Prof. M. Schwarz  Analysis B  SS 2009

Serie 9

1. Zeigen Sie:

a) (L) { (x, y) ∈ ℝ^{2} | xy = 0 } ist nicht homöomorph zu ℝ. (1 Punkt)

b) (L) Es gibt keine zu S^{1} homöomorphe Teilmenge von ℝ. (1 Punkt)

c) (L) Ist f: [a, b] → [c, d] ein Homöomorphismus, so ist f(a) = c, f(b) = d, oder f(a) = d, f(b) = c. (1 Punkt)

2. Es sei

C_{n} = \{ x = ∑_{k=1}^{∞} a_{k} \frac{1}{3^{k}} | a_{k} ∈ \{0, 1, 2\} f.a. k ≥ n + 1 und a_{1}, …, a_{n} ∈ \{0, 2\} \} .

Zeige:

a) Jedes C_{n} ist eine endliche disjunkte Vereinigung von abgeschlossenen Intervallen in ℝ. (1 Punkt)

b) C = ∩_{n∈ℕ}C_{n} ist nicht leer und kompakt. (1 Punkt)

c) C is überabzählbar und C^{∘} = ∅. (2 Punkte)

3. (L) Zeigen Sie: Je zwei endlich-dimensionale Vektorräume gleicher Dimension sind isomorph mit einem Isomorphismus Φ, so daß sowohl Φ als auch Φ^{−1} stetig sind. (2 Punkte)

4. Eine Funktion f: X → ℝ auf einem metrischen Raum heißt lokal-konstant genau dann, wen jedes x ∈ X eine Umgebung U(x) besitzt, so daß f_{|U(x)} konstant ist. Zeigen Sie:

a) (L) Eine Funktion f: X → ℤ ist stetig genau dann, wenn sie lokal-konstant ist.(2 Punkte)

b) X ist zusammenhängend genau dann, wenn jede lokal-konstante Funktion auf X automatisch konstant ist. (4 Punkte)

5. (Zusatzaufgabe mit Zusatzpunkten) (L) Es sei g: ℝ^{2} → ℝ eine stetige Funktion und f: ℝ^{2} → ℝ gegeben durch

f(x, y) = ∫_{0}^{y} g(x, t) dt .

Zeige: Dann ist auch f wieder eine stetige Funktion auf ℝ^{2}. (2 Pkte.) (Hinweis: Verwenden Sie die Sätze aus der Vorlesung vom 5.6.)

Rückgabe: Freitag, 12.06.09 in den Briefkästen