiefunktors erhalten wir nach 2.3.4
H(f)°H(g) = H(id) = id und H(g)°H(f) = H(id) = id.
Mit anderen Worten, H(f) ist ein Isomorphismus.
QED.
Bemerkung
Für kontrahierbare Komplexe K gilt also H(K) = 0 (die identische Abbildung von H(K) ist gleich der Nullabbildung).
2.3.6 Kriterium für Kontrahierbarkeit
Sei K ein Komplex mit H(K)=0. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
(i)	K ist kontrahierbar.
(ii)	Für jedes n ist Z(K) ein direkter Summand von K.
Beweis. Betrachten wir die exakte Sequenz graduierter abelscher Gruppen,
0®Z(K) ® K  B(K) ® 0.
(i) Þ (ii). Nach Voraussetzung ist die identische Kettenabbildung id:K®K nullhomotop, d.h. es gilt
id = id - 0 = ∂s + s∂
mit einem Homomorphismus graduierter abelscher Gruppen s:K®K[+1]. Schränken wir diese Identität auf B(K) ein. Da ∂ auf B(K) identisch Null ist, folgt
id| = ∂°s|.
Mit anderen Worten, ∂ besitzt einen Schnitt, d.h. die obige Sequenz zerfällt und Z(K) ist direkter Summand von K (als graduierte abelsche Gruppe).
(ii) Þ (i). Ist Z(K) direkter Summand von K, so besitzt die Einbettung Z(K)ÍK ein Linksinverses, die obige Sequenz zerfällt, und ∂ besitzt einen Schnitt
t:B(K)®K.
Insbesondere gilt
K = Z(K)tB(K) = B(K)tB(K).
Wir haben eine Homotopie von id nach 0 auf K zu definieren, d.h. einen Homomorphismus graduierter Gruppen
s: K ® K[+1].
Da K in eine direkte Summe zerfällt, genügt es, s auf jeden der beiden direkten Summanden zu definieren. Sei
s = 
Auf B(K) gilt dann
∂°s+s°∂ = ∂°s = ∂°t = id
Schließlich gilt auf tB(K)
∂°s+s°∂ = s°∂ = t°∂ = id
Man beachte, s ist auf tB(K) gleich Null, auf dem Bild von ∂ gleich t und ∂ ist auf tB(K) invers zu t..
QED.
2.3.7 Kontrahierbarkeit des Kegels und Homotopieäquivalenz
Ist der Kegel der Kettenabbildung f:K®K’ kontrahierbar, so ist f eine Homotopie-äquivalenz.
Beweis. Es genügt folgende Aussagen zu beweisen.
(i)	Ist die Einbettung i: K’®C(f), c’a(c’,0), nullhomotop, so besitzt f eine rechte Homotopieinverse h:K’®K, d.h. h°f  id.
(ii)	Ist die Projektion p: C(f)®K, (c’,c)ac, nullhomotop, so besitzt f eine linke Homotopieinverse.
Zu (i). Sei S: i  0 eine Kettenhomotopie. Dann hat S die Gestalt
S(c’) = 
mit Abbildungen g: K’®K’ und h:K’®K. Nun gilt
C(f) = K’K[-1]
in der Kategorie der graduierten abelschen Gruppen (nicht in der Komplexkategorie). Die Identität i = ∂S+S∂ läßt sich also in der folgenden Gestalt schreiben.
 =  +  = 
Mit anderen Worten , es gilt ∂h = h∂ und ∂g + g∂ = id - fh, d.h. h ist eine rechte Homotopieinverse von f.
Zu (ii). Sei T: p  0 eine Kettenhomotopie. Dann hat T die Gestalt
T = g(c) + h(c’)
mit Abbildungen g: K®K und h:K’®K. Die Identität p = ∂T+T∂ läßt sich dann wie folgt schreiben (K hat das Differential := -).
	c	= ∂(T) + T() = ∂g(c) + ∂h(c’) + T
		= ∂g(c) + ∂h(c’) +  g(-∂c) + h(∂c’+fc)
		= ∂h(c’)+h(∂c’) + ∂g(c) - g(∂c) + h(f(c))
 
c = ∂ g(c) + ∂h(c’) - g(∂c) + h(∂c’) + h(f(c)).
Es gilt also ∂h = h und g+g∂ = hf - id. Mit anderen Worten, h ist bis auf Homotopie linksinvers zu f.
QED.
2.3.8 Aufgaben
1.	Zeigen Sie, der Kegel C(K) über einem beliebigen Komplex K ist kontrahierbar. 
2.	Beweisen Sie die Umkehrung von Aussage 2.3.7., d.h., ist die Kettenabbildung f:K®K’ eine Homotopieäquivalenz, so ist der Kegel von f kontrahierbar.
2.4 Freie Komplexe
2.4.1 Definition
Ein Komplex (abelscher Gruppen) heißt frei, wenn für jede ganze Zahl q die abelsche Gruppe K frei ist.
2.4.2 Die Untergruppe der Zyklen ist ein direkter Summand
Sei K ein freier Komplex. Dann ist für jedes q die Untergruppe K der q-Zyklen ein direckter Summand von K.
Beweis. Die Untergruppe einer freien abelschen Gruppe ist frei (siehe Anhang 1). Insbesondere ist die Untergruppe BK Í K frei. Dann zerfällt aber die folgende kurze exakte Sequenz graduierter ablescher Gruppen.
0 ® ZK ® K ® BK ® 0,
d.h. ZK ist ein direkter Summand von K.
QED.
2.4.3 Quasi-Isomorphie und Homotopieäquivalenz
Sei f:K ® K’ eine Kettenabbildung von freien Komplexen K und K’, welche einen Isomorphismus HK ® HK der Homologiegruppe induziert. Dann ist f eine Homologieäquivalenz.
Beweis. Nach 2.3.7 genügt es zu zeigen, der Abbildungskegel C(f)  0 ist kontrahierbar. Nach 2.3.6 genügt es, wenn wir beweisen, es gilt HCf = 0 und ZCf ist direkter Summand von Cf .Das erste folgt aus 2.2.10 und das zweite aus 2.4.2.
QED.
Bemerkung
Wir haben im Fall von Kettenabbildungen f:K®K’ freier Komplexe gezeigt,

Man beachte die durch den Abbildungspfeil beschriebenen Implikation ist trivial. Die drei Bedingungen sind also äquivalent.

2.4.4 Kurze und elementare Komplexe
Ein Komplex heißt kurz, wenn es ein nÎZ gibt mit
K = 0 für qÎ{n,n+1}
gibt und die Randabbildung
∂: K ® K injektiv
ist. Man sagt dann auch, K ist im wesentlichen in der Dimension n konzentriert. Der Komplex heißt elementar, wenn außerdem noch
K @ Z
gilt.
2.4.4 Zerlegung in kurze bzw. elementare Komplexe
Jeder freie Komplex K ist eine direkte Summe kurzer (freier) Komplexe. Ist außerdem noch jede der Gruppen K endlich erzeugt, so ist K sogar eine direkte Summe elementarer Komplexe.

2.4.5 Aufgaben
1.	Zeigen Sie, die Untergruppe ZK der n-Zyklen eines freien Komplexes ist ein direkter Summand von K.
2.	Ein Komplex K heißt kurz, wenn es ein nÎZ gibt sodaß alle K mit eventueller Ausnahme von K und K Null sind und die Randabbildung ∂:K®K injektiv ist. Zeigen Sie, jeder freie Komplex ist direkte Summe von kurzen Komplexen.
3.	Ein kurzer Komplex K heißt elementar, wenn für zwei nÎZ die homogenen Bestandteile K isomorph zu Z sind. Zeigen Sie, jeder freie Komplex, dessen homogen Bestandteile endlich erzeugte abelsche Gruppen sind, ist direkte Summe elementarer Komplexe.
4.	(Zusatzaufgabe, siehe auch Anhang). Eine (nicht notwendig endlich erzeugte) abelsche Gruppe G heißt frei, wenn sie isomorph ist zu einer direkten Summe von Exemplaren von Z (d.h. wenn sie ein über Z linear unabhängiges Erzeugendensystem besitzt). Zeigen Sie, jede Untergruppe U einer freien abelschen Gruppe G ist frei.
	Hinweis: Wählen Sie ein Erzeugendensystem {u} von U. Da G frei ist, kann jedes u als (eventuell unendliches) Tupel ganzer Zahlen aufgefaßt werden. Das Erzeugendensystem {u} kann man daher in gewissem Sinne als eine Matrix (mit eventuell überabzählbar vielen Zeilen und/oder Spalten) betrachten. Versuchen sie diese Matrix zu vereinfachen, indem Sie elementare Umformungen an den Erzeugendensystemen von G und U ausführen.

5.	Zeigen Sie, für jede abelsche Gruppe A und jedes nÎZ gibt es einen kurzen 	freien Komplex K mit H(K) = A.
6.	Zeigen Sie, für jede graduierte abelsche Gruppe A gibt es einen Komplex K derart, daß H(K) und A isomorph sind als graduierte abelsche Gruppen.
7.	Sei das folgende kommutative Diagramm abelscher Gruppen und Gruppenhomomorphismen gegeben.

	Die untere Zeile des Diagramms sei exakt und die obere ein Komplex (d.h. es gelte f f = 0). Die abelsche Gruppe F sei frei.
	Zeigen Sie, man kann einen Gruppenhomomorphismus
j:F®G
	derart in das Diagramm einfügen, daß es kommutativ bleibt.
8.	Seien K und L Komplexe abelscher Gruppen mit K = L = 0 für n < 0 und
{j: H(K) ® H(L)}
	eine Familie von Gruppenhomomorphismen. Ist außerdem K ein freier Komplex, so gibt es einen Komplexmorphismus f:K®L mit H(f) = j.
3. Die singuläre Homologie
3.1 Standardsimplexe und ihre linearen Abbildungen
3.1.1 Vorbemerkung
Die Intention der Konstruktionen dieses Abschnitts besteht in der Konstruktion von Zahlen, die Informationen über einen gegebenen topologischen Raum enthalten. Diese Zahlen will man gewinnen, indem man den Raum in Dreiecke, Tetraeder, ... zerlegt und aus den kombinatorischen Relationen zwischen den so gewonnen Einzelteilen des Raumes Zahlen gewinnt.
Da sich eine Fläche aber auf sehr viele verschiedene Weisen in Dreiecke zerlegen läßt (soweit es überhaupt eine Zerlegung gibt), entsteht die Frage, inwieweit diese Zahlen unabhängig von der gewählten Zerlegung sind.
Um dieses Problem zu umgehen, betrachten wir zunächst alle möglichen Zerlegungen simultan und bemühen uns, alle Konstruktionen so auszuführen, daß sie nur von gegebenen topologischen Raum abhängen.
3.1.2 Die Standardsimplexe
Sei q eine nicht-negative ganze Zahl. Dann heißt die Menge
 := {x=(x,...,x)Î | x+...+x = 1 und 0≤≤1 für alle i }
q-dimensionales Standardsimplex oder auch q-Standardsimplex.
Bemerkungen
(i)	Für q = 0 erhalten wir einen Punkt, für q=1 eine Strecke, für q=2 ein Dreieck und für q=3 ein Tetraeder.
(ii)	 ist abgeschlossen und beschränkt, also kompakt.
(iii)	Die Bedingungen 0≤≤1 kann man durch die schwächeren Forderungen 0≤ ersetzen. Das Simplex  ist also gerade der Durchschnitt der Hyperebene
x+...+x = 1
	mit dem nicht-negativen Oktanten. Insbesondere ist  konvex, d.h. mit je zwei Punkten liegt die ganze Verbindungsstrecke in .
(iv)	Die Punkte  = (0,...,0,1,0,...,0) mit genau einer von Null verschiedenen Koordinate, welche gleich 1 ist, liegen in . Sie sind die einzigen Punkte von , welche nicht innere Punkte einer ganz in  verlaufenden Strecke sind. Sie heißen Ecken von .
(v)	Wir werden den R mit der Teilmenge des R identifizieren, deren Punkte die letzte Koordinate 0 haben und
R := È R.
	Auf diese Weise ist zum Beispiel der i-te Standard-Einheitsvektor e wohldefiniert auch ohne die Angabe, in welchem der Räume R er liegen soll.
Beweis der Behauptung von (iv). Seien p,qÎ zwei verschiedene Punkte und liege  im Innern der Strecke von p nach q. Dann gilt
 = t×p + (1-t)×q

für eine reelle Zahl t mit 0<t<1. Vergleich der j-ten Koordinaten mit j¹i liefert
0 = t× + (1-t)×.
Da sowohl t als auch 1-t größer als Null sind und die Punkte p,q im nicht-negativen Oktanten liegen, folgt
 =  = 0 für alle j¹i.
Wegen p,qÎ ist dann aber die einzige von Null verschiedene Koordinate dieser Punkte gleich 1, d.h. es gilt p=q im Widerspruch zur Wahl von p und q.
Für Punkte aus  mit zwei von Null verschiedenen Koordinaten findet man leicht eine ganze Strecke in , in deren Inneren sie liegen (man vergrößere die eine Koordinate im selben Maß, in dem man die andere verkleinere).
QED.
3.1.3 Lineare Abbildungen auf den Standardsimplexen
Eine Abbildung f:® heißt linear, wenn es eine R-lineare Abbildung g:® Abbildung gibt mit g|= f gibt.
Bemerkungen
(i)	Zu je q+1 Punkten p,...,pÎ gibt es genau eine lineare Abbildung f::® mit f() =  für alle i, nämlich die Abbildung f mit
f(x,...,x) = x× .
	Das Bild dieser Abbildung ist gerade die Menge
f() = {x× | x+...+x = 1 und 0≤ für alle i}
	(d.h. ein Simplex im ). Die obige Existenzaussage läßt sich auch wie folgt formulieren.
(ii)	Eine lineare Abbildung auf  ist durch ihre Werte in den Ecken bereits eindeutig bestimmt. Die Werte der Ecken kann man beliebig vorgeben. Insbesonder gibt es zu jedem Morphismus f: [n] ® [m] der Kategorie ∆ genau eine lineare Abbildung
∆: ∆ ® ∆ mit ∆(e) = e für i = 0,...,n.
(iii)	Durch die Zuordnung [n] ® ∆ , f a ∆ ist ein Funktor
∆ ® Top
	gegeben. Er identifiziert die Kategorie ∆ mit einer Teilkategorie von Top, deren Objekte die Standard-Simplexe sind und deren Morphismen die linearen Abbildungen, welche Ecken in Ecken überführen und die natürliche Ordnung der Ecken erhalten. Wir werden im folgenden keinen Unterschied zwischen dieser Teilkategorie von Top und der Kategorie ∆ machen, d.h. wir fassen ∆ als Teilkategorie von Top auf.
3.1.4 Randabbildungen und Seiten der Standardsimplexe
Die j-te Randabbildung des Standardsimplex  ist definiert als die lineare Abbildung
e = e: ∆ ® ∆ (Í)
mit
() := 
Es ist die einzige injektive lineare Abbildung  ∆ ® ∆, die Ecken in Ecken abbildet, die natürliche Reihenfolge der Ecken erhält, wobei die j-te Ecke nicht im Bild liegt.

Das Bild dieser Abbildung besteht aus allen Punkten von , deren j-te Koordite Null ist. Dieses Bild () heißt j-te Seite von . Es ist die der j-ten Ecke gegenüberliegende Seite. Die Vereinigung aller Seiten von  heißt Rand von  und wird mit  bezeichnet. Der Rand von  besteht aus allen Punkten, die mindestens eine Koordinate haben, welche Null ist.
Die j-te Entartungsabbildung des Standardsimplex  ist definiert als die lineare Abbildung
h = h: ∆ ® ∆ (Í)
mit
h() := 
Es ist die einzige surjektive lineare Abbildung ∆ ® ∆, die Ecken in Ecken abbildet, die natürliche Reihenfolge der Ecken erhält, wobei die j-te Ecke das Bild von zwei Ecken ist.

3.1.5 Relationen zwischen den Rand- und Entartungsabbildungen
	ee	= ee für i < j.
	hh	= hh für i ≤ j.
	he	= 

Für k<j gilt ° = °.
Beweis. Wir beschränken uns hier auf den Beweis der ersten Identität. Die übrigen werden im selben Stil bewiesen. Es reicht zu zeigen, das Bild der Ecke e von  ist bei beiden Abbildungen der zu beweisenden Identität für jedes n dasselbe. Der Punkt e wird bei den Abbildungen wie folgt abgebildet.

Im Fall n < i ( < j):	e a e a e
Im Fall (i ≤ ) j-1 ≤ n:	e a e a e
Im Fall i ≤ n < j-1:	e a e a e bzw. e a e a e
QED.
Bemerkungen
(i)	Die angegebenen Relationen bilden eine vollständie Menge von Relationen
	d.h. jede weitere Relation zwischen dein e und h ist eine Folge der hier angegebenen.
(ii)	Wie in 3.1.3 (iii) vereinbart, identifizieren wir die e und h mit den zugehörigen Abbildungen
[q] ® [q-1] bzw. [q+1] ® [q]
	(mit i a j falls e(e) = e bzw. h(e) = e). Die nachfolgende Bemerkung besagt, sie bilden ein “Erzeugendensystem” für die Morphismen dieser Kategorie.

(iii)	Jeder Morphismus 
a:[n] ® [m]
	der Kategorie ∆ läßt sich auf genau eine Weise in der Gestalt
a = eh
	schreiben mit einem Epimorphismus h und einen Monomorphismus e , wobei e auf genau eine Weise die Zusammensetzung von Seiten-Abbildungen ist,
e = e×...×e , 0≤i≤...≤i≤n
	und h auf genau eine Weise die Zusammensetzung von Entartungsabbildungen,
h = h×...×h , 0≤j≤...≤j≤n.
	Diese Zerlegung heißt Epi-Mono-Zerlegung von a.
(iv)	Die behauptete Vollständigkeit der obigen Relationenmenge ergibt sich aus der Eindeutigkeit der Epi-Mono-Zerlegung.
(v)	Zur Definition eines (Ko-)Funktors
F: ∆ ® C (bzw. F:∆ ® C)
	reicht es, die Werte
F([n]), F(e), F(h)
	anzugeben, wobei die Relationen, die sich aus 3.1.5 ergeben, erfüllt sein müssen. Für C = Ens ergibt sich daraus insbesondere eine Methode zur Konstruktion simplizialer Mengen.
3.2 Der singuläre Komplex
3.2.1 Vorbemerkung
Wir konstruieren jetzt einen Funktor
S: Top ® ∂Ab
aus der Kategorie der topologischen Räume in die Kategorie der Komplexe, welcher jedem topologischen Raum seinen sogenannten singulären Komplex zuordnet.
3.2.2 Definition des singulären Komplexes
Sei X ein topologischer Raum. Ein q-dimensionales singuläres Simplex oder auch singuläres q-Simplex von X (q≥0) ist eine stetige Abbildung
®X.
Bezeichne X die frei abelschen Gruppe, welche von den singulären q-Simplexen von X erzeugt wird. Ein Element von X heißt q-dimensionale singuläre Kette oder auch singuläre q-Kette von X. Jedes Element cÎX läßt sich somit auf genau eine Weise als endliche ganzzahlige Linearkombination von q-Simplexen schreiben:
c = ×s.
Eine Kette, in der nur ein Summand vorkommt, und deren einziger von Null verschiedener Koeffizient Eins ist, werden wir mit dem entsprechenden singulären Simplex identifizieren.

Für q<0 setzen wir X = 0.
Als nächstes definieren wir die Randoperatoren
: X ® X.
Da X eine freie abelsche Gruppe ist, genügt es (s) für jedes q-Simplex s zu definieren. Wir setzen
(s) = (-1)×(s°).
Dabei bezeichne :® die q-te Randabbildung des Standsimplex (d.h. das Bild von  ist die Seite gegenüber der j-ten Ecke). Nachfolgend beweisen wir jetzt, daß die X zusammen mit den eben definierten Abbildungen  einen Komplex bilden. Dieser Komplex heißt singulärer Komplex von X und wird mit SX bezeichnet.
3.2.3 Die Komplexeigenschaft von S(X)
Die Gruppenhomomorphismen
 ... X  X  X  ...
bilden einen Komplex SX, d.h es gilt ∂∂ = 0 für jedes qÎZ.
Beweis. Für jedes singuläre q-Simplex s gilt
	∂∂s	= ∂((-1)×s°) = (-1)×∂(s°)
		= (-1)(-1)×s°°
		= (-1)×s°° + (-1)×s°°
Auf die zweite Summe wenden wir 3.1.5 an und führen eine Indexverschiebung durch. Im Ergebnis erhalten wir
	∂∂s	= (-1)×s°° - (-1)×s°° = 0.

QED.
3.2.4 Die Abbildung der Ketten zu einer stetigen Abbildung
Sei f:X®Y eine stetige Abbildung topologischer Räume. Für jedes singuläre q-Simplex
s: ®X
von X ist dann die Zusammensetztung f°s: ®Y ein singuläres q-Simplex von Y. Durch lineare Fortsetzung auf die Ketten erhalten wir für jedes q einen Gruppenhomorphismus
f: X ® Y.
Die Familie der f bezeichnen wir mit Sf. Wir werden gleich sehen, daß die f eine Kettenabbildung bilden.
3.2.5 Der Komplex-Morphismus Sf zu einer stetigen Abbildung f
Sei f:X®Y eine stetige Abbildung. Die zugehörige Folge Sf = {f} ist dann mit den Randabbildungen der Komplex SX und SY verträglich,
∂°f = f°∂,
d.h. Sf: SX ® SY ist ein Komplex-Morphismus.
Beweis. Für jedes q-Simplex gilt
	∂°f (s)	= ∂(f°s) = (-1)×(f°s°)
			= (f)((-1)×(s°))
			= (f)(∂s)
QED.
3.2.6 Die Funktorialität von S
Die oben definierte Abbildung S für topologische Räume und stetige Abbildungen ist ein Funktor
S: Top ® ∂Ab.
Mit anderen Worten, für stetige Abbildungen id:X®X, f:X®Y und g:Y®Z gilt S(id) = id und S(f°g) = S(f)°S(g).
Beweis. Das folgt unmittelbar aus den Definitionen.
QED.
3.2.7 Verallgemeinerung auf den Fall von Paaren
Die oben angegebene Konstruktion läßt sich auf den Fall von Paaren verallgemeinern. Ist 
(X,A)
ein Paar von topologischen Räumen und bezeichnet
i: A ®X
die natürliche Einbettung, so ist die durch i induzierte Abbildung
Si: SA ® SX
injektiv. Man kann also SA als Teilkomplex von SX auffassen. Der Faktorkomplex
S(X,A) := Koker(i) := SX/SA
heißt (relativer) singulärer Komplex des Paares (X,A). Bezeichnet j: SX®S(X,A) die natürliche Abbildung, so erhalten wir eine kurze exakte Sequenz von Kettenabbildungen
0 ® SA  SX  S(X,A) ® 0.
Diese Sequenz zerfällt in jedem Grad,
X = A(X,A),
denn die Menge der singulären Simplexes: ®X von X läßt sich in zwei Teilmengen zerlegen: in solche, welche sogar Simplexe von A sind, und solche, die es nicht sind. Die erste Menge ist aber gerade ein freies Erzeugendensystem von SA. Nach Konstruktion gilt
S(X,Æ) = SX.
Eine Abbildung von Paaren f:(X,A)®(Y,B) induziert ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen
,
wobei  die auf Grund des Homomorphiesatzes eindeutig bestimmte Abbilung
: S(X,A) ® S(Y,B),  a   ,
ist. Die oben bewiesene Funktoreigenschaft von S überträgt sich auf den Fall von Paaren. Genaugenommen ist S ein Funktor von der Kategorie der Paare topologischer Räume mit Werten in der Kategorie der kurzen exakten Sequenzen von Kettenabbildungen.
3.3 Die singuläre Homologie
3.3.1 Die singulären Homologiegruppen eines topologischen Raumes
Sei X ein topologischer Raum. Die n-te singuläre Homologiegruppe von X ist definiert als n-te Homologiegruppe des singulären Komplexes SX. Bezeichnung:
H(X) := H(SX).
Sei (X,A) ein Paar topologischer Räume. Die n-te singuläre Homologiegruppe von (X,A) ist definiert als die n-te Homologiegruppe des relativen singulären Komplexes S(X,A). Bezeichnung:
H(X,A) := H(S(X,A)).
Wir werden weiterhin folgende Bezeichnungen für die entsprechenden graduierten Gruppen benutzen.
HX := HSX
H(X,A) := HS(X,A)
Die Gruppen H(X,A) bzw. ihre homogenen Bestandteile heißen auch relative Homologiegruppen im Unterschied zu den absoluten Homologiegruppen HX. Eine Kette zÎSX heißt Zyklus modulo eines Unterraumes A, wenn ∂zÎSA gilt und Rand modulo A, wenn z = ∂x + u gilt mit xÎSX und uÎSA. Die relative Homologiegruppe (X,A) kann man dann identifizierem mit der Faktorgruppe
(X,A) = {n-Zyklen mod A}/{n-Ränder mod A}.
3.3.2 Funktorialität
Für jede Abbildung von Paaren f:(X,A)®(Y,B) induziert die Abbilung Sf:S(X,A)®(Y,B) einen Homomorphismus graduierter Gruppen
f = Hf: H(X,A)®H(Y,B),  a  .
Die singulär Homologie definiert damit einen Funktor
H:   K(A)  GAb.
3.3.3 Homologiesequenz eines Paares bzw. eines Tripels
Sei (X,A) ein Paar topologischer Räume. Der Zusammenhangshomomorphismus zur kurzen exakten Sequenz
0®SASXS(X,A)®0
heißt auch Zusammenhangshomomorphismus des Paares (X,A) und die zugehörige lange Homologiesequenz
...H(A)H(X)H(X,A)H(A)...
heißt Homologiesequenz des Paares (X,A). Für jede (stetige) Abbildung
f:(X,A) ® (Y,B)
von Paaren topologischer Räume hat man ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen

wobei die Zeilen gerade die Homologiesequenzen der Paare (X,A) bzw. (Y,B) sind.
Sei jetzt ein Tripel (X,A,B) gegeben. Die Inklusionen BÍAÍX induzieren dann Inklusionen von Teilkomplexen
SB Í SA Í SX
und damit eine kurze exakte Sequenz von Kettenabbildungen

Die zugehörige lange Homologiesequenz
...H(A,B)®H(X,B)®H(X,A)H(A,B)®...

heißt Homologiesequenz des Tripels (X,A,B). In Fall B=Æ ist das gerade die Homologiesequenz des Paares (X,A).
3.3.4 Homologie mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe
Seien X ein topologischer Raum und A eine beliebige abelsche Gruppe. Dann heißt der Komplex
S(X, A) := S(X)A
singulärer Kettenkomplex von X mit Koeffizienten in A und seine Homologie
H(X, A) = H(S(X, A))
heißt q-Homologie von X mit Koeffizienten in A. Für jedes topologische Paar (X, Y) heißt
S(X, Y, A) := S(X,A)/S(X,Y)
singulärer Kettenkomplex des Paares (X,Y) mit Koeffizienten in A und seine Homologie
H(X, Y, A) = H(S(X,Y, A))
heißt singuläre Homologie von (X,Y) mit Koeffizienten in A.
Analog definiert man die simplizialen Kettenkomplexe und deren Homologie mit Koeffizienen in A:
S(K, A) := S(K)A
C(K, A) := C(K)A
H(K, A) = H(S(K, A))
für jeden Simplizialkomplex K und
S(K, L, A) := S(K,A)/S(L,Y)
C(K, L, A) := C(K,A)/C(L,Y)
H(K, L, A) = H(S(K, L, A))
für jedes simpliale Paar (K, L).
Bemerkungen
(i)	Die Kettenkomplexe mit Koeffizienten in A unterscheiden sich von denen bisher betrachteten nur dadurch, daß die Ketten formale Linearkombination
gs
	von Simplexen s sind, deren Koeffizienten g statt in Z in einer beliebigen abelschen Gruppe A liegen können.
(ii)	In der allgemeinen Situation bestehen dieselben kurzen exakten Komplex-Sequenzen und deren zugehörige lange Homologie-Sequenzen.
(iii)	Wir werden hier in den Bezeichnungen die Angabe der Koeffizientengruppe A oft unterdrücken, obwohl die bewiesenen Aussagen meist für allgemeine A gelten. Von besonderer  Bedeutung ist für uns der Fall, daß
A = K
	ein Körper ist. Im Fall kompakter Polyeder sind dann alle Homologie-Gruppen endlich-dimensionale Vektorräume.
(iv)	Philosopie:, in vielen Fällen gilt
H(X,Y, A) @ H(X,Y)A
	Eine Formel, die die Homologie mit Koeffizienten aus A mit Hilfe der ganzzahligen Homologie bestimmt, heißt Formel für universelle Koeffizienten. 
	
	Wie wir wissen ist eine endlich erzeugte abelsche Gruppe von der Gestalt
H =  Z mit Z = Z/nZ
	Für das Tensorprodukt mit dem zweielementigen Körper K = F erhalten wir zum Beispiel
HK @  (ZK) mit  ZK @ 
	Nach der obigen Formel ignoriert die Homologie mit Koeffizienten aus K einfach alle direkten Summanden ungerader Ordnung der gewöhnlichen Homologie und vergißt die Ordnung der übrigen direkten Summanden. Für andere Körper K ist die Situation ähnlich.

	Die genaue Formel für universelle Koeffizienten ist komplizierter und wird durch eine kurze exakte Sequenz beschrieben, in welche auch die (q-1)-te Homologie eingeht.
3.3.5 Aufgaben
Die Homologie freier Komplexe
1.	Zeigen Sie, für jedes topologische Paar (X,A) zerfällt die zugehörige exakte Sequenz
0®SA®SX®S(X,A)®0
	als Sequenz von graduieren abelschen Gruppen.
Simpliziale Homologie
2.	Definieren Sie einen Simplizialkomplex K, dessen geometrische Realisierung homöomorph zu einem Torus ist. Berechnen Sie die erste orientierte simpliziale Homologie von K, d.h. H(C(K)), und die erste geordnete simpliziale Homologie von K, d.h. H(S(K)).
3.	(a) Seien K ein (abstrakter) Simplizialkomplex und p ein Element, welches in der Menge der Ecken von K nicht vorkommt. Zeigen Sie, es gibt einen kleinsten Simplizialkomplex, der alle Mengen der Gestalt
{p}Ès mit sÎK
	als Simplexe enthält. Dieser Simplizialkomplex heißt Kegel über K mit der Spitze p und wird mit p*K bezeichnet.

	(b) Zeigen Sie, die Komplexe S(p*K), C(p*K) der geordneten bzw. orientierten Ketten über p*K sind kontrahierbar. (Hinweis: betrachten sie die Abbildung, welche jedem Simplex mit den Ecken p,...,p das Simplex mit den Ecken p, p,...,p zuordnet).
	(c) Bezeichne  den Simplizialkomplex, welcher aus der Menge aller Teilmengen von {0, 1, ..., q} besteht. Zeigen Sie für die geordnete bzw. die orientierte Homologie von   gilt
HS = HC = 
4.	Eulerzahl eines endlichen Polyeders. Sei K ein endliches Polyeder und bezeiche n(K) die Anzahl der q-dimensionalen Simplexe von K. Dann heißt
c(K) :=  (-1) n(K)
	Eulerzahl von K. Bezeichne F einen Körper. Drücken sie die Eulerzahl von K mit Hilfe der Dimensionen der endlich-dimensionalen Vektorräume H(K, F) aus.
3.4 Spezialfälle
3.4.1 Homologie des einpunktigen Raumes
Sei P = {p} der einpunktige Topologische Raum. Für jedes q≥0 besitzt P genau ein singuläres Simplex
: ®P.
Die j-te Seite von  ist für jedes j gleich ,
° = .
Da  gerade q+1 Seiten hat folgt

∂ = 
Der Kettenkomplex SP hat damit bis auf Isomorphie die Gestalt
SP: ...ZZZZZ0
wobei in den negativen Dimensionen alle Gruppen Null sind. Damit erhalten wir
H({p}) @ 
Genauer gilt H({p}) = Z×.
3.4.2 Reduzierte Homologie
Sei X ein topologischer Raum. Die konstante Abbildung
g = g: X ® P := {p}
in den einpunktigen topologischen Raum induziert dann einen Homomorphismus
Hg: HX ® HP,
welche Augmentation von X heißt. Der Kern der Augmentation heißt reduzierte Homologie von X und wird mit
X := Ker(H(g):HX®HP).
Bemerkungen

(i)	Offensichtlich gilt X = HX für q¹0.
(ii)	Die reduzierte Homologie definiert einen Funktor
:(nicht-leere topologische Räume) ® Ab.
	Ist nämlich f:X®Y eine stetige Abbildung, so gilt
g°f = g
	also H(g)°H(f) = H(g). Insbesonder bildet  H(f) den Kern von H(g) in den Kern von H(g) ab, d.h. wir haben einen Homomorphismus
f : X ® Y.
	Da sich Hf funktoriell verhält, gilt dasselbe auch für f. Die natürlichen Inklusionen
X Í HX
	setzen sich zu einer natürliche Transformation zusammen.  ist ein Beispiel für einen Teilfunktor (des Funktors H).
(iii)	Ist X nicht-leer, so gibt es mindestens eine Abbildung i: P®X. Ihre Zusammensetzung mit g liefert
g°i = id.
	Damit gilt aber auch H(g)°H(i) = id. Mit anderen Worten, die exakte Sequenz graduierter abelscher Gruppe
0 ® (X) ® H(X) ® H(P) ® 0
	zerfällt. Insbesonder gilt
H(X) = H(P)X = ZX
	In der Dimension Null unterscheiden sich die reduzierten und die gewöhnliche Homologie um den direkten Summanden Z.
(iv)	Für jede Einbettung P®X in einen nich-leeren topologischen Raum X haben wir eine exakte Sequenz
0®H(P) ® H(X) ® (X) ® 0
	Vergleich mit der Homologiesequenz des Paares (X,P),
®H(P) ® H(X) ® H(X,P) ® 0,
	liefert (X) = H(X,P).
 3.4.3 Reduzierte Homologiesequenz eines Paares
Sei (X,A) ein topologisches Paar mit A¹Æ. Dann hat eine lange exakte Sequenz
...(A)(X)H(X,A)(A)...

welche reduzierte Homologiesequenz des Paares (X,A) heißt. Dabei sind i und j die Einschränkungen der analogen Abbildungen der gewöhnlichen Homologiesequenz von (X,A).
Beweis. Wir wählen eine Inklusion i:P®A und fassen diese als Abbildung von Paaren
i:(P,P) ® (X,A)
auf. Betrachten wir die zugehörige Abbildung der langen Homologiesequenzen.

Die Augmentation von X liefert induziert eine Paarabbildung
g:(X,A) ® (P,P)
welche linksinvers zur Einbettung i:(P,P) ® (X,A) ist. Die durch g induzierte Abbildung zwischen den obigen Homologiesequenzen besteht aus einer Familie von linksinversen Abbildungen zu den vertikalen Abbildung des obigen Diagramms. Die obere Zeile des Diagramms kann man deshalb mit einem direkten Summanden der unteren Zeile identifizieren. Läßt man diesen direkten Summand weg, so bleibt eine exakte Sequenz übrig. Diese ist gerade die exakte Sequenz der Behauptung.
QED.
 3.4.4 Die Augmentation auf den Niveau der Kettenabbildungen
Sei X ein topologischer Raum. Dann heißt die Kettenabbildung
h = h : SX ® (Z,0),
welche jedes 0-Simplex in die 1ÎZ überführt, ebenfalls Augmentation von X. 

Mit Augmentation bezeichnet man also sowohl eine Abbildung von Homologiegruppen (3.4.3) als auch, wie eben definiert, eine Kettenbildung. Beschreiben wir den Zusammenhang zwischen den beiden eingeführten Augmentationsbegriffen.

Bezeichne g wie oben die konstante Abbildung auf dem Raum X,
g: X ® P = {p},
so gilt
(*)				h = h°S(g): SX ® SP ® (Z,0),
Denn ein 0-Simplex s von X wird bei der Komposition wie folgt abgebildet.
s a g°s a 1.
Wie wir oben gesehen haben, wird die 0-te Homologie von P vom einzigen 0-Simplex von P erzeugt und ist isomorph zu Z. Insbesondere induziert h einen Isomorphismus
H(h) : H(P) ® H(P).
Bis auf die durch H(h) gegebene Isomorphie ist also die Augmentation H(g) auf der Ebene der Homologiegruppen gerade die Homologie der Augmentation h auf der Ebenen der Komplexe.

Wegen (*) folgt weiter
Ker H(h) = Ker H(g).
Insbesondere kann man sowohl h also auch g zur Definition der reduzierten Homologie nehmen.
Man beachte, h:SX ® (Z,0) ist eine Homotopieäquivalenz (nach Satz 2.4.3).
 3.4.5 Die Homologie der konvexen Teilmengen des affinen Raumes
Sei X eine nicht-leere konvexe Teilmenge des . Dann ist die Augmentation
h : SX ® (Z,0)
eine Homotopieäquivalenz. Insbesondere ist die reduzierte Homologie von X trivial,
X = 0.
Beweis. Die Technik, mit deren Hilfe wir diesen Satz beweisen werden, nennt man auch Kegelkonstruktion.Sei PÎX ein Punkt. Für jedes q-Simplex s:®X von X definieren wir auf folgende Weise ein (q+1)-Simplex (P×s): ®X (den Kegel über s mit der Spitze P).
(P×s)(x,...,x) := 
Auf diese Weise erhalten wir einen Gruppenhomomorphismus
P = P: SX ® SX, s a P×s.
Berechnen wir den Rand des Simplex P×s. Es gilt
(P×s)°e(x,...,x) = (P×s)(x,...,x,0,x,...,x).
Für i=0 ist das gerade s,
(1)					(P×s)°e = s.
Für q>0 und i>0  gilt
	xP + (1-x)s(,...,,0,,...,)
				= xP + (1-x)(s°)(,...,)
also
(2)			(P×s)°e = (P×(s°) für i > 0 und q>0.
Schließlich erhalten wir für q=0 und i=1 die konstant auf P abbildende Zuordnung (von 0 Variablen). Bezeichnet  die Kettenabbildung
(Z,0) ® SX, Z]m a m×P,
so können wir letzteres auch durch die folgenden Identität ausdrücken.
(3)			(P×s)° = (h)(s).
Zusammen mit (2) und (3) erhalten wir durch Bilden der alternierenden Summen
∂°P = id - P°∂	für q > 0
d.h.
∂°P + P°∂= id	für q > 0
und
∂°P = id -  (°h)		für q = 0.
Man beachte, für q > 0 ist (°h) = 0. Die Familie der P definiert also eine Homotopie id  h. Die umgekehrte Komposition ist offensichtlich
h° = id.
QED.
Bemerkung
Wir haben für jeden Punkt pÎX einer konvexen Teilmenge X des  Gruppen-Homomorphismen
p: S(X) ® S(X), s a o×s,
konstruiert, die jedem Simplex s von X den “Kegel p×s über s mit der Spitz p” zuordnen. Und wir haben gezeigt, diese Abbildungen p setzen sich zu einer Homotopie zusammen
∂°p + p°∂ = id - °h,
wenn h:S(X) ® (Z,0) die Augmenation und  den Komplex-Morphismus
: (Z,0) ® S(X)
bezeichnet. Zur späteren Verwendung weisen wir hier noch auf zwei Eigenschaften dieser Konstruktion hin.
(i)	Verträglichkeit mit linearen Abbildungen. Für jedes singuläre Simplex
t:∆ ® R
	jeden Punkt pÎR und jede lineare Abbildung f: R ® R gilt
S(f)(p×t) = f(p)×(f°t) = f(p)×S(f)(t).
(ii)	Die Ecken des Kegels mit der Spitzt p. Für jedes lineare Simplex
t:∆ ® R
	mit den Ecken p,...,p ist 
p×t: :∆ ® R
	ein lineares Simplex mit den Ecken p, p,...,p .
 3.4.6 Der Zusammenhangshomomorphismus einer Teilmenge des affinen Raumes
Für jede nicht-leere Teilmenge YÍ ist der Zusammenhangshomomorphismus
: H(,Y) ® (Y)
ein Isomorphismus.
Beweis. Da  konvex ist, gilt
() = 0

(nach 3.4.5). Die Behauptung ergibt sich damit aus der reduzierten Homologiesequenz des Paares (,Y).
QED.
 3.4.7 Linear zusammenhängende Räume
Ein topologischer Raum X heißt linear zusammenhängend oder auch wegeweise zusam-menhängend, wenn sich je zwei Punkte von X durch einen Weg verbinden lassen. Genauer, für je zwei Punkte p,qÎX gibt es eine stetige Abbildung
w: [0,1] ® X
auf dem Einheitintervall mit Werten in X derart, daß w(0) = p und w(1) = q gilt.
Ist X ein beliebiger topologischer Raum. Betrachten wir die Relation R auf X mit
xRy Û x und y können durch eine Weg von X verbunden werden.
Dies ist offensichtlich eine Äquivalenzrelation auf der Menge X. Die Äquivalenzklassen bzglich dieser Äquivalenzrelation heißen lineare Komponenten von X oder auch einfach Komponenten von X. Nach Definition sind die Komponenten maximale linear zusammenhängende Unterräume von X. Jeder topologische Raum zerfällt somit in paarweise disjunkte zusammenhängende Unterräume.
3.4.8 Die Homologie linear zusammenhängender Räume
Sei X ein nicht-leerer linear zusammenhängender topologischer Raum. Dann induziert die Augmentation h: SX ® (Z,0) einen Isomorphismus
H(h): HX ® H(Z,0) = Z.
Beweis. Sei pÎX ein fest gewählter Punkt. Wir betrachten die Kettenabbildung
: (Z,0) ® SX, m a m×p.
Für die Zusammensetzung mit der Augmentation erhalten wir
(1)					h° = id.
Für jedes 0-Simplex s: ∆®X fixieren wir ein 1-Simplex
π( s):∆®X mit π( s)° = s und π()° =  p.
Die Angabe eines solche 1-Simplex ist im wesentlichen dasselbe wie die Angabe eines Weges vom einzigen Punkt von  zum Punkt p. Ein solches 1-Simplex existiert, weil X nach Voraussetzung linear zusammenhänged sein soll. Nach Konstruktion gilt
∂(π( s)) = s - p = (id - °h)( s)
für alle 0-Simplexe s, d.h. es ist
∂°π = id - °h
im Grade 0. Das bedeutet aber , auf der 0-ten Homologie induziert °h die identische Abbildung: für 0-Zyklen z gilt
H ()°H (h)[z] = [°h(z)] = [z - ∂(π(z))] = [z],
d.h.
(2)					H ()°H (h) = id.
Zusammen bedeuten (1) und (2), daß h: SX ® (Z,0) auf der 0-ten Homologie einen Isomorphismus induziert.
QED.
3.4.9 Die 0-te Homologie und lineare Komponenten
Seien X ein beliebiger topologischer Raum und
{X}
die Familie der linearen Komponenten von X. Weiter seien AÍX ein Unterraum und
A := AÇX.
Dann induzieren die Inklusionen : (X,A) Í (X,A) eine Zerlegung in eine direkte Summe
S(X,A) @ S(X,A)
und folglich auch eine Zerlegung
H(X,A) @ H(X,A).
Insbesondere ist H(X) isomorph zur freien abelschen Gruppe, die von den linearen Komponenten von X erzeugt wird.
Beweis. Betrachten wir die Kettenabbildung
(*)			S(X) ® S(X), (c) a c.
Für unterschiedliche l liegen die Simplexe, welche in der Kette c vorkommen, in unterschiedliche Räumen und sind deshalb paarweise verschieden. Die Summe
c
ist deshalb nur dann gleich Null, wenn jedes c Null ist. Mit anderen Worten, die obige Kettenabbildung ist injectiv. Zeigen wir, sie ist auch surjektiv. Dazu genügt es, wenn wir zeigen, jedes Simplex von s:∆ ® X liegt im Bild dieser Abbildung. Nun ist ∆ linear zusammenhängend: je zwei Punkte lassen sich sogar durch eine Strecke verbinden. Das Bild von s ist deshalb auch linear zusammenhängend: je zwei Punkte lassen sich durch das Bild einer Strecke verbinden. Somit liegt das Bild ganz in einer linearen Komponente von X, d.h. es gibt ein l mit s(∆)ÍX. Dann ist aber s ein Simplex von X und liegt im Bild der obigen Kettenabbildung. Wir haben gezeigt, die Abbildung (*) ist ein Isomorphismus von Kettenkomplexen. Durch Einschränken erhalten wir einen Isomorphismus
(*)			S(A) ® S(A), (c) a c.
und durch Faktorisieren einen Isomorphismus
S(X)/S(A) ® S(A)/S(X).
Letzterer ist gerade der gesuchte Isomorphismus S(X,A) @ S(X,A).
QED.
3.4.10 Die 0-te Homologie des diskreten Raumes
Für den diskreten topologischen Raum X gilt
H(X) @  Z.
Beweis. Die linearen Komponenten von X ist gerade die einpunktigen Teilmengen. Die nullte Homologie dieser Teilmengen ist gerade Z. Die Behauptung folgt damit aus 3.4.9.
QED.
3.4.11 Umgebungsretrakte
Seien X ein topologischer Raum, A ein Unteraum und
i:A®X
die natürliche Einbettung. Der Unterraum A heißt Retrakt von X, wenn es eine stetige Abbildung r:X®A gibt mit r°i = id. Die Abbildung r heißt dann Retraktion. Ein Unterraum A eines topologischen Raumes X heißt Umgebungsretrakt, wenn es eine offene Umgebung U von A in X derart gibt, daß A ein Retrakt von U ist.
Beispiele
1.	Jeder Punkt von X ist ein Retrakt von X.
2.	Sind X und Y topologische Räume und pÎX, so ist {p}´Y ein Retrakt von X´Y. Als Retraktion kann man folgende Abbildung verwenden.
X´Y ® {p}´Y, (x,y) a (p,y).
3.	Jeder Retrakt ist ein Umgebungsretrakt. Die Umkehrung ist falsch. Wenn X zum Beispiel das Einheitsinterval ist und A aus dessen beiden Endpunkten besteht, so ist A ein Umgebungsretrakt von X, jedoch kein Retrakt (weil X linear zusammenhängend ist, A jedoch nicht).
Bemerkung
Später befassen wir uns mit Umgebungsretrakten. Hier beweisen wir nur ein einfaches Ergebnis über Retrakte.
3.4.12 Die Zerlegung der Homologie mit Hilfe von Retraktionen
Seien X ein topologischer Raum, A ein Teilraum, i:A®X die natürliche Einbettung und
r:X®A
eine Retraktion. Dann ist der Homomorphismus
H(X) ® H(A)H(X,A), [z] a ([S(r)z, [z])
ein Isomorphismus.
Beweis. Betrachten wir die kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen
0®SA  SX  S(X,A) ® 0.
Die Existenz der Retraktion r hat zur Folge, daß i ein Linksinverses besitzt: mit r°i = id gilt r°i = id. Damit zerfällt aber die Sequenz, und zwar sogar als Sequenz von Kettenkomplexen (nicht nur als Sequenz von graduierten abelschen Gruppen). Es es besteht also eine Isomorphie von Komplexen
SX @ SAS(X,A).
Übergang zur Homologie liefert die Behauptung.
QED.
3.4.13 Die Homologiesequenz eines Retrakts
Seien X ein topologischer Raum und A ein Retrakt von X. Dann zerfällt die Homologie-sequenz des Paares (X,A) in lauter kurze exakte Sequenzen
0HA  HX  H(X,A)  0
Beweis. Nach 3.4.12 erhält man eine kurze exakte Sequenz, wenn man die Zusammenhangshomomorphismen an den äußeren Enden durch die Nullabbildung ersetzt. Weil die Homologiesequenz von (X,A) exakt ist, müssen dann aber die Zusammenhangshomomorphismen Null sein.
QED.
3.5 Homotopieinvarianz
3.5.1 Wiederholung
Zwei stetige Abbildungen f,g: X®Y heißen homotop, wenn es eine stetige Familie von Abbildungen
F : X®Y, tÎI:=[0,1]
gilt mit F = f und F = g. Eine Familei F : X®Y mit tÎI heißt stetig, wenn die Abbildung
X´I ® Y , (x,t) a F(x),
stetig ist.
3.5.2 Formulierung des Satzes über die Homotopieinvarianz
Seien f,g: X ® Y homotope Abbildungen topologischer Räume. Dann sind die zugehörigen Abbildungen der singulären Kettenkomplexe
Sf, Sg: SX ® SY
(ketten-)homotop.
Bemerkung. Bevor wir den Satz beweisen, geben wir einige Folgerungen an.
3.5.3 Folgerung: die Homologie homotoper Abbildungen
Seien f,g: X ® Y homotope Abbildungen. Dann sind die auf der Homologie induzierten Abbildungen gleich:
H(f) = H(g): HX ® HY.
Beweis. Kettenhomotope Abbildunge induzieren dieselben Abbildungen auf der Homologie.
QED.
3.5.4 Folgerung: die Homologie homotoper Räume
Mit (X,A)  (Y,B) gilt H(X,A) @ H(X,B).
Beweis. Nach Voraussetzung gibt es stetige Abbildungen
f:(X,A) ® (Y,B) und g:(Y,B) ® (X,A) 
mit
f°g  id und g°f  id.
Nach dem Satz über die Homotopieinvarianz sind dann aber
H(f): HX ® HY und H(g): HY ® HX
zueinander invers:
H(f)°H(g) = H(f°g) = H(id) = id
H(g)°H(f) = H(g°f) = H(id) = id.
Analog induzieren die Einschränkungen f|und g|  zueinander inverse Abbildungen auf der Homologie:
H(f|): HA ® HB und H(g|): HB ® HA
Insbesondere sind
f: HX ® HY und (f|): HA ® HB
Isomorphismen. Wir betrachten das kommutative Diagramm

dessen Zeilen gerade die langen Homologie-Sequenzen der Paare (X,A) bzw. (Y,B) sind. Wir haben zu zeigen, die mittlere vertikale Abbildung ist ein Isomorphismus. Nach dem Fünfer-Lemma reicht es zu zeigen, die vier auf beiden Seiten angrenzenden Abbildungen sind Isomorphismen. Das haben wir aber gerade gezeigt.
QED.
3.5.5 Folgerung: die reduzierte Homologie kontrahierbarer Räume
Wenn der Raum X kontrahierbar ist, X  P := {p}, so gilt X = 0. Genauer, die Augmentation h: SX ® (Z,0) ist eine Homotopieäquivalenz.
Beweis. Nach 3.5.4 induziert die einzige Abbildung
X ® P
einen Isomophismus 
H(X) ® H(P) @ Z, [c×s] a [c×p] a c.
Letztere Abbilung ist aber dieselbe Abbildung wie sie auch von der Augmentation induziert wird. Mit anderen Worten, die Augmentation h induziert einen Isomophismus
H(h): HX ® H(Z,0) = (Z,0).
(für Dimensionen q¹0 ist das trivial). Nun ist h eine Kettenabbildung freier Komplexe. Das bedeutet aber, h ist eine Homotopieäquivalenz (Satz von 2.4).
QED.
3.5.6 Vorbemerkungen
(i)	Die Situation, in der wir uns befinden kann man sich wie folgt illustieren. Wir haben ein Diagramm von Funktoren

	Der Satz über die Homotopieinvarianz bedeutet im wesentlichen, daß wir dieses Diagramm kommutativ durch einen gestrichelt eingezeichneten Funktor  ergänzen können.
(ii)	Wenn f:(X,A) ® (X,B) eine Homotopieäquivalenz ist, so sind auch
f:X®Y und f|:A®B
	Homotopieäquivalenzen. Die Umkehrung dieser Aussage ist nicht richtig. Seien zum Beispiel
X := Y := [0,1], A := {0,1}, B:=[0,1] - {}.
	Dann sind die natürlichen Einbettungen XÍY und AÍB Homotopieäquivalenzen (es gibt eine Retraktion B®A, welche als Abbildung B®B homotop zur identischen Abbildung ist). Die Einbettung f:(X,A) Í (Y,B) ist jedoch keine Homotopieäquivalenz, denn eine Homotopieinverse
g:(Y,B) ® (X,A)
	müßte auf jedem Teilintervall von B konstant sein, müßte also aus Stetigkeitsgründen auf ganz Y konstant sein. Dann ist aber auch
g°f: (X,A) ® (X,A)
	konstant. Die Einschränkung von g°f auf A läßt sich also nicht in die identische Abbildung von A deformieren (nach dem Zwischenwersatz - man betrachte das Bild des Punktes, der kein Wert von g°f ist bei der Homotopie von g°f in die Identität).
3.5.7 Vorbereitung: Kriterium für die Existenz einer natürlichen Kettenhomotopie
 Seien F, F:SX ® S([0,1]´X) natürliche Kettenabbildungen (d.h. natürliche Transformationen der Funktoren in X auf beiden Seiten) mit der Eigenschaft, daß die Komposition
S∆  S([0,1]´∆)  (Z,0)
unabhängig von iÎ{0,1} ist. Dann existiert eine natürliche Kettenhomotopie s:F  F.
Bemerkung
Die Natürlichkeit einer Abbildung j (=F, F oder s) soll bedeuten, daß sie für alle topologischen Räume X definiert ist und daß für jede stetige Abbildung h:X’®X das folgende Diagramm kommutativ ist.
				
Mit anderen Worten, j ist eine natürliche Transformation S(?) ® S([0,1]´ ?) des Funktors S in den Funktor S([0,1]´ ? ).
Beweis. Wir haben eine Kettenhomotopie s zu konstruieren, d.h. eine Familie von Gruppenhomomorphismen
(1)				s: SX ® S([0,1]´X)
mit
(2)				∂s + s∂ = F - F
für jedes kÎZ. Für k<0 muß s der triviale Homomorphismus sein, da der Definitionsbereich die triviale Gruppe ist. Nehmen wir jetzt an, wir hätten die s bereits für alle k<q derart konstruiert, daß (2) gilt. Wir haben s so zu definieren, daß die Identät auch für den neuen Index q bestehen bleibt. 
Bezeichne :∆®∆ die identische Abbildung. Wir können  als singuläres Simplex des topologischen Raumes ∆ auffassen.
ÎS∆
Insbesondere können wir auf  den Randoperator und die Kettenabbildungen F anwenden. Betrachtenwir die folgenden Kette
(3)				c := F -  F - s∂ ÎS([0,1]´∆).
1Schritt. Wir zeigen, die Kette c ist ein Rand: es gibt ein bÎS([0,1]´∆) mit c = ∂b.
Zeigen wir zunächst, c ist ein Zyklus. Es gilt
	∂c	= ∂F -  ∂F - ∂s∂
		= F∂ -  F∂ - (F - F - s∂)∂ (nach (2) mit k:= q-1)
		= 0
Damit repräsentiert c eine Homologieklasse
[c]Î H(([0,1]´∆).
Es gilt sogar noch mehr: [c] liegt sogar in der reduzierten Homologie. Für q¹0 ist das trivial, da für diese q die reduzierte mit der gewöhlichen Homologie übereinstimmt. Für q=0 haben wir zu zeigen, [c] liegt im Kern der Augmentation, d.h. zu zeigen ist
0 = g[c] = [hc].
Dabei bezeichne wie bisher h die Augmentation auf Komplexniveau. Es gilt:
	hc	= hF -  hF - hs∂
		= hs∂			(wegen hF = hF für q=0 nach Voraussetzung)
		= 0				(wegen ∂ = 0 im Fall q=0).
Damit ist gezeigt,
[c]Î([0,1]´∆).
Nun ist [0,1]´∆ eine konvexe Teilmenge des , hat also triviale reduzierte Homologie. Mit anderen Worten [c] = 0, d.h. c ist Rand einer (q+1)-Kette b,
c = ∂b für ein b = b ÎS([0,1]´∆)
Damit ist die Behauptung des ersten Schritts bewiesen. Für jede nicht-negative ganze Zahl q fixieren wir jetzt eine solche Kette
b = b ÎS([0,1]´∆).
Diese versetzt uns in die Lage, den Homomorphismus s wie folgt zu definieren.
(4)			s:S(X) ® S([0,1]´X), s a S(id´s)(b).
2. Schritt. Der Homomorphismus (4) ist wohldefiniert.
Die q-Simplexe von X bilden ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von S(X). Zur Definition von s, genügt es deshalb, für jedes q-Simplex s dessen Bild anzugeben. Ein q-Simplex von X ist eine stetige Abbildung
s:∆ ® X.
Diese induziert eine stetige Abbildung id´s: [0,1]´∆ ® [0,1]´X und damit eine Komplexabbildung S(id´s): S([0,1]´∆) ® S([0,1]´X). Da b in S([0,1]´∆) liegt, kann man S(id´s) auf b anwenden und erhält als Bild ein Element von S([0,1]´X). Wir haben gezeigt, die Abbildung (4) ist wohldefiniert. Es bleibt noch die Natürlichkeit zu zeigen (d.h. die Kommutativität des Diagramms (1)) und die Gültigkeit der Identität (2) im Fall k = q.
3. Schritt. Beweis der Natürlichkeit von s.
Seien h:X’®X eine stetige Abbildung und s’:∆ ® X’ ein q-Simplex von X’. Dann gilt
S(id´h)(ss’) = S((id´h)(id´s’))b = S(id´(hs’))b = s(hs’) = s(S(h)s’).
Da s’ beliebig war, folgt S(id´h)°s = s°S(h).

4. Schritt. Beweis der Gültigkeit von (2) für k=q.
Es gilt
	(∂s)s	= ∂S(id´s)b = S(id´s)∂b		(da S(id´s) Kettenabbildung ist)
		= S(id´s)(F -  F - s∂)	(wegen ∂b = c)
		= Fs -  Fs - ss∂		(Natürlichkeit von F,F und s)
		= Fs -  Fs - sS(s)∂		(wegen =id)
		= Fs -  Fs - s∂S(s)		(weil S() Kettenabbildung ist)
		=(F -  F - s∂)s			(wegen =id)
Da s beliebig war, folgt ∂s = F -  F - s∂.
QED.
3.5.8 Beweis der Homotopieinvarianz (Satz 3.5.2)
Sei Q:fg eine Homotopie von stetigen Abbildungen
f,g: (X,A) ® (Y,B),
d.h.
f(x) = Q(0, x) und g(x) = Q(1,x).
Für jedes tÎ[0,1] und beliebige topologische Räume Z sei F = F die stetige Abbildung
F: Z ®  [0,1]´Z, x a (t,x).
Speziell für Z = X erhalten wir Q°F = f und Q°F = g. Es genügt deshalb eine Homotopie
(*)			s:SF SF: S(X,A) ® S([0,1]´X,[0,1]´A).
zu konstruieren. Durch Zusammensetzen mit S(Q) erhalten wir dann die gewünschte Homotopie

Konstruieren wir also eine Kettenhomotopie (*). Für jedes tÎ[0,1] induziert F die Abbildung
S(F):S(Z) ® S([0,1]´Z), c = c×s a S(F)c = c×{t}´s,
wenn {t}´s das Simplex {t}´s:∆®[0,1]´Z, x a (t, s(x)) bezeichnet. Insbesondere ist die Summe der Koeffizienten der Kette
S(F)c
unabhängig von t, d.h die Zusammensetzung von S(F) mit der Augmentation h:S([0,1]´Z)®(Z,0) ist unabhängig von t. Nach 2.5.7 gibt es eine natürliche Homotopie
s:SF SF: S(X) ® S([0,1]´X)
für jeden topologischen Raum X. Ist AÍX ein Unterraum, so gilt S(F)SA Í S([0,1]´A) für alle t und, auf Grund der Natürlichkeit von s, auch
s(SA) Í S([0,1]´A),
d.h wir haben ein kommutatives Diagramm

Durch Übergang zu den Faktorkomplexen erhalten wir eine Kettenhomotopie
s: F F : S(X,A) ® S([0,1]´X,[0,1]´A).
QED.
3.5.9 Deformationsretrakte und starke Deformationsretrakte
Sei (X,A) ein topologisches Paar und i:A®X die natürliche Einbettung. Dann heißt A Deformationsretrakt von X, wenn es es Homotopie Q:X®X gibt mit
Q = id,	Q(X) = A,	Q| = i.
In dieser Situation ist r:= Q:X®A eine Retraktion und es gilt r°i = id und i°r  id, d.h. i und r sind zueinander homotopieinverse Homotopieäquivalenzen. Insbesondere ist
Hi: HA ® HX
ein Isomorphismus.
Wenn man die Homotopie sogar so wählen kann, daß
Q| = i
gilt für alle t, so heißt A starker Deformationsretrakt von X.
Beispiele
(i)	Ist pÎX ein Punkt von X, so ist die einpunktige Teilmenge {p}ÍX genau dann ein Deformationsretrakt, wenn, X kontrahierbar ist. Es gilt dann X = 0 (nach 3.5.5).
(ii)	Die n-dimensionale Einheitssphäre
S := {xÎ | ||x|| = 1}
	ist ein starker Deformationsretrakt des punktierten Euklidischen Raumes -{o}. Als Deformation kann man die folgende stetige Familie nehmen.
Q(x) := (1-t +  )×x
(iii)	Die Deformation von (ii) zeigt auch, daß S ein starker Deformationsretrakt der Punktierten (n+1)-dimensionalen Vollkugel B-{o} ist. Dabei sei 
B = {xÎ | ||x|| ≤ 1}.
Insbesondere gilt
HS @ H(B-{o}) @ H(-{o}).
3.5.10 Aufgaben
1	Zeigen Sie, der Volltorus (d.h. der Körper, nicht seine Oberfläche) enthält einen starken Deformationsretrakt, der homöomorph zur Kreislinie ist.
2.	Der Kegel CX über einem topologischen Raum X ist definiert als der topologische Raum, welchen man aus [0,1]´X erhält, indem man alle Punkte von {0}´X miteinander identifiziert, wobei man die so entstehende Menge mit der Faktortopologie versieht. Die Punkte von {0}´X repräsentieren also ein und denselben Punkt v von CX. Dieser Punkt v heißt Spitze des Kegels.
	(i) Zeigen Sie, CX = 0.
	(ii) Zeigen Sie, für jedes q gilt H(CX,CX-{v}) @ X.
3.6 Baryzentrische Unterteilung
3.6.1 Der Unterteilungshomomorphismus
Für jede nicht negative ganze Zahl q heißt der Punkt
B := ( ,..., ) Î ∆
des q-dimensionalen Standardsimplex Baryzentrum von ∆ (Massenmittelpunkt). Für jedes (q-1)-Simplex
s : ∆ ® ∆

des topologischen Raumes ∆ bezeichne B×s wie im Beweis von 3.4.5  das Simplex von ∆, dessen Bild der Kegel mit der Spitze B und der Basis Im(s) ist. Wir denken uns die Abbildung B linear zu einer Abbildung
B:S∆ ® S∆
fortgesetzt.

Für jeden topologischen Raum X und für jedes q≥0 definieren wir induktiv einen Gruppenhomomorphismus
:SX ® SX.
welcher baryzentrische Unterteilung heißt. Für q=0 sei  die identische Abbildung.
 := id :SX ® SX, c a c.
Sei jetzt q>0 und  für alle i<q bereitsdefiniert. Zur Definition von  genügt es das Bild (s) für jedes q-Simplex von s:∆®X anzugeben. Falls X := ∆ ist und s := i:∆®∆ die identische Abbildung, so setzen wir
(i) := B×(∂i)ÎS∆.
Schließlich sei für ein beliebiges q-Simplex s:∆®X,
(s) := S(s)°(i).
Man beachte, S(s) ist eine Kettenabbildung S(s):S∆ ® SX.
Bemerkungen.
(i)	Grob gesagt, erhält man die baryzentrische Unterteilung des q-Simplex s aus der baryzentrischen Unterteilung des Randes ∂s, indem man über jedem Simplex der Randunterteilung den Kegel mit der Spitze im Baryzentrum von s errichtet.
(ii)	Die wichtigste Eigenschaft der baryzentrischen Unterteilung besteht darin, ein gegebenes Simplex in kleinere zu zerlegen.
3.6.2 Der Durchmesser mehrfacher baryzentrischer Unterteilungen
Die Folge der Homomorphismen :SX ® SX definiert eine natürliche Kettenabbildung
b:SX ® SX
mit der folgenden Eigenschaft:
Für jedes q≥0 und jedes reelle e>0 existiert ein N := N(e, q) derart, daß für jedes n≥N alle Simplexe t der Kette c = b(i)ÎS∆ einen Durchmessser ||t|| < e besitzen. Mit anderen Worten aus ||t|| ≥ e folgt, daß der Koeffizient c von t in c gleich Null ist,
c = 0.
Dabei sei der Durchmesser eines Simplexes t: ∆ ® R definiert als
||t|| := sup { ||t(x) - t(y)|| x,yÎ∆}.
Beweis. 1. Schritt: Natürlichkeit von b.
Für jede stetige Abbildung f:X®Y und jedes q-Simplex s:∆® X gilt
	S(f)(b(s))	= S(f)(S(s)°(i))		(induktive Definition von b)
			= S(f°s)((i))		(Funktorialität von S)
			= b(f°s).
Mit anderen Worten, das folgende Diagramm ist kommutativ.

Also ist b eine natürliche Transformation.
2. Schritt. b ist eine Kettenabbildung.
Wir zeigen dies durch Induktion nach q. Für q≤0 gilt trivialerweise
∂b = b∂,
da auf beiden Seiten die Nullabbildung steht. Führen wir den Induktionsschritt durch. Für jedes q-Simplex s:∆®X , q>0, gilt:
	∂(bs)	= ∂(S(s)°(i))		(induktive Definition von b)
		= ∂(S(s)(B×(∂i)))	(induktive Defintion von (i))
		= S(s)(∂(B×(∂i)))	(S(s) ist Kettenabbildung)
		= S(s)((∂i) - B×∂(∂i))	(siehe unten)
		= S(s)((∂i))		(wegen ∂= ∂, Ind.vor.)
		= (S(s)(∂i))		(Natürlichkeit von b)
		= (∂s)			(S(s) ist Kettenabbildung)
Das vierte Gleichheitszeichen ergibt sich dabei aus der Tatsache, daß die Multiplikation mit einem Punkt P im konvexen Raum ∆ eine Kettenhomotopie ist, ∂P + P∂ = id - °h (vgl. den Beweis von 3.4.5) und der Term °h wegen q>0 die Nullabbildung ist. Wir haben gezeigt, ∂b = ∂, d.h. b ist Kettenabbildung.
3. Schritt. Sei s: ∆ ®  ein lineares Simplex mit den Ecken p,...,p. Dann gilt
(a)	||p-p’|| ≤ max{||p-p||  | i=0,...,q} für beliebige p,p’Îs(∆).
(b)	|| s || ≤ max {|| p - p || | i,j=0,...,q}
Beweis. Der Punkt p’ läßt sich in der Gestalt p’ = x’p mit x’ = 1 schreiben. Also gilt
	||p-p’||	= || (x’)p-p’||
		= || (x’p - x’p)  ||
		≤ x’ ×||p - p ||
		≤ (x’)×max{||p-p||  | i=0,...,q}
		= max{||p-p||  | i=0,...,q}.
Damit ist (a) bewiesen. Aussage (b) erhält man durch 2-maliges Anwenden von (a).
4. Schritt. Sei s: ∆ ®  eine lineares Simplex. Dann besteht die Kette b(s) aus linearen Simplexen eines Durchmessers ≤  ×||s||. Insbesondere besteht b(i) aus Simplexen eines Durchmessers ≤  ×||i||.
Wir verwenden jetzt die in der Bemerkung von 3.4.5 erwähnten Eigenschaften der Kegel-Konstruktion. Wir erhalten für das lineare Simplex s: ∆ ® :
	b(s)	= b(S(s)i) = S(s)b(i)		(Natürlichkeit von b)
			= S(s)(B×(∂i))			(Definition von b)
			= s(B)×S(s)((∂i)))		(Eigenschaft (i) von 3.4.5)
			= s(B)×(∂s)			(Natürlichkeit von b)
			= (-1) s(B)×(se)		(Definition von ∂).
Damit besteht b(s) aus Simplexen der Gestalt s’:= s(B)×t wobei t in einer der Ketten
(se)
vorkommt. Das Simplex s’ hat den Durchmesser ||p-q|| mit geeigneten Ecken p,q von s’.Nach Eigenschaft (ii) sind diese Ecken entweder beides Ecken von t oder eine der Ecken ist gleich s(B). Im ersten Fall gilt (nach Induktion bzgl. q)
|| s’ || = || p -q || ≤ ||t|| ≤  ×||se|| ≤  ×||s|| ≤   ×||s||.
Im zweiten Fall gilt nach Schritt 3, wenn z.B. p = s(B) ist,
|| s’ || = ||p - q|| ≤ ||p-p||
für ein i. Also ist
|| s’ || ≤ || s(B) - p || = ||  ×(p - p) || ≤  × || p - p || ≤   ×||s||.
Damit ist die Aussage des 4.Schritts bewiesen, also auch die Aussage des Satzes.
QED.
3.6.3 Kettenabbildungen die in der Dimension 0 übereinstimmen
Seien g,g: SX ® SX zwei natürliche Kettenabbildungen, die in der Dimension 0 übereinstimmen. Dann existiert eine natürliche Homotopie gg.
Beweis. Betrachten wir die Kompositionen
F: SX SXS([0,1]´X),
wobei J die stetige Abbildung J:X®[0,1]´X, x a (0,x), sei. Nach 3.5.7 existiert eine natürliche Homotopie
s:FF.
Ihre Komposition mit S(π), wobei π:[0,1]´X®X die Projektion auf den zweiten Faktor sei, liefert eine Homotopie
S(π)s: S(π)F  S(π)F.
Wegen S(π)F = S(π)S(J)g = g ist das gerade die Behauptung.
QED.
3.6.4 Aufgaben
1.	Wie in Aufgabe 6 von 1.1.18 betrachten wir die Kategorie ∆ als Teilkategorie der Kategorie Top. Zeigen Sie, für jeden Simplizialkomplex K ist der Teilfunktor

F: ∆ ® Ens, [n] a {fÎHom([n], K) | Im f ist ein Simplex von K},
	des kontravarianten Hom-Funktors h eine simpliziale Menge.

2	(Zusatzaufgabe) Zeigen Sie, jede simpliziale Menge
F: ∆ ® Ens
	 definiert einen Simplizialkomplex K(F) derart, daß es einen natürlichen Komplex-Morphismus
C(K(F)) ® K(<F>)
	vom Komplex der geordneten simplizialen Ketten von K(F) mit Werten im Komplex zur von F erzeugten simplizialen freien abelschen Gruppe <F> gibt (vgl. 1.1.18 Aufgabe 23).

	Hinweis: die Menge F([n]) zum Funktor von 1 enthält auch “Simplexe” mit zu wenigen “Ecken”, welche entartete n-Simplexe heißen. Diese muß man entfernen, um die n-Simplexe von K zu bekommen. Außerdem enthält F([n]) jedes Simplexe in sovielen Exemplaren, wie es Permutationen von Ecken gibt. Diese muß man identifizieren.
	Hinweis: Es reicht nicht,jedem Simplex die Menge seiner Ecken zuzuordnen, denn es kann “Simplexe” geben, die verschieden sind, aber dieselbe Eckenmenge besitzen.
3	Definieren Sie die Realisierung einer simplizialen Menge in einer solchen Weise, daß man die Definition der Realisierung eines Simplizialkomplexes als Spezialfall erhält.

3.7 Kleine Simplexe und Ausschneidung
3.7.1 Vorbemerkung
Ziel dieses Abschnitts ist es, zu zeigen, zur Berechnung der singulären Homologie genügt es, sich auf die Betrachtung kleiner Simplexe zu beschränken. Daraus wird sich ergeben, daß sich H(X,A) nicht ändert, wenn man aus A einen gewissen Teilraum B herausnimmt, der sich nicht mit dem Rand von A scheidet.
3.7.2 Der singuläre Komplex eines Systems von Teilmengen
Seien X ein topologischer Raum und U ein System von Teilmengen von X. Wir bezeichnen mit
SU
den kleinsten Teilkomplex von SX, welcher alle SU mit UÎU als Teilkomplexe enthält. Mit anderen Worten, S(U) ist der Teilkomplex, welcher von der Familie der Teilkomplexe
{SU}
erzeugt wird (deren Summe). Er heißt Komplex der singulären U-kleinen Ketten von X. Die Ketten von S(U) sind gerade die Linearkombinationen von Simplexen sind, welche ganz in einem UÎU liegen.
Für jeden Teilraum AÍX setzen wir
UÇA := {UÇA}.
Dann ist S(UÇA) ein Teilkomplex von S(U) und wir setzen
S(U,UÇA) := S(U)/S(UÇA).
Man er hat ein kommutatives Diagramm

3.7.3 Vergleich der Homologien von S(X,A) und S(U,UÇA)
Seien (X,A) ein topologisches Paar und U ein System von Teilmengen von X. Es sei folgende Bedingung erfüllt:
(*)	Jeder Punkt xÎX befinde sich im Innern von A oder im Innern einer Menge UÎU.
Dann ist die Kettenabbildung S(U,UÇA) ® S(X,A) eine Homotopieäquivalenz, induziert also einen Isomorphismus der Homologiegruppen
 H(U,UÇA) ® H(X,A).

3.7.4 Folgerung: Ausschneidungssatz I
Seien (X,A) ein topologisches Paar und YÍX eine Teilmenge mit 
X = È.
Dann ist die natürliche Einbettung
j: S(Y,YÇA) ® S(X,A)
eine Homotopieäquivalenz. Insbesondere gilt H(Y,YÇA) @ H(X,A).
3.7.5 Folgerung: Ausschneidungssatz II
Seien (X,A) ein topologisches Paar und BÍA eine Teilmenge mit
 Í .
Dann ist die natürliche Einbettung
j: S(X-B,A.- B) ® S(X,A)

eine Homotopieäquivalenz. Insbesonder gilt H(X-B,A.-B) @ H(X,A).
Beweis der Folgerungen 3.7.4 und 3.7.5. Aussage 3.7.4 ist gerade der Spezialfall von 3.7.3, den man erhält, wenn man U:={Y} setzt. Aussage 3.7.5 erhält man aus 3.7.4 indem man die Menge Y durch ihr Komplement B:=X-Y ersetzt.
QED.
Beweis von 3.7.3.
1. Schritt. Für jede Kette cÎSX gibt es ein nÎN mit b(c)ÎSV. Dabei bezeichne b die baryzentrische Unterteilung und V die Überdeckung
V := UÈ{A}
	von X.

Da die Kette c eine endliche Linearkombination von Simplexen ist, genügt es, die Aussage für den Fall c=s:∆®X eines q-Simplex zu beweisen. Nach Voraussetzung bilden die Mengen
 mit VÎV
eine offene Überdeckung von X. Also bilden die Mengen
W := s() mit VÎV
eine offene Überdeckung W von ∆. Sei e>0 eine Lebesque-Zahl für diese Überdeckung, d.h. jede Teilmenge von ∆ mit einem Durchmesser <e liege ganz in einer der Mengen W. Nach 3.6.2 gibt es eine iterierte baryzentrische Unterteilung b(i) des identischen Simplex i:∆ ® ∆ derart, daß jedes Simplex von b(i) einen Durchmesser kleiner als e hat, also ganz in einer der Mengen W=s() liegt. Dann liegt aber jedes Simplex von
b(s) = S(s)(b(i))
in einer der Mengen  mit VÎV. Mit anderen Worten, es gilt  b(s)ÎSV.
2. Beweis der Behauptung.
Wir wollen zeigen, die natürliche Einbettung
j: S(U, UÇA) ® S(X, A)
ist eine Homotopieäquivalenz. Da die Komplexe S(U, UÇA) und S(X, A) frei sind, genügt es, wenn wir die Bijektivität der induzierten Abbildung H(U, UÇA) ® H(X, A) auf der Homologie beweisen. Aus der Homologiesequenz zur kurzen exakten Sequenz
0 ® S(U, UÇA) ® S(X, A) ® S(X,A)/S(U, UÇA) ® 0
ergibt sich, es genügt
H(S(X,A)/S(U, UÇA)) = 0
zu beweisen, d.h wir haben zu zeigen, jeder Zyklus von
K := S(X,A)/S(U, UÇA)
ist ein Rand. Ein Zyklus von K wird repräsentiert durch eine Kette zÎS(X) mit
∂z Î S(V) mit V := U È {A}.
Nach Konstruktion ist die baryzentrische Unterteilung eine natürliche Kettenabbildung SX®SX, die in der Dimension 0 mit der Identischen Kettenabbildung übereinstimmt. Dasselbe gilt für die iterierte baryzentrische Unterteilung b. Nach 3.6.3 gibt es deshalb eine natürliche Kettenhomotopie
s: b  id.
Genauer gilt id = ∂s + s∂ + b und speziell für unsere Kette z,
z = ∂sz + s∂z + bz.
Wir haben zu zeigen, z repräsentiert einen Rand von K, d.h. z ist die Summe aus einem Rand von SX und einer Kette von S(V). Mit ∂zÎS(V) gilt nun wegen der Natürlichkeit von s auch s∂zÎS(V) es genügt also, wenn wir zeigen, es gibt ein n mit
bzÎS(V).
Das ist aber gerade die Aussage des ersten Schritts.
QED.
3.7.6 Das Bukett punktierter topologischer Räume
Ein punktierter topologischer Raum ist ein Paar (X,p) bestehend aus einem topologischern Raum X und einem Punkt pÎX. Der Punkt p heißt dann Grundpunkt oder auch Basispunkt des punktierten topologischen Raums. Eine stetige Abbildung
f:(X,p) ® (Y,q)
punktierter topologischer Räume ist eine stetige Abbilung f:X®Y mit f(p) = q. Die punktierten topologischer Räume bilden eine volle Teilkategorie der Kategorie Top der topologischen Paare. Sind (X,p) und (Y,q) punktierte topologische Räume, so heißt der topologische Raum
X£Y := XÈY/PQ
(d.h. man identifiziere in der disjunkten Vereinigung die Punkte P und Q und versehe das Ergebnis mit der Faktortopologie) Bukett der Räume (X,p) und (Y,q). Das Bukett wird als punktierter topologischer Raum (X£Y,*) aufgefaßt, wobei * den Punkt bezeichnet, welcher durch das Identifizieren von p und q zustandekommt. Die Einschränkungen der natürlichen Abbildung
XÈY ® X£Y
auf die Räume X und Y identifiziert X und Y mit Unterräumen des Buketts, wobei  die Grundpunkte von X und Y zum Grundpunkt des Buketts werden. Das Bukett entsteht, indem man die Räume in ihren Grundpunkten zusammenknüpft.
3.7.7 Die Homologie eines Buketts
Seien (X,p) und (Y,q) punktierte topologischer Räume. Die Abschließung  besitze eine Umgebung UÍX derart, daß eine stetige Familie von Abbildungen
d: (U,p)®(X,p),  tÎ[0,1]
existiert mit
d=id und d(U) = {p}.
Dann induzieren die natürlichen Einbettungen
i: X ® X£Y und j:Y ® X£Y
Isomorphismen
H(X,{p})H(Y,{q}) ® H(X£Y,*)
und
X  Y ® (X£Y).
Beweis. Die beiden Isomorphieaussage sind nach 3.4.2 äquivalent: die reduzierte Homologie läßt sich identifizieren mit der relativen Homologie bezüglich eines einpunktigen Unterraumes. Betrachten wir die reduzierte Homologiesequenz des Paares (X£Y,Y). Da Y ein Retrakt von X£Y ist (die Retraktion kommt von der Projektion des Raumes X auf seinen Grundpunkt), degeneriert die Homologiesequenz nach 3.4.13 zu einer kurzen exakten Sequenz.
0 ® Y ® (X£Y) ® H(X£Y, Y) ® 0.
Da die natürliche Einbettung Y ® X£Y eine Linksinverse besitzt, zerfällt diese Sequenz, d.h. es gilt
 Y  H(X£Y, Y) @ (X£Y)
wobei die Isomorphie durch die natürlichen Einbettung Y ® X£Y und irgendeinen Schnitt von (X£Y) ® H(X£Y, Y) kommt. Es reicht deshalb, wenn wir beweisen, die natürliche Einbettung
(X,p) ® (X£Y, Y)
induziert einen Isomorphismus H(X,p) ® H(X£Y, Y). Dazu benutzen wir jetzt die Existenz der Homotopie. Bezeichne I = [0,1] das Einheitsintervall.  Sei
j: I´(U£Y) ® X£Y
die stetige Abbildung mit
j| = d: I´U ® X, (t,u) a d(u),
und
j| = pr: I´Y ® Y, (t,y) a y.
Diese Abbildung existiert (und ist stetig) weil beide Teile der Defintion auf dem Durchschnitt
(I´U)Ç(I´Y) = I´{p}
übereinstimmen: nach Voraussetzung gilt d(p) = p für jedes tÎI. Wir erhalten damit ein stetige Familie
j: (U£Y,Y) ® (X£Y,Y),
welche für t=0 die identische Abbildung und für t=1 eine Abbilung mit Werten in Y ist. Die induzierte Familie von Kettenabbildungen
H(j): H(U£Y,Y) ® H(X£Y,Y)
ist für t=1 die Null Abbildung, also für alle t identisch Null. Die natürliche Einbettung U£Y®X£Y induziert also die Nullabbildung auf der Homologie. Betrachten wir das folgende kommutative Diagramm mit exakten Zeilen.
(*)			
Die obere Zeile ist gerade die Homologiesequenz des Tripels (X£Y, U£Y, Y), die untere die des Tripels (X,U,{p}). Man beachte die Null in der oberen Zeile hat man für jeden punktierten topologischen Raum (Y,q), insbesondere  also auch im Fall, daß Y aus nur einem Punkt besteht. Dies liefert die Null in der unteren Zeile.
Die vertikalen Morphismen kommen von der natürlichen Einbettung
(X,U,{p}) Í (X£Y, U£Y, Y).
Die Projektion des Raumes Y auf seinen Grundpunkt induziert eine Abbildung in umgekehrter Richtung, deren Einschränkung auf (X,U,{p}) die Identität ist. Deshalb sind in (*) alle vertikalen Abbildungen injektiv (und besitzen eine Linksinverse).

Wir wenden jetzt den Ausschneidungssatz auf die mittlere und die rechte vertikale Abbildung an. Die Abschließung von
Y - {*} ( Í U£Y)
liegt ganz im Innern von U£Y (nachprüfen!). Deshalb können wir Y-{*} entfernen, ohne daß sich die relative Homologie ändert. Mit anderen Worten, der vertikale Homorphismus in der Mitte ist ein Isomorphismus. Nach dem Fünferlemma ist dann aber auch der vertikale Homormorphismus links bijektiv. Mit anderen Worten, die Inklusion induziert einen Isomorphismus
H(i): H(X,p)  H(X£Y, Y).
QED.
3.8 Die Mayer-Vietoris-Sequenz
3.8.1 Bezeichnungen
Seien X ein topologischer Raum und  und  zwei Unterräume. Wir bezeichnen mit
i:  ® X
die natürlichen Einbettungen. Unser Ziel in diesem Abschnitt ist es, die Beziehungen zwischen den Homologien HX und H und H zu untersuchen. Wir werden von (X, , ) als von einer Triade sprechen (Dies ist im allgemeinen kein topologisches Tripel).
3.8.2 Ausschneidungstriaden
Eine Triade (X, , ) heißt ausschneidend oder auch Ausschneidungstriade, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist.
(i)	H(i):H(, Ç) ® H( È, ) ist bijektiv.
(ii)	H(i):H(, Ç) ® H( È, ) ist bijektiv.
(iii)	(H(i),H(i)):H(, Ç)H(, Ç)®H(È,  Ç) ist bijektiv.
(iv)	H(i): HS{,} ® HS(È) = H(È) ist bijektiv.
(v)	H():H()®H() = H(È,  Ç) ist bijektiv.
(vi)	H(p):H() ® H(X,  È)=H() ist bijektiv.
Dabei bezeichne S{,} den von S und S erzeugten Teilkomplex von SÈ. Weiter seien 
i:S{,} ® S(È) und p: ® 
die natürliche Einbettung bzw. die natürliche Projektion.
Beweis. Betrachten wir die folgenden kurzen exakten Sequenzen von Kettenabbildungen.
0 ®     ®  ® 0
0 ® S{,}  S(È) ®  ® 0
0 ®     ®   ® 0
0 ®   ®    ® 0
Aus den langen Homologiesequenzen zu diesen kurzen exakten Sequenzen ergibt sich, daß die Bijektivität der Abbildungen (i), (iv),(v), (vi) äquivalent ist zu
H() = 0.
Insbesondere sind also (i), (iv),(v), (vi) äquivalent zueinander. Aus Symmetriegründen sind dann aber auch (ii), (iv), (v), (vi)  zueinander äquivalent. Die Äquivalenz von (iii) und (v) ergibt sich aus dem folgenden kommutativen Diagramm von Kettenabbildungen durch Übergang zur Kohomologie.

QED.
Beispiele
1.	Falls die Mengen  und  offen sind in È, so ist nach 3.7.3 Bedingung (iv) erfüllt, d.h. (È, ,) ist eine Ausschneidungstriade.
2.	Andere Beispiele für Ausschneidungstriaden sind sogenannte CW-Räume und ihre CW-Unterräume. Polyeder (d.h. geometrische Realisierungen von abstrakten Simplizialkomplexen) sind Spezialfälle solcher CW-Räume.
3.	Ein Beispiel für eine Triade (X,,),welche nicht ausschneidend ist, erhält man, indem man setzt X = R,  = (-∞, 0],  = (0, +∞) setzt (Man überprüfe (i)):

Das letzte Gleichheitszeichen links kommt von der Tatsache, daß (-∞,0] ein kontrahierbarer Raum ist.
Das vorletzte Gleichheitzeichen rechts kommt von der Tatsache, daß
(R, 1)
ein starker Defomationsretrakt von  (R, (0, +∞)) ist und das letzte besteht, weil die reduziierte Homologie eines kontrahierbaren Raumes Null ist.

3.8.3 Die absolute Version der Mayer-Vietories-Sequenz
Für jede Triade (X,X,X) hat man die folgende kurze exakte Sequenz von Kettenabbildungen.
0 ® S(XÇX)  SXSX  S{X,X} ® 0
Falls die Triade ausschneidend ist, so hat die zugehörige Homologiesequenz die Gestalt
...® H(XÇX)  HXHX  H(XÈX) ®H(XÇX)...
Sei heißt (absolute) Mayer-Vietories-Sequenz der Triade.
Beweis: Folgt aus Bedingung (iv) in der Definition 3.8.2 für “ausschneidend”.
3.8.4 Die relative Version der Mayer-Vietories-Sequenz
Für jede Triade  (X,X,X) hat man die folgende kurze exakte Sequenz von Kettenabbildungen.
0®         ® 0
Falls die Triade ausschneidend ist, so hat die zugehörige Homologiesequenz die Gestalt
...® H(X,XÇX)  H(X,X)H(X,X)  H(X,XÈX) ®...
Beweis. Die Exaktheit der angegebenen langen Sequenz ist eine direkte Folge der Exaktheit der Komplexsequenz und der Definition der Ausschneidungstriade (Bed. (vi)). Es genügt also, die Exaktheit der Komplexsequenz zu beweisen.
Zunächst ist leicht zu sehen, daß es sich wenigstens um einen Komplex handelt (d.h. die Zusammensetzung aufeinanderfolgender Kettenabbildungen ist Null): das ergibt sich direkt aus den Definitionen der beteiligten singulären Komplexe. Weiterhin ist klar, die rechte Kettenabbildung ist surjektiv und die linke injektiv. Es bleibt also nur noch zu zeigen, daß der Kern der rechten Kettenabbildung im Bild der rechte liegt.

Betrachten wir einen Repräsentanten eines Elements aus dem Kern der rechten Kettenabbildung. Sei also
c:=(i,i)(a,b) = a+b Î S{X,X}.
Dabei können wir annehmen, in a kommen keine Simplexe aus X vor und in b keine aus X. Dann bedeutet die Relation a+b Î S{X,X} aber, aÎSX und bÎSX. Also repräsentiert
(j,-j)(a-b) = (a-b, b-a)
dasselbe Element wie (a,b).
QED.
3.8.5 Der Zusammenhangshomomorphismus der absoluten Mayer-Vietories-Sequenz
Der Zusammenhangshomomorphismus der absoluten Mayer-Vietories-Sequenz 3.8.3 ist gerade die folgende Zusammensetzung.
H(XÈX) ®H(XÈX,X)@H(X,XÇX) ® H(XÇX)
Dabei sei der Homomorphismus links gerade durch die Einbettung
(XÈX,Æ)Í(XÈX,X)
induziert, der Isomorphismus in der Mitte komme von der Ausschneidungsbedingung (i), d.h. von der Einbettung
(X,XÇX) Í (XÈX,X),
und der Homormorphismus rechts sei der Zusammenhangshomomorphismus des Paares (X,XÇX).
Beweis. Der Beweis ergibt sich im wesentlichen aus dem Vergleich der Definitionen der beiden beteiligten Zusammenhangshomomorphismen. Sei uÎH(XÈX)=HS{X,X}. Wir wählen einen Repräsentanten von u der Gestalt
c+c Î S{X,X} mit cÎSX, cÎSX und ∂c+∂c = 0.
Um das Bild unter dem Zusammenhangshomomorphismus zu finden, müssen wir ein Urbild dieses Repräsentanten in SXSX finden. Ein solches ist (c,c). Als nächstes müssen wir den Randoperator anwenden und erhalten (∂c,∂c) = (∂c,-∂c). Von letzterem Element müssen wir ein Urbild in S(XÇX) finden. Ein solches ist ∂c. Das Bild von u beim Zusammenhangshomomorphismus der Mayer-Vietories-Sequenz wird also durch ∂c repräsentiert.
Wenn wir nun das Bild des Repräsentanten c+c von u bei den Abbildungen unseres Satzes verfolgen, erhalten wir (mit Hilfe derselben Argumentation wie eben) wiederum den Repräsentanten ∂c. Die beiden Abbildungen stimmen also überein.
QED.
3.8.6 Der Zusammenhangshomomorphismus der relativen Mayer-Vietories-Sequenz
Der Zusammenhangshomomorphismus der relativen Mayer-Vietories-Sequenz 3.8.4 ist gerade die folgende Zusammensetzung.
H(X,XÈX) ®H(XÈX,X)@H(X,XÇX) ® H(X,XÇX)
Dabei sei der Homomorphismus links gerade der Zusammenhangshomomorphismus des Tripels (X, XÈX, X), der Isomorphismus in der Mitte komme von der Aus-schneidungsbedingung (ii), d.h. von der Einbettung
(X,XÇX) Í (XÈX,X),
und der Homomorphismus rechts werde durch die Einbettung
(X,XÇX) Í (X,XÇX)
induziert.
Beweis. Sei uÎH(X,XÈX) = H(SX/S{X,X}). Wir wählen einen Repräsentanten cÎSX mit ∂c Î S{X,X}, d.h.
∂c = c + c mit cÎSX und cÎSX.
Ein Urbild in SX/SXSX/SX wird durch (c,0) repräsentiert. Anwenden des Randoperators liefert (∂c,0), und Übergang zum Urbild in SX/S(XÇX) schließlich c. Letzteres Element repräsentiert einen Zyklus von SX/S(XÇX), welcher seinerseits das Bild von u beim Zusammenhangshomomorphismus der Mayer-Vietories-Sequenz repräsentiert. Eine analoge Betrachtung für die im Satz angegebenen Abbildungen zeigt, daß deren Zusammensetzung durch diesselben Repräsentanten beschrieben wird.
QED.
3.8.7 Funktorialität der Mayer-Vietories-Sequenz
Sei f:(X, X, X) ® (Y, Y, Y) eine stetige Abbildung von Ausschneidungstriaden. Dann induziert f einen Morphismus der zugehörigen absoluten bzw. relativen Mayer-Vietories-Sequenzen.
Genauere Formulierung und deren Beweis: Übungsaufgabe.
3.8.8 Reduzierte Mayer-Vietories-Sequenz
Sei (X, X, X) eine Ausschneidungstriade mit XÇ X¹Æ. Dann besteht eine exakte Sequenz
...®(XÇX)®XX®(XÈX)®(XÇX)®...
Beweis. Wegen XÇ X¹Æ können wir einen Punkt pÎXÇ X wählen. Bezeichne P den Raum mit dem einzigen Punkt p. Dann ist (P,P,P) eine Ausschneidungstriade, denn zum Beispiel ist der erste Homomorphismus von 3.8.2 ein  Isomorphismus:
H(P, PÇP) ® H( PÈP, P).
Die natürliche Einbettung
(P,P,P) Í (X, X, X)
liefert einen Morphismus der zugehörigen Mayer-Vietorissequenzen
a: MS(P,P,P) ® MS(X, X, X).
Desweiteren ist die konstante Abbildung X ® P stetige und induzierte eine stetige Abbildung von Triaden  (X, X, X) ® (P,P,P), ihrerseits einem Morphismus von Mayer-Vietories-Sequenzen
b: MS(X, X, X) ® MS(P,P,P).
Nach Konstruktion ist b linksinvers zu a, d.h. MS(P,P,P) ist ein direkter Summand in MS(X, X, X). Durch Wegfaktorisieren des direkten Summanden MS(P,P,P) erhalten wir die angegebene reduzierte Mayer-Vietories-Sequenz.
QED.
3.8.9 Beispiel: Homologie eines Buketts
Sei (X, X, X) eine Ausschneidungstriade mit XÇ X¹Æ und (XÇX) = 0.
Auf Grund der reduzierten Mayer-Vietories-Sequenz hat man dann Isomorphismen
XX®(XÈX).
Im Fall, daß X = X£X das Bukett der beiden Räume X, X ist, erhalten wir gerade das Ergebnis von 3.7.7. Der Beweis von 3.7.7 bestand im wesentlichen gerade darin, nachzuprüfen, daß (X, X, X) unter den angegebenen Bedingungen ausschneidend ist.
3.8.10 Beispiel: Satz von Jordan
Sei (X, X, X) eine Ausschneidungstriade mit XÇ X¹Æ und (XÈX) = 0. Auf Grund der reduzierten Mayer-Vietories-Sequenz hat man dann einen Isomorphismen
(XÇX)®XX
Betrachten wir zum Beispiel eine dicke Sphäre U Í , d.h. U ist eine offene Menge welche homöomorph ist zu  ´(-1,1). Sei
F: ´(-1,1) ® U
ein Homöomorphismus. Die Menge
S := F(´{0})
heißt dann Skelett der dicken Sphäre U. Sei V :=  - S das Komplement des Skeletts. Dann ist
(, U, V)
eine Ausschneidungstriade, denn auf Grund des Satzes über kleine Simplexe ist
HS{U,V} ® H(UÈV)
ein Isomorphismus (U und V sind offen im ). Außerdem gilt
(UÈV) =  = 0.
Die reduzierte Mayer-Vietories-Sequenz liefert Isomorphismen
(UÇV)®UV.
Insbesondere erhalten wie für q=0, da U zusammenhängend ist,
(UÇV) @ UV @ V.
Weiterhin besteht der Durchschnitt UÇV aus zwei Komponenten,
UÇV = U-S » ´(-1,0) È ´(0,1),
d.h. es ist V = (UÇV) = Z, d.h V hat ebenfalls zwei Zusammenhangskomponenten. Wir haben damit einen wichtigen Spezialfall des verallgemeinerten Satzen von Jordan bewiesen:
Das Gerüst S Í  einer beliebigen dicken Sphäre teilt im Fall n>1 den  in zwei Komponenten, welche Inneres und Äußeres von S heißen.
3.8.11 Beispiel: Homologie einer Suspension
Sei (X, X, X) eine Ausschneidungstriade mit XÇ X¹Æ und X = X = 0. Auf Grund der reduzierten Mayer-Vietories-Sequenz hat man dann Isomorphismen
(XÈX)®(XÇX).
Ein interessantes Beispiel für eine solche Situation ist die Suspension SX eines topologischen Raumes X. Sie ist definiert als das Ergebnis
SX = [0,1]´X/
einer Kontraktion von Dach {0}´X und Boden {1}´X des Zylinders [0,1]´X in jeweils einen Punkt. Mit anderen Worten,  ist die Äquivalenzrelation deren Äquivalenzklassen gerade die folgenden sind.
{0}´X, {1}´X, {(t,x)} mit 0<t<1 und xÎX.
Die Menge der Äquivalenzklassen wird mit der Faktortopologie bezüglich der natürlichen Surjektion
g: [0,1]´X ® SX, (t,x) a Klasse von (t,x),
versehen. Man kann sich SX veranschaulichen als zweiseiten Kegel über X mit der Basis {}´X und den Spitzen  g(0,x) und g(1,x). Die Projektion [0,1]´Y®[0,1] induziert eine stetige Abbildung
h: SX ® [0,1], g(t,x) a t.
Die Suspension SX ist Vereinigung der beiden offenen Teilmengen
CY = h(0,1]
CY = h[0,1)
Dies sind zwei “offene Kegel” über Y und als solche sind sie kontrahierbar. Zum Beispiel erhält man wie folgt für CY eine kontrahierende Deformation.
s : CY ® CY, g(u,x) a g(tu,x).
Auf Grund der Definition der Topologie von SX ist dies eine stetige Familie. Für t=1 erhält man die identische Abbildung und für t=0, wird der gesamte Raum in die Spitze des Kegels abgebildet. Mit andere Worten, CY ist kontrahierbar. Damit ist
CY = 0 = CY.
Da die beiden Kegel offen in SX sind, ist (SX,CY, CY) ausschneidend. Insbesondere hat man Isomorphismen
(SX) = (CYÈCY)®(CYÇCY) = ((0,1)´Y) @ Y.
Es ist nicht sehr schwer, zu zeigen SS » S, sodaß man mit Hilfe der Suspension die Homologie der Sphären ausrechnen kann:
 S =  SS = S = ... = S = 
3.8.12 Die Mayer-Vietories-Sequenz eines Paars von Ausschneidungstriaden
Seien zwei Triaden (A, A, A) und (X, X, X) gegeben mit
(A, A, A) Í (X, X, X).
Dann hat man ein kommutatives Diagramm von Kettenabbildungen mit exakten Zeilen

Wenn die beiden Triaden ausschneidend sind, so induzieren die beiden linken vertikalen Abbildungen Isomorphismen auf der Homologie, und auf Grund des Fünferlemmas gilt dies dann auch für die rechte vertikale Abbildung. Nun sind alle beteiligten Komplexe frei, d.h. die Kettenabbildungen selbst sind Homotopieäquivalenzen, insbesondere ist
    .
Die folgende kurze Sequenz von Kettenabbildunge ist exakt.
0 ®  ®  ® ® 0.
Die zugehörige Homologiesequenz hat die folgende Gestalt.
...®H(XÇX,AÇA)®H(X,A)H(X,A)®H(XÈX,AÈA)
®H(XÇX,AÇA)®...
Sei heißt Mayer-Vietories-Sequenz des Triadenpaares (A, A, A) Í (X, X, X).
Im Fall A=Æ ist dies gerade die absolute Mayer-Vietories-Sequenz, und im Fall X = X= X die relative. Im Fall, daß A= A aus nur einem Punkt besteht, erhalten wir die reduzierte Mayer-Vietories-Sequenz. Ist X=X und AÍ A=X, so erhalten wir die Homologiesequenz eines Tripels.
3.8.13 Aufgaben
Simpliziale Mayer-Vietoris-Sequenzen
1.	Sei K ein Simplizialkomplex. Ein Teilkomplex von K ist eine Teilmenge K’ÍK welche selbst wieder ein abstrakter Simplizialkomplex ist (über einer möglicherweise kleineren Eckenmenge). Seien K’ und K” Teilkomplexe von K.

	(a) Zeigen Sie, dann sind auch K’ÈK” und K’ÇK” Teilkomplexe.

	(b) Konstruieren Sie kurze exakte Sequenzen von Komplexen
0® S(K’ÇK”) ® S(K’)S(K”) ® S(K’ÈK”) ® 0
0® C(K’ÇK”) ® C(K’)C(K”) ® C(K’ÈK”) ® 0
	in den geordneten bzw. orientierten Kettenkomplexen von K’,K”,K’ÇK”, K’ÈK”. Die zugehörigen langen Homologiesequenzen heißen Mayer-Vietoris-Sequenzen der geordneten bzw. orientierten simplizialen Homologie.

	(c) Zeigen Sie, für jeden SimplizialkomplexK  induzieren die natürliche Surjektion
S(K) ® C(K)
	und (bei gegebener linearen Ordung auf der Eckenmenge von K) die natürliche Injektion
C(K) ® C(K)
	einen Isomorphismus der Homologie.

3.9 Die Ausschneidungseigenschaft polyedraler Triaden
Seien K ein (kombinatorischer) Simplizialkomplex und
K’, K” Í K
zwei Teilkomplexe. Weiter seien
X := |K|, X’ := |K’| und X” := |K”|
die zugehörigen geometrischen Realisierungen. Das Ziel dieses Abschnitts ist es, zu zeigen, daß dann
(X, X’, X”)
eine Ausschneidungstriade ist .

3.9.1. Die geometrische Realisierung eines Simplizialkomplexes
Sei K ein kombinatorischer Simplizialkomplex und
|K| := È |s| , |s| := { a: s ® [0,1] : a(e) = 1},
dessen geometrische Realisierung. Für jeden Punkt aÎ|K| schreiben wir auch
a =  a(e)×e.
Die a(e) heißen auch Koordinaten von a.
Ein topologischer Raum der homöomorph ist zu einem topologischen Raum der Gestalt |K| heißt Polyeder. Falls K endlich ist, so spricht man auch von einem endlichen Polyeder. Ein topologisches Paar, welches isomorph ist in Top zu einem Paar der Gesalt
(|K|, |L|)
mit einem Teilkomplex L von K, heißt polyedrales Paar.
Wiederholung.
1.	Für jedes Simplex s = {e,...,e} ÎK mit q+1 Ecken e kann man |s| mit ∆ identifizieren vermittels der Abbildung
|s| ® ∆, a a (a(e),...,a(e)).
	Dadurch bekommt |s| die Struktur eines zu ∆ homöomorphen topologischen Raums.
2.	Eine Teilmenge AÍ|K| ist genau dann offen, wenn AÇ|s| offen ist in |s| für jedes sÎK.
3.	Eine Abbildung f:|K| ® X ist genau dann stetig, wenn die Einschränkung
f|; |s| ® X
	stetig ist für jedes sÎK.
3.9.2. Die baryzentische Unterteilung eines Simplizialkomplexes
Sei K ein kombinatorischer Simplizialkomplex und
|K| := È |s| , |s| := { a: s ® [0,1] : a(e) = 1},
dessen geometrische Realisierung. Für jedes Simplex 
s = {e,...,e} ÎK
heißt der Punkt aÎ|s| mit
a(e) =  für jedes i
Baryzentrum von |s| (oder auch von s) und wird mit b(s) bezeichnet.
Wiederholung
1.	s, |s| und b(s) bestimmen einander eindeutig:
	a) s ist der Träger von b(s):
s = {eÎV(K) | b(s)(e) ¹ 0 }.
	b) s ist die Menge der Ecken von |s|.
2.	Ist s Ì s Ì ... Ì s eine echt aufsteigende Kette von Seiten eines Simplex sÎK, so definieren die Baryzentren eine Teilmenge
|s,s,... ,s| := {  xb(s) |  x = 1, x > 0} Í |s|
	deren Abschließung ein geometrisches Simplex der Dimension q ist (d.h. es ist homöomorph zu ∆).
3.	Das geometrische Simplex |s| (sÎK) ist die disjunkte Vereinigung aller offenen Simplexe der Gestat
|s,s,... ,s| mit s Ì s Ì ... Ì s Í s.
4.	Wegen 3 ist |K| die disjunkte Vereinigung aller Simplexe der Gestalt
|s,s,... ,s| mit s Ì s Ì ... Ì s Í s Î K.
	Die Zerlegung von |K| in diese Simplexe heißt offene baryzentrische Unterteilung von |K| (bezüglich K). Die Mengen der Gestalt
{ s, s, ...,s } mit s Ì s Ì ... Ì s Í sÎK
	bilden einen kombinatorischen Simplizialkomplex K’, dessen geometrische Realisierung homöomorph ist zu der von K. Der Komplex K’ heißt baryzentrische Unterteilung von K.
3.9.3. Die baryzentrische Umgebung eines Teilpolyeders in einem Polyeder
Seien K ein kombinatorischer Simplizialkomplex und L Í K ein Teilkomplex. Dann ist die baryzentrische Unterteilung L’ von L ein Teilkomplex der baryzentrischen Unterteilung K’ von K. Die baryzentrische Umgebung von L in K ist eine Menge
B(L) = B(L)
mit
|L| Í B(L) Í |K|,
die wie folgt definiert ist.

Jedes Element von |K’| ist von der Gestalt
 xb(s) mit  x = 1, x > 0
wobei die s Simplexe von K sind mit
s Ì s Ì ... Ì s Î K.
Wir definieren B(L) als die Menge aller Punkte dieser Gestalt mit
s Î L.
Bemerkungen
(i)	Nach Konstruktion gilt
|L| = |L’| Í B(L) Í |K’| = |K|.
(ii)	B(L) ist eine offene Teilmenge von |K|.
(iii)	Für je zwei Teilkomplexe L, M von K gilt
B(LÇM) = B(L)ÇB(M).
Beweis. Zu (i): folgt unmitttelbar aus den Definitionen.
Zu (ii). Es reicht zu zeigen
B(L)Ç|s’| ist offen in |s’| für jedes Simplex s’ÎK’.
Als Simplex der baryzentrischen Unterteilung K’ hat s’ die Gestalt
s’ = { s,s,... ,s} mit s Ì s Ì ... Ì s ÎK.
Die Punkte von |s’| sind gerade die Punkte der Gestalt 
(1)				 xb(s) mit  x = 1, x ≥ 0.
Falls s nicht in L liegt, so liegt auch keines der übrigen s in L und keiner dieser Punkte liegt in B(L). Im Fall s{L gilt also
B(L)Ç|s’| = Æ,
d.h. wir erhalten eine offene Teilmenge von |s’|. Es bleibt noch der Fall
s Î L
zu betrachten. Wir wählen r≥ 0 derart, daß gilt
s Ì ... Ì s Î L und s { L.
Die Punkte von |s’| sind wieder gerade die Punkte der Gestalt (1). Sind alle x mit i≤r Null, so liegt ein solcher Punkt nicht in B(L). Ist wenigstens eines dieser x ungleich Null, so liegt der Punkt in B(L). Mit anderen Worten,
B(L)Ç|s’| = {  xb(s) Î |s’| : x+...+x > 0 }.
Also ist B(L)Ç|s’| der Durchschnitt von |s’| mit der offenen Menge
{x Î R | x+...+x > 0  }
des R, also offen in |s‘|. Wir haben gezeigt, B(L) ist offen in |K|.
Zu (iii). B(L)ÇB(M) ist die Vereinigung der offenen Simplexe
|s,s,... ,s| mit s Ì s Ì ... Ì sÎK, sÎL und sÎM.
Diese Vereinigung ist aber auch gleich B(LÇM).
QED.
3.9.4. Die baryzentrische Deformation eines polyedralen Paares
Seien K ein kombinatorischer Simplizialkomplex und L Í K ein Teilkomplex. Dann gibt es eine Homotopie
H = H: B(L) ® B(L), 0 ≤ t ≤ 1
mit
H | = Id , H = Id und H(B(L)) = |L|.
Insbesondere ist |L| ein starker Deformationsretrakt der offenen Umgebung B(L) von L und die natürliche Einbettung
|L| ® B(L)
induziert einen Isomorphismus
H(|L|) = H(B(L))
der Homologie. Die Homtopie H heißt auch baryzentrische Deformation des Paares (K,L).
Beweis. Sei s’ = { s,...,s} Î K’ ein Simplex der baryzentrischen Unterteilung von K mit
s Ì ... Ì s
und
s Ì ... Ì s Î L und s { L.
Wir definieren H auf
B(L)Ç|s’| = {  xb(s) Î |s’| : x+...+x > 0 }.
wie folgt.
(1)		H( xb(s)) := (1-t)  xb(s) +   × xb(s).

Dann ist H auf B(L)Ç|s’| eine wohldefinierte Homotopie, und für verschiedene s’ sind die Defintionen verträglich und verheften sich zu einer stetigen Abbildung
B(L)´[0,1] ® B(L), (a, t) a H(a).
Man beachte, die erste Summe rechts wird über die Baryzentren erstreckt, die nicht in |L| liegen und die zweite über die Baryzentren, die in |L| liegen. In diesem Sinne ist die Definition unabhängig von der Wahl des spezielen Simplex s’, in welchem der abzubildende Punkt liegt.

Für Punkte aus |L| ist die erste Summe auf der rechten Seite von (1) gleich Null und im Nenner vor dem zweiten Summanden steht 1, d.h. auf |L| ist H für jedes t die identische Abbildung. Für t = 0 ist der Quotient des zweiten Summanden rechts gleich 1, d.h. H ist die identische Abbildung. Schließlich ist der erste Summand für t = 1 Null und das Bild von H liegt ganz in |L|.
QED.
3.9.x. (weglassen!!!) Eine Eigenschaft der baryzentrischen Deformation
Seien K ein Simplizialkomplex und L, M Í K Teilkomplexe. Dann induziert die natürliche Einbettung
|L|Ç|M| ® B(L)Ç|M|
einen Isomorphismus auf der Homologie,
				H(|L|Ç|M|) ® H(B(L)Ç|M|).
Beweis. Nach 3.9.4 reicht es zu zeigen,
B(L)Ç|M|
ist gerade die baryzentrische Umgebung von LÇM in M. Das folgt aber aus der Definiton von B(L):

Die Punkte von |M| kann man sich als Linearkombinationen von gewissen Baryzentren von Simplexen von M geschrieben denken,
xb(s), s Î M.
 Eine solche Linearkombination liegt genau dann in B(L), wenn mindestens ein Koeffizient eines Baryzentrums eines Simplexes von L ungleich Null ist,
x ¹ 0 für ein i mit s Î L,
d.h. wenn der Punkt in der baryzentrischen Umgebung von LÇM in M liegt.
QED.
3.9.5. Die Ausschneidungseigenschaft polyedraler Triaden
Seien K ein Simplizialkomplex und L’, L” Í K zwei Teilkomplexe mit
K = L’ÈL”.
Dann ist
(|K|, |L’|, |L”|)
eine Ausschneidungstriade.
Beweis. Wir setzen
X = |K|, X’ := |L’|, X” = |L”|
und
B’ = B(L’), B” = B (L”).
Dann gilt
X = X’ È X”
und erst recht
X = B’ÈB”.
Da B’ und B” offen sind in X, ist
(X, B’, B”)
eine Ausschneidungstriade (nach Beispiel 1 von 3.8.2), d.h. die natürliche Abbildung
(B’, B’ÇB”) ® (B’ÈB”, B”) = (X, B”).
induziert einen Isomorphismus auf der Homologie. Zum Beweis der Behauptung reicht es zu zeigen, daß auch die folgenden natürlichen Abbildungen Isomorphismen auf den Homologien induzieren.
1.	(X, X”) ® (X, B”).
2.	(X’, X’ÇX”) ® (B’, B’ÇB”).
Zu 1. Die Abbildung (X, X”) ® (X, B”) induziert einen Morphismus zwischen den langen Homologiesequenzen der beiden Paare:

Dabei sind alle vertikalen Abbildungen zwischen absoluten Homologiegruppen Isomorphismen (nach 3.9.4). Also sind es auch die vertikalen Abbildungen zwischen den relativen Homologiegruppen (nach dem 5-Lemma).
Zu 2. Die Abbildung (X’, X’ÇX”) ® (X’, B’ÇB”) induziert einen Morphismus zwischen den langen Homologiesequenzen der beiden Paare:

Wie beim Beweis von 1. reicht es zu zeigen, die Inklusionen
 X’ ® B’ und X’ÇX” ® B’ÇB”
induzieren Isomorphismen auf der Homologie. Für die erste Inklusion ist das klar auf Grund von 3.9.4. Betrachten wir die zweite. Nach 3.9.4 reicht es zu zeigen,
B’ÇB” = B(L’)ÇB(L”)
ist baryzentrische Umgebung von L’ÇL” in K. Nach 3.9.3 ist aber
B(L’)ÇB(L”) = B(L’ÇL”).
QED.

4. Anwendungen auf den euklidischen Raum
4.1 Standardabbildungen zwischen Zellen und Sphären
4.1.1 Wiederholung
Wie bisher verwenden wir folgende Bezeichnungen
|| x || = 			Norm von x=(x,...,x)Î
S := {xÎ | || x || = 1}	n-dimensionale Einheitssphäre, n-Sphäre
B := {xÎ | || x || ≤ 1}	n-dimensionale Vollkugel, n-Kugel
 := {xÎ | || x || < 1}	n-dimensionale offene Vollkugel, offene n-Kugel, n-Zelle
Q:=(0,...,0,1)ÎS		Grundpunkt von S
4.1.2 Die Standardabbildungen der Vollkugel
Die folgende Abbildung heißt Standardabbildung der abgeschlossenen n-Kugel auf die n-Sphäre.
π:(B,S)®(S,Q), y a (2()×y, 2|| y ||-1) (Î´R = ).
Die folgende Abbildung heißt Standardabbildung der offenen n-Kugel auf den .
π’:®, y a  .
Die Abbildung π ist wohldefiniert. Es gilt
	||π(y)||	= 4(1-|| y ||)×|| y || + (2|| y ||-1)
		= 4×|| y || - 4×|| y || + 4×|| y || - 4×|| y || + 1
		= 1
	π(S) = {(0,2-1)} = {Q}
QED.
4.1.3 Eigenschaften der Standardabbildung π
(i)	π(Q) = S, π(p) ist einpunktig für pÎS-{Q}.
(ii)	Die Standardabbildung π:(B,S)®(S,Q) induziert einen Homöomorphismen
: B/S ® S und π: ® S-{Q}.
(iii)	Die folgende Abbildung ist die Umkehrung von π: ® S-{Q}.
r: S-{Q} ® , (z,t) a 

Man erhält also die n-Sphäre aus der n-dimensionalen Vollkugel, indem man den Rand der letzteren zu einen Punkt zusammenzieht. Anschaulich kann man sich S vorstellen als ein rundgebogenes Exemplar der “Scheibe” B, wobei der Rand von B zu einen Punkt zusammengezogen wurde.
Beweis. Zu (i). Es gilt
π(y) = Q Û )×y = 0 und 2|| y ||-1 = 1 Û || y ||=1 Û yÎS
Sei p = (z,t)ÎS-{Q}. Dann gilt
π(y) = p Û 2×)×y = z und 2|| y ||-1 = t
Im Fall z = 0 gilt t = -1, also y = 0. Sei jetzt z ¹ 0. Die Gleichungen rechts haben dann, wenn sie überhaupt lösbar sein sollten nur Lösungen der Gestalt y = l×z mit 0 ≤ l Î R. Einsetzen liefert die Bedingungen
	4×(1-| l |×|| z ||)×| l |×|| z || = || z || und 2×| l |×|| z || -1 = t
Û	4×(1-| l |×|| z ||)×| l | = 1 und | l | = 
Û	2×(1 - t)| l | = 1 und | l | = 
Û	| l | =  = 
Damit existiert höchstens ein Punkt in π(p) und die Bedingung für die tatsächliche Existenz eines Punktes ist
  =  Û || z || =1- t Û  || z || + t = 1
Letztere Bedingung ist aber erfüllt, wegen p = (z,t)ÎS.
Zu (ii). Nach (i) ist  wohldefiniert und bijektiv. Da π stetig ist, ist es auch . Damit ist  eine stetige bijektive Abbildung eines kompakten Raumes in einen Hausdorff-Raum, und als solche Abbildung ein Homöomorphismus. Die Homöomorphie von π: ® S-{Q} ergibt sich aus der von  und (i).
Zu (iii). Einfach.
QED.
4.1.4 Eigenschaften der Standardabbildung π’
Die Standardabbildung π’:® ist ein Homöomorphismus mit der Umkehrabbildung
r’: ®, z a  .
Zusammen mit 4.1.3 ergibt sich S-{Q} ≈ . Anders ausgedrückt, S ist die Einpunktkompaktifizierung des  (vgl. Stereographische Projektion).
Beweis. Offensichtlich ist r’ wohldefiniert und stetig. Für zÎ gilt
π’(r’(z)) =  /(1-||  ||) =  = z .
Analog gilt für yÎ
r’(π’(z)) =  /(1 + ||  ||) =   = y.

QED.
4.1.5 Kompakte konvexe Teilmengen des euklidischen Raumes
Sei K eine kompakte konvexe Teilmenge des , welche eine n-Kugel B enthält. Dann sind die Paare (K,∂K) und (B,∂B) homöomorph.
Beweis. Durch Verschieben und Strecken reduzieren wir den Beweis auf den Fall B=B.
1. Schritt. n: ∂K ® S, y a  ist ein Homöomorphismus.
Die Abbildung ist stetig und bildet einen kompakten Raum in einen Hausdorff-Raum ab. Es genügt also, ihre Bijektivität zu beweisen.
Die Abbildung ist surjektiv: Sei zÎ S. Bezeichne g die Gerade durch z und den Ursprung 0 Î B. Dann ist gÇK konvex und Kompakt, also ein abgeschlossenes Intervall von g @ R, welches den Ursprung enthält,
gÇK = [a,b]×z .
Der Punkt b×z liegt in K und jede Umgebung von b×z enthält Punkte des Komplements, d.h.
b×z Î ∂K
ist ein Punkt, der durch n in z abgebildet wird.
Die Abbildung ist injektiv: Für je zwei Urbilder x’, x” desselben Punktes gilt
x” = l×x’ mit l > 0.
Durch eventuelles Vertauschen von x’ und x” erreichen wir
0 < l < 1.
Es reicht zu zeigen, in dieser Situation kann x” kein Randpunkt von K sein. Es reicht also die folgende Aussage zu beweisen.

Für jedes xÎK und 0 ≤ l < 1 ist l×x ein innerer Punkt von K.

Um leteteres einzusehen, betrachten wir den Kegel, der durch Zentralprojektion von B in den Punkt x entsteht. Der Punkt l×x liegt im Innern der Strecke von 0 nach x, also ganz im Innern dieses Kegels.

Da K konvex ist, liegt außerdem dieser Kegel ganz in K, d.h. l×x ist tatsächlich ein innerer Punkt von K. Wir haben damit gezeigt, auf jeden vom Ursprung ausgehenden Strahl gibt es genau einen Punkt, welcher auf dem Rand von K liegt. Das bedeutet aber gerade, die Abbildung n ist bijektiv.
2. Schritt. Die radiale Forsetzung K®B, ly a  , 0 ≤ l ≤ 1von n ist ein Homöomorphismus.
Aus der Stetigkeit von n kann man die Stetigkeit dieser Abbildung ableiten. Aus der Bijektivität von n ergibt sich die Bijektivität der Fortsetzung. Da ein kompakter Raum in einen Hausdorff-Raum abgebildet wird, ergib sich daraus die Behauptung.
QED.
4.1.6 Folgerungen
(i)	Der n-Kubus ist homöomorph zur n-Kugel: [-1,+1]=[-1,+1]´...´[-1,+1]≈B.
(ii)	Das n-Standardsimplex ∆ ist homöomorph zur n-Kugel: ∆≈B.
(iii)	Der Rand
 = {xÎ∆ | x=0 für ein i}
	des n-Standardsimplex ist homöomorph zur (n-1)-Sphäre: ≈S.
Beweis. (i). Folgt unmittelbar aus 4.1.5.
(ii). Wir betten ∆ in den  ein vermittels der linearen Abbildung
i: ∆ ® , e a 
Es ist leicht zu sehen, daß i bijektiv ist, also i( ∆)≈∆ gilt. Außerdem ist  i( ∆) eine konvexe Menge im , welche eine Vollkugel mit dem Zentrum i() enthält. Daraus ergibt sich die Behauptung.
(iii). Der eben konstruierte Homöomorphismus ∆®B bildet den Rand  von ∆ ab in den Rand ∂B = S von B.
QED.
4.2 Die Homologie von Zellen und Sphären
4.2.1 Lemma
Sei ∆ wie bisher das n-dimensionale Standard-Simplex, 
 := {xÎ∆ | x = 0 für mindestens ein j}
dessen Rand, und
 := {xÎ∆ | x = 0 für mindestens ein j>0}
das 0-Horn von , d.h. die Vereinigung aller echten Seiten von ∆ mit Ausnahme der 0-ten. Dann bestehen folgende Isomorphien.
H(∆,)  H(,)  H(-{e},-{e})H(∆,).
Dabei seien ∂ der Zusammenhangshomomorphismus von (∆,,),
i:(,)®(-{e},-{e})
die natürliche Einbettung, und
e:(-{e},-{e}) ® (∆,)
die 0-te Seitenabbildung.
Beweis. Bijektivität von ∂. Es reicht zu zeigen, H(∆,)=0 (auf Grund der langen Homologiesequenz des Tripels (∆,,)). Die stetige Familie
h:(∆,) ® (∆,), x a (1-t)x+te,
zeigt nun, daß
({e},{e}) Í (∆,)
ein starker Deformationsretrakt ist, d.h.
H(∆,) = H({e},{e}) = 0.
Bijektivität von i. Folgt aus dem Ausschneidungssatz: Abschließung von {e} ist gleich {e} und liegt im Innern der Teilmenge  von .
Bijektivität von e. Es reicht zu zeigen, e:(∆,)®(-{e},-{e})  ist eine Homotopieäquivalenz. Die stetige Familie
s:(-{e},-{e}) ® (-{e},-{e}), x a x(t),
mit
x(t) := 
ist wohldefiniert: es gilt
x(t) = (1-t)x +   (1- x) = 1,
und aus x=0 folgt x(t)=0.
Außerdem ist die Einschränkung von s auf die 0-te Seite x=0 für alle t die identische Abbildung. Für t=0 ist s selbst die identische Abbildung. Für t=1 liegt das Bild von s ganz auf der 0-ten Seite e(∆). Mit anderern Worten, die 0-te Seite ist vermittels s ein starker Deformationsretrakt von -{e}. Die Punkte x von  (d.h. x=0 für ein j>0) werden bei s in den Rand der 0-ten Seite von ∆ abgebildet. Mit anderen Worten, durch s wird
e(∆,)
zum starken Deformationsretrakt von (-{e},-{e}). Damit ist die Behauptung bewiesen.
QED.
Bemerkung: die obige Abbildung s ist gerade die Projektion des n-Simplex aus der 0-ten Ecke auf die 0-te Seite.
4.2.2 Die Homologie von Zellen und Sphären
(i)	(S)		= 
(ii)	H(B, S)		= 
(iii)	H(R, R-{p})	= 
Beweis. Zu (ii). Es gilt
	H(B, S)	@ H(∆,)		(nach 4.1.5)
			@ H(∆,)	(nach 4.2.1)
			...
			@ H(∆,)	(nach 4.2.1)
			@ H(∆)		(wegen =Æ).
Da ∆ der einpunktige Raum ist, ergibt sich daraus die Aussage von (ii).
Zu (i). Da B kontrahierbar ist, d.h. (B) = 0 gilt, ergibt sich aus der reduzierten Homologiesequenz des Paares (B,S),
(S) @ H(B,S).
Die Aussage von (i) folgt damit aus (ii).
Zu (iii). OBdA sei p = 0 der Ursprung. Die Beispiele (ii) und (iii) von 3.5.9 (für Deformationstrakte) zeigen, die Einbettung
i:(B, S) ® (R, R-{p})
induziert Isomorphismen H(B)®H(R) und H(S)®H(R-{p}): B ist ein Deformatinsretrakt von R und S ist einer von R-{p}. Aus diesen Isomorphismen erhält man nach dem Fünferlemma mit Hilfe der Homologiesequenzen von (B, S) und (R, R-{p}), daß i auch einen Isomorphismus 
H(B, S) ® H(R, R-{p})
induziert. Damit folgt (iii) ebenfalls aus (ii).
QED.
Bemerkung
Wir sind jetzt in der Lage einige geometrische Schlußfolgerungen aus unseren Berechnungen zu ziehen.
4.2.3 Sphären und euklidische Räume mit unterschiedlicher Dimension
Sphären unterschiedlicher Dimension sind nicht homöomorph. Euklidische Räume unterschiedlicher Dimension sind nicht homöomorph.
Beweis. Für Sphären folgt dies aus 4.2.2(i). Sei h:R®R ein Homöomorphismus mit m¹n. Dann ist auch h:R-{0}®R-{h(0)} ein Homöomorphismus im Widerspruch zu 4.2.2(iii).
QED.
4.2.4 Sphären und Vollkugeln
Die Shpäre S ist kein Retrakt der Vollkugel B.
Beweis. Angenommen, es gibt eine Retraktion r:B®S. Dann ist die Zusammensetzung
SBS
mit der natürlichen Einbettung die identische Abbildung. Also ist auch
SBS
die identische Abbildung. Das ist aber unmöglich, denn es gilt S¹0 und B=0.
QED.
4.2.5 Einbettungen von Vollkugeln in den Euklidischen Raum
Sei f:B® eine stetige Abbildung.
(i)	Es gilt f(y) = 0 für ein yÎB oder f(z) = lz für ein zÎS und ein l>0.
(ii)	Es gilt f(y) = y für ein yÎB oder f(z) = lz für ein zÎS und ein l>1.
Beweis. Zu (i). Betrachten wir die Abbildung
r:B®, x a 
Insbesondere ist r(x) = f(2×x) für ||x|| =   (d.h. r ist stetig) und r(x) = x für xÎS. Falls r keine Nullstelle besitzt, so ist die Abbildung
 B ® S, x a 
eine wohldefinierte Retraktion, was nach 4.2.4 nicht möglich ist. Auf dem Rand der Vollkugel besitzt r kein Nullstelle (weil dort r(x) = x gilt), also muß es eine Nullstelle im Innern der Vollkugel geben,
r(x) = 0 für ein xÎ.
Im Fall 2×||x|| ≤ 1 folgt f(y) = 0 mit y = 4×|| x ||×xÎ. Im Fall 2×|| x || > 1 folgt
f(y) = (2×|| x || - 1)/(2-2||x||)×|| x ||×y mit y =   Î S.
Damit ist (i) bewiesen.
Zu (ii). Wir betrachten die Abbildung
g: B®, x a f(x) - x.
Nach (i) gibt es ein yÎB mit f(y) - y = 0 oder ein zÎS mit f(z) - z = lz mit l>0, d.h.
f(z) = (l+1)x.
QED.
4.2.6 Fixpunktsatz von Brouwer
Jede stetige Abbildung f:B®B der Vollkugel in sich hat mindestens einen Fixpunkt.
Beweis. Hätte f keinen Fixpunkt, so würde es nach 4.2.5(ii) ein zÎS und ein l>1 geben mit
|| f(z) || = l×|| z ||.
Wegen f(z)ÎB ist das aber nicht möglich.
QED.
4.2.7 Fundamentale Zyklen
Die identische Abbildung i:∆®∆ des n-Simplex ist ein Zyklus mod . Seine Homologieklasse erzeugt H(∆,) @ Z, .d.h.

H(∆,) = Z×[i].
Der Rand von i ist ein Zyklus des Raumes . Seine Homologieklasse erzeugt () @ Z, d.h.
() = Z×[∂i].
Beweis. Wegen (∆) = 0 liefert die reduzierte Homologiesequenz von (∆,) Isomorphismen
∂ : H(∆,) ® ().
Dieser bildet [i] in [∂i] ab. Die beiden Aussagen von 4.2.7 sind also äquivalent. Es genügt die erste zu beweisen. Wir führen den Beweis durch Induktion nach n. Für n=0 wird
H(∆,) = H(∆)
trivialerweise vom einzigen Punkt i von ∆ erzeugt. Sei jetzt bereits gezeigt, daß
H(∆,) = Z×[i]
gilt. Nach 4.2.1 wird dann
H(,)
erzeugt von i(e([i])) = [e:∆®]. Letztere Klasse ist aber gerade das Bild von
[i] Î H(∆,).
QED.
4.2.8 Produkte mit Sphären
Seien pÎS ein Punkt und Y ein beliebiger topologischer Raum. Dann bestehen folgende Isomorphien.
(i)	H(S´Y,{p}´Y) @ H(Y).
(ii)	H(B´Y,S´Y) @ H(Y).
(iii)	H(S´Y) @ H(Y)H(Y), [z] a (r[z], p[z]).
Dabei sie p:S´Y®Y die Projektion auf den zweiten Faktor und r sei induziert durch die Einbettung S´YÍ (S´Y,{p}´Y)den Isomorphismus von (i).
Beweis. Zu (ii). Die Beweise sind analog zum Beweis von 4.2.2. Wie dort haben wir (aus denselben Gründen) Isomorphismen
H((∆,)´Y)  H((,)´Y)  H((-{e},-{e})´Y)H((∆,)´Y).
Dabei sei (A,B)´Y = (A´Y,B´Y). Insbesondere ergibt sich
H((∆,)´Y) @ H((∆,)´Y) = H(Y).
Wegen (∆,) » (B,S) ist dies gerade die Aussage von (ii). 
Zu (i). Zum Beweis von (i) betrachten wir das Tripel (B´Y,S´Y,{p}´Y). Da {p}´YÍB´Y eine Homotopieäquivalenz ist, gilt
H(B´Y,{p}´Y) = 0.
Die Homologiesequenz des Tripels liefert daher,
H(B´Y,S´Y) @ H(S´Y,{p}´Y).
Damit folgt (i) aus (ii).
Zu (iii). Die Projektion S´Y ® {p}´Y , (s,y) a (p,y), ist eine Retraktion. Als solche liefert sie nach 3.4.13 eine zerfallende exakte Sequenz:
0 ® H({p}´Y) ® H(S´Y) ® H(S´Y, {p}´Y) ® 0.
Die Behauptung ergibt sich damit aus (i).
QED.
Bemerkung: die Künneth-Formeln
Die Isomorphie 4.2.8(iii) kann man auch in der folgenden Weise schreiben. Es gilt
H(X´Y) @ H(X)H(Y)
wenn einer der beiden Räume X, Y homöomorph zu einer Sphäre ist. Die eben bewiesene Isomorphie ist ein erstes Beispiel für eine sehr allgemeine Aussage, die unter dem Namen Künneth-Formeln bekannt ist. Später werden wir die graduierten Gruppen H(X) und H(Y) (genauer ihre Duale, die Kohomologiegruppen) mit einer Ringstruktur versehen. Die Künnethformeln bekommen dann die Gestalt
H(X´Y) @ H(X)H(Y)
eines Isomorphismus graduierter Ringe. Sie gelten für die Kohomologie sehr allgemeiner Räume X,Y.
Als Beispiel für die Abbildungen, die diese Isomorphie realisieren, betrachten wir die die Abbildungen
(*)		HSHS  H(S´S)  HSHS
Dabei seien die Abbildungen wie folgt definiert.
i:S®S´S,xa(x,p)
i:S®S´S,xa(p,x)
p:S´S®S,(x,y)ax
p:S´S®S,(x,y)ay
Die Komposition der Abbildungen (*) ist offensichtlich die Identität. Deshalb ist
HSHS=ZZ
ein direkter Summand von H(S´S)=ZZ. Das ist aber nur möglich, wenn die beiden Abbildung von (*) Isomorpismen sind.
4.3 Lokale Homologie
4.3.1 Vorbemerkung
Die singulären Homologiegruppen sind globale Invarianten. Räume mit unterschiedlichen Homologiegruppen können lokal isomorph sein, wie das zum Beispiel bei S und R der Fall ist. Wie wir in diesem Abschnitt sehen werden, haben einige relativen Homologiegruppen die Natur lokaler Invarianten.
4.3.2 Definition der lokalen Homologie
Seien X ein topologischer Raum und pÎX ein Punkt. Dann  heißt
H(X,X-p)
p-te lokale Homologie von X im Punkt p. Diese Bezeichnung wird durch die nachfolgende Aussage erklärt. Ein Punkt pÎX heißt abgeschlossen, wenn  = {p} gilt. Man beachte, in Hausdorff-Räumen ist jeder Punkt abgeschlossen.
4.3.3 Lokalität der lokalen Homologie
Sein X ein topologischer Raum und pÎX ein abgeschlossener Punkt. Dann induziert für jede offene Umgebung U von p die natürliche Einbettung (U,U-p) ® (X,X-p) Isomorphismen
H(U,U-p) ® H(X,X-p).
Mit anderen Worten, die lokale Homologie von X in p ist durch jede noch so kleine Umgebung von p festgelegt.
Beweis. Das Paar (U,U-p) entsteht aus (X,X-p) durch entfernen der Menge F:= X-U. Nach dem Ausschneidungssatz genügt es zu zeigen, die Abschließung von F liegt im Innern von X-p. Offensichtlich gilt
F = X-U Í X - p.
Die Behauptung folgt deshalb aus der Tatsache, daß F abgeschlossen und X-p offen ist in X.
QED.
4.3.4 p-Abbildungen und Abbildungskeime
Zum besseren Verständnis der lokalen Homologie werden wir ihr Verhalten bei Abbildungen untersuchen, d.h. ihre funktoriellen Eigenschaften. Nach 4.3.3 genügt es, die Abbildung lokal in einer Umgebung des betrachteten Punktes zu definieren.
Seien X, Y topologische Räume, pÎX ein abgeschlossener Punkt und
f: U ® Y
eine auf einer Umgebung U von p definierte stetige Abbildung. Dann heißt f p-Abbildung, wenn es eine offenen Umgebung VÍU von p gibt mit
f(V-p)ÍY-f(p)
(d.h. p liegt isoliert in der Faser f(f(p)) durch p). Eine p-Abbildung induziert einen Homomorphismus der lokalen Homologie
f: H(X,X-p) @ H(U,U-p)  H(Y,Y-f(p)).
Man sagt, zwei Abbildungen, die in einer Umgebung von pÎX definiert sind, heißen p-äquivalent, wenn sie in einer Umgebung von p übereinstimmen. Die p-Äquivalenz ist eine Äquivalenzrelation. Eine Äquivalenzklasse bezüglich dieser Relation heißt Keim im Punkt p. Der Keim der Abbildung f im Punkt p wird mit f bezeichnet.
Beispiel
Potenzreihen analytischer Funktionen sind Beispiele für Keime: zwei analytische Funktionen haben genau dann dieselbe Potenzreihe, wenn sie in einer Umgebung des Betrachteten Punktes übereinstimmen.
4.3.5 p-Abbildungen mit demselben Keim
Seien X, Y topologische Räume, pÎX und f, g zwei p-Abbildungen mit Werten in Y, die in p denselben Keim besitzen, Dann induzieren sie denselben Homomorphismus
H(X,X-p) ® H(Y,Y-q), (q:=f(p) = g(p))
auf der lokalen Homologie.
Beweis. Sei q = f(p) = f’(p) und seien U und U’ offene Umgebungen von p mit
f(U-p) Í Y-q und f’(U’-p) Í Y-q.
Nach Voraussetzung gibt es eine offene Umgebung W von p mit WÍUÇU’ und
g := f| = f’| .
Insbesondere gilt g(W-p) Í Y-q. Es genügt zu zeigen, f und g induzieren dieselbe Abbildung f = g auf der lokalen Homologie. Aus Symmetriegründen gilt dann nämlich
f = g = f’.
Betrachten wir das folgende kommutative Diagramm.

Die Abbildungen a, b und g seien induziert durch die entsprechenden natürlichen Einbettungen der topologischen Paare. Auf Grund es Ausschneidungssatzes handelt es sich um Isomorphismen. Die Kommutativität des Diagramms zeigt, daß f und g übereinstimmen.
QED.
4.3.6 Die Kategorie der Keime von p-Abbildungen
Wir definieren wir folgt eine Kategorie Top. Die Objekte von Top seien punktierte topologische Räume (X,p), wobei der Grundpunkt p von X abgeschlossen ist. Ein Morphismus
f:(X,p)®(Y,q)
von Top ist ein Keim in p einer p-Abbildung f:U®Y mit f(p)=q. Die Morphismenkomposition sei wie folgt definiet. Seien
f:(X,p)®(Y,q) und g:(Y,q)®(Z,r)
Morphismen von Top und seien
f:U®Y und g:V®Z
eine p-Abbildung und eine q-Abbildung, welche f bzw. g repräsentieren. Durch Verkleinern von U bzw. V können wir erreichen, daß gilt
g(V-q) Í Z-r und f(U-p) Í V-q.
Dann gilt aber auch (g°f)(U-p) Í Z-r, d.h. g°f ist eine p-Abbildung. Deren Keim in p bezeichnen wir mit
f°g := (g°f).
Ersetzt man f und g in der obigen Konstruktion durch andere Repräsentanten f’ und g’ von f bzw. g, so stimmen f’ und g’ in einer Umgebung von p bzw. q mit f und g überein. Die Zusammensetzung g°f stimmt also mit  g’°f’ in einer Umgebung von p überein. Dieses zeigt, der Keim  (g°f) ist unabhängig von der Wahl der verwendeten Repräsentanten. Die Komposition f°g ist somit wohldefiniert und nur von f und g abhängig. Offensichtlich ist Top mit dieser Komposition eine Kategorie.
Aussage 4.3.5 besagt gerade, die lokale Homologie faktorisiert sich über Top, definiert also für jedes q einen Funktor
			Top ® Ab, (X,p) a H(X,X-p).
4.3.7 Die lokale Homologie lokale homöomorpher Räume
Seien pÎX und qÎY abgeschlossene Punkte, welche offene Umgebungen U bzw. V besitzen, welche als punktierte Räume homöomorph sind,
(U,p) » (V,q) in Top.
Dann gilt H(X,X-p) @ H(Y,Y-q).
Beweis. Aus der Isomorphie der Paare (U,p) und (V,q) in Top folgt deren Isomorphie in Top. Dann sind aber auch (X, p) und (Y, q) isomorph in Top. Durch Anwenden des Funktors
			Top ® Ab, (X,p) a H(X,X-p).
erhalten wir die Behauptung (da Funktoren Isomorphismen in Isomorphismen überführen).
QED.
4.3.8 Invarianz der Dimension
Wenn die Punkte pÎ und qÎ homöomorphe punktierte Umgebungen U bzw. V besitzen (d.h. Umgebungen mit (U,p) » (V,q)) so gilt m=n.
Beweis. Nach 4.3.7 gilt H(, -p) @ H(,-q) für alle i. Wegen 4.2.2 ist das aber nur möglich, wenn m=n gilt.
QED.
4.3.9 Invarianz der Randeigenschaft
Werde die Menge
 := {xÎ | x≥0}
als positiver Halbraum bezeichnet. Wenn zwei Punkte p,qÎ homöomorphe punktierte Umgebungen U bzw. V besitzen (d.h. Umgebungen mit (U,p) » (V,q)), so liegen entweder beide Punkte auf dem Rand
∂ = {xÎ | x=0}
von , oder sie liegen beide im Innern
 = {xÎ | x>0}.
Mit anderen Worten, ein lokaler Homöomorphismus bildet niemals innere Punkte in Randpunkte oder Randpunkte in innere Punkte ab.
Beweis. Seien pÎ∂ ein Randpunkt und qÎ ein innerer Punkt. Die stetige Familie
h:(, -p) ® (, -p), x a tx+(1-t)q

bildet für jedes t den Punkt q in sich ab und kontrahiert (, -p) in das Paar (q,q). Mit anderen Worten, (q,q) ist ein starker Deformationsretrakt von (, -p). Insbesondere gilt
H(, -p) @ H(q,q) = 0.
Da q im Innern von , gibt es eine kleine offene Vollkugel UÍ mit dem Mittelpunkt q. Dann gilt aber
H(, -q) = H(U, U-q) = H(, -q) = Z.
Nach 4.3.7 können p und q keine punktierten homöomorphen Umgebungen besitzen.
QED.
4.3.10 Lokale und reduzierte Homologie
Seien X ein topologischer Raum und pÎX ein abgeschlossener Punkt, welcher eine  Umgebung UÍX mit U = 0 besitzt. Dann gilt für jedes q
H(X,X-p) @ (U-p).
Bemerkungen
1.	Umgebungen U mit U = 0 heißen azyklisch. Eine topologische n-Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorff-Raum in welchem jeder Punkt eine Umgebung besitzt, die homöomorph ist zu einer offenen Menge des R. Auf topologischen Mannigfaltigkeiten besitzt also jeder Punkt auch eine azyklische Umgebung.
2.	Falls U kontrahierbar ist auf einen Punkt, so ist U azyklisch.
3.	Wenn man anstelle von U = 0 nur fordert, daß die natürliche Abbildung
U ® X
	die Nullabbildung ist, so erhält man wenigstens noch
H(X,X-p) @ Ker((U-p) ®U).
Beweis. Betrachten wir das kommutative Diagramm

Die obere Zeile ist gerade ein Ausschnitt aus der reduzierten Homologiesequenz des Paares (U, U-p) und die untere der des Paares (X,X-p). Nach dem Ausschneidungssatz ist auch i ein Isomorphismus.
Ist U azyklisch, so ist auch ∂ ein Isomorphismus und wir erhalten die behauptete Isomorphie.
Unter den Voraussetzungen von Bemerkung 3 ist die erste Abbildung der oberen Zeile die Nullabbildung. Die Aussage von Bemerkung (iii) ergibt sich damit aus der Exaktheit dieser Zeile.
QED.
4.4 Der Grad einer Abbildung
4.4.1 Vorbemerkung
Jeder Endomorphismus j:Z®Z der freien zyklischen Gruppe ist durch eine ganze Zahl dÎZ gegeben, d.h. es gilt j(x) = dx für alle xÎZ. Wendet man diese Tatsache auf die Homologie von Shpären, so führt das zum Begriff des Grades einer Abbildung, welcher viele Anwendungen besitzt.
Wir benutzen hier diesen Begriff, um den Satz vom Igel (4.4.6) und den Fundamentalsatz der Algebra (4.4.9) zu beweisen.
4.4.2 Der Gradbegriff
Sei f:S®S und g:(B,S)®(B,S) stetige Abbildungen. Ihre Grade deg f bzw. deg g sind durch die Bedingung
f(x) = deg(f)×x bzw. g(x) = deg(g)×x
definiert, wobei f bzw. g die auf der Homologie (S)@Z bzw. H(B,S)@Z induzierten Abbildungen seien. 
4.4.3 Eigenschaften des Grades
(i)	deg(Id) = +1.
(ii)	deg(f°f’) = deg(f)×deg(f’).
(iii)	f  f’ Þ deg(f) = deg(f’).
(iv)	Ist f eine Homotopieäquivalenz, so gilt deg(f) = ¶1.
(v)	Für jede stetige Abbildung f:(B,S)®(B,S) gilt deg(f) = deg(f| ).
Beweis. (i) und (ii) gelten, weil der Übergang zur Homologie ein Funktor ist. (iii) und (iv) ergeben sich aus der Homotopie-Invarianz des Homologiefunktors. Eigenschaft (iv) ergibt aus der Kommutativität des folglenden Diagramms und der Tatsache, daß die vertikalen Abbildungen übereinstimmen und bijektiv sind.

QED.
4.4.4 Der Grad einiger linearer Abbildungen
(i) Der Grad einer linearen Abbildung f:(∆, )®(∆, ), welche die Ecken des Standardsimplex ∆ permutiert, ist gleich dem Vorzeichen der zugehörigen Permutation:
deg(f) = sign(f| .
(ii) Der Grad einer orthogonalen Abbildung f: S ® S ist gleich ihrer Determinante:
deg(f) = det(f).
(iii) Der Grad der antipotalen Abbildung f: S ® S, x a -x, ist gleich
deg(f) = (-1).
Beweis. Zu (i). Nach 4.4.3(ii) ist der Grad multiplikativ. Da dies auch für das Vorzeichen einer Permutation gilt und jede Permutation Produkt von Nachbartauschen ist, genügt es, die Behauptung für den Fall eines Nachbartauschs zu beweisen. Bezeichne n = (n,...,n) die lineare Abbildung
n: ∆ ® ∆ , e a e.
Wir fassen n als singuläres Simplex von ∆ auf. Für die j-te Seite n°e von n gilt:
(n,...,n)°e = (n,...,,...,n)
Wir wollen zeigen, wenn n ein Nachbartausch der Ecken ist (r=n), so gilt
	[(n,...,n)]	= sign(n)[(0,1,...,n)]
			= - [(0,1,...,n)].
Dabei bezeichne [] den Übergang zur Homologieklasse in H(∆, ). Man beachte, die identische Abbildung (0,1,...,n) von ∆ repräsentiert ein erzeugendes Element dieser Homologiegruppe. Sei n die Transposition, welche i und i+1 vertauscht,
n = (0,1,...,i-1,i+1,i,i+2,...,n).
und bezeichne m die lineare Abbildung
m = (0,1,...,i-1,i+1,i,i+1,...,n):∆®∆.
Dann gilt
∂m = (-1)(0,1,...,n) + (-1)(0,...,i-1,i+1,i,i+2,...,n) + R,
wobei der Rest R aus solchen Termen besteht, in denen eine der Ecken von ∆ nicht vorkommt. Es gilt also RÎS(). Übergang zu den Homologie-Klassen in H(∆, ) liefert
0 = [(0,1,...,n)] + [(0,...,i-1,i+1,i,i+2,...,n)],
also
n [(0,1,...,n)] = [(0,...,i-1,i+1,i,i+2,...,n)] = - [(0,1,...,n)].
Damit ist (i) beweisen.
Zu (ii). Jede orthogonale Abbilung ist Zusammensetzung von endlich vielen ebenen Drehungen und eventuel einer Spiegelung an einer Hyperebene. Es reicht also die Behauptung für ebene Drehungen und Spiegelungen zu beweisen.

Ebene Drehungen sind homotop zur identischen Abbildung. Zum Beispiel kann man im Fall
f = 
die folgende stetige Familie betrachten
f = .
Es gilt also deg(f) = +1 = det(f).
Sei jetzt f eine Spiegelung an einer Hyperfläche H. Bei geeigneter Wahl der Koordinaten können wir erreichen, H ist die Hyperebene
H: x-x = 0.
Die Abbildung f vertauscht dann gerade die ersten beiden Koordinaten,
f(x,x,x,...,x) = (x,x,x,...,x).
Wir betrachten die Abbildung, die von f induziert wird auf dem (n+1)-Simplex
 s = konvexe Hülle  von {e,e,e,...,e, -e}  Í .

Sie vertauscht die ersten beiden Ecken und läßt alle übrigen Ecken fest. Nach (i) induziert f| auf der Homologiegruppe H(s,∂s) gerade die Multiplikation mit -1,
f:H(s,∂s) ® H(s,∂s), x a -x.
Sei weiter
g: ∂s ® S , x a  ,
die Projektion auf die Einheitssphäre und
h: s ® B, tx a t×  (für xÎ∂s),
die radiale Fortsetzung von g auf ganz s. Wie wir in 4.1.5 gesehen haben, ist dies ein Homöomorphismus. Da h alle Punkte nur mit einem reellen Faktor multipliziert, kommutieren h und f, d.h. das folgende Diagramm ist kommutativ.

Durch Übergang zur Homologie sehen wir, f induziert auch auf der Homologie des Paares (B, S) die Multiplikation mit -1. Aus dem kommutativen Diagramm

(dessen vertikale Abbildungen bijektiv sind) lesen wir schließlich ab, f induziert auch auf  die Multiplikation mit -1, d.h.
deg(f) = -1 = det(f).
Zu (iii). Dies ist ein Spezialfall von (ii).
QED.
4.4.5 Stetige Abbildungen der n-Sphäre in sich.
Sei f: S ® S  eine stetige Abbildung. 
(i)	Falls f keine Fixpunkte besitzt, so gilt deg(f) = (-1).
(ii)	Falls f keine antipodalen Punkte besitzt (d.h. keine Punkte x mit f(x)=-x), so gilt deg(f) = +1.
Beweis. Zu (i). Besitzt f keine Fixpunkte, so hat die stetige Familie
d: S ® , x a (1-t)×f(x) - t×x, tÎ[0,1],
keine Nullstellen. Sie definiert deshalb eine stetige Familie
D:S ® S, x a  .
Diese Familie zeigt, daß f homotop zur antipodalen Abbildung -Id: x a -x ist, d.h. es gilt
deg(f) = deg(-Id) = det(-Id) = (-1).
Zu (ii). Hat f keine antipodalen Punkte, so hat die Abbildung g(x) := -f(x) keine Fixpunkte. Also gilt nach (i):
(-1)×deg(f) = deg(g) = (-1),
d.h. deg(f) = +1.
QED.
4.4.6 Der Satz vom Igel
Sei f: S ®  ein stetiges Tangentialvektorfeld, d.h. f sei stetig und für jedes xÎS sei f(x) ein Tangentialvektor an S im Punkt x. Dann hat f mindestens eine Nullstelle.
Beweis. Hat f keine Nullstelle, so ist
g:S ® S, x a  ,
eine wohldefinierte stetige Abbildung. Nach Konstruktion ist g(x) für jedes x ein zu x orthogonaler Einheitsvektor. Also gilt
f(x) ¹ ¶x.
Nach 4.4.5 (i) gilt also deg(f) = (-1) = -1 und nach 4.4.5(ii) ist deg(f) = +1. Dieser Widerspruch zeigt, daß f eine Nullstelle haben muß.
QED.
Bemerkungen
(i)	Eine andere Formulierung dieses Satzes lautet, ein Igel läßt sich nicht kämmen.

(ii)	Die Menge TS = {(x,v)ÎS´ | vÖx} der tangentialen Ortsvektoren an S heißt auch Tangentialbündel von S. Die Projektion auf den ersten Faktor induziert eine stetige Abbildung
π: TS ® S, (x,v) a x, Vektor a Fußpunkt,
	Die Faser über xÎS ist gerade der Raum der Tangentialvektoren
TS := π(x)
	an S im Punkt x. Dies ist ein 2-dimensionaler Vektorraum von Vektoren, die im Punkt x angreifen. Ein Tangentialvektorfeld an S ist gerade eine stetige Abbildung f: S ® TS mit π°f = id. Man nennt solche Abbildungen auch Schnitte ins Tangentialbündel.
(iii)	Das Tangentialbündel π: TS ® S ist lokal trivial, d.h. zu jedem Punkt xÎS gibt es eine offene Umgebung U von x derart, daß die Einschränkung
π| ® U
	bis auf Homöomorphie gerade die Projektion p: U´®U auf den ersten Faktor ist. Genauer, es gibt einen Homöomorphismus f:U´® derart, daß das Diagramm

	kommutativ ist und die Einschränkungen von f auf die Fasern (bijektiv und) R-linear sind. Ist zum Beispiel U eine kleine Umgebung des Nordpols und identifiziert man  mit der Äquatorebene des , so ist die folgende Abbildung ein solcher Homöomorphismus.
U´®, (u,v) a (u, v+l(u,v)u) mit l(u,v) := -<u,v>
	(Man beachte, die Linearisierung im Nordpol ist die identische Abbildung (u,v) a (u, v)).
(iv)	Die lokale Trivialität des Tangentialbündels TS legt die Frage nach der Existenz einer globalen Trivialisierung nahe, d.h. nach der Existenz eines Homöomorphismus wie in (iii) mit U = S:

	Aus dem Satz vom Igel folgt eine solche Trivialisierung f kann nicht existieren, d.h. das Tangentialbündel von S ist nicht-trivial. Andernfalls würde nämlich jeder Schnitt s von p einen Schnitt f°s von π definieren. Speziell für den Schnitt
s:S®S´, x a (x,(1,1))
	von p wäre f°s ein in jedem Punkt von Null verschiedenes Vektorfeld auf S (welches nach dem Satz vom Igel nicht existiert).
(v)	Unser nächstes Ziel ist der Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra. Wir müssen dazu einige Grade bestimmen, die sich am besten mit Hilfe des “Bigrades” berechnen lassen.
4.4.7 Der Bigrad einer Abbildung
Für jede stetige Abbildung m: S´S ® S hat die induzierte Abbildung
(1)			(Z @) HSHS @ H(S´S)  HS ( @Z).
die Gestalt m(x,x) = dx + dx mit eindeutig bestimmten ganzen Zahlen d und d. Das Paar (d,d) = deg m heißt Bigrad der Abbildung m. Seine Eigenschaften sind so ähnlich wie die des Grades. Zum Beispiel gilt das folgende Analogon von 4.4.2(ii).
Bemerkungen.
(i)	Bei der obigen Definition des Bigrades haben wir H(S´S) mit der direkten Summe HSHS identifiziert. Um die Definition des Bigrades eindeutig zu machen müssen wir genau festlegen, welchen Isomorphismus wir meinen. Um den Isomorphimus zu beschreiben, fixieren wir einen Punkt qÎS und betrachten die folgenden stetigen Abbildungen.
i:S®S´S, x a (x,q)
i:S®S´S, x a (q,x).
	Weiter sein p, p:S´S ® S die Projektionen auf die beiden Faktoren. Dann ist die folgenden Kompositon gerade die identische Abbildung.
(2)		Id: SS  (S´S)  SS
([a], [b]) a [i°a + i°b] a ([p°i°a + p°i°b],[p°i°a + p°i°b]) = ([a], [b]).
	Man beachte, p°i ist die identische Abbildung für a=b und eine konstante Abbildung für a¹b. Aus (2) lesen wir ab, SS ist ein direkter Summand von (S´S). Da beide Gruppen isomorph zu ZZ sind, ist das nur möglich, wenn die linke Abbildung von (2) (also auch die rechte) ein Isomorphismus ist. 
(ii)	Wir haben gezeigt  (p, p) und (i, i) sind zueinander inverse Abbildungen. Wir vereinbaren jetzt, daß diese den Isomorphismus von (1) realisieren sollen. Die definierende Gleichung für den Bigrad bekommt dann genauer die Gestalt.
m°(i, i)(x,x) = dx + dx
(iii)	Die Abbildungen i und i hängen von der Wahl des Basispunktes q ab, nicht jedoch die Abbildung (i, i): diese ist das Inverse der Abbilung (p, p), welche nicht von q abhängt. 
4.4.8 Eine Eigenschaft des Bigrades
Seien f:S®S´S und m:S´S ® S stetige Abbildungen. Die Abbildung f habe die Koordinatenfunktionen f, f : S®S, d.h.
f(x) = (f(x),f(x)) für alle xÎS,
und die Abbildung m habe den Bigrad (d,d). Dann gilt
deg(m°f) = d×deg(f) + d×deg(f).
Beweis.  Wir verwenden die Bezeichnungen von 4.4.6. Für xÎS gilt:
(p, p)°f(x) = (f(x), f(x)) = (deg(f)x, deg(f)x)
also:
	m°f(x)= m°(i, i)°(p, p)°f(x) (wegen Id = (i, i)°(p, p))
		= m°(i, i)(deg(f)x, deg(f)x)
		= d×deg(f)x + d×deg(f)x		(Bemerkung (ii) von 4.4.6)
QED.
4.4.9 Der Grad der Potenzabbildung
Sei S = S = {zÎC | ||z|| = 1} oder S = S = {zÎH | ||z|| = 1}. Dann hat die Abbildung
r: S ® S, z a z,
den Grad k.
Beweis. Sei
m: S´S ® S, (z,z) a z×z,
induziert durch die Multiplikation im Körper C der komplexen Zahlen bzw. im Schiefkörper H der Quaternionen. 
1. Schritt: Berechnung des Bigrades von m.

Sei (d,d) der Bigrad von m, d.h.m ist die Abbildung
m: SS  (S´S)  S
([a], [b]) a i[a]+ i[b] a mi[a] + m°i[b] = d[a] + d[b]
d.h.
mi[a]  =  d[a] und m°i[b] = d[b]
(man setze erst [b] = 0 und [a] = 0). Nun ist
m°i (x) = m(x, q) = x×q und m°i (x) = m(q, x) = q×x
mit der oben fest aber beliebig gewählten Zahl q Î S. Speziel für q = 1 (vgl. Bemerkung (iii) von 4.4.6) erhalten wir
m([a],  [b]) = [a] + [b],
d.h. m hat den Bigrad
deg m = (1,1).

 Nach 4.4.6 mit
f: S´S ®S
2. Schritt: Berechnung des Grades von r.
Es gilt r = m°(r,id). Wiederum nach 4.4.6 ist also
deg(r) = deg(r) + deg(id) = deg(r) + 1.
Da der Grad von r = Id gleich 1 ist, folgt induktiv
deg(r) = k
für jedes k.
QED.
4.4.10 Fundamentalsatz der Algebra
Jedes nicht-konstante komplexe Polynom p(z) = z + cz+...+c hat mindestens eine komplexe Nullstelle.
Beweis. Angenommen, es gibt ein nicht-konstantes komplexes Polynom p ohne Nullstelle. Wir betrachten die Abbildung
: S ® S, z a   .
Diese ist wohldefiniert und stetig. Zum Beweis der Behauptung genügt es die folgenden beiden Aussagen zu beweisen.
(i)	Hat p keine Nullstelle z mit ||z||≤1, so gilt deg() = 0.
(ii)	Hat p keine Nullstelle z mit ||z||≥1, so gilt deg() = k.
Denn dann gilt k = deg  = 0 im Widerspruch zur Annahme, daß das Polynom nicht konstant sein soll.

Beweis von (i). Wir betrachten die folgende stetige Familie.
 : S ® S, z a   .
Für t = 1 gilt  =  und für t=0 ist  eine konstante Abbildung. Also gilt
deg() = deg() = 0.
Beweis von (ii). Wir betrachten die folgende stetige Familie.
 : S ® S, z a  
mit q(z,t) := tp( ) = z + t×(cz+tcz+...+tc). Die explizite Beschreibung von q zeigt, daß die Funktion q(z,t) auch für t=0 stetig ist. Für t=1 gilt  =  und für t=0 ist  (z) = z. Also gilt
deg() = deg(z a z) = k.
QED.
Bemerkung
Der obige Beweis läßt sich auf andere Multiplikationen m:S´S®S verallgemeinern deren Bigradkomponenten positiv sind.
5 Die Homologie der Polyeder
5.1 Vergleich von simplizialer und singulärer Homologie
5.1.1 Einige Kategorien von (abstrakten) Simplizialkomplexen
Bezeichne

die Kategorie der Simplizialkomplexe, d.h. die Objekte dieser Kategorie seien die abstrakten Simplizialkomplexe, die Morphismen
K ® K’
für je zwei Objekte K, K’ von  seien die Abbildungen
f:  V(K) ® V(K)
der Eckenmenge V(K) von K in die Eckenmenge V(K’) von K’ mit der Eigenschaft, daß das Bild eines jeden Simplexes von K ein Simplex von K’ ist,
s Î K Þ f(s) Î K’.
Die Morphismen-Komposition in  sei die gewöhnliche Zusammensetzung von Abbildungen. Weiter bezeichne

die Kategorie der Paare abstrakter Simplizialkomplexen oder auch Kategorie der simplizialen Paare. Die Objekte dieser Kategorie sind die Paare
(K, L)
bestehend aus einem abstrakten Simplizialkomplex K und einem Teilkomplex L von K. Ein Morphismus
(K, L) ® (K’, L’)
ist ein Morphismus f: K ® K’ der Kategorie , dessen Einschränkung auf L ein Morphismus L ® L’ von  ist. Die Komposition ist die gewöhnliche Komposition von Abbildungen.
Weiter bezeichne

die Kategorie der geordneten Simplizialkomplexe. Die Objekte dieser Kategorie sind die abstrakten Simplizialkomplexe K, deren Eckenmengen V(K) mit einer linearen Halbordnung “≤” versehen sind. Die Morphismen sind Morphismen
f: K ® K’
von , welche die Ordnung der Ecken respektieren,
x,y Î V(K), x ≤ y a f(x) ≤ f(y).
Analog bezeichne

die Kategorie der geordneten simplizialen Paare. Die Objekte sind die Paare
(K, L)
bestehend aus zwei Objekten K und L von , wobei L ein Teilkomplex von K ist und die Eckenordnung von L mit der von K verträglich ist, d.h. die natürliche Einbettung
L ® K
ist ein Morphismus von . Die Morphismen (K, L) ® (K’, L’) von  sind Morphismen f: K ® K von  mit f(L) Í L’.
5.1.2 Einige Funktoren
(i)	Die geometrische Realisierung eines Simplizialkomplexes definiert Funktoren
|-|:  ® Top, K a |K|
	und
|-|:  ® Top, (K,L) a (|K|, |L|).
(ii)	Der Übergang zum geordneten Kettenkomplex definiert Funktoren
S:  ® K(Ab), K a S(K),
	und
S:  ® K(Ab), (K, L) a S(K, L) := S(K)/S(L)
	und man hat wie im Fall der singulären Homologie die üblichen kurzen exakten Sequenzen und langen Homologie-Sequenzen.
(iii)	Der Übergang zum orientierten Kettenkomplex definiert Funktoren
C:  ® K(Ab), K a C(K),
	und
C:  ® K(Ab), (K, L) a C(K, L) := C(K)/C(L)
	und man hat wie im Fall der singulären Homologie die üblichen kurzen exakten Sequenzen und langen Homologie-Sequenzen. Außerdem hat man eine natürliche Transformationen
S ® C
	des Funktors S in den Funktor C (auf  bzw. ) welche für jeden Simplizialkomplex K jedes geordnete Simplex (e,...,e) in das zugehörige orientierte Simplex [e,...,e] abbildet. Wie wir in den Übungen gesehen haben, induziert diese natürliche Transformation für jedes simpliziale Paar (K,L) einen Isomorphismus
H(K.L) := H(S(K,L)) ® H(C(K,L))
	auf der Homologie.
(iv)	Die Aussagen von (iii) gelten analog auch für die Kategorien  und  anstelle von  und . Außerdem hat man in dieser Situation noch eine natürliche Transformation
C ® S,
	bei welcher jedes orientierte Simplex [e,...,e] in sich selbst abgebildet wird.
	Wie wir in den Übungen gesehen haben, induziert diese natürliche Transformation für jedes simpliziale Paar (K,L) einen Isomorphismus
H(C(K,L)) ® H(S(K,L))
	auf der Homologie (der invers ist zum Isomorphismus von (iii).
(iv)	Jedes geordnete Simplex s = (e,...,e) eines Simplizialkomplexes K läßt sich mit einem singulären Simplex der Realisierung |K| identifizieren, nämlich mit dem singulären Simplex
∆ ® |K|, (x,...,x) a xe+...+xe.
	Dabei bezeichne xe+...+xe das Element aÎ|K| mit
a(e) = x für i = 0,...,q
	und a(e) = 0 für jede weitere Ecke e von K. Durch diese Identifikation wird der Komplex der geordneten Ketten von K zu einem Teilkomplex des singulären Komplexes der Realisierung,
S(K) Í S(|K|).
	Diese natürliche Einbettung definiert eine natürliche Transformation
S(-) ® S(|-|)
	von Funtoren 
 ® K(Ab).
	Für jedes simpliziale Paar (K, L) hat man ein kommutatives Diagramm natürlicher Einbettungen

	und damit nach dem Homomorphiesatz einen Morphismus von Kettenkomplexen
S(K,L) ® S(|K|, |L|).
	Es ist leicht zu sehen, daß der Morphismus injektiv ist. Diese Abbildung definiert einen funktoriellen Morphismus
S(-,-) ® S(|-|, |-|)
	von Funktoren
 ® K(Ab).
	Das Ziel dieses Abschnitts besteht darin, zu zeigen, dieser funktorielle Morphismus induziert für jedes simpliziale Paar (K, L) einen Isomorphismus
H(K.L) ® H(|K|, |L|)
	auf der Homologie.
5.1.3 Kompakte Teilmengen von Polyedern
Seien K ein Simplizialkomplex und
F Í |K|
eine kompakte Teilmenge. Dann gibt es einen endlichen Teilkomplex K’ Í K mit
F Í |K’|.
Beweis. Sei zunächst F Í |K| eine beliebige Teilmenge.
1. Schritt: Es gibt eine diskrete Teilmenge F’ von F, welche mit jedem offenen Simplex von K, welches F schneidet, genau einen Punkt gemeinsam hat.
Sie I die Menge der Simplexe von K mit der Eigenschaft, daß das offene Simplex
|s|
einen Punkt mit F gemeinsam hat. Für jedes sÎI wählen wir einen Punkt
p Î F Ç |s|
und setzen
F’ := {p}.
Weil |K| die disjunkte Vereinigung seiner offenen Simplexe ist, gilt für jedes sÎK:
F’Ç |s| = 
Jedes abgeschlossene Simplex |s|, sÎK, ist Vereinigung von endlich vielen offenen Simplexen, und in jedem dieser offenen Simplexe liegt höchstens ein Punkt von von F’. Also gilt
F’ Ç |s| ist endlich für jedes s Î K.
Letzteres gilt auf für jede Teilmenge von F’. Nach Definition der Topologie von |K| bedeutet dies:
F’ und jede Teilmenge von F’ ist abgeschlossen in |K|.
Für jeden Punkt pÎF’ ist also F’-{p} abgeschlossen, also
U = |K| - (F’-{p}) offen in |K|.
U ist eine offene Umgebung des Punkts p, die mit F’ nur den Punkt p gemeinsam hat. Wir haben gezeigt, F’ ist diskrete Teilmenge von |K|.
2. Schritt: Ist F kompakt, so gibt es einen endlichen Teilkomplex K’ von K mit FÍ|K’|.
Wir wählen die Menge F’ Í F wie im ersten Schritt. Weil F’ diskret ist und F kompakt, so muß F’ endlich sein. Zu verschiedenen offenen Simplexen von |K|, die F schneiden, gehören verschiedene Punkte von F’. Die Zahl der offenen Simplexe von |K|, die F schneiden, ist also endlich. Diese offenen Simplexe bilden zusammen mit ihren Seiten einen endlichen Teilkomplex
K’ Í K
mit F Í |K’|.
QED.
5.1.4 Der Vergleichsatz
Sei (K,L) ein simpliziales Paar. Dann ist für jedes q der natürliche Homomorphismus
H(K, L) ® H(|K|, |L|)
ein Isomorphismus.
Beweis. Wir betrachten die langen Homologie-Sequenzen des simplizialen Paares (K,L) und des polyedralen Paares (|K|, |L|). Die natürliche Transformation
S(-,-) ® S(|-|, |-|)
induziert dann einen Komplex.-Morphismus zwischen diesen Homologie-Sequenzen, d.h. wir bekommen ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen

Wir wollen zeigen, der Homomorphismus g ist für jedes q bijektiv. Nach dem Fünfer-Lemma reicht es zu zeigen, die Homomorphismen a und b sind für jedes q bijektiv. Wir könnena also annehmen,
L = Æ
ist der leere Komplex, d.h. wir können uns auf den Fall der absoluten Homologie-Gruppen beschränken Zu zeigen ist, für jeden Simplizialkomplex K induziert die natürliche Einbettung
S(K) ® S(|K|)
einen Isomorphismus auf der Homologie. Wir beweisen die Aussage zunächst für den Spezialefall, daß K ein endlicher Komplex ist.
Der Beweis im endliche Fall wird durch Induktion nach der Anzahl l der Simplexe von K geführt.
Im Fall l = 0 ist die Behauptung trivial: beide Komplexe sind gleich, nämlich in jedem Grad gleich der trivialen Gruppe. Sei jetzt l > 0. Wir wählen in K ein Simplex s mit maximaler Dimension. Die Menge aller nicht-leeren Teilmengen von s ist dann ein Teilkomplex, sagen wir
L Í K.
Dasselbe gilt für
K’ := K - {s}.
Im Fall L = K ist K ein Kegel und |K| homöomorph zu einem Standard-Simplex. Die reduzierte Homologie von S(K) und S(|K|) ist Null und
S(K) ® S(|K|)
induziert einen Isomorphismus auf der Homologie. Wir können also annehmen, L ist ein echter Teilkomplex,
L Ì K.
Nach Konstruktion gilt
K = L È K’ und |K| = |L| È |K’|
Wir betrachten die Mayer-Vietoris-Sequenzen von (K, L, K’) und (|K|, |L|, |K’|) (vgl. 3.8.3 und 3.9.5). Der funktorielle Morphismus S(-) ® S(|-|) induziert einen Komplex-Morphismus zwischen diesen Mayer-Vietoris-Sequenzen. Wir erhaltn also ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen

Wir wollen zeigen, g ist für jedes q ein Isomorphismus. Nach dem Fünfer-Lemma reicht es zu zeigen, a und b sind für jedes q Isomorphismen. Letzteres ist aber nach Induktionsvoraussetzung der Fall, da die Anzahl der Simplexe von 
LÇK’, L und K’
kleiner ist als die Anzahl l der Simplexe von K. Damit ist der Beweis im Fall endlicher Simplizialkomplexe abgeschlossen.
Sei jetzt K nicht notwendig endlich. Wir haben zu zeigen, die natürliche Einbettung
S(K) ® S(|K|)
induziert für jedes q einen Isomorphismus
H(S(K)) ® H(|K|).
Beweis der Surjektivität. Sei z Î H(|K|). Wir wählen einen Repräsentanten
z = gs+...+gs , g Î Z
von z. Jedes Simplex s hat als Bild eine kompakte Teilmenge von |K|. Nach 5.1.3 gibt es einen endlichen Teilkomplex
K’ Í K
derart, daß jedes der s bereits ein Simplex von |K’| ist. Dann repräsentiert z ein Element
[z] Î  H(|K’|).
Da die Behauptung für endliche Simplizialkomplexe richtig ist, gibt es einen geordneten Zyklus
z’ÎS(K’) Í S(K)
mit
[z’] = [z] in  H(|K’|).
Die Bilder dieser Homologie-Klassen bei der natürlichen Abbildung
H(|K’|) ® H(|K|)
sind dann aber auch gleich:
[z’] = [z] = z in H(|K|).
Wir haben gezeigt: jede Homologie-Klasse von H(|K|) wird durch eine geordnete Kette von K repräsentiert, d.h. die Abbildung ist surjektiv.
Beweis der Injektivität: Sei z’ÎKer(H(S(K)) ® H(|K|)) und
z’ÎS(K)
ein Repräsentant von z’. Dann gibt es eine singuläre Kette
c = gs+...+gs , g Î Z,
von |K| mit 
∂c = z’.
Wie oben sehen wir, daß es einen endlichen Teilkomplex
K’ Í K
gibt mit der Eigenschaft, daß c und z’ bereits Ketten von |K’| sind. Das bedeutet, die Homologie-Klasse
[z’] Î H(K’)
liegt im Kern der Abbildung H(K’) ® H(|K’|). Da letztere ein Isomorphismus ist, gilt
[z’] = 0 in H(K’),
d.h. es gibt ein geordnete Kette c’ von K’ mit z’ = ∂c’. Da c’ auch geordnete Kette von K ist, folgt
z’ = [z’] = [∂c’] = 0 in H(K).
QED.
5.1.5 Vergleichssatz für geordnete simpliziale Paare
Sei (K,L) ein geordnetes simpliziales Paar. Dann induziert die natürliche Transformation
C(-,-) ® S(|-|, |-|)
von Funktoren  ® K(Ab) für jedes q einen Isomorphismus
H(C(K, L)) ® H(|K|, |L|).
Beweis. Man kann dieselben Argumente wie im Beweis von 5.1.4 benutzen. Stattdessen kann man aber auch die in den Übungen bewiesene Tatsache verwenden, daß die natürliche Transformation
C(- , - ) ® S(- , - )
einen Isomorphismus
H(C(K, L)) ®  H(K, L)
induziert. Zusammen mit 5.1.4 ergibt sich daraus die Behauptung.
QED.
Bemerkung
Wir beenden diesen Abschnitt mit einem Hinweis auf eine einfache Konsequenz von 5.1.3.
5.1.6 Endlichkeit und Kompaktheit von Polyedern
Ein Polyeder ist genau dann kompakt, wenn es endlich ist.
Beweis. Sei K ein Simplizialkomplex. Falls |K| kompakt ist, so liegt |K| nach 5.1.3 bereits in der Realisierung eines endlichen Teilkomplexes K’ von K,
|K| Í |K’| Í |K|.
 Es folgt |K’| = |K|, also K’ = K, d.h. K ist endlich.
Ist umgekehrt K endlich, so ist |K| als Vereinigung der endlich vielen geometrischen Simplexe
|s| mit sÎK,
welche kompakt sind, ebenfalls kompakt.
QED.
5.1.7 Aufgaben
1.	Zeigen Sie, die Eulerzahl zweier endlicher Polyeder mit homöomorphen Realisierungen sind gleich.
5.2 Simpliziale Mannigfaltigkeiten
5.2.1 Vorbemerkungen
Mannigfaltigkeiten (der Dimension d), genauer, topologische d-Mannigfaltigkeiten sind Hausdorff-Räume M, die eine offene Überdeckung
M = È U
durch Mengen U besitzen, die homöomorph sind zu offenen Mengen des R. Zum Beispiel sind die Kugeloberfläche und die Oberfläche des Torus 2-Mannigfaltigkeiten.

Wir führen im folgenden Simplizialekomplexe ein, deren Realisierungen Mannigfaltigkeiten sind. Das Ziel in diesem Abschnitt ist es, die d-te Homologie dieser Polyeder zu berechnen (im kompaktn Fall).
5.2.2 Simpliziale Mannigfaltigkeiten
Ein d-dimensionaler Simplizialkomplex K heißt simpliziale Mannigfaltigkeit, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
1.	Jede Seite von K ist Seite eines d-Simplex.
2.	Jedes (d-1)-Simplex von K ist Seite von genau zwei d-Simplexen.
3.	Im Fall d > 1 ist für jede Ecke e von K der Rand des Simplex-Sterns (stK) eine zusammenhängende(!) simpliziale Mannigfaltigkeit (der Dimension d-1).
Beim Begriff der berandeten simplizialen d-Mannigfaltigkeit oder auch simplizialen d-Mannigfaltigkeit mit Rand fordert man anstelle von 2. nur
2’.	Jedes (d-1)-Simplex von K ist Seite von höchstens zwei d-Simplexen.
Die (d-1)-Simplexe, welche Seite von nur einem d-Simplex sind, und deren Teilmengen heißen Randsimplexe. Man fordert zusätzlich:
4’	Im Fall d > 1 bilden die Randsimplexe eine (d-1)-Mannigfaltigkeit.
Im folgenden wollen wir, wenn nicht ausdrücklich anders erwähnt, annehmen, daß alle Mannigfaltigkeiten zusammenhängend sind.
Eine 1-dimensionale simpliziale Mannigfaltigkeit heißt auch simpliziale Kurve. Eine 2-dimensionale simpliziale Mannigfaltigkeit heißt auch simpliziale Fläche.
Bemerkungen
(i)	Ein Simplizialkomplex der Dimension 2, der einen Komplex der Gestalt

	als Teilkomplex enthält, ist keine Mannigfaltigkeit.
(iI)	Die “richtige” Definition der simplizialen Mannigfaltigkeit K müßte eigentlich fordern, daß |K| eine Mannigfaltigkeit ist. Die oben angegebenen Bedingungen sind jedenfalls notwendige Bedingungen. Wir lassen hier offen, ob sie auch hinreichend sind. Im Flächenfalls ist dies leicht einzusehen (und es wird sich aus unseren weiteren Betrachtungen ergebenen).
5.2.3 Lemma
Seien K eine (zusammenhängende) kompakte simpliziale d-Mannigfaltigkeit,
J
die Menge der d-Simplexe von K und
J = J’ÈJ”
eine disjunkte Zerlegung von J in nicht-leere Teilmengen. Dann gibt es zwei d-Simplexe
s’ÎJ’ und s”ÎJ”
die ein (d-1)-Simplex gemeinsam haben,
dim s’Çs” = d-1.
Beweis. Weil K ein Mannigfaltigkeit ist, gilt
		|K| = F’ È F” mit
		F’ := È|s|
		F” := È |s|.
Die Mengen F’ und F” sind kompakte, also abgeschlossene Teilmengen. Weil K zusammenhängend ist, kann die Vereinigung nicht disjunkt sein,
(1)					F’ÇF” ¹ Æ.
Wir führen den weiteren Beweis durch Induktion nach d.
Der Fall d = 1 ist einfach: F’ und F” sind zwei Kantenzüge ohne gemeinsame Kante. Ihr Durchnitt muß daher aus Ecken bestehen. Jeder Punkt von F’ÇF” ist daher gemeinsame Ecke einer Kante von F’ und einer Kante von F”. Sei jetzt
d > 1. Da F’ und F” Vereinigungen von Simplexen |s| mit sÎK sind, gibt es wegen (1) sogar eine Ecke eÎK mit
e Î F’ÇF”.
Nach Definition 5.2.2 ist der Rand des Simplexsterns
(stK)
eine (d-1)-Mannigfaltigkeit. Insbesondere ist dessen Realisierung Vereinigung von (d-1)-Simplexen von K,
		|(stK)| = È |s| mit
		I = {sÎK | e{s, sÈ{e}ÎK, dim s = d-1}
Wir zerlegen die Menge I in zwei Teilmengen,
I = I’ÈI”
mit
			I’ := {sÎI : sÈ{e} Î J’}   = {sÎI : |sÈ{e}|ÍF’}
			I” := {sÎI : sÈ{e} Î J”} = {sÎI: |sÈ{e}| Í F”}.
Nach Wahl von e gibt es d-Simplexe s,s’ÎstK mite
eÎ|s|ÍF’ und eÎ|s’|ÍF”.
Entfernt man aus diesen Simplexen die Ecke e, so erhält man (d-1)-Simplexe aus I’ bzw. I”.Beide Mengen sind somit nicht leer,
I’ ¹ Æ, I” ¹ Æ.
Nach Induktionsvoraussetzung gibt es (d-1)-Simplexe
’ÎI’ und ”ÎI” mit dim ’Ç” = d-2.
Wir setzen
		s’ := ’È{e}
		s” := ”È{e}
Dann sind s’ und s” d-Simplexe von K mit
		dim s’Çs” = dim ’Ç” + 1 = d-1
und
	|s’|ÍF’ und |s”| Í F”,
d.h.
	s’ÎJ’ und s”ÎJ”.
Mit anderen Worten, s’ und s” sind Simplexe der gesuchten Art.
QED.
5.2.4 Die d-te Homologie kompakter d-Mannigfaltigkeiten
Sei K eine (zusammenhängende) kompakte simpliziale Mannigfaltigkeit der Dimension d. Dann gilt
H(|K|) @ Z oder H(|K|) = 0.
Im ersten Fall heißt K orientierbar im zweiten Fall nicht orientierbar.
Beweis. Nach 5.1.6 ist K ein endliches Polyeder. Seien
e , ... , e
die Ecken von K. Durch diese Bezeichnung ist auf der Eckenmengen von K eine lineare Halbordnung definiert. Für jedes Simplex
s = {e, ... , e} Î K mit i < i < ... < i
bezeichne
[s] = [e, ... , e] = (e, ... , e)
das zugehörige orientierte Simplex.
Weiter führen wir auf der Menge der d-Simplexe eine lineare Halbordnung “≤” ein.
1. Schritt:	Konstruktion einer Folge von d-Simplexen s,...,s und einer Folge e,...,e von “Vorzeichen”, d.h. Elementen aus {+1,-1}.
Sei
	s das erste d-Simplex von K und e = 1.
Weiter sei s das erste von s verschiedene d-Simplex von K, welches mit s eine (d-1)-Seite s gemeinsam hat. Die Zahl eÎ{+1,-1} wählen wir so, daß in den Rändern
e∂[s] und e∂[s]                  

das Simplex [s] mit entgegengesetztem Vorzeichen vorkommt, d.h. [s] kommt in
e∂[s] + e∂[s]
nur mit dem Koeffizienten Null vor. Wir werden in dieser Situation sagen, e[s] und e[s] sind kohärent orientiert.
Seien jetzt s,...,s bereits konstruiert. Dann sei
s
das erste von s,...,s verschiedene d-Simplex von K, welches mit einen der s,...,s eine (d-1)-Seite gemeinsam hat. Sei
j := j(i) Î {1,...,i-1}
die kleinste natürliche Zahl derart, daß s eine (d-1)-Seite mit s gemeinsam hat,
(1)			dim s = d-1, s := sÇs, j(i) < i.
Die Zahl e Î{+1, -1} wählen wir derart, daß e[s]  und e[s] kohärent orientiert sind, d.h. daß [s] in
e∂[s] + e∂[s]
nur mit dem Koeffizienten Null vorkommt.
Da die Zahl der d-Simplexe von K endlich ist, bricht dieses Verfahren nach endlich vielen Schritten ab und wir erhalten die endlichen Folgen
s,...,s und e,...,e .
2. Schritt: {s,...,s } ist die Menge aller d-Simplex von K.
Andernfalls gibt es mindestens ein d-Simplex sÎK, welches nicht in dieser Menge liegt. Sei
I ¹ Æ
die Menge aller dieser d-Simplexe. Nach Lemma 5.2.3 gibt es ein s und ein sÎI mit der Eigenschaft, daß die beiden d-Simplexe eine gemeinsame (d-1)-Seite haben,
dim  sÇs = d-1.
Die Menge der Simplexe von I, die mit einem s eine (d-1)-Seite haben, ist somit nicht leer. Das erste Simplex dieser Art ist aber nach dem 1. Schritt eines der s im Widerspruch zur Wahl von I. Also gilt die Behauptung.
3. Schritt: Jeder d-Zyklus von S(K) ist ein ganzzahliges Vielfaches von c :=  e[s]
Sei z ein d-Zyklus von K. Weil alle e gleich ¶1 sind, können wir z in der folgenden Gestalt schreiben.
z =  ge[s]  , g Î Z
Nach Konstruktion der Folge der s ist
s .= sÇs mit j := j(i) < i
ein (d-1)-Simplex von K. Die Simplexe s und s sind die einzigen d-Simplexe mit der Seite s. In der Summe auf der rechten Seite von
(2)				0 = ∂z =  ge ∂[s]
kommt der Summand [s] also nur zweimal vor, nämlich in ge ∂[s] und in ge ∂[s]. Nach Wahl der e  kommt [s] in e ∂[s] und e ∂[s] mit entgegengesetzen Vorzeichen vor. In der Summe von (2) heben sich die zu s gehörigen Summanden genau dann weg, wenn gilt
g = g.
Wir haben gezeigt, für jedes i > 1 ist g gleich einem früheren g. Die g sind also alle gleich, d.h. es ist
z = g×c.
4. Schritt. Berechnung von H(|K|).
Es gilt
	H(|K|) = H(C(K)).
Da K von der Dimension d ist, gilt C(K) = 0 für q > d. Es folgt
	H(|K|) = Z(C(K)).
Jeder d-Zyklus ist nach dem 3. Schritt von der Gestalt g×c.
1. Fall: c ist ein Zyklus.
Dann sind auch alle ganzzahligen Vielfachen von c Zyklen und es gilt
	H(|K|) = Z×c @ Z.
2. Fall: c ist kein Zyklus.
Dann ist auch g×c kein Zyklus, es sei denn g ist gleich Null. Damit ist
	H(|K|) = 0.
QED.

Bemerkungen
(i)	Die im Beweis konstruierte Kette c heißt, wenn sie ein Zyklus ist, fundamentaler Zyklus.
(ii)	Sind alle Koeffizienten aus F anstelle von Z, so ist c stets ein Zyklus. Deshalb gilt für jede simpliziale d-Mannigfaltigkeit K
H(|K|, F) = F×[c] @ F
	(auf Grund des obigen Beweises).
(iii)	Dieselben Betrachtungen wie oben zeigen, für jede berandete d-Mannigfaltig K mit nicht-leerem Rand und jede abelsche Gruppe gilt
H(|K|, A) = 0.
	Denn in dieser Situation ist c nie ein Zyklus: ∂c ist eine alternierende Summe der Randsimplexe der Dimension d-1.
(iv)	Im Fall d = 2 übersetzt sich die Bedingung, daß c ein Zyklus ist in die Ausage, K enthält keine berandete 2-Teilmannigfaltigkeit L Í K , deren Realisierung homöomorph zum Möbius-Band ist:
	
	Mit anderen Worten, eine Fläche ist genau dann orientierbar, wenn sie kein Möbius-Band enthält. Man beachte, bewegt man ein positiv orientiertes Koordinatensystem (“Rechtssystem”) entlang der Mittellinie des Möbius-Bandes, ist es nach einer Umrundung in ein negativ orientiertes (Linkssystem”) übergegangen.
5.2.5 Aufgaben
1.	Seien K ein Simplizialkomplex und p eine Ecke von K. Man sagt, K hat die Dimension n in p und schreibt
dimK = n,
	wenn es ein n-Simplex in K mit der Ecke p aber kein (n+1)-Simplex mit dieser Ecke gibt.
(a).	Zeigen Sie, der Simplexstern
stK := {sÎK | s Í s für ein s mit pÎsÎK}
	ist ein Teilkomplex der Dimension dimK.
(b)	Der Rand des Simplexsterns
(stK) := {sÎ stK | p{s}
	ist ein Komplex der Dimension dimK - 1.
2.	Klassifikation der Kantenzüge. Seien K ein Simplizialkomplex und n eine natürliche Zahl mit folgenden Eigenschaften. a) K besitzt ein n-Simplex. b) K besitzt kein (n+1)-Simplex. Dann heißt n Dimension von K und man schreibt
dim K = n.
	Ein Kantenzug von K ist ein 1-dimensionaler Komplex L mit folgenden Eigenschaften. a) Jede Ecke von L ist Seite von höchstens zwei Kanten (1-Simplexen) von L. b) L ist nicht disjunkte Vereinigung von zwei Teilkomplexen. Ein Kantenzug heißt geschlossen, wenn jede Ecke Seite von genau zwei Kanten ist. Ein Simplizialkomplex heißt endlich, wenn die Zahl seiner Ecken endlich ist.
(a)	Zeigen Sie, für jeden geschlossenen endlichen Kantenzug L ist die Realisierung |L| homöomorph zur Kreislinie S.
(b)	Zeigen Sie, für jeden nicht geschlossenen endlichen Kantenzug L ist die Realisierung |L| homöomorph zum Einheitsintervall [0,1]. Hinweis. Zeigen Sie, es gibt paarweise verschiedenen Kanten k,...,k und paarweise verschiedene Ecken e,...,e(,e) mit
	a)	L = { k,...,k, e,...,e(,e)}
	b)	kÇk = 
(c)	Verallgemeinern Sie die Aussagen von (i) und (ii) auf nicht notwendig endliche Kantenzüge. Hinweis. Lösen Sie zuerst Aufgabe 3.
(d)	Zeigen Sie, jeder 1-dimensionale Komplex K mit |K| = S ist ein geschlossener Kantenzug. Hinweis. Zeigen Sie, für jede Ecke pÎK besteht |stK|-{p} aus zwei Komponenten.
3.	Ein Simplizialkomplex K heißt zusammenhängend,bzw. linear zusammenhängend, wenn dessen Realisierung |K| die entsprechende Eigenschaft hat.
(a)	Zeigen Sie, K ist genau dann linear zusammenhängend, wenn sich je zwei seiner Ecken durch einen Kantenzug verbinden lassen. Hinweis. Zerlegen Sie jeden Weg in Teilstücke, die ganz in einem Simplex liegen und ändern Sie jedes Teilstück durch Hinzufügen von Strecken so ab, daß seine Endpunkte Ecken sind.
(b)	Zeigen Sie, zusammenhängende Simplizialkomplexe sind linear zusammenhängend.
4.	Zeigen Sie, die Realisierung des Randes eines Simplex-Sterns einer simplizialen Fläche ist homöomorph zu einer Kreislinie.

5.3 Kompakte simpliziale Flächen
5.3.1 Einfach zusammenhängende simpliziale Flächen
Eine simpliziale (zusammenhängende) Fläche F heißt einfach zusammenhängend, wenn für jeden (zusammenhängenden) geschlossenen Kantenzug L (ohne Selbstschnitte), die Differenz |F|-|L| nicht mehr zusammenhängend ist.
5.3.2 Struktur der einfach zuzammenhängenden simplizialen Flächen
Sei K eine einfach zusammenhängende kompakte simpliziale Fläche. Dann dann ist die Realisierung von K homöomorph zur Kugeloberfläche,
|K| @ S.
Beweis. 1. Schritt:	Satz von Jordan: Für jeden geschlossenen zusammenhängenden Kantenzug L von K ohne Selbstschnitte ist die Anzahl der Komponenten von |K| - |L| gleich 2:
H(K) @ ZZ.
Nach Definition von “einfach zusammenhängend” ist die Anzahl der Komponenten mindestens 2. Jede Komponente ist Vereinigung von offenen Simplexen. Da die Zahl der Simplexe endlich ist, ist auch die Zahl der Komponenten endlich. Seien
C , .... , C (t ≥ 2)
die Komponenten von |K| - |L|.
Eigenschaften der C :

1.	Die C sind disjunkte Vereinigungen offener Dreiecke von K.
2.	Die Abschließungen  sind Vereinigungen abgeschlossener Dreiecke von K.
3.	Die C sind abgeschlossene Teilmengen von |K| - |L|.
4.	Die C sind offene Teilmenge von |K| - |L| und damit von |K|.

Zum Beweis der Behauptung des ersten Schrittes reicht es zu zeigen, der Kantenzug |L| ist in der Abschließung jeder Komponente vollständig enthalten,
(1)				|L| Í  für alle i = 1, ... , t.

Ist nämlich l irgendeine Kante von L und sind ∆’ und ∆” die beiden Dreiecke mit der Seite l, so liegt jeder innere Punkt von |l| ganz im Innern von
(2)				|∆’| È |∆”|.
Wegen (1) enthält dann jedes  einen inneren Punkt von (2), d.h. ein Dreick von  enthält einen Inneren Punkt von (2). Da ∆’ und ∆” die beiden einzigen Dreicke sind, die an l grenzen, muß eines dieser Dreicke ein Dreick von C sein,
|∆’| Í C oder |∆”| Í C.
Da die C paarweise disjunkt sind, ist ihre Anzahl damit höchstens gleich 2.

Beweisen wir also (1). Da |L| und  endlich Vereinigungen abgeschlossener Simplexe von K sind, gilt dasselbe auch für den Durchschnitt, d.h.
(3)    Ç |L| ist disjunkte Vereinigung von endlich vielen Kantenzügen und Ecken.
Dabei ist nicht ausgeschlossen, daß die Zahl der Kantenzüge bzw. die der Ecken gleich Null ist. Zeigen wir, die Anzahl der Kantenzüge in (3) ist größer als Null. Dazu reicht es zu zeigen, mindestens eine Kante von K liegt in (3).

Seien
J
die Menge der Dreicke von K,
J’ := {sÎJ | |s| Í  }
die Menge der Dreiecke, die in  liegen und J” := J - J’ die Menge der übrigen Dreiecke. Dann ist
J = J’ È J”
eine Zerlegung von J in zwei disjunkge nicht-leere Teilmengen. Nach 5.2.3 gibt es Dreiecke
∆’ÎJ und ∆”ÎJ” mit dim ∆’Ç∆” = 1,
d.h. die beiden Dreiecke haben eine Seite l gemeinsam. Nach Konstruktion liegt diese
Seite ganz in den Abschließungen von zwei verschiedenen Komponenten, wobei eine
dieser Komponenten gleich C ist,
|l| Í  .
Wir wissen damit, 

(4) Mindestens eine Zusammenhangskomponente von  Ç |L| ist ein Kantenzug.

Angenommen, (1) ist falsch. Dann sind die Kantenzüge von (4) ein echte Teilkantenzüge des geschlossenen Kantenzugs |L|. Sie Kantenzug können also nicht geschlossen sein. Sei
l Í  Ç |L|
eine Kante, mit welcher einer der Kantenzüge, sagen wir L’, endet und sei
eÎl
die Ecke mit der er endet. Die Kante l ist Seite von genau zwei Dreiecken von K, sagen wir
l Ì ∆’ und l Ì ∆”
Da l ganz in  liegt, muß (wie wir sehen werden genau) eines der Dreiecke in  liegen, sagen wir
eÎl Ì ∆ = ∆’ Í  (also ∆”     wie wir sehen werden).

Die von l verschiedene Seite von ∆ mit der Ecke e ist Seite von genau einem weiteren Dreieck ∆ von K,
e Î ∆Ç∆ =: l
Die von l verschiedene Seite von ∆ mit der Ecke e ist Seite von genau einem weiteren Dreieck ∆ von K,
e Î ∆Ç∆ =: l
Indem wir so fortfahren erhalten wir eine Folge von Dreiecken und Kanten
∆ bzw, l 
mit
e Î ∆Ç∆ =: l.
Da die Zahl der von e ausgehenden Kanten endlich ist, ist diese Konstruktion periodisch mit einer Periode, sagen wir t, d.h. t ist die kleinste natürliche Zahl mit
∆ = ∆ , l = ∆Ç∆ = ∆Ç∆ = l.
Nach Konstruktion ist ∆ ¹ ∆, also t ≥ 2. Es kann aber auch ∆ nicht gleich ∆ sein, denn dann hätten  ∆ und ∆ zwei gemeinsame Seiten also dieselben Ecken, wären also gleich. Also gilt
t ≥ 3.
Nach Konstruktion ist ∆ das von ∆ verschiedene Dreieck mit der Seite l. Mindestens eins der Dreiecke ∆ liegt nicht in  ,
∆ = ∆”     für ein j.
Denn andernfalls wäre auch die von l verschiedene Kante von |L| mit der Ecke e ganz in  , im Widerspruch zur Wahl von e.
Sei ∆ das erste Dreieck, welches nicht mehr in  liegt
∆,...,∆ Í    , ∆     , 1 ≤ s < t.
Dann ist l = ∆Ç∆ eine von l verschiedene Kante mit der Ecke e, die ganz in
 
liegt. Dann ist aber e nicht das Ende des Kantenzuges Ç|L| im Widerspruch zur Wahl von e. Dieser Widerspruch zeigt, es gilt (1).
2. Schritt:	Für jeden geschlossenen zusammenhängenden Kantenzug L von K ohne Selbstschnitte hat jede der beiden Komponenten von |K| - |L| eine Abschließung, die homöomorph ist zur Kreisscheibe.
Seien
C’ und C”
die “abgeschlossenen Komponenten” von |K| - |L|, d.h. die Abschließungen der beiden Komponenten von |K| - |L|. Insbesondere ist dann
|K| - |L| = C’ È C” und Æ = C’ Ç C”.
Beide abgeschlossene Komponenten sind endliche Vereinigungen von (Realisierungen von) Dreiecken von K. Es reicht, die Behauptung für C’ zu beweisen. Wir führen den Beweis durch Induktion nach der Anzahl n der Dreiecke von C’,
n := Anzahl der Dreiecke von C’.
Im Fall n = 1 ist die Behauptung trivial, denn jedes abgeschlossene Dreieck ist homöomorph zu einer Kreisscheibe. Sei jetzt
n > 1.
Wegen |L| Í C’ gibt es ein Dreieck ∆ von C’, welches mit |L| eine Seite gemeinsam hat. Wir ändern L so ab, daß diese Dreieck ∆ nicht mehr zu C’ sondern zu C” gehört, und erhalten so einen geschlossenen Kantenzug L.
1. Fall: L hat keine Selbstschnitte.
Dann hat ist die eine abgeschlossene Komponente C’-  zu |K| - |L| nach Induktionsvoraussetzung homöomorph zur Kreisscheibe und C’ entsteht aus dieser Kreisscheibe durch Ankleben eines Dreiecks entlang einer oder zwei Seiten. Dann ist aber auch C’ homöomorph zur Kreisscheibe.
2. Fall: L hat einen Selbstschnitt.

Dann ist L Vereinigung von zwei zusammenhängenden geschlossenen Kantenzügen ohne Selbstschnitte,
L = L È L
mit nur einen gemeinsamen Punkt und der Eigenschaft, daß für i = 1,2 je eine der abgeschlossenen Komponenten von |K| - |L| , sagen wir C’, aus weniger Dreiecken besteht als C’ und außerdem gilt
C’ = C’ È ∆. È C’
Nach Induktionsvorausetzung ist jedes der C’ homöomorph zu einer Kreisscheibe. Also entsteht C’ durch verkleben der Kreisscheibe C’ mit der Kreisscheibe ∆ entlang eines gemeinsamen auf den Rändern liegenden Intervalls und anschließenden Verkleben mit der Kreisscheibe C’ eben entlang eines solchen Intervalls. Nach jedem Verkleben erhalten wir wieder eine Kreisscheibe (bis auf Homöomorphie).
3. Schritt: Abschluß des Beweises.
Nach dem 2. Schritt entsteht |K| verkleben von zwei Kreisscheiben entlang ihrer Ränder, d.h. |K| ist homöomorph zu einer Kugeloberfläche.
QED.

Bemerkungen
(i)	Umgekehrt ist auch jede simpliziale Fläche K mit |K| @ S einfach zusammenhängend.
(ii)	Eine kompakte simpliziale Fläche K ist genau dann einfach-zusammenhängend, wenn deren baryzentrischen Unterteilung K’ es ist.
Beweis. Zu (i). Für eine iterierte baryzentrische Unterteilung K’ von K ist der unterteilte Kantenzug L’ dick und enthält einen Punkt p, der nicht auf L’ liegt. Wegen
|K| - {p} @ R
können wir den Kurvensatz von Jordan (3.8.10) anwenden. Es gilt
H(|K| - |L| - {p}) = H(|K’| - |L’| - {p}) = ZZ,
d.h. |K| - |L| - {p} hat zwei lineare Komponenten, ist also nicht zusammenhängend. Dasselbe gilt dann aber auch für
H(|K| - |L|).
Zu (ii). Nach (i) gilt
	K einfach zusammenhängend Û |K| @ S
					Û |K’| @ S
					Û K’ einfach zusammenhängend.
QED.
5.3.3 Kompakte Flächen die nicht einfach zusammenhängend sind
Sei K eine zusammenhängende kompakte simpliziale Fläche, welche nicht einfach zusammenhängend ist. Dann tritt einer der beiden folgenden Fälle ein.
1.	Eine interierte baryzentrische Unterteilung enthält einen Teilkomplex
L Í K,
	desssen Realisierung homöomorph ist zu einem (kompakten) Möbiusschen Band M.
	
2.	Eine interierte baryzentrische Unterteilen enthält einen Teilkomplex
L Í K,
	desssen Realisierung homöomorph zu einer Torus-Oberfläche, aus der eine offene Kreisscheibe entfernt wurde ( zu einer Handel).
	
Beweis. Nach Voraussetzung gibt es einen zusammenhängenden geschlossenen Kantenzug C ohne Selbstschnittte mit der Eigenschaft, daß 
|K| - |C|
zusammenhängend ist. Beginnend mit einer Ecke 
e Î C
durchlaufen wir die Kurve |C|, wobei wir uns vorstellen, daß wir immer links neben der Kurve herlaufen. Wenn wir wieder bei der Ecke ankommen, gibt es zwei Möglichkeiten.

1. Wir befinden uns rechts neben der Kurve |C|.
2. Wir befinden uns links neben der Kurve |L|.

Im ersten Fall enthält eine iterierte baryzentrische Unterteilung von K einen Teilkomplex welcher homöomorph ist zu einem Möbiusschen Band, d.h. es tritt der erste Fall ein. 

Nehmen wir jetzt an, der erste Fall tritt nicht ein, d.h. keine iterierte baryzentrische Unterteilung von K enthält einen Teilkomplex, desssen Realisierung homöomorph ist zu einem Möbius-Band. Statt eines Möbiusbandes liefert die obige Konstruktion einen Streifen, der homöomorph ist zu [-1, +1]´S,

Wir betrachten eine von e ausgehende Kante l von C und die beiden Dreiecke ∆’ und ∆” von K von denen l eine Seite ist,
e Î l = ∆’ Ç ∆” Í |C|.
Wir stellen uns vor, ∆’ liegt auf der linken Seite der Kurve |C| und ∆” auf der rechten. Seien
b’ := b(∆’) , b” := b(∆”)
die Baryzentren dieser Dreiecke. Weil |K| - |C| zusammenhängende ist, gibt es einen zusammenhängenden Kantenzug der baryzentrischen Unterteilung K’ von K, welcher b’ mit b” verbindet und ganz in |K| - |C| verläuft. Wir schließen diesen Kantenzug indem wir b’ und b” verbinden und wiederholen die obige Konstruktion mit diesem neuen Kantenzug (indem wir “links” neben diesem Kantenzug entlanglaufen). Erneut erhalten wir anstelle eines Möbiusbandes einen zu [-1, +1]´S homöomorphen Streifen:

Durch Vereinigung der beiden Streifen erhalten wir einen Unterraum der homöomorph ist zu einem Raum der folgenden Gestalt:

Dieser Unterraum ist homöomorph zu Räum der folgenden Gestalt:

QED.
Bemerkungen
(i)	(M) = (M) = Z,
	denn M enthält eine Kreislinie (in der “Mitte”), welche starker Deformationsretrakt von M ist.
(ii)	H(T) @ Z , H(T) @ ZZ, H(T) = 0
Beweis von (ii). Da T zusammenhängend ist, gilt
H(T) @ Z,
und da T eine berandete 2-Mannigfaltigkeit ist mit nicht-leerem Rand, folgt
H(T) = 0.
Beweisen wir die mittlere Isomorphie-Aussage. Nach dem Aussschneidungssatz gilt
H(T, ∂T) = H(T, ∆) = (T),
wenn T eine Torusoberfläche und ∆ eine darauf liegende Kreisscheibe bezeichnet. Insbesondere ist
H(T, ∂T) = Z und H(T, ∂T) = ZZ.
Die relative Homologie-Sequenz des Paares (T, ∂T) hat die Gestalt
H(T, ∂T)  H(∂T)  H(T)  H(T, ∂T)  H(∂T)H(T)
Dabei ist e die identische Abbildung Z®Z, d.h.
d = 0.
Der verbleibende Teil der Sequenz hat damit die Gestalt
(Z=)H(T, ∂T)  H(∂T)  H(T)  ZZ ® 0.
Nun ist ∂T homöomorph zur Kreislinie, die erste Homologie wird deshalb von der Klasse des Fundatmentalzyklus erzeugt. Diese liegt aber im Bild von a (man betrachte die Summe der Dreiecke von T). Also ist a surjektiv, also b identisch Null d.h. es gilt
H(T) @ ZZ.
QED.

5.3.4 Adjunktion von Möbiusbändern und Handeln
Sei K eine simpliziale Fläche. Wir entfernen aus |K| eine offene Kreisscheibe und kleben entlange der Rand-Linie dafür ein Möbius-Band oder eine Handel ein. Von der entsttehenden simplizialen Fläche sagt man, sie sei aus K durch Adjunktion eines Mobiusbandes bzw. einer Handel entstanden.
Bemerkungen
 (i)	Bei Adjunktion eines Möbiusbandes geht jede Fläche über in eine nicht-orientierbare.
(ii)	Bei Adjunktion einer Handel geht eine orientierbare Fläche ein eine orientierbare über.
(iii)	Bei Adjunktion einer Handel geht eine nicht orientierbare Fläche über in eine nicht-orientierbare.
5.3.5 Klassifikation der kompakten simplizialen Flächen
Sie X die Realisierung einer kompakten simplizialen Fläche. 
(i)	X enststeht aus der Kugeloberfläche durch Adjuktion von endlich vielen Möbius-Bändern.
(ii)	Ist X orientierbar, so entsteht X aus der Kugeloberfläche durch Adjunktion von endlich vielen Handeln.
Beweis. Falls X einfach zusammenhängend ist, so ist X eine Kugeloberfläche und die Aussage ist trivial. Sei jetzt X nicht einfach zusammenhängend. Dann enthält X ein Möbius-Band oder eine Handel:
M Ì X oder T Ì X.
Wir schreiben Y := M bzw. Y := T und
X = Y È Z,
wobei Z Ì X ein Teilpolyeder ist, welches mit Y nur die Randpunkte gemeinsam hat. Weiter enstehe
W
aus Z durch Verkleben entlang der Kreislinie mit einer Kreisscheibe. Mit anderen Worten,
X einsteht aus W durch Adjunktion eines Möbius-Bandes bzw. einer Handel.
Wir haben noch zu zeigen, durch Wiederholung der obigen Konstruktion erhält man nach endlich vielen Schritten eine einfach zusammenhängende simpliziale Fläche, d.h. der Prozeß bricht ab. Dazu reicht es zu zeigen,
dim (X, F) > dim (W, F)
(da diese Dimensionen für kompakte simpliziale Flächen endlich und immer ≥ 0 sind).

Wir betrachten die reduzierte Mayer-Vietoris-Sequenz der polyedralen Triade (X, Y, Z):
	(Y)(Z) (X)(YÇZ)(Y)(Z)(X)
		(YÇZ)  (Y)(Z)  (X) ® 0
Der untere Teil der Sequenz hat die Gestalt
		Z  ZZ  Z ® 0
Also ist z injektiv, also e gleich Null, also d surjektiv. Die direkte Summe, auf welcher a definiert ist, ist Null, also ist a gleich Null, also b injektiv. Weiter ist YÇZ eine Kreislinie, d.h.
(YÇZ) = Z
wobei 1ÎZ gerade dem fundamentalen Zyklus entspricht.Wir erhalten die Exaktheit von
(1)				0®(X)Z(Y)(Z)(X)®0.
1. Fall: X enthält kein Möbius-Band, dagegen aber eine Handel Y = T .
Dann ist X orientierbar, d.h.
(X) = Z.
Die exakte Sequenz (1) hat die Gestalt
0®ZZZZ(Z)(X)®0.
Die beiden Komponenten des Bildes von 1ÎZ bei g ensprichen gerade der gemeinsamen Randlinie von Y und Z. In  der erstem Homlogie von Y und Z repräsentiert diese die Null (sie ist im wesentliche gerade gleich ∂Y bzw. ∂Z). Insbesondere ist g identisch Null und damit d ein Isomorphismus, 

(X) @ ZZ(Z).
Analog erhalten wir für die Homologie mit Koeffizienten aus F :
dim (X, F) @ dim (Z, F) + 2.
Ersetzt man in den obigen Betrachtungen Y durch eine Kreisscheibe (und nutzt die Tatsache, daß die reduzierte Homologie letzterer trivial ist) so erhält man in analoger Weise
(Z) @ (W).
Es folgt
dim (X, F) = dim (W, F) + 2 > dim (W, F).

2. Fall: Y = M ist ein Möbius-Band.
Die Fläche X ist nicht orientierbar, d.h.
(X) = 0,
und die Sequenz (1) bekommt die Gestalt
(2)				0 (Z = ) (YÇZ)(Y)(Z)(X)®0.
Diese Sequenz ist weniger einfach zu analysieren als im ersten Fall. Wir gehen deshalb zur Homologie mit Koeffizienten aus F über. Es gilt
(X, F) = 0.
Die zu (1) analoge exakte Sequenz für die Homologie mit Koeffizienten aus F hat die Gestalt
	0®(X,F)F(Y,F)(Z,F)(X, F)®0.
also die Gestalt
0®FFF(Z,F)(X,F)®0.
Da sie exakt ist, ist die alternierende Summe der Dimensionen der auftretenden Räume gleich Null, d.h.
dim (X,F) = (Z,F) +1.
Ersetzt man in allen Betrachtungen Y durch eine Kreisscheibe (und nutzt die Tatsache, daß die reduzierte Homologie letzterer trivial ist) so erhält man in analoger Weise
(Z,F) @ (W,F)
zusammen also
dim (X,F) = (W,F) +1.
QED.
Bemerkungen
(i)	Aus dem Beweis ergibt sich, für jede orientierbare kompakte simpliziale Fläche ist
dim (X, F) = F und dim (X) = Z.
	Dabei ist g die Anzahl der Handeln, die man zur 2-Sphäre adjungieren muß um X zu erhalten. Diese Zahl heißt Geschlecht von X.
(ii)	Für jede nicht-orientierbare kompakte simpliziale Fläche gilt
H(X) ¹ 0.
Beweis von (ii). Im Fall einer nicht-orientierten Fläche X haben wir wie im obigen Beweis eine exakte Sequenz (2),
				0 (Z = ) (YÇZ)(Y)(Z)(X)®0.
mit
X = Y È Z, S =  Y Ç Z und Y = M

ein Möbiusband. Es reicht zu zeigen, d ¹ 0. Dazu reicht es zu zeigen,
g ist nicht surjektiv.
Zum Beweis schreiben wir
g(1) = (u, v)
 für das Bild des Fundamentalzyklus von YÇZ bei g. Wir zerlegen das Möbiusband

entlang  der Mittellinie g und erhalten eine berandete Mannigfaltigkeit, deren Rand aus zwei Kreislinien besteht.

Diese Mannigfaltigkeit ist homöomorph zu einem Zylinder
S´[0, 1]
über einer Kreislinie, wobei die eine Randkomponente gerade dem Rand von M und die andere der Mittellinie von M entspricht. Genauer entspricht diese zweite Randkomponente dem Doppelten der Mittellinie. Die obere und die untere Kreislinie des Zylinders sind aber homolog: ihre Differenz ist gerade der Rand des Zylinders. Für das Möbiusband bedeutes dies: der Rand des Möbiusbandes ist homolog zum doppelten der Mittellinie:
[∂M] = 2[g] in (M) = (Y) @ Z
Die zweiten Koordinaten von g sind also alle ein geradzahliges Vielfaches von [g],
Im g Í (2×(Y))(Z)
Insbesondere ist g nicht surjektiv.
QED.
5.3.6 Homologische Charakterisierung der einfach zusammenhängenden Flächen
Seien K ein kompakte simpliziale Fläche. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
(i)	K ist einfach zusammenhängend.
(ii)	H(K) = 0.
Beweis. (i) Þ (ii). Nach 5.3.3 ist |K| homöomorph zu S. Also gilt
H(K) = H(|K|) = H(S) = 0.
 (ii) Þ (i). Angenommen K ist nicht einfach zusammenhängend. Nach Bemerkung 5.3.8(ii) ist K zumindest orientierbar. Deshalb gibt es eine iterierte baryzentrische Unterteilung K’ von K und einen Teilkomplex
L’ Í K’
mit der Eigenschaft, daß |L’| homomorph ist zu einer Handel,
|L’| @ M oder |L’| @ T .
Sei
L” Í K’
der Teilkomplex, dessen Dreiecke gerade die Dreiecke von K’ sind, die nicht zu L’ gehören. Dann gilt
K’ = L’ÈL”
und wir haben eine Mayer-Vietoris-Sequenz
H(K’)  H(L’ÇL”)  H(L’)H(L”)  H(K) (= 0).
Da die Realisierung von L’ÇL” gerade S ist, gilt H(L’ÇL”) = Z. Nach Konstruktion ist |L’ÇL”| die Kreislinie. Die erste Homologie wird also vom Fundamentalzyklus erzeugt.

Nach 3.8.5 ist a gerade die Zusammensetzung

(1)		H (K’) ®H (K’, L”)@H(L’,L’ÇL”) ® H (L’ÇL”)
Dabei kommt der Isomorphismus in der Mitte vom Ausschneidungssatz, d.h. von der Inklusion
(L’,L’ÇL”) ® (K’, L”).

Verfolgen wir das Bild des Fundamentalzyklus von K’. In H (K’, L”) wird dieses Bild repräsentiert von einer Summe orientierter Simplexe von L’. dasselbe gilt für das Bild in H(L’,L’ÇL”).

Der rechte Homomorphismus von (1) ist der Zusammenhangshomomorphismus zum Paar (L’, L’ÇL”). Das Bild eines Erzeugenden Elements von H(K’)  bei a wird deshalb repräsentiert durch den Fundamentalzyklus des Randes L’ÇL” von L’, ist also ein erzeugendes Element von H(L’ÇL”), Wir haben damit gezeigt, a ist surjektiv. Dann ist b aber gleich Null.

Wir erhalten die Exaktheit von
0 ® H(L’)H(L”)  0.
Dann ist aber
H(L’) = H(L”) = 0.
Das steht aber im Widerspruch zu
|L’| @ T .
QED.
Anhang
1. Untergruppen freier abelscher Gruppen
1.1 Wohlgeordnete Mengen
Eine geordnete Menge heißt wohlgeordnet, wenn jede ihrer Teilmengen ein kleinstes Element m hat (d.h. m ist vergleichbar mit allen anderen Elementen und ≤ mit diesen).

1.2 Satz von Zermelo
Jede Menge kann wohlgeordnet werden.
Die Aussage ist zum Zornschen Lemma und zum Auswahlaxiom der Mengenlehre äquivalent. Einen Beweis kann man finden  auf den Seiten 13-16 des Buches von  A.G.Kuro: Vorlesungen über allgemeine Algebra, Teubner, Leipzig 1964.

1.3 Satz über die Untergruppen freier abelscher Gruppen
Jede Untergruppe einer freien abelschen Gruppe ist frei.
Beweis. Sei
F :=  
(mit  = Z für jedes i) eine freie abelsche Gruppe und sei
UÍF
ein Untergruppe. Wir haben zu zeigen, U ist frei. Zum Beweis können wir annehmen, daß I eine wohlgeordnete Menge ist. Wir setzen
U := UÇ  = {(z)ÎU | z = 0 für alle j mit i≤j}
V := UÇ  = {(z)ÎU | z = 0 für alle j mit i<j}
Sei weiter
p : F =   ® Z, (z) a z ,
die Projektion auf den i-ten Faktor. Dann ist p(V) eine Untergruppe von Z, also von der Gestalt
(1)						p(V) = pZ
mit  einer ganzen Zahl p. Wir wählen ein vÎV mit p(v) = p. Im Fall p=0 wollen wir für v das Nullelement von F wählen.
Behauptung 1: V = Z×v + U
Die Inklusion “ ” ist trivial. Beweisen wir die umgekehrte Inklusion. Für x = (x)ÎV ist wegen (1) die Koordinate x ein Vielfaches von p und wir können schreiben
x =  v + (x -  v)
mit ÎZ. Wegen x, vÎV ist der zweite Summand rechts ein Element von V , dessen i-te Koordinate Null ist:
p(x -  v) = x -  p = 0.
Mit anderen Worten, dieser zweite Summand liegt in U (Í V). Also gilt xÎZ×v + U.
Behauptung 2: Die von Null verschiedenen Elemente unter den v sind linear unabhängig (über Z).
Angenommen es gilt
av+...+av = 0
für gewisse aÎZ, wobei sämtliche a und v  ungleich Null seien. Wir müssen zeigen, dies ist unmöglich. Dazu können wir annehmen, 
i > i > ... > i
bezüglich der Wohlordnung von I. Dann ist vÎF das einzige Element in dieser Linearkombination, dessen i-te Koordinate ungleich Null ist. Da aungleich Null sein soll, muß die i-te Koordinate von v ebenfalls Null sein. Diese i-te Koordinate ist aber gerade p, d.h. es gilt p=0. Dann ist aber v=0 im Widerspruch zu Wahl der v.
Behauptung 3: Die die Elemente v mit j≤i erzeugen die Untergruppe V:
Sei J die Menge aller i, für die diese Aussage falsch ist.
J := {iÎI | V wird nicht erzeugt von den v mit j≤i}
Wir haben zu zeigen, diese Menge ist leer. Angenommen, sie ist nicht leer. Dann besitzt sie als Teilmenge von I ein kleinstes Element . Für alle i< ist die Behauptung also richtig. Es reicht zu zeigen, jedes Element xÎV ist ganzzahlige Linearkombination von gewissen v mit j≤i. Nach der bewiesenen Behauptung 1 gilt zumindest
(2)				x = a×v+u mit aÎZ und uÎU.
Nach Definition von Usind die i-te Koordinate und alle späteren Koordinaten gleich Null. Als Element einer direkten Summe hat u nur endlich viele von Null verschiedene Koordinaten. Sei die j-te die letzte von Null verschiedene Koordinate. Dann gilt j<i und
uÎV .
Wegen  j<i ist u Linearkombination von gewissen v mit j’≤j. Nach (2) ist dann aber x Linearkombinatiion von gewissen v mit j≤. Da x beliebig gewählt war steht dies im Widerspruch zu Wahl von . Dieser Widerspruch beweist die dritte Behauptung.
Behauptung 4: Die gegeben Untergruppe H wird von den Elementen v erzeugt.
(da wir bereits wissen, die v sind linear unabhängig, beweist dies die Behauptung des Satzes). Sei xÎH. Als Element der direkten Summe F hat x nur endlich viele von Null verschiedene Koordinaten. Dann liegt aber x in einer der Mengen V (wenn die i-te die letzte von Null verschiedene Koordinate ist). Als Element von V ist x aber Linearkombination von gewisser v. Wir haben gezeigt, jedes Element von H ist Linearkombination gewissen v, d.h. die v erzeugen H.
QED.
2. Lebesque-Zahlen
Existenz von Lebesque-Zahlen
Seien X ein kompakter metrischer Raum und U eine offene Überdeckung von X. Dann existiert ein e>0 derart, daß für jede Menge von Durchmesser ≤e ganz in einer Menge der Überdeckung U liegt.
Beweis. Zu jedem xÎX gibt es d(x)>0 derart, daß die Vollkugel vom Radius 2d(x) ganz in einer Menge von U liegt. Endlich viele der zugehörigen Vollkugeln von Radius d(x) überdecken X, sagen wir
X = UÈ...ÈU
 Sei e := min(d(x),...,d(x)). Ist YÍX eine Teilmenge vom Durchmesser <e, so liegt ein vorgegebener Punkt yÎY in einer der Mengen U und hat damit von x einen Abstand <d(x). Jeder weitere Punkt von Y hat von y einen Abstand <e≤d(x), also von x einen Abstand < 2d(x). Damit gilt
Y Í U.
Mit U liegt also auch Y ganz in einer der Mengen von U.
QED.

Index

—A—
Abbildung
Deformation von, 15
homotope, 15
homotope, von Paaren, 17
Homotopieäquivalenz, 17
nullhomotope, 15
simpliziale, 12
Abbildung von Paaren, 17
absoluten Homologiegruppen, 43
abstandstreuen Abbildungen, 5
antipodaler Punkt einer Abbildung, 98
Augmentation, 47; 48
—B—
baryzentrische Deformation, 79
baryzentrische Umgebung, 77
baryzentrische Unterteilung, 60; 77
Baryzentrum, 76
Basispunkt, 66
berandete simpliziale Mannigfaltigkeit, 110
Bifunktor, 6
Bigrad, 100
Bild, 26
—D—
darstellbar, 9
darstellendes Objekt, 9
Deformation, 15
baryzentrische, 79
Deformation von Abbildungen, 15
Deformationsretrakt, 59
dicke Sphäre, 73
Differentiale, 19
Dimension eines Simplex, 13
direkte Summe
von Komplexen, 21
duale Kategorie, 4
—E—
Ecke des Standard-Simplex, 37
Ecke eine Simplizialkomplexes, 12
Eckenmenge, 103
ein simpliziales Objekt, 14
Einheitssphäre, 81
endlicher Simplizialkomplex, 12
endliches Polyeder, 76
Entartungsabbildung, 39
entsteht durch Verheften der Räume, 12
Epi-Mono-Zerlegung, 40
Epimorphismus, 5
Eulerzahl eines endlichen Simplizialkomplexes, 46
exakt, 19
—F—
Faktortopologie, 11
Fläche
simpliziale, 110
freier Komplex, 35
fundamentaler Zyklus, 114
Funktor, 5
Vergiß-, 7
—G—
geordnete simpliziale Homologie, 46
Grade, 95
graduierte Gruppe, 20
Grundpunkt, 66
Gruppe
graduierte, 20
—H—
Handel, 122
homogener Bestandteil, 20
homolog, 18
Homologie, 18
simpliziale, geordnete, 46
simpliziale, orientierte, 46
Homologieklassen, 18
Homologiesequenz des Paares (X,A), 44
Homologiesequenz des Tripels (X,A,B), 44
homotop, 32
homotope Abbildung
von Paaren, 17
homotope Abbildungen, 15
Homotopie, 15; 32
Nullhomotopie, 15
relative, 15
homotopieäquivalent, 33
homotopieäquivalente Räume, 17
Homotopieäquivalenz, 17; 33
Homotopiefunktor, 16
Homotopiekategorie, 4; 16
Homotopieklassen, 16; 32
Horn, 85
—I—
identische Funktor, 6
identischen Morphismus, 3
im wesentlichen in der Dimension n konzentriert, 35
isoliert liegen in seiner Faser, 91
isomorph, 5
Isomorphismus, 5
—K—
Kategorie
simpliziale, 4
Kategorie der Funktoren, 7
Kategorie der geordnete simplizialen Paare, 104
Kategorie der geordneten Simplizialkomplexe, 104
Kategorie der Kategorien, 7
Kategorie der Komplexe abelscher Gruppen, 19
Kategorie der Paare abstrakter Simplizialkomplexen, 104
Kategorie der simplizialen Paare, 104
Kategorie der Simplizialkomplexe, 103
Kategorie der topologischen Räume, 4
Kegel, 22; 60
Kegel einer Komplex-Abbildung, 21
Keim, 91
Kern, 26
Kette
singuläre, U-kleine, 64
Ketten, 18
Kettenabbildung, 19
Koeffizien
simpliziale Homologie mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe, 45
Koeffizienten
singuläre Homolgie mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe, 45
singuläre Ketten mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe, 44
universelle, 45
Koeffizienten, 44
Kofunktor, 6
kohärent orientiert, 112
kohärent orientiert, 113
Komplex
freier, 35
Komplex, 18
Komplexabbildung, 19
Komplexkategorie, 19
Komplexmorphismus, 19
Komponenten, 51
konstante Homotopie, 16
kontravarianter Funktor, 6
konvex, 37
Koordinaten eines Punktes einer Realisierung, 76
kovariante Hom-Funktor, 6
kovarianter Funktor, 5
Kurve
simpliziale, 110
—L—
Lemma von Yoneda, 8
linear, 38
linear zusammenhängend, 51
lineare Komponenten, 51
linksinvers, 5
lokal trivial, 99
lokale Homologie, 91
—M—
Mannigfaltigkeit
berandete, simpliziale, 110
simpliziale, 110
simpliziale, orientierbare, 112
topologische, 109
Mannigfaltigkeit, 94
Mayer-Vietories-Sequenz, 70; 75
metrische Topologie einer Realisierung, 13
metrischer Raum, 13
Morphismen, 3
Morphismenkomposition, 3
—N—
natürliche Äquivalenz, 7
natürliche Transformation, 7
Norm, 81
nullhomotop, 15
Nullhomotopie, 15
—O—
Objekten, 3
offene baryzentrische Unterteilung, 77
offene Vollkugel, 81
orientierbare simpliziale Mannigfaltigkeit, 112
orientierte simpliziale Homologie, 46
orientierter simplizialer Kettenkomplex, 24
orientiertes Simplex, 24
—P—
Paar
geordnetes, simpliziales, Kategorie der, 104
simpliziales, Kategorie der, 104
topologisches, 17
p-Abbildung, 91
p-äquivalent, 91
Polyeder, 76
endliches, 76
polyedrales Paar, 76
Produkt
von Kategorien, 4
punktierter topologischer Raum, 66
—Q—
quasigeordnete Menge, 4
Quelle, 3
—R—
Rand, 39
Randabbildung, 39
Randabbildungen, 19
Ränder, 18
Raum
homotopieäquivalente, 17
metrischer, 13
Realisierung
Koordinaten eines Punktes, 76
Realisierung einer simplizialen Menge, 64
Realisierung eines Simplizialkomplexes (als Menge), 12
rechtsinvers, 5
relative Homologiegruppen, 43
relative Homotopie, 15
Retrakt, 53
Retraktion, 53
—S—
schwache Topologie der Realisierung eines Simplizialkomplexes, 14
Seite, 39
Seite eines Simplex, 12
Simplex eines Simplizialkomplexes, 12
simpliziale Abbildung, 12
simpliziale abelsche Gruppe, 14
simpliziale Fläche, 110
simpliziale Kategorie, 4
simpliziale Kurve, 110
simpliziale Mannigfaltigkeit mit Rand, 110
simpliziale Menge, 7
simplizialen abelschen Gruppen, 7
simplizialer topologischer Raum, 14
simplizialer topologischer Raum, 7
simpliziales Objekt, 7
Simplizialkomplex
endlicher, 12
singuläre Homologiegruppe, 43
singuläre Kette, 41
singuläre U-kleine Kette, 64
singulärer Komplex, 41
singuläres Simplex, 41
Skelett, 73
Spitze, 60
Standardabbildung, 81
Standardsimplex, 37
Standard-Simplex, 10
Ecke des, 37
Standard-Simplex, 13
starker Deformationsretrakt, 59
stetigen Familie, 15
Summe
direkte, von Komplexen, 21
Suspension, 21; 74
Symmetrie, 16
—T—
Tangentialbündel, 99
Tangentialvektorfeld, 99
Teilkategorie, 5
Teilkomplex, 25
Teilkomplex eines Simplizialekomplexes, 75
Topologie
metrische, einer Realisierung, 13
schwache, der Realisierung eines Simplizialkomplexes, 14
topologische d-Mannigfaltigkeit, 109
topologisches Paar, 17
topologisches Tripel, 18
Triade, 18
Tripel, 18
topologisches, 18
—U—
Umgebung
baryzentrische, 77
Umgebungsretrakt,, 53
universell, 9
universelle Koeffizienten, 45
—V—
Vergiß-Funktor, 7
Verträglichkeit mit linearen Abbildungen, 51
volle Teilkategorie, 5
Vollkugel, 81
—W—
wegeweise zusammenhängend, 51
—Z—
zerfallend, 30
Ziel, 3
zusammenhängend, 12
Zusammenhangshomomorphismus des Paares (X,A), 44
Zyklen, 18
Zyklus
fundamentaler, 114
Zyklus modulo eines Unterraumes, 44

Inhalt
Einfürung in die algebraische Topologie	
Bezeichnungen	
1. Vorbereitungen	
1.1 Kategorien und Funktoren	
1.1.1 Vorbemerkung	
1.1.2 Der Begriff der Kategorie	
1.1.3 Bemerkungen zur Definition	
1.1.4 Beispiele für Kategorien	
1.1.5 Die duale Kategorie	
1.1.6 Das Produkt von Kategorien	
1.1.7 Teilkategorien	
1.1.8 Spezielle Morphismen	
1.1.9 Funktoren	
1.1.10 Beispiele für Funktoren	
1.1.11 Komposition von Funktoren	
1.1.12 Natürliche Transformationen	
1.1.13 Beispiele natürlicher Transformationen	
1.1.14 Lemma von Yoneda	
1.1.15 Darstellbare Funktoren	
1.1.16 Eindeutigkeit des darstellenden Paares	
1.1.17 Algebraische Konstruktionen in beliebigen Kategorien	
1.1.18 Aufgaben	
1.2 Homotopie	
1.2.1 Vorbemerkungen	
1.2.2 Der Begriff der Homotopie	
1.2.3 Homotope Abbildungen	
1.2.4 Homotopieklassen	
1.2.5 Verträglichkeit mit Kompositionen	
1.2.6 Die Homotopiekategorie	
1.2.7 Topologische Paare	
1.2.8 Die direkte Summe von Paaren	
1.2.9 Ein Produkt von Paaren	
1.2.10 Homotopie von Paaren	
1.2.11 Tripel von topologischen Räumen	
1.2.12 Aufgaben	
2. Homologie von Komplexen	
2.1 Komplexe	
2.1.1 Die Homologie eines Komplexes	
2.1.2 Komplexabbildungen	
2.1.3 Der Homologiefunktor	
Bemerkung	
Vereinbarungen	
2.1.4 Graduierte Gruppen	
2.1.5 Direkte Summen von Komplexen	
2.1.6 Der Kegel einer Komplexabbildung	
2.1.7 Die kurze exakte Sequenz zum Abbildungskegel	
2.1.8 Aufgaben	
2.2 Die lange exakte Homologiesequenz	
2.2.1 Teilkomplexe und Faktorkomplexe	
2.2.2 Beispiele für Teil- und Faktorkomplexe	
2.2.3 Die Halbexaktheit des Homologiefunktors	
2.2.4 Konstruktion des Zusammenhangshomomorphismus	
2.2.5 Funktorialität des Zusammenhangshomomorphismus	
2.2.6 Die Exaktheit der langen Homologiesequenz	
2.2.7 Quasi-Isomorphismen	
2.2.8 Zerfallende Sequenzen	
2.2.8 Komplexsequenzen die in jeder Dimension zerfallen	
2.2.9 Zusammenhangshomomorphismus eines Abbildungskegels	
2.2.10 Kriterium für Quasi-Isomorphie	
2.3 Kettenhomotopie	
2.3.1 Homotope Kettenabbildungen	
2.3.2 Verträglichkeit mit der Komposition	
2.3.3 Die Homotopiekategorie über K(Ab)	
2.3.4 Die Homologie homotoper Abbildungen	
2.3.5 Die Homologie einer Homotopieäquivalenz	
2.3.6 Kriterium für Kontrahierbarkeit	
2.3.7 Kontrahierbarkeit des Kegels und Homotopieäquivalenz	
2.3.8 Aufgaben	
2.4 Freie Komplexe	
2.4.1 Definition	
2.4.2 Die Untergruppe der Zyklen ist ein direkter Summand	
2.4.3 Quasi-Isomorphie und Homotopieäquivalenz	
2.4.4 Kurze und elementare Komplexe	
2.4.4 Zerlegung in kurze bzw. elementare Komplexe	
2.4.5 Aufgaben	
3. Die singuläre Homologie	
3.1 Standardsimplexe und ihre linearen Abbildungen	
3.1.1 Vorbemerkung	
3.1.2 Die Standardsimplexe	
3.1.3 Lineare Abbildungen auf den Standardsimplexen	
3.1.4 Randabbildungen und Seiten der Standardsimplexe	
3.1.5 Relationen zwischen den Rand- und Entartungsabbildungen	
3.2 Der singuläre Komplex	
3.2.1 Vorbemerkung	
3.2.2 Definition des singulären Komplexes	
3.2.3 Die Komplexeigenschaft von S(X)	
3.2.4 Die Abbildung der Ketten zu einer stetigen Abbildung	
3.2.5 Der Komplex-Morphismus Sf zu einer stetigen Abbildung f	
3.2.6 Die Funktorialität von S	
3.2.7 Verallgemeinerung auf den Fall von Paaren	
3.3 Die singuläre Homologie	
3.3.1 Die singulären Homologiegruppen eines topologischen Raumes	
3.3.2 Funktorialität	
3.3.3 Homologiesequenz eines Paares bzw. eines Tripels	
3.3.4 Homologie mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe	
3.3.5 Aufgaben	
3.4 Spezialfälle	
3.4.1 Homologie des einpunktigen Raumes	
3.4.2 Reduzierte Homologie	
3.4.3 Reduzierte Homologiesequenz eines Paares	
3.4.4 Die Augmentation auf den Niveau der Kettenabbildungen	
3.4.5 Die Homologie der konvexen Teilmengen des affinen Raumes	
3.4.6 Der Zusammenhangshomomorphismus einer Teilmenge des affinen Raumes	
3.4.7 Linear zusammenhängende Räume	
3.4.8 Die Homologie linear zusammenhängender Räume	
3.4.9 Die 0-te Homologie und lineare Komponenten	
3.4.10 Die 0-te Homologie des diskreten Raumes	
3.4.11 Umgebungsretrakte	
3.4.12 Die Zerlegung der Homologie mit Hilfe von Retraktionen	
3.4.13 Die Homologiesequenz eines Retrakts	
3.5 Homotopieinvarianz	
3.5.1 Wiederholung	
3.5.2 Formulierung des Satzes über die Homotopieinvarianz	
3.5.3 Folgerung: die Homologie homotoper Abbildungen	
3.5.4 Folgerung: die Homologie homotoper Räume	
3.5.5 Folgerung: die reduzierte Homologie kontrahierbarer Räume	
3.5.6 Vorbemerkungen	
3.5.7 Vorbereitung: Kriterium für die Existenz einer natürlichen Kettenhomotopie	
3.5.8 Beweis der Homotopieinvarianz (Satz 3.5.2)	
3.5.9 Deformationsretrakte und starke Deformationsretrakte	
3.5.10 Aufgaben	
3.6 Baryzentrische Unterteilung	
3.6.1 Der Unterteilungshomomorphismus	
3.6.2 Der Durchmesser mehrfacher baryzentrischer Unterteilungen	
3.6.3 Kettenabbildungen die in der Dimension 0 übereinstimmen	
3.6.4 Aufgaben	
3.7 Kleine Simplexe und Ausschneidung	
3.7.1 Vorbemerkung	
3.7.2 Der singuläre Komplex eines Systems von Teilmengen	
3.7.3 Vergleich der Homologien von S(X,A) und S(U,UÇA)	
3.7.4 Folgerung: Ausschneidungssatz I	
3.7.5 Folgerung: Ausschneidungssatz II	
3.7.6 Das Bukett punktierter topologischer Räume	
3.7.7 Die Homologie eines Buketts	
3.8 Die Mayer-Vietoris-Sequenz	
3.8.1 Bezeichnungen	
3.8.2 Ausschneidungstriaden	
3.8.3 Die absolute Version der Mayer-Vietories-Sequenz	
3.8.4 Die relative Version der Mayer-Vietories-Sequenz	
3.8.5 Der Zusammenhangshomomorphismus der absoluten Mayer-Vietories-Sequenz	
3.8.6 Der Zusammenhangshomomorphismus der relativen Mayer-Vietories-Sequenz	
3.8.7 Funktorialität der Mayer-Vietories-Sequenz	
3.8.8 Reduzierte Mayer-Vietories-Sequenz	
3.8.9 Beispiel: Homologie eines Buketts	
3.8.10 Beispiel: Satz von Jordan	
3.8.11 Beispiel: Homologie einer Suspension	
3.8.12 Die Mayer-Vietories-Sequenz eines Paars von Ausschneidungstriaden	
3.8.13 Aufgaben	
3.9 Die Ausschneidungseigenschaft polyedraler Triaden	
3.9.1. Die geometrische Realisierung eines Simplizialkomplexes	
3.9.2. Die baryzentische Unterteilung eines Simplizialkomplexes	
3.9.3. Die baryzentrische Umgebung eines Teilpolyeders in einem Polyeder	
3.9.4. Die baryzentrische Deformation eines polyedralen Paares	
3.9.x. (weglassen!!!) Eine Eigenschaft der baryzentrischen Deformation	
3.9.5. Die Ausschneidungseigenschaft polyedraler Triaden	
4. Anwendungen auf den euklidischen Raum	
4.1 Standardabbildungen zwischen Zellen und Sphären	
4.1.1 Wiederholung	
4.1.2 Die Standardabbildungen der Vollkugel	
4.1.3 Eigenschaften der Standardabbildung π	
4.1.4 Eigenschaften der Standardabbildung π’	
4.1.5 Kompakte konvexe Teilmengen des euklidischen Raumes	
4.1.6 Folgerungen	
4.2 Die Homologie von Zellen und Sphären	
4.2.1 Lemma	
4.2.2 Die Homologie von Zellen und Sphären	
4.2.3 Sphären und euklidische Räume mit unterschiedlicher Dimension	
4.2.4 Sphären und Vollkugeln	
4.2.5 Einbettungen von Vollkugeln in den Euklidischen Raum	
4.2.6 Fixpunktsatz von Brouwer	
4.2.7 Fundamentale Zyklen	
4.2.8 Produkte mit Sphären	
4.3 Lokale Homologie	
4.3.1 Vorbemerkung	
4.3.2 Definition der lokalen Homologie	
4.3.3 Lokalität der lokalen Homologie	
4.3.4 p-Abbildungen und Abbildungskeime	
4.3.5 p-Abbildungen mit demselben Keim	
4.3.6 Die Kategorie der Keime von p-Abbildungen	
4.3.7 Die lokale Homologie lokale homöomorpher Räume	
4.3.8 Invarianz der Dimension	
4.3.9 Invarianz der Randeigenschaft	
4.3.10 Lokale und reduzierte Homologie	
4.4 Der Grad einer Abbildung	
4.4.1 Vorbemerkung	
4.4.2 Der Gradbegriff	
4.4.3 Eigenschaften des Grades	
4.4.4 Der Grad einiger linearer Abbildungen	
4.4.5 Stetige Abbildungen der n-Sphäre in sich.	
4.4.6 Der Satz vom Igel	
4.4.7 Der Bigrad einer Abbildung	
4.4.8 Eine Eigenschaft des Bigrades	
4.4.9 Der Grad der Potenzabbildung	
4.4.10 Fundamentalsatz der Algebra	
5 Die Homologie der Polyeder	
5.1 Vergleich von simplizialer und singulärer Homologie	
5.1.1 Einige Kategorien von (abstrakten) Simplizialkomplexen	
5.1.2 Einige Funktoren	
5.1.3 Kompakte Teilmengen von Polyedern	
5.1.4 Der Vergleichsatz	
5.1.5 Vergleichssatz für geordnete simpliziale Paare	
5.1.6 Endlichkeit und Kompaktheit von Polyedern	
5.1.7 Aufgaben	
5.2 Simpliziale Mannigfaltigkeiten	
5.2.1 Vorbemerkungen	
5.2.2 Simpliziale Mannigfaltigkeiten	
5.2.3 Lemma	
5.2.4 Die d-te Homologie kompakter d-Mannigfaltigkeiten	
5.2.5 Aufgaben	
5.3 Kompakte simpliziale Flächen	
5.3.1 Einfach zusammenhängende simpliziale Flächen	
5.3.2 Struktur der einfach zuzammenhängenden simplizialen Flächen	
5.3.3 Kompakte Flächen die nicht einfach zusammenhängend sind	
5.3.4 Adjunktion von Möbiusbändern und Handeln	
5.3.5 Klassifikation der kompakten simplizialen Flächen	
5.3.6 Homologische Charakterisierung der einfach zusammenhängenden Flächen	
Anhang	
1. Untergruppen freier abelscher Gruppen	
1.1 Wohlgeordnete Mengen	
1.2 Satz von Zermelo	
1.3 Satz über die Untergruppen freier abelscher Gruppen	
2. Lebesque-Zahlen	
Index	
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